Dieser Artikel liefert unter anderem Antworten auf die folgenden Fragen:

  • Wie bestimmt sich der Zusammenhang zwischen den Drehzahlen bei Umlaufgetrieben und insbesondere bei Planetengetrieben?

Willis-Gleichung

Die Gesetzmäßigkeiten der Drehzahlwandlung von Umlaufgetrieben sind im Allgemeinen nicht mehr so einfach zu durchschauen wie die von Standgetrieben. Dies liegt daran, dass es sich bei der Bewegung der umlaufenden Planetenräder letztlich um eine Überlagerung dreier Bewegungen handelt. Die Bewegung besteht nicht mehr nur aus einer einfachen Rotationsbewegung um die eigene Achse sondern die Achse selbst vollzieht um die Sonnenradachse eine zusätzlich Kreisbewegung, während das Planetenrad durch die Rotation des Sonnenrades ebenfalls eine zusätzliche Kreisbewegung ausführt.

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Animation: Gesamtbewegung eines Umlaufgetriebes

Somit lässt sich die Bewegung eines umlaufenden Planetenrades auf die Überlagerung dreier getrennt zu betrachtender Bewegungen zurückführen:

  1. Rotation des Steges um das Sonnenrad; bei gleichzeitiger
  2. Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt; und gleichzeitiger
  3. Rotation des Sonnenrades.
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Umlaufgetriebe, Planetengetriebe, Bewegung, Willis-Gleichung, Grundgleichung, Sonnenrad, Steg, Planetenrad, Animation

Bewegung des Steges
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Bewegung des Planetenrades
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Gesamtbewegung

Die Bewegungen sind jedoch nicht unabhängig voneinander, da das Planetenrad auf dem Sonnenrad abwälzt. Somit bestimmt das Durchmesserverhältnis von Sonnenrad und Planetenrad darüber wie oft das Planetenrad um die eigene Achse rotiert während es sich relativ zum Sonnenrad einmal um dieses bewegt.

Um die Gesetzmäßigkeiten der Drehzahlen zwischen Sonnenrad, Planetenradträger (Steg) und Planetenrad herzuleiten werden die oben aufgeführten Bewegungen zunächst getrennt voneinander betrachtet und anschließend zusammengesetzt (Superposition). Die Zahnräder werden der besseren Vorstellung halber als (Wälz-)Zylinder angenommen.

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Abbildung: Umlaufgetriebe

Rotation des Steges um das Sonnenrad

Steht das Sonnenrad still und das Planetenrad sitzt drehfest auf dem Planetenradträger, dann entspricht der überstrichene Winkel des Planetenradträgers \(\varphi_T\) der Winkelstellung des Planetenrades \(\varphi_{P1}\).

\begin{align}
\label{P1}
&\underline{\varphi_{P1} = \varphi_T}  \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Rotation des Planetenradschwerpunktes um das Sonnenrad

Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt

Tatsächlich wird sich das Planetenrad bei einer drehbaren Lagerung auf dem Planetenradträger jedoch auf dem Sonnenrad abwälzen und somit eine Rotationsbewegung um die eigene Achse ausführen. Das Planetenrad wird sich also um einen Winkel \(\varphi_{P2}\) zusätzlich weiterdrehen.

Die auf dem Sonnenrad zurückgelegte Bogenstrecke des Planetenradträgers \(b_T\) entspricht bei einer reinen abwälzenden Bewegung derjenigen Bogenstrecke um die sich das Planetenrad an dessen Umfang weiterbewegt hat (\(b_{P2}\)). Über das Bogenmaß lässt sich der zusätzliche Winkel \(\varphi_{P2}\) wie folgt bestimmen:

\begin{align}
&b_{P2} = b_T \\[5px]
&\tfrac{d_P}{2} \cdot \varphi_{P2} = \tfrac{d_S}{2} \cdot \varphi_{T}  \\[5px]
\label{P2}
&\underline{\varphi_{P2} = \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{T}}  \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt

Rotation des Sonnenrades

In der vorhandenen Position wird der Planetenradträger nun festgehalten und das Sonnenrad um einen zusätzlichen Winkel \(\varphi_S\) im Uhrzeigersinn bewegt. In diesem Fall wird sich das Planetenrad um einen Winkel \(\varphi_{P3}\) entgegen des Uhrzeigersinns zurückdrehen. Analog zum Fall zuvor gilt: Die am Umfang des Sonnenrad vollzogene Bogenstrecke \(b_S\) entspricht bei einer reinen abwälzenden Bewegung derjenigen Bogenstrecke um die sich das Planetenrad an dessen Umfang in entgegengesetzte Richtung bewegt (\(b_{P3}\)):

\begin{align}
&b_{P3} = – b_S \\[5px]
&\tfrac{d_P}{2} \cdot \varphi_{P3} = – \tfrac{d_S}{2} \cdot \varphi_{S}  \\[5px]
\label{P3}
&\underline{\varphi_{P3} = – \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{S}}  \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Rotation des Planetenrades aufgrund der Rotation des Sonnenrades

Das negative Vorzeichen gibt dabei an, dass die Bewegung des Planetenrades in entgegengesetzte Richtung im Vergleich zur Bewegung des Sonnenrades erfolgt.

Superposition der Bewegungen

Die bisher noch getrennt voneinander betrachteten Bewegungen des Planetenrades nach den Gleichungen (\ref{P1}), (\ref{P2}) und (\ref{P3}) können nun zur Gesamtbewegung überlagert werden:

\begin{align}
&\varphi_P = \varphi_{P1} +\varphi_{P2} + \varphi_{P3}\\[5px]
\label{P}
&\underline{\varphi_{P} = \cdot \varphi_{T} + \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{T}     –    \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{S}   }  \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Superposition der Bewegungen

Die in dieser Gleichung enthaltenen Winkelstellungen \(\varphi\) ergeben sich über die jeweilige Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und die verstrichene Zeit \(t\) (\(\varphi = \omega \cdot t\)), wobei die Winkelgeschwindigkeit in direktem Zusammenhang zur entsprechenden Drehzahl steht (\(\omega = 2 \pi \cdot n\)):

\begin{align}
&\varphi = \omega \cdot t  ~~~ \text{mit} ~~~ \omega = 2 \pi \cdot n ~~~\text{folgt}:  \\[5px]
&\underline{\varphi = 2 \pi \cdot n  \cdot t}  \\[5px]
\end{align}

Wird dieser Zusammenhang nun in Gleichung (\ref{P}) eingesetzt, dann ergibt sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen der Drehzahl des Planetenrades \(n_P\) und den Drehzahlen des Sonnenrades \(n_S\) bzw. des Planetenradträgers \(n_T\):

\begin{align}
&2 \pi \cdot n_P  \cdot t = 2 \pi \cdot n_T  \cdot t + \frac{d_S}{d_P} \cdot 2 \pi \cdot n_T  \cdot t – \frac{d_S}{d_P} \cdot 2 \pi \cdot n_S  \cdot t \\[5px]
&n_P =n_T + \frac{d_S}{d_P} \cdot n_T – \frac{d_S}{d_P} \cdot n_S ~~~~~~~~\text{|} \cdot d_P \\[5px]
&n_P \cdot d_P =n_T \cdot d_P + d_S \cdot n_T – d_S \cdot n_S  \\[5px]
\label{g}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right) – n_S \cdot d_S} \\[5px]
\end{align}

Da bei Zahnrädern die Wälzkreisdurchmesser \(d\) direkt proportional zu den entsprechenden Zähnezahlen \(z\) sind, kann obige Gleichung auch über die jeweilige Anzahl der Zähne ausgedrückt werden:

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\begin{align}
\label{pln}
&\boxed{n_P \cdot z_P = n_T \cdot \left(z_P + z_S \right) – n_S \cdot z_S} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung wird als Grundgleichung der Umlaufgetriebe bezeichnet (auch Willis-Gleichung genannt). Anwendung findet die Grundgleichung unter anderem bei klassischen Planetengetriebe, um je nach Betriebsart die unterschiedlichen Übersetzungsverhältnisse zu ermitteln (siehe nächster Abschnitt).

Gleichung für Plantengetriebe

Die Willis-Gleichung (\ref{pl}) gilt im Allgemeinen für alle Umlaufgetriebe, also im Speziellen auch für Planetengetriebe. Zwar werden die Planetenräder (blau dargestellt) bei einem klassischen Planetengetriebe dabei noch von einem Hohlrad (rot abgebildet) umschlossen, dies ändert jedoch prinzipiell nichts an den hergeleiteten Zusammenhänge zwischen Sonnenrad, Planetenrad und Planetenradträger (Steg; grün dargestellt). Es stellt sich lediglich die Frage, wie die Bewegung der Planetenräder auf das Hohlrad übertragen wird. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

Planetengetriebe, Sonnenrad, Planetenrad-Träger, Steg, Bewegung
Animation: Planetengetriebe

Da zwischen Hohlrad und Planetenrad im Idealfall ein reines Wälzen ohne Gleitung stattfindet, muss die Geschwindigkeit am Wälzpunkt beider Räder identisch sein. Kennt man folglich die Geschwindigkeit \(v_{Pa}\) mit der sich der äußerste Punkt auf einem Planetenrad bewegt, dann entspricht dies der gesuchten Bahngeschwindigkeit \(v_H\) des Hohlrades. Über den entsprechenden Wälzkreisradius \(r\) (bzw. Wälzkreisdurchmesser \(d\)) des Hohlrades kann dann auf dessen Drehzahl \(n\) geschlossen werden, da zwischen diesen Größen der folgende allgemeine Zusammenhang gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\
\label{o}
&v = \omega \cdot r = \omega \cdot \tfrac{d}{2} ~~~ \text{mit} ~~~ \omega = 2 \pi \cdot n ~~~\text{folgt}: \\[5px]
\label{v}
&\underline{v = \pi \cdot n \cdot d} \\[5px]
\end{align}

Planetengetriebe, Willis-Gleichung, Geschwindigkeitsverteilung, Planetenrad
Abbildung: Geschwindigkeitsverteilung des rotierenden Planetenrads

Analoges gilt auch für die Geschwindigkeitsverhältnisse am Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. An diesem innersten Punkt muss die Geschwindigkeit des Planetenrades \(v_{Pi}\) für einen gleitfreien Abwälzvorgang identisch mit der Geschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) sein. Der Schwerpunkt des Planetenrades bewegt sich dabei mit der Bahngeschwindigkeit \(v_T\) des Planetenradträgers. Zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht ein linearer Zusammenhang (siehe schwarz gestrichelte Linie in der oberen Abbildung), sodass bei bekannter Bahngeschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) und bekannter Umfangsgeschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\) die Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades \(v_H\) ermittelt werden kann.

Warum ergibt sich ein solcher linearer Zusammenhang?

Wie es zu dieser einfachen, linearen Abhängigkeit zwischen den genannten Bahngeschwindigkeiten kommt, soll im Folgenden gezeigt werden. Der einfacheren Darstellung wegen werden die Zahnräder dabei als Wälzzylinder angenommen.

Planetengetriebe, Verschwindigkeit, Verteilung, Planetenrad, Steg, Animation
Animation: Geschwindigkeitsverteilung am Planetenrad

Die Bewegung eines Punktes auf dem Planetenrad lässt als Überlagerung zweier Bewegungen verstehen. Zum einen rotiert das Planetenrad zunächst um seine eigene Achse. In diesem Fall erhält man die typisch symmetrische und lineare Zunahme der Bahngeschwindigkeit gemäß Gleichung (\ref{o}) ausgehend der Drehachse des Planetenrades. Die maximalen Geschwindigkeitsbeträge \(v_P\) erhält man unmittelbar am Wälzkreis des Planetenrades.

Planetengetriebe, Verschwindigkeit, Verteilung, Planetenrad, Steg
Abbildung: Geschwindigkeitsverteilung auf dem rotierenden Planetenrad bei festgestelltem Steg

Im Drehzentrum ist die Bahngeschwindigkeit null, solange sich die Planetenradachse nicht bewegt. Nun bewegt sich die Drehachse jedoch mit der Bahngeschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\), d.h. beide Bewegungen können nun zur tatsächlichen Gesamtbewegung überlagert werden.

Planetengetriebe, Verschwindigkeit, Verteilung, Planetenrad, Steg
Abbildung: Überlagerung der Rotationsbewegung und der Schwerpunktsbewegung des Planetenrades

Die Rotationsgeschwindigkeit des Planetenrades ist im oberen Berührpunkt zum Hohlrad mit der Geschwindigkeit des Planetenradträgers gleichgerichtet und am unteren Berührpunkt zum Sonnenrad entgegengesetzt gerichtet. Aufgrund der symmetrischen Geschwindigkeitsverteilung ist die resultierende Gesamtgeschwindigkeit des Planetenrades im äußersten Berührpunkt zum Hohlrad also im selben Maße größer (\(v_{Pa}=v_T+v_P\)) wie sie im innersten Berührpunkt zum Sonnenrad geringer ist (\((v_{Pi}=v_T-v_P\)).

Planetengetriebe, Verschwindigkeit, Verteilung, Planetenrad, Steg
Abbildung: Überlagerung der Rotationsbewegung und der Schwerpunktsbewegung des Planetenrades

In anderen Worten ausgedrückt: Die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Planetenrad nimmt ausgehend des Berührpunktes zum Sonnenrad linear über die Geschwindigkeit des Planetenradträgers bis hin zum Berührpunkt zum Hohlrad zu. Da die Geschwindigkeit des Planetenradträgers \(v_T\) als bekannt vorausgesetzt wird, muss lediglich die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Sonnenrad \(v_S\) bekannt sein, um die gesuchte Bahngeschwindigkeit am gegenüberliegenden Berührpunkt zum Hohlrad \(v_H\) bestimmen zu können.

Planetengetriebe, Verschwindigkeit, Verteilung, Planetenrad, Steg
Abbildung: Geschwindigkeitsverteilung auf dem rotierenden Planetenrad bei sich bewegendem Steg

Wie bereits erläutert, muss für einen gleitfreien Abwälzvorgang ohne Relativbewegung die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Hohlrad (\(v_{Pa}=v_T+v_P\)) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades \(v_H\) sein:

\begin{align}
&v_H\overset{!}{=}v_{Pa} \\[5px]
\label{v_H}
&\underline{v_H=v_T+v_P} \\[5px]
\end{align}

Analoges gilt auch für den Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. Dort muss die Geschwindigkeit des Planetenrades (\(v_{Pi}=v_T-v_P\)) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Sonnenrades \(v_S\) sein, sofern es sich um einen gleitfreien Abwälzvorgang handelt:

\begin{align}
&v_S\overset{!}{=}v_{Pi} \\[5px]
\label{v_S}
&\underline{v_S=v_T-v_P} \\[5px]
\end{align}

Subtrahiert man nun Gleichung (\ref{v_S}) von Gleichung (\ref{v_H}), dann ergibt sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen den Umfangsgeschwindigkeiten des Sonnenrades \(v_S\), des Planetenrades \(v_P\) und des Hohlrades \(v_H\):

\begin{align}
&v_H – v_S = v_T+v_P-v_T+v_P \\[5px]
&v_H = 2 \cdot v_P + v_S \\[5px]
\label{vvv}
&\underline{ v_P = \frac{v_H}{2} – \frac{v_S}{2} } \\[5px]
\end{align}

Wird der Zusammenhang aus Gleichung (\ref{v}) in Gleichung (\ref{vvv}) eingesetzt, dann erhält man den Zusammenhang zwischen den entsprechenden Drehzahlen:

\begin{align}
&v_P = \frac{v_H}{2} – \frac{v_S}{2} \\[5px]
&\pi \cdot n_P \cdot d_P = \frac{\pi \cdot n_H \cdot d_H}{2} – \frac{\pi \cdot n_S \cdot d_S}{2} \\[5px]
\label{nn}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_H \cdot \frac{d_H}{2} – n_S \cdot \frac{d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

Der sich aus Gleichung (\ref{nn}) ergebende Zusammenhang kann nun direkt mit der Grundgleichung (\ref{g}) gleichgesetzt werden und man erhält schließlich den folgenden Zusammenhang zwischen den Drehzahlen von Sonnenrad (\(S\)), Planetenradträger (\(T\)) und Hohlrad (\(H\)):

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\begin{align}
&n_H \cdot \frac{d_H}{2} – n_S \cdot \frac{d_S}{2} = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – n_S \cdot d_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H – n_S \cdot d_S  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – 2 \cdot n_S \cdot d_S \\[5px]
\label{f}
&\underline{n_H \cdot d_H  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Zusätzlich kann noch ausgenutzt werden, dass die Durchmesser von Hohlrad, Planetenrad und Sonnenrad nicht unabhängig voneinander sind. Der Hohlraddurchmesser \(d_H\) entspricht der Summe aus Sonnenraddurchmesser \(d_S\) und dem zweifachen Planetenraddurchmesser \(d_P\):

\begin{align}
&d_H = d_S + 2 \cdot d_P \\[5px]
&\underline{d_P = \frac{d_H-d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

Planetengetriebe, Teilkreis-Durchmesser, Zusammenhang, Sonnenrad, Planetenrad, Hohlrad, Zähnezahl
Abbildung: Zusammenhang der Wälzkreisdurchmesser bzw. Zähnezahlen

Damit ergibt sich die Planetenradgleichung für klassische einstufige Planetengetriebe, unabhängig von den Eigenschaften der Planetenräder, zu:

\begin{align}
&n_H \cdot d_H = 2 \cdot n_T \cdot \left(\frac{d_H-d_S}{2} + d_S \right) – d_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H =n_T \cdot \left(d_H – d_S + 2 \cdot d_S \right) – d_S \cdot n_S \\[5px]
&\underline{n_H \cdot d_H = n_T \cdot \left(d_H + d_S \right) – d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Da bei Zahnrädern die Wälzkreisdurchmesser \(d\) proportional zu den entsprechenden Zähnezahlen \(z\) sind, kann obige Gleichung auch über die Anzahl der Zähne des Hohlrades (\(z_H\)) und die des Sonnenrades (\(z_S\)) ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{pl}
&\boxed{n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Übersetzungsmöglichkeiten der Plantengetriebe

Bei einem klassischen Planetenradgetriebe ergeben sich letztlich drei verschiedene Betriebsmodi, je nachdem welche Komponente (Sonnenrad, Planetenradträger oder Hohlrad) festgestellt wird. Der An- und Abtrieb erfolgt dann über die beiden anderen Komponenten. Welche Übersetzungsverhältnisse sich dabei jeweils ergeben, wird im Folgenden gezeigt.

Animation: Betriebsarten von Planetengetriebe

Festgestelltes Sonnenrad

Für den Fall, dass das Sonnenrad festgestellt wird (\(n_S=0\)) und der Antrieb über das Hohlrad und der Abtrieb und den Planetenradträger erfolgt, ergibt sich gemäß Gleichung (\ref{pl}) folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_S=\tfrac{n_H}{n_T}\):

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot \underbrace{n_S}_{=0} \\[5px]
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right)  \\[5px]
&\frac{n_H}{n_T} = i_S = \frac{z_H+z_S}{z_H}     \\[5px]
\label{i_S}
&\boxed{i_S = 1+\frac{z_S}{z_H}} ~~~1<i_S<2 \\[5px]
\end{align}

Animation: Planetengetriebe mit festgestelltem Sonnenrad

Anhand von Gleichung (\ref{i_S}) zeigt sich, dass bei antreibendem Hohlrad und abtreibendem Planetenradträger das Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 1 ist, d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Aber auch nach oben hin ist die Übersetzung begrenzt, da die Zähnezahl des Sonnenrades stets kleiner sein muss als die des Hohlrades (ansonsten wäre das Sonnenrad größer als das umschließende Hohlrad). Im theoretischen Grenzfall, wenn das Sonnenrad genauso groß ist wie das Hohlrad und beide somit identische Zähnezahlen aufweisen, ist das Verhältnis der Zähnezahlen \(\frac{z_S}{z_H}\)=1 und das Übersetzungsverhältnis damit maximal 2.

Wird An- und Abtrieb bei feststehendem Sonnenrad vertauscht, d.h. erfolgt der Antrieb über den Planetenradträger und der Abtrieb über das Hohlrad, dann liegen die umgekehrten Verhältnisse vor. Es ergibt sich eine Übersetzung ins Schnelle mit einem reziproken Übersetzungsbereich zwischen 1 und 0,5.

Anwendung finden die vorgestellten  Antriebsvarianten unter anderem bei Drei-Gang-Nabenschaltungen.

Festgestelltes Hohlrad

Eine weitere Möglichkeit zur Übersetzung bietet sich bei festgestelltem Hohlrad (\(n_H=0\)), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über den Planetenradträger erfolgt. Dabei ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_H=\tfrac{n_S}{n_T}\):

\begin{align}
&\underbrace{n_H}_{=0} \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&0 = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_T} = i_H = \frac{z_H+z_S}{z_S} \\[5px]
\label{i_H}
&\boxed{i_H = 1+\frac{z_H}{z_S}} ~~~2<i_H<\infty \\[5px]
\end{align}

Animation: Planetengetriebe mit festgestelltem Hohlrad

Im vorliegenden Fall erhält man also ebenfalls eine Übersetzung ins Langsame, dessen Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 2 sein wird, da die Zähnezahl des Hohlzahnrades stets größer ist als die des Sonnenrades und deren Zähnezahlverhältnis somit größer 1 ist (\(\frac{z_H}{z_S}>1\)), d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Nach oben hin ist das Übersetzungsverhältnis hingegen nicht beschränkt, da das Hohlrad und damit dessen Zähnezahl prinzipiell beliebig groß gewählt werden kann und dann das Übersetzungsverhältnis gegen unendlich strebt.

Erfolgt im umgekehrten Fall der Antrieb nicht mehr über den Planetenradträger sondern über das Hohlrad, dann erhält man wieder die reziproken Übersetzungsverhältnisse mit einem Wertebereich zwischen 0 und 0,5.

Festgestellter Steg (Planetenradträger)

Eine letzte Möglichkeit der Übersetzung bei klassischen Planetenradgetrieben zeigt sich bei festgestelltem Planetenradträger (Steg), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über das Hohlrad erfolgt. In diesem Fall ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis \(i_0=\tfrac{n_S}{n_H}\):

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = \underbrace{n_T}_{=0} \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot z_H = – z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_H} = i_0 = -\frac{z_H}{z_S} \\[5px]
\label{i_0}
&\boxed{i_0 = -\frac{z_H}{z_S}} ~~~\text{“Standübersetzung”}~~~-\infty<i_0<-1 \\[5px]
\end{align}

Animation: Planetengetriebe mit festgestelltem Steg

Auffällig im Übersetzungsverhältnis von Gleichung (\ref{i_0}) ist zunächst das negative Vorzeichen. Es bringt in diesem Fall zum Ausdruck, dass sich der Drehsinn zwischen Antrieb und Abtrieb ändert, d.h. eine Richtungsumkehrung stattfindet (“Rückwärtsgang”). Ein solches Getriebe mit Richtungsumkehrung zwischen An- und Abtrieb wird auch als Minusgetriebe bezeichnet; bei gleichsinniger Drehrichtung entsprechend als Plusgetriebe. Im vorliegenden Fall des Minusgetriebes handelt es sich um eine Übersetzung ins Langsame innerhalb eines Übersetzungsbereichs zwischen \(-\infty\) und -1. Im umgekehrten Fall bei vertauschtem An- und Abtrieb erhält man folglich eine Übersetzung ins Schnell im Wertebereich zwischen -1 und 0.

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Beachte, dass das Planetengetriebe bei diesen Übersetzungsvarianten nicht mehr nach dem Prinzip eines klassischen Umlaufgetriebes arbeitet, da bei festgestelltem Planetenradträger keine umlaufenden Achsen der Planetenräder mehr existieren. Es handelt sich dem Funktionsprinzip nach somit um ein Standgetriebe. Aus diesem Grund wird das Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Planetenradträger auch als Standübersetzung bzw. Standübersetzungsverhältnis \(i_0\) bezeichnet!

Direktantrieb

Ein Planetengetriebe kann auch als Direktantrieb genutzt werden. Dabei werden Steg und Sonnenrad mit dem Hohlrad fest fixiert. In diesem Fall wird dann die Drehbewegung direkt von der Antriebswelle auf die Abtriebswelle übertragen (Übersetzungsverhältnis 1:1).  Ein solcher Direktantrieb kommt bspw. bei Drei-Gang-Nabenschaltungen als “2. Gang” zum Einsatz.

Animation: Planetengetriebe mit Direktantrieb

Standübersetzung

Betrachtet man die Gleichungen (\ref{i_S}), (\ref{i_H}) und (\ref{i_0}), so lassen sich offensichtlich alle Übersetzungsvarianten mithilfe der Standübersetzung \(i_0=-\frac{z_H}{z_S}\) ausdrücken. Für ein festgestelltes Sonnenrad ergibt sich das Übersetzungsverhältnis \(i_S\) anhand der Standübersetzung dann wie folgt:

\begin{align}
&\boxed{i_S = 1-\frac{1}{i_0}}  \\[5px]
\end{align}

Für ein festgestelltes Hohlrad lässt sich das entsprechende Übersetzungsverhältnis \(i_H\) wie folgt mithilfe der Standübersetzung ausdrücken:

\begin{align}
&\boxed{i_H = 1-i_0}\\[5px]
\end{align}

Auch die allgemeine Gleichung (\ref{pl}) der Planetengetriebe kann durch die Standübersetzung \(i_0\) ausgedrückt werden:

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot \frac{z_H}{z_S} = n_T \cdot \left( \frac{z_H}{z_S} + 1 \right) – n_S \\[5px]
& – n_H \cdot i_0 = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) – n_S \\[5px]
&\boxed{ n_S = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) + n_H \cdot i_0 }~~~\text{mit}~~~\boxed{i_0=-\frac{z_H}{z_S}}~~~\text{Standübersetzung} \\[5px]
\end{align}