Dieser Artikel liefert unter anderem Antworten auf die folgenden Fragen:

  • Welche Aufgaben erfüllen Getriebe?
  • Welchen Einfluss nimmt ein Getriebe auf die zu- und abgeführte Leistung?
  • Was versteht man unter einer formschlüssigen bzw. unter einer reibschlüssigen Kraftübertragung?
  • Wie ändert sich der Drehsinn von gepaarten Zahnrädern?
  • Auf welche Weise kann bei Riemengetrieben eine Drehrichtungsumkehr erzielt werden?
  • Was bezeichnet man bei reibschlüssigen Kraftübertragungen als Schlupf?
  • Was versteht man unter Kämmen?
  • Wie ist das Übersetzungsverhältnis definiert und kann dieses über die Zähnezahlen von Zahnrädern bestimmt werden?
  • Was ist der Wälzkreisdurchmesser bei Zahnrädern?
  • Wodurch zeichnet sich eine Getriebestufe aus?
  • Was ist der Unterschied zwischen Übersetzung und Untersetzung?
  • Welche Aussage liefert die Spreizung eines Schaltgetriebes?
  • Wie lässt sich die Drehmomentänderung bei einem Getriebe erklären?
  • Wie steht die Drehmomentänderung mit dem Übersetzungsverhältnis in Zusammenhang?

Einleitung

Im Maschinenbau finden sich sehr viele technische Systeme wieder, die entweder per Muskelkraft oder von Hilfsmitteln wie Motoren angetrieben werden. So wird bspw. das Hinterrad eines Fahrrades entweder über die Muskulatur des Radfahrers oder über einen Elektrormotor angetrieben. Auch in Bohrmaschinen oder Autos werden Motoren in Form von Elektromotoren bzw. Verbrennungsmotoren genutzt. Diese Motoren liefern die benötigte Energie an jene Bauteile, die diese Energie dann in letzter Instanz umsetzen, z.B. an das Bohrfutter bei einer Bohrmaschine oder an das Hinterrad eines Fahrrades.

Anwendung von Getrieben
Abbildung: Anwendung von Getrieben

Alle diese unterschiedlichen Beispiele haben allerdings eines gemeinsam. Die mechanische Leistung der Motoren wird in der Regel nicht direkt genutzt. Vielmehr muss die Leistung je nach Situation auf unterschiedliche Art und Weise bereitgestellt werden. Beim Anfahren mit einem Auto bzw. einem Fahrrad sollte die “Kraft” die hinter der Antriebsleistung steht möglichst groß sein, um das jeweilige Fahrzeug erst einmal in Bewegung setzen zu können.

Später dann steht eher die “Geschwindigkeit” im Vordergrund, um in kurzer Zeit möglichst große Distanzen überwinden zu können. Die Leistung kann also zum einen auf eine möglichst große Kraft oder auf eine große Geschwindigkeit ausgelegt sein. Genau diese Steuerung zwischen Kraft und Geschwindigkeit (genauer: zwischen Drehmoment und Drehzahl) übernehmen sogenannte Getriebe. Sie stellen wichtige Elemente im Maschinenbau dar.

Getriebe regeln die zugeführte Leistung zugunsten einer hohen Geschwindigkeit (Drehzahl) oder zugunsten einer großen Kraft (Drehmoment)!

Darüber hinaus haben Getriebe auch die Aufgabe die Drehrichtung zu beeinflussen. Man denke bspw. an den Rückwärtsgang eines Autos. Getriebe erfüllen also grundsätzlich folgende Aufgaben:

  • Leistungsübertragung
  • Beeinflussung der Drehrichtung
  • Steuerung der Drehzahl und des Drehmomentes

Leistung

Die mechanische Leistung ergibt sich bei translatorischen Bewegungen über das Produkt von Kraft \(F\) und Geschwindigkeit \(v\) und bei rotatorischen Bewegungen über das Produkt von Drehmoment \(M\) und Drehzahl \(n\):

\begin{align}
&\boxed{P = F \cdot v} ~~~~~\text{Translationsleistung} \\[5px]
\label{p}
&\boxed{P = 2 \pi \cdot M \cdot n} ~~~~~\text{Rotationsleistung}\\[5px]
\end{align}

Im Kapitel mechanische Leistung wird auf die Herleitung dieser Formeln und deren Erläuterung näher eingegangen.

Da ein Getriebe immer nur einer der beiden Größen (Geschwindigkeit oder Kraft bzw. Drehzahl oder Drehmoment) zugunsten oder zulasten der jeweils anderen Größe verändern kann, bleibt die mechanische Leistung dabei stets konstant. Dies Tatsache ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes, denn könnten beide Einflussgrößen gleichzeitig verringert bzw. vergrößert werden, dann würde ein Getriebe Energie vernichten bzw. aus dem Nichts erzeugen.

Ein Getriebe ändert also nicht die zugeführte mechanische Leistung sondern nur das Verhältnis von Geschwindigkeit und Kraft bzw. das Verhältnis von Drehzahl und Drehmoment, was hinter der Leistung steht! Dies gilt natürlich nur solange wie von Reibungsverlusten abgesehen wird. Unter Berücksichtigung von Reibungseffekten wird die Getriebeausgangswelle tatsächlich eine leicht geringere Leistung aufweisen als die Getriebeeingangswelle. In keinem Fall kann ein Getriebe jedoch die Leistung erhöhen!

Durch ein Getriebe wird die kinetische Leistung nicht verändert (abgesehen von Reibungseffekten, die die Leistung mindern)!

Auf welche Weise die Wandlung von Drehmoment und Drehzahl (bzw. zwischen Kraft und Geschwindigkeit) bei einem Getriebe erfolgt, wird in den nächsten Abschnitten näher erläutert.

Getriebearten

Getriebe gibt es je nach Anwendungszweck in vielen unterschiedlichen Bauformen, z.B. als Zahnradgetriebe, Zugmittelgetriebe, Wälzkörpergetriebe, Schneckengetriebe, Planetengetriebe, etc. Die grundsätzlichen physikalischen Vorgänge zur Wandlung von Drehzahl und Drehmoment bzw. Geschwindigkeit und Kraft sind jedoch bei allen Getriebearten identisch. Bevor auf die Funktionsweise von Getrieben jedoch näher eingegangen wird, sollen die wichtigsten Getriebearten kurz erläutert werden. Detailliertere Informationen finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln wieder.

Zahnradgetriebe

Beim Zahnradgetriebe greifen Zahnräder ineinander und wandeln damit formschlüssig die Drehzahl bzw. das Drehmoment der Antriebwelle auf den jeweils gewünschten Wert an der Abtriebswelle. Als Antriebswelle bezeichnet man dabei den Getriebeeingang. Dies entspricht jener Welle die mit dem Motor verbunden ist und dessen Drehzahl bzw. Drehmoment durch das Getriebe geändert werden soll. Die Abtriebswelle entspricht folglich dem Getriebeausgang.

Funktion eines Zahnradgetriebes
Animation: Funktion eines Zahnradgetriebes

Als formschlüssige Kraftübertragung bezeichnet man die Übertragung von Kräften durch ineinander greifende geometrische Formen!

Die obere Animationen zeigt schematisch ein 3-stufiges Zahnradgetriebe. Bei der Betrachtung fällt auf, dass sich bei jeder Zahnradpaarung der Drehsinn der Zahnräder ändert! Rotiert also bspw. das treibende Zahnrad gegen den Uhrzeigersinn, so wird sich das hierdurch angetriebene Zahnrad im Uhrzeigersinn drehen. Diese Umkehrung der Drehrichtung muss bei der Konstruktion von Zahnradgetrieben bedacht werden.

Bei Zahnradgetrieben ändert sich der Drehsinn mit jeder Zahnradpaarung (Getriebestufe)!

Zugmittelgetriebe

Beim Zugmittelgetriebe erfolgt die Wandlung von Drehzahl und Drehmoment mithilfe von Rädern, die sich gegenseitig über Zugmittel antreiben. Zugmittel können Riemen oder Ketten sein. Im Falle von Riemen spricht man auch von Riemengetriebe (kurz: Riementriebe) bzw. bei der Verwendung von Ketten als Zugmittel auch von Kettengetriebe (kurz: Kettentriebe). Die Getrieberäder bei Riementrieben werden auch als Riemenscheiben bezeichnet, während man bei Kettengetriebe von Kettenrädern spricht.

Funktion eines Zugmittelgetriebes
Animation: Funktion eines Zugmittelgetriebes

Während die Kraftübertragung bei Ketten ebenfalls formschlüssig geschieht, erfolgt die Kraftübertragung bei Riemengetrieben nicht durch ineinander greifende Formen sondern durch Reibungskräften zwischen Riemen und Scheibe. Man spricht in einem solchen Fall von einer reibschlüssigen Kraftübertragung bzw. etwas unpräzise von einem Kraftschluss.

Als reibschlüssige (kraftschlüssige) Kraftübertragung bezeichnet man die Übertragung von Kräften durch Reibung!

Der Vorteil von reibschlüssigen Kraftübertragungen besteht in der funktionsbedingt integrierten Überlastsicherung. Während bspw. bei Zahnradgetrieben die Zähne bei Überlast brechen könnten oder die Ketten bei Kettengetriebe reißen könnten, wird bei Riemengetrieben der Riemen bei Überlast lediglich über die Riemenscheibe gezogen. Riemengetriebe werden deshalb sehr häufig dort eingesetzt, wo mit vielen Lastspitzen zu rechnen ist, z.B. bei Kegelbrechern oder Backenbrechen zur Zerkleinerung von Steinen.

Die obere abgebildete Animation zeigt schematisch ein 3-stufiges Zugmittelgetriebe. Anders als bei Zahnradgetrieben oder den nachfolgend erläuterten Reibradgetrieben, fällt auf, dass sich der Drehsinn der einzelnen Riemenscheiben in der dargestellten Weise nicht ändert. Dies muss bei Riemengetrieben aber nicht zwangsläufig der Fall sein. Um eine Drehrichtungsumkehr zu erzielen können die einzelnen Riemen auch gekreuzt werden (gekreuzter Riementrieb).

Reibradgetriebe

Bei speziellen reibschlüssigen Getreiben können die zahnlosen Getrieberäder auch direkt aufeinander abwälzen. Man spricht dann von einem Wälzkörpergetriebe. Die unten abgebildete Animation zeigt ein Wälzkörpergetriebe in Form eines sogenannten Reibradgetriebes.

Funktion eines Reibradgetriebes
Animation: Funktion eines Reibradgetriebes

Vorteil eines Reibradgetriebes gegenüber dem Zahnradgetriebe liegt darin, dass bei Überlast die Reibräder einfach durchrutschen und somit das Getriebe vor größeren Schäden schützen. Nachteilig ist jedoch der geringere Wirkungsgrad, da es aufgrund nicht optimaler Haftungsverhältnisse zwischen zwei Reibrädern zu Relativbewegungen kommt. Ein solches minimales Abrutschen der Räder wird bei reibschlüssiger Kraftübertragung immer vorhanden sein. Man bezeichnet dies in der Fachsprache auch als Schlupf und mindert den Wirkungsgrad entsprechend. Schlupf tritt auch bei Riemengetrieben zwischen Riemen und Riemenscheibe auf.

Als Schlupf bezeichnet man die Relativbewegung zwischen treibendem Element und getriebenem Element bei reibschlüssigen Kraftübertragungen!

Ebenfalls führen die elastischen Verformungen der Reibräder bzw. der Riemen an den Kontaktstellen zu Wirkungsgradverlusten, da das permanente “Walken” mit hohen Kräften verbunden ist. Die umgesetzte Walkarbeit mach sich in einer Erwärmung der Räder bzw. des Riemens bemerkbar.

Funktionsprinzip

Drehzahlwandlung

Wie im einleitenden Abschnitt erläutert, dienen Getriebe unter anderem dazu die Drehzahl auf einen gewünschten Wert einzustellen. Eine solche Drehzahlwandlung wird bei Betrachtung der unteren Animation des Zahnradgetriebes sofort deutlich. Die Drehzahl wird in diesem Fall von Zahnrad zu Zahnrad geringer.

Funktion eines Zahnradgetriebes
Animation: Funktion eines Zahnradgetriebes

Die Verringerung der Drehzahl lässt sich anhand der unterschiedlichen Zähnezahlen zwischen den jeweiligen Zahnradpaaren anschaulich nachvollziehen. So besitzt bspw. das erste treibende Zahnrad (grün) auf der Antriebswelle insgesamt 15 Zähne. Diese 15 Zähne rotieren bei einer Umdrehung des Zahnrades folglich einmal komplett durch. Dabei schieben sie das nachfolgende getriebene Zahnrad (orangefarben) um ebenfalls um 15 Zähne weiter.

An diesem getriebenen Zahnrad befinden sich aufgrund des größeren Durchmessers allerdings mehr Zähne. Es wird folglich nicht mehr um eine ganze Drehung weiterbewegt. Im vorliegenden Fall befinden sich am getriebenen Zahnrad insgesamt 30 Zähne. Somit wird während einer Umdrehung des treibenden Zahnrades das getriebene Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung weitergeschoben. Insgesamt bedeutet dies also eine Halbierung der Drehzahl.

Beachte, dass auch die einzelnen Zähne der größeren Zahnräder dieselben Abmessungen haben wie die Zähne der kleineren Zahnräder, da die jeweiligen Zähne gegenseitig ineinandergreifen müssen. Ein solches Ineinandergreifen von Zahnräder wird auch als Kämmen bezeichnet.

Als Kämmen bezeichnet man das Ineinandergreifen der Zähne von Zahnrädern!

Übersetzungsverhältnis

Die Änderung der Drehzahl von einem treibenden zu einem getriebenen Zahnrad wird durch das sogenannte Übersetzungsverhältnis \(i\) beschrieben. Es ist wie folgt definiert:

\begin{align}
\label{def_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{n_t}{n_g}} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet \(n_t\) die Drehzahl des treibenden Rades und \(n_g\) die Drehzahl des getrieben Rades. Erfolgt bei einer Übersetzung eine Umkehrung des Drehsinns, so wird dies üblicherweise durch ein negatives Vorzeichen gekennzeichnet. Aus Gründen der Einfachheit wird im Folgenden auf diese Konvention jedoch verzichtet.

Im oben beschriebenen Fall beträgt das Übersetzungsverhältnis \(i\) = 2. Dies bedeutet also anschaulich, das das treibende Rad doppelt so schnell rotiert wie das getriebene Rad bzw. sich das getriebene Rad nur noch halb so schnell bewegt wie das treibende Rad. Häufig werden Übersetzungsverhältnisse auch in der Form 2:1 angegeben (gesprochen: ” Zwei zu Eins”).

Das Übersetzungsverhältnis ist definiert als das Verhältnis der Drehzahlen von treibendem zu getriebenem Rad. Es gibt anschaulich an, wie oft sich das treibende Rad für eine Umdrehung des getriebenen Rads drehen muss!

Zahnradgetriebe

Das Übersetzungsverhältnis ermittelt sich für zwei in Kontakt stehender Zahnräder über das (umgekehrte) Verhältnis der Zähnezahlen \(z\) bzw. der entsprechenden Wälzkreisdurchmesser \(d\):

\begin{align}
\label{zaehne_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{z_g}{z_t} = \frac{d_g}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Wälzkreisdurchmesser von Zahnräder
Abbildung: Wälzkreisdurchmesser von Zahnräder

Als Wälzkreisdurchmesser bezeichnet man dabei die Durchmesser von gedachten Wälzzylindern, die ohne Gleiten aufeinander abwälzen. Folglich sind die Umfangsgeschwindigkeiten auf dem Teilkreis beider Zahnräder identisch. Häufig wird der Wälzkreisdurchmesser auch etwas unpräzise als Teilkreisdurchmesser bezeichnet. Die Wälzkreisdurchmesser bei Zahnrädern sind letztlich das Äquivalent zu den Raddurchmessern bei Zugmittelgetrieben.

Als Wälzkreisdurchmesser bezeichnet man bein Zahnrädern die Durchmesser von gedachten Zylindern die ohne Gleiten aufeinander abrollen!

Animation: Wälzzylinder

Zugmittelgetriebe

Bei einem Reibrad- oder Zugmittelgetriebe kann das Übersetzungsverhältnis über das (umgekehrte) Verhältnis der jeweiligen Raddurchmesser \(d\) bestimmt werden:

\begin{align}
\label{rad_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{d_g}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Raddurchmesser bei Zugmittelgetriebe
Abbildung: Raddurchmesser bei Zugmittelgetriebe

Denn ist bspw. das angetriebene Rad doppelt so groß wie das treibende Rad, so gilt dies zunächst auch für die entsprechenden Radumfänge. Während das treibende Rad folglich eine Umdrehung absolviert, dreht sich das doppelt so große Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung (entweder durch gegenseitiges Abrollen bei Reibrädern oder über das Zugmittel bei Zugmittelgetriebe). Die Drehzahl halbiert sich folglich und es liegt wiederum ein Übersetzungsverhältnis von \(i\) = 2 vor.

Getriebestufen

Jeder Radpaarung innerhalb eines Getriebes, bei der sich die Drehzahl ändert, lässt sich prinzipiell ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis zuordnen. Die oberen Animationen des Zahnradgetriebes bzw. des Zugmittelgetriebes zeigen, dass ein Getriebe in der Regel nicht aus einem Radpaar besteht sondern aus mehreren, die jeweils auf unterschiedlichen Wellen befestigt sind.

Jedes Räderpaar das dabei ineinander greift, stellt eine sogenannte Getriebestufe dar und ist durch ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis charakterisiert. Eine Getriebe besitzt in der Regel also mehrere Getriebestufen mit jeweils unterschiedlichen Übersetzungsverhältnissen.

Getriebestufen
Abbildung: Getriebestufen

Als Getriebestufe bezeichnet man eine Radpaarung innerhalb eines Getriebes an dem sich die Drehzahl bzw. das Drehmoment ändert!

Wenn also von DEM Übersetzungsverhältnis des Getriebes die Rede ist, dann ist damit das Gesamtübersetzungsverhältnis gemeint, d.h. das Übersetzungsverhältnis zwischen Antriebswelle und Abtriebswelle des Getriebes! Das Gesamtübersetzungsverhältnis \(i_{ges}\) lässt durch Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse der Getriebestufen berechnen:

\begin{align}
&\boxed{i_{ges} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot \dots} \\[5px]
\end{align}

Das Gesamtübersetzungsverhältnis eines Getriebes ergibt sich aus der Multiplikation der Einzelübersetzungsverhältnisse der jeweiligen Getriebestufen!

Detailliertere Informationen zur Funktion und zum Aufbau von Getriebestufen finden sich im entsprechenden Hauptartikel wieder.

Übersetzungsformen

Getriebe müssen nicht immer darauf ausgelegt sein die Drehzahl zu verringern wie dies in den oberen Animationen der Fall ist. In vielen technischen Anwendungsfällen ist auch eine Erhöhung der Drehzahl erwünscht. Dies trifft zum Beispiel bei Autofahrten auf Autobahnen zu. Um möglichst schnell voranzukommen müssen die Räder so schnell wie möglich drehen. Hierzu ist es notwendig die Drehzahl der Motorwelle durch ein Getriebe zu erhöhen. In diesem Fall muss dann ein großes Getrieberad ein kleineres Rad antreiben.

In solchen Fällen sind die Übersetzungsverhältnisse kleiner Eins und man spricht von einer Übersetzung ins Schnelle. Bei Übersetzungsverhältnissen größer Eins rotiert das getriebene Rad grundsätzlich langsamer als das treibende Rad und man spricht von einer Übersetzung ins Langsame. Umgangssprachlich wird die Übersetzung ins Langsame auch als Untersetzung bezeichnet.

Als Übersetzung bezeichnet man eine Übersetzung ins Schnelle und als Untersetzung eine Übersetzung ins Langsame!

Beim Anfahren mit einem Auto im ersten Gang liegt bspw. eine Übersetzung ins Langsame mit einem maximalen Übersetzungsverhältnis von rund \(i_{max}\) = 3,6 vor. Die Drehzahl wird dementsprechend um den Faktor 3,6 im Vergleich zur Motordrehzahl herabgeregelt. Im höchsten Gang weist das schaltbare Motorgetriebe hingegen eine Übersetzung ins Schnelle mit einem minimalen Übersetzungsverhältnis von ca. \(i_{min}\) = 0,8 auf. Die Drehzahl wird folglich um das 1,25-fache (=\(\frac{1}{0,8}\)) gesteigert.

Getriebe die ihr Übersetzungsverhältnis ändern können werden auch als schaltbare Getriebe bzw. Schaltgetriebe oder kurz als Schaltungen bezeichnet. Ein wichtiges Merkmal von Schaltgetrieben ist die Steigerung des minimalen Übersetzungsverhältnisses hin zum maximalen Übersetzungsverhältnis. Umso größer diese Steigerung ist, desto größere Drehzahlbereiche können geschaltet werden. Diese Steigerung wird auch als Spreizung \(S\) bezeichnet und ermittelt sich wie folgt:

\begin{align}
\label{spreizung}
&\boxed{S = \frac{i_{max}}{i_{min}}} = \frac{3,6}{0,8}=4,5 \\[5px]
\end{align}

Für das beschriebene Schaltgetriebe beträgt die Spreizung \(S\) = 4,5. Dies bedeutet anschaulich, dass das Übersetzungsverhältnis ausgehend des minimalen Wertes durch die Schaltung um den Faktor 4,5 gesteigert werden kann.

Als Spreizung versteht man bei Schaltgetrieben das Verhältnis von maximalem und minimalem Übersetzungsverhältnis!

Drehmomentwandlung

Im vorherigen Abschnitt wurde die Wandlung der Drehzahlen zweier Zahnräder beschrieben. Aufgrund der Energieerhaltung ist mit dieser Drehzahländerung auch immer eine Änderung des Drehmomentes verbunden! Auf diesen Sachverhalt wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Zahnradgetriebe

Die Änderung des Drehmomentes innerhalb einer Zahnradpaarung wird deutlich, wenn man sich die dort herrschenden Kräfteverhältnisse genauer anschaut. Hierzu soll im Folgenden davon ausgegangen werden, dass das treibende Zahnrad das Drehmoment \(M_t\) aufweist. Mit diesem Drehmoment wird das nachfolgend Zahnrad angetrieben.

Drehmomentwandlung beim Zahnradgetriebe
Abbildung: Drehmomentwandlung beim Zahnradgetriebe

Je nach Durchmesser \(d_t\) des treibenden Zahnrades ist mit dem Drehmoment \(M_t\) eine bestimmte Kraft \(F\) verbunden. Mit dieser Kraft drücken die treibenden Zahnflanken auf dem Teilkreisdurchmesser nun auf die Zahnflanken des nachfolgend getriebenen Zahnrades (ebenfalls am Teilkreisdurchmesser angreifend).

Die wirkende Kraft \(F\) kann dabei anhand der Definition des Drehmomentes ermittelt werden (“Drehmoment = Kraft x Hebelarm”). Somit kann bei gegebenem Drehmoment \(M_t\) mithilfe des Teilkreisdurchmessers \(d_t\) die entsprechende Kraft \(F\) an den Zahnflanken bestimmt werden:

\begin{align}
&M_t = F \cdot r_t = F \cdot \frac{d_t}{2} \\[5px]
\label{m_t}
&\underline{F = 2 \cdot \frac{M_t}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Es wurde vereinfachend angenommen, dass die Kraft tangential zum Teilkreis angreift, sodass Kraft und Hebelarm (= halber Teilkreisdurchmesser) senkrecht zueinander stehen. Nähere Informationen zur tatsächlichen Kraftrichtung bei Evolventenzahnräder finden sich im entsprechenden Artikel wieder.

Die berechnete Kraft \(F\) des treibenden Zahnrades aus Gleichung (\ref{m_t}) wirkt schließlich auch auf das getriebene Zahnrad. Da das getriebene Zahnrad jedoch einen anderen Teilkreisdurchmesser besitzt, wirkt die Kraft nun auf einen geänderten Hebelarm (\(\frac{d_g}{2}\)). Damit ist folglich auch eine Änderung des Drehmomentes verbunden:

\begin{align}
&M_g = F \cdot r_g = F \cdot \frac{d_g}{2} ~~~\text{mit Gleichung (2)}~~~F = 2 \cdot \frac{M_t}{d_t} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&M_g = \underbrace{2 \cdot \frac{M_t}{d_t}}_{= F} \cdot \frac{d_g}{2} \\[5px]
\label{m_1}
&\underline{M_g = M_t \cdot \frac{d_g}{d_t}} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich nach Gleichung (\ref{m_1}), dass das Drehmoment \(M_g\) am getriebenen Zahnrad proportional zum Verhältnis der jeweiligen Teilkreisdurchmesser \(\frac{d_g}{d_t}\) ist. Je größer also das getriebene Zahnrad im Verhältnis zum treibenden Zahnrad ist, desto größer wird die Drehmomentsteigerung sein.

Bei Zahnräder ist der Teilkreisdurchmesser direkt proportional zur Anzahl der Zähne ist. Denn bei doppeltem (Teilkreis-)Durchmesser ist auch der Zahnradumfang doppelt so groß und bietet somit auch Platz für die doppelte Anzahl an Zähnen.

Besitzt also das getriebene Zahnrad die doppelte Zähneanzahl im Vergleich zum treibenden Rad, so geht durch den damit verbundenen doppelten Hebelarm letztlich auch eine Verdopplung des Drehmomentes einher. Insofern kann die Drehmomentsteigerung auch über das Verhältnis der Zähnezahlen ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{m_2}
&\underline{M_g = M_t \cdot \frac{z_g}{z_t}} \\[5px]
\end{align}

Das Verhältnis der Teilkreisdurchmesser in Gleichung (\ref{m_1}) bzw. Verhältnis der Zähnezahlen in Gleichung (\ref{m_2}) entspricht gerade dem Übersetzungsverhältnis \(i\) nach Gleichung (\ref{zaehne_uebersetzungsverhaeltnis}). Somit kann die Drehmomentänderung auch direkt durch das Übersetzungsverhältnis ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{1}
&\boxed{M_g = M_t \cdot i }~~~\text{mit}~~~\underline{i = \frac{z_g}{z_t}= \frac{d_g}{d_t}=\frac{n_t}{n_g}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass das Übersetzungsverhältnis als Verhältnis der Drehzahlen von treibendem zu getriebenem Zahnrad definiert ist. Somit gilt für die Drehzahl \(n_g\) des getriebenen Zahnrades bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis \(i\) der folgende Zusammenhang zur ursprünglichen Drehzahl \(n_t\):

\begin{align}
\label{2}
&\boxed{n_g = \frac{n_t}{i} } \\[5px]
\end{align}

Im selben Maße wie sich also das Drehmoment nach Gleichung (\ref{1}) bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis erhöht, erniedrigt sich die Drehzahl nach Gleichung (\ref{2}) und umgekehrt. Dies ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes. Im Abschnitt “Energetische Betrachtung” wird dieser Zusammenhang anhand des Energieerhaltungssatzes explizit hergeleitet.

Im selben Maße wie die Drehzahl durch ein Getriebe gesteigert wird, verringert sich das Drehmoment und umgekehrt!

Beachte, dass die oberen Gleichungen der Drehmomentänderung nur für den Idealfall eines verlustfreien Getriebes gelten. In der Regel sorgen Reibungseffekte für eine Leistungsminderung und damit für eine Verringerung des theoretisch berechneten Drehmomentes an der getriebenen Welle. Diese Leistungsverluste werden über einen Getriebewirkungsgrad \(\eta_G\) berücksichtigt:

\begin{align}
&\boxed{M_g = M_t \cdot i \cdot \eta_G } \\[5px]
\end{align}

Für die Berechnung der Drehzahländerung hingegen spielt der Getriebewirkungsgrad keine Rolle, da sich die Drehzahländerung über die Zähnezahlen ergibt und somit fest vorgegen ist (die Zähne können sich schließlich nicht gegenseitig durchdringen und damit eine geringere Drehzahl als durch das Verhältnis der Zähnezahlen vorgebgen ist, erzeugen).

Zugmittelgetriebe

Auch bei Zugmittelgetriebe erfolgt die Änderung des Drehmomentes auf analoge Weise wie bei Zahnradgetrieben. Dabei zieht das treibende Rad durch das vorhandene Drehmoment \(M_t\) je nach Durchmesser \(d_t\) mit einer nach Gleichung (\ref{m_t}) wirkenden Kraft \(F\) (auch Nutzkraft genannt) am Zugmittel.

Drehmomentwandlung beim Zugmittelgetriebe
Abbildung: Drehmomentwandlung beim Zugmittelgetriebe

Dieselbe Nutzkraft \(F\) wirkt über das Zugmittel auch am getriebenen Rad. Dort bewirkt die Nutzkraft aufgrund des geänderten Durchmessers \(d_g\) nun auch eine Änderung im Drehmoment \(M_g\). Das Drehmoment \(M_g\) am getriebenen Rad ergibt sich wiederum nach Gleichung (\ref{m_1}). Auf die genaueren Kräfteverhältnisse bei Riementrieben wird in gesonderten Artikeln näher eingegangen.

Energetische Betrachtung

Die mechanische Leistung \(P\) einer rotierenden Welle ergibt sich in Abhängigkeit des Drehmomentes \(M\) und der Drehzahl \(n\) gemäß Gleichung (\ref{p}) wie folgt:

\begin{align}
&P = 2 \pi \cdot M \cdot n \\[5px]
\end{align}

Wird von Reibungsverlusten abgesehen, so muss aufgrund des Energieerhaltungssatzes die zugeführte mechanische Leistung an der treibenden Welle genauso groß sein wie die entnommene Leistung an der getriebenen Welle. Denn schließlich wird die innerhalb einer bestimmten Zeit erbrachte Arbeit im Idealfall vollständig von der treibenden Welle auf die getriebene Welle übertragen.

Wird also die mechanische Leistung der treibenden Welle \(P_t\) und der getriebenen Welle \(P_g\) aufgrund des Energieerhaltungssatzes gleichgesetzt, so führt dies direkt auf den umgekehrten Zusammenhang zwischen Drehzahl- und Drehmomentverhältnis:

\begin{align}
&P_t = P_g \\[5px]
&2 \pi \cdot M_t \cdot n_t = 2 \pi \cdot M_g \cdot n_g \\[5px]
&\boxed{\frac{M_t}{M_g} = \frac{n_g}{n_t}} \\[5px]
\end{align}