Dieser Artikel liefert unter anderem Antworten auf die folgenden Fragen:

  • Was versteht man unter dem Stefan-Boltzmann-Gesetz?
  • Was besagt das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz?
  • Weshalb sind Schwarze Körper perfekte Wärmestrahler?
  • Wie kann das Stefan-Boltzmann-Gesetz aus den Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik hergeleitet werden?
  • Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Strahlungs-Druck und der Energiedichte eines Photonengases?
  • Wodurch wurde es erst möglich die Stefan-Boltzmann-Konstante berechnen zu können?

Einleitung

Im Artikel Schwarzkörperstrahlung wurde bereits ausführlich erläutert, warum jeder Körper oberhalb des absoluten Nullpunktes Strahlung emittiert. Diese Strahlung wird auch als Wärmestrahlung, Temperaturstrahlung oder thermische Strahlung bezeichnet. Die Temperaturstrahlung kommt aufgrund der Schwingungen der Atome zustande, die dabei elektromagnetische Wellen aussenden, also Strahlung.

Die Wärmestrahlung lässt sich nicht nur durch dadurch nachweisen, dass sie in der Lage ist andere Gegenstände zu erwärmen, wie man aus dem Begriff der Wärmestrahlung ableiten könnte. Bei ausreichend hohen Temperaturen verschiebt sich das abgestrahlte Wellenlängenspektrum in den sichtbaren Bereich und kann hierdurch direkt beobachtet werden. Das rötliche Glühen eines erhitzten Stahls beim Schmieden ist bspw. die Folge einer solchen sichtbar gewordenen Temperaturstrahlung.

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Abbildung: Sichtbare Strahlung eines glühenden Stahlstabes

Auch das sichtbare Leuchten der Glühwendel einer Glühbirne bei über 3000 °C ist ebenfalls ein typisches Beispiel welches auf das Phänomen der Temperaturstrahlung zurückzuführen ist. Über 90 % der Strahlungsenergie wird dabei im nicht-sichtbaren Infrarotbereich abgestrahlt und ist somit tatsächlich nur als Wärme wahrzunehmen. Der restliche Anteil entfällt aber auf das sichtbare Wellenlängenspektrum und ist als gelbliches Glühen direkt beobachtbar (ein geringer Teil wird auch im ultravioletten Wellenlängenbereich abgestrahlt).

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Abbildung: Sichtbare Strahlung einer Glühbirne

Strahlungsleistung

Wie eine Wärmelampe oder ein glühender Stahlblock deutlich zeigt, ist das Emittieren von Strahlung offensichtlich mit einem Aussenden von Energie verbunden. Wie viel Strahlungsenergie \(\Delta Q\) pro Zeit \(\Delta t\) ein Gegenstand dabei aussendet, d.h. wie hoch seine Strahlungsleistung \(\Phi\) ist, hängt hauptsächlich von der Temperatur \(T\) ab, aber auch von der Größe der Oberfläche \(A\) sowie von der Strahlungseigenschaft des Körpers (dem sogenannten Emissionsgrad \(\varepsilon\)).

\begin{align}
&\boxed{\Phi = \frac{\Delta Q}{\Delta t}}=\Phi(T,A,\varepsilon) \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass sich die Strahlungsleistung nicht nur auf die Wärmeenergie im Infrarotbereich bezieht oder auf die abgestrahlte Energie im sichtbaren Wellenlängenbereich, sondern auf die Energie im gesamten Wellenlängenspektrum, also auf die gesamte energetische Strahlung!

Wird zum Beispiel eine Glühlampe bei geringem elektrischem Strom betrieben, so ist die Temperatur der Glühwendel entsprechend gering. Die Lampe leuchtet hierdurch nicht nur schwächer sondern sie erwärmt sich auch nicht so stark. Insgesamt ist bei niedrigen Temperaturen die Strahlungsleistung also relativ gering. Bei großem Strom hingegen erwärmt sich die Glühwendel stark und die Temperatur ist entsprechend hoch. Sie leuchtet dann nicht nur intensiv gelb sondern strahlt auch im hohen Maße Infrarotstrahlung ab, die deutlich als Wärme spürbar ist. Je höher die Temperatur eines Körpers also ist, desto höher ist offensichtlich die abgegebene Strahlungsleistung!

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Abbildung: Thermische Strahlung einer Glühbirne

Anmerkung: Dass die Glühwendel bei geringer Temperatur schwach rötlich strahlt und bei hoher Temperatur in einem intensiven Gelb, ist dem abgestrahlten Wellenlängenspektrum geschuldet, das sich mit zunehmender Temperatur in den gelblichen Bereich verschiebt (mehr Informationen hierzu im Artikel Schwarzkörperstrahlung).

Neben der Temperatur beeinflusst aber auch die Größe der Oberfläche des strahlenden Körpers die abgegebene Strahlungsleistung. Denn je größer die Oberfläche, desto mehr Atome können dort schwingen und Strahlung nach außen abgeben. Beachte, dass Strahlung, die die Atome im Inneren des Körpers abgeben, von den umgebenden Atomen direkt wieder absorbiert wird und deshalb nicht nach außen tritt. Somit sind nur die Atome an der Oberfläche für die Abstrahlung der elektromagnetischen Wellen relevant. Bei doppelter Oberflächengröße sollte deshalb auch die Strahlungsleistung doppelt so hoch sein.

Genauere Untersuchungen der Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann Ende des 19. Jahrhunderts zeigten, dass die Strahlungsleistung tatsächlich direkt proportional zur Oberfläche des Körpers ist. Der Einfluss der Temperatur auf die Strahlungsleistung ist hingegen weitaus größer. Sie nimmt mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur zu. Eine Verdopplung der Temperatur von bspw. 1000 K auf 2000 K erhöht die Strahlungsleistung somit um das 16-fache! Für einen idealen Temperaturstrahler, einem sogenannten Schwarzen Körper, ergibt sich die Strahlungsleistung \(\Phi_{ideal}\) in Abhängigkeit der Temperatur \(T\) und der Fläche \(A\) somit wie folgt:

\begin{align}
&\Phi_{ideal} \sim A \cdot T^4 \\[5px]
&\boxed{\Phi_{ideal} = \sigma \cdot A \cdot T^4} ~~~~~ \sigma = 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die Strahlungsleistung eines Gegenstandes im thermischen Gleichgewicht proportional zur vierten Potenz der Temperatur und direkt proportional zu dessen Oberfläche ist!

Der Proportionalitätsfaktor \(\sigma\) wird Stefan-Boltzmann-Konstante genannt und ist eine Naturkonstante, d.h. insbesondere nicht vom Material des strahlenden Gegenstandes abhängig, solange der Körper alle auftreffende Strahlung absorbiert und deshalb als Schwarzer Körper betrachtet werden kann.

Als Schwarzer Körper wird ein idealer Temperaturstrahler bezeichnet, der alle auftreffende Strahlung absorbiert und deshalb mit maximaler Leistung strahlt!

Weshalb ein Schwarzer Körper nicht nur ein perfekter Absorber von Strahlung sondern immer auch ein perfekter Emitter von Strahlung ist, wird im Abschnitt Reale Körper näher erläutert.

Wird die Strahlungsleistung \(\Phi\) des Schwarzen Körpers auf dessen Fläche \(A\) bezogen, dann spricht man auch von der sogenannten Strahlungsintensität \(I\) (Flächenleistungsdichte). Die Intensität gibt die Stärke der Strahlungsleistung pro Flächeneinheit an. Die Intensität der Wärmestrahlung ist bei einem Schwarzer Körper nur von Temperatur abhängig:

\begin{align}
&I=\frac{\Phi}{A} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T^4}{A} = \sigma \cdot T^4\\[5px]
&\boxed{I = \sigma \cdot T^4 } \\[5px]
\end{align}

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

Im Folgenden wird ein Schwarzer Körper betrachtet, der von einem Strahler bestrahlt wird. Definitionsgemäß wird der Schwarze Körper alle einfallende Strahlung absorbieren. Die absorbierte Energie führt zur Erhöhung der Temperatur und der Schwarze Körper beginnt verstärkt Strahlung abzugeben. Schließlich wird sich mit der Zeit ein thermisches Gleichgewicht einstellen, in dem die Temperatur nicht mehr weiter ansteigt. Im thermodynamischen Gleichgewicht muss somit die innerhalb einer gewissen Zeit emittiert Strahlungsenergie (Emissionsleistung \(\Phi_e\)) gleich groß sein wie die absorbierte Strahlungsenergie (Absorptionsleistung \(\Phi_a\)):

\begin{align}
\label{kirch}
&\boxed{\Phi_a \overset{!}{=} \Phi_e} \\[5px]
\end{align}

Stefan-Boltzmann-Gesetz, Strahlung, Schwarzer Körper, Energiefluss-Diagramm, Absorption, Emission
Abbildung: Energieflussdiagram eines Schwarzer Körpers

Dieses Strahlungsgleichgewicht zwischen emittierter Strahlung und absorbierter Strahlung gilt grundsätzlich für jeden Körper im thermischen Gleichgewicht, also auch für nicht-ideale Schwarze Körper, welche nicht mit maximaler Leistung strahlen. Denn schließlich wird sich bei jedem Körper nach einer gewissen Zeit eine konstante Temperatur und somit ein thermodynamisches Gleichgewicht einstellen, in dem Emission und Absorption im selben Maße ablaufen müssen. Diese Gesetzmäßigkeit wird auch als Kirchhoffsches Strahlungsgesetz bezeichnet.

Stefan-Boltzmann-Gesetz, Strahlung, Schwarzer Körper, Energiefluss-Diagramm, Absorption, Emission, Reflexion
Abbildung: Energieflussdiagram eines realen Körpers

Als Kirchhoffsches Strahlungsgesetz bezeichnet man die Tatsache, dass im thermischen Gleichgewicht eines strahlenden Körpers, die Emissionsleistung gleich der Absorptionsleistung ist!

Auf dieselbe Weise wie die Emissionsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur steigt, muss somit auch die Absorptionsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur steigen. Ansonsten gäbe es kein thermisches Gleichgewicht. Die Gesetzmäßigkeit mit der ein idealer Schwarzer Körper gemäß des Stefan-Boltzmann-Gesetztes Strahlung emittiert, muss im thermischen Gleichgewicht also auch für die absorbierte Strahlung gelten!

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{a,ideal} = \Phi_{e,ideal} = \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Reale Körper

Man kann diese Situation nun auch auf reale Körper übertragen, die eben keine perfekte Schwarze Körper sind. Bei realen Gegenständen wird immer ein gewisser Teil der Strahlung reflektiert und nicht wie bei Schwarzen Körpern vollständig absorbiert. Die absorbierte Strahlungsleistung eines realen Körpers wird also um einen Faktor \(\alpha<1\) geringer sein als die eines idealen Schwarzen Körpers. Dieser Faktor \(\alpha\), der den absorbierten Anteil der auftreffenden Strahlung beschreibt und somit die Absorptionsleistung im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper angibt, wird auch als Absorptionsgrad \(\alpha\) bezeichnet.

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{a,real} = \alpha \cdot \Phi_{a,ideal} } ~~~~~\alpha<1 \\[5px]
&\Phi_{a,real} = \alpha \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Als Absorptionsgrad \(\alpha\) bezeichnet man den absorbierten Strahlungsanteil einer auftreffenden Strahlung, d.h. die Absorptionsleistung des Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper!

Gemäß des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes ist im thermischen Gleichgewicht die Emissionsleistung genauso groß wie die Absorptionsleistung. Ein realer Körper der eine geringere Absorptionsleistung als ein idealer Schwarzer Körper hat, wird somit auch eine im selben Maße geringere Emissionsleistung haben!

Die Emissionsleistung eines realen Körpers ist im thermischen Gleichgewicht im selben Maße geringer wie die Absorptionsleistung!

Dies bedeutet aber auch: Ein Körper der maximal absorbiert, emittiert auch maximal. Ein Schwarzer Körper ist also nicht nur ein idealer Absorber von Strahlung sondern eben auch ein perfekter Emitter von Strahlung!

Ein Schwarzer Körper ist ein idealer Wärmestrahler mit der maximal möglichen Strahlungsleistung!

Rein formal kann man die Emissionsleistung eines realen Körpers ebenfalls mit einem Faktor versehen, der dann das Verhältnis der emittierten Strahlung des realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Strahler angibt! Dieser Faktor wird dann Emissionsgrad \(\varepsilon\) genannt.

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{e,real} = \varepsilon \cdot \Phi_{e,ideal} } ~~~~~\varepsilon<1 \\[5px]
&\Phi_{e,real} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Ein Emissionsgrad von bspw. \(\varepsilon\)=0,9 bedeutet anschaulich, dass der betrachtete Gegenstand 90 % der Strahlungsleistung eines idealen Temperaturstrahlers besitzt. Viele nicht-metallische Gegenstände besitzen einen Emissionsgrad über 90 % und können bezüglich ihrer abgegebenen Strahlung daher in sehr guter Näherung als Schwarze Körper betrachtet werden. Für einen perfekten Schwarzen Körper gilt \(\varepsilon=1\).

Der Emissionsgrad gibt das Verhältnis der tatsächlich abgegebenen Strahlung eines realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Wärmestrahler wieder, einem Schwarzen Körper!

Zwar wird der Absorptionsgrad und der Emissionsgrad formal unterschieden, im thermischen Gleichgewicht ist diese Unterscheidung aber hinfällig, da beide Werte gemäß des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes (\ref{kirch}) identisch sind:

\begin{align}
\require{cancel}
&\Phi_{e,real} \overset{!}{=} \Phi_{e,real} \\[5px]
&\alpha \cdot \bcancel{\sigma \cdot A \cdot T^4} = \varepsilon \cdot \bcancel{\sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
&\boxed{\alpha = \varepsilon} \\[5px]
\end{align}

Im thermischen Gleichgewicht ist der Absorptionsgrad gleich dem Emissionsgrad!

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Abbildung: Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

Anmerkung

Reale Körper die im gesamten abgestrahlten Wellenlängenspektrum eine konstant geringere (spektrale) Emissionsleistung aufweisen im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper, werden auch als graue Körper bzw. graue Strahler bezeichnet. Graue Körper haben also einen Absorptionsgrad bzw. Emissionsgrad, der nicht von der Wellenlänge abhängig ist.

In machen Fällen wird ein Körper aber auch je nach Wellenlänge unterschiedlich stark Strahlung absorbieren bzw. emittieren. Der Absorptionsgrad bzw. der Emissionsgrad ist dann von der Wellenlänge abhängig. Solche Körper werden als selektive Absorber bzw. als selektive Strahler bezeichnet.

Thermodynamische Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes

In den Folgenden Abschnitten soll das Stefan-Boltzmann-Gesetz mit Hilfe der Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik hergeleitet werden. Um dies tun zu können, müssen zunächst grundlegende Zusammenhänge geklärt werden.

Zusammenhang zwischen Energiedichte und Druck

Kinetische Gastheorie mit klassischen Teilchen

Mithilfe der kinetischen Gastheorie wurde im Artikel Druck und Temperatur folgender Zusammenhang zwischen dem Druck eines Gases \(p\) und der Geschwindigkeit \(v\) der darin enthaltenen Teilchen hergeleitet werden:

\begin{align}
\label{p}
&\boxed{p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\cdot \overline{v^2}} \\[5px]
\end{align}

Dabei bezeichnet \(N\) die Anzahl der Gasteilchen in einem Volumen \(V\) und \(m\) die Teilchenmasse. Die Geschwindigkeit bezieht sich dabei auf die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit.

Bei einer klassischen Betrachtung von idealen Gasen, bei der die Teilchengeschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen, kann die mittlere kinetische Energie der Teilchen in sehr guter Näherung mit \(\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) beschrieben werden (Beachte, dass diese Formel tatsächlich nur für die klassische, nicht-relativistische Mechanik gilt!) Dabei wird dann folgender Zusammenhang zwischen dem Druck und der mittlere Energie eines Teilchens offensichtlich:

\begin{align}
&p = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \overbrace{\frac{1}{2} m \overline{v^2}}^{\overline{W_{kin}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \overline{W_{kin}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\overbrace{N \cdot \overline{W_{kin}}}^{\text{innere Energie } U}}{V} = \frac{2}{3}\cdot \overbrace{\frac{U}{V}}^{\text{Energiedichte } u_v} = \frac{2}{3}\cdot u_v \\[5px]
&\boxed{p = \frac{2}{3} u_v} ~~~~~\text{gilt nur für ein klassisches Gas}
\end{align}

Bei der oberen Herleitung wurde ausgenutzt, dass das Produkt von Teilchenanzahl \(N\) und mittlerer kinetischer Energie eines Teilchens \(\overline{W_{kin}}\), der im Gas enthaltenen Gesamtenergie entspricht; d.h. der sogenannten inneren Energie \(U\). Der Quotient von innerer Energie \(U\) und Volumen \(V\) kann deshalb als (volumetrische) Energiedichte \(u_v\) aufgefasst werden (um Missverständnisse mit der spezifischen inneren Energie \(u\) als massebezogene Größe zu vermeiden, ist bei der Energiedichte im Index ein “v” hinzugefügt).

Aufgrund der Tatsache, dass für die Herleitung die klassische Mechanik unter der Annahme der Gültigkeit von \(W_{kin} = \frac{1}{2}mv^2\) genutzt wurde, gilt der beschriebene Zusammenhang zwischen Druck und Energiedichte nur bei klassischen idealen Gasen.

Kinetische Gastheorie mit relativistischen Teilchen (Photonen)

Aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus von elektromagnetischer Strahlung, kann man sich diese auch als ein Strahl von Photonen vorstellen, so wie bei der Herleitung des Strahlungsdrucks bereits geschehen. Auf diese Weise kann man nun auch die Strahlung eines schwarzen Körpers mathematisch beschreiben. Im Artikel Schwarzkörperstrahlung wurde die Realisierung eines solchen Schwarzen Körpers bereits ausführlich erläutert. Hierzu wird einfach ein kleines Loch in einen Gegenstand gebohrt, der in einen Hohlkörper führt.

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Abbildung: Realisierung eines Schwarzen (Hohl-)Körpers

Alle einfallende Strahlung wird vom Hohlraum absorbiert, wobei der Hohlraum auch selbst Strahlung emittiert. Im thermodynamischen Gleichgewicht, ist die emittierte und absorbierte Strahlungsenergie gleich, sodass sich im Hohlraum im Prinzip ein Gas von Photonen bildet. Anstelle von massebehafteten Teilchen, hat man es in diesem also Fall mit masselosen, relativistischen Photonen zu tun. Auch dabei wird man im Hohlraumvolumen \(V\) einen Druck \(p\) durch die Strahlung bzw. aufgrund der Photonen feststellen können, der sogenannte Strahlungsdruck.

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Abbildung: Illustration des Photonengases in einem Schwarzen Hohlkörper
Animation: Photonengas in einem Schwarzen Hohlkörper

Gleichung (\ref{p}) kann nun auch an dieser Stelle wieder verwendet werden, sie muss lediglich vor dem Hintergrund der Relativitätstheorie interpretiert werden. Die Geschwindigkeit der Teilchen \(v\) entspricht bei Photonen offensichtlich der Lichtgeschwindigkeit \(c\) und die Masse \(m\) muss als relativistische Masse \(m_{rel}\) betrachtet werden. An dieser Stelle muss nicht zwischen dem Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate \(\overline{c^2}\) und dem Geschwindigkeitsquadrat \(c^2\) unterschieden werden, da es in diesem Fall keine klassische Geschwindigkeitsverteilung gibt sondern alle Photonen mit derselben Lichtgeschwindigkeit unterwegs sind. Beide Werte sind deshalb identisch.

\begin{align}
\label{pp}
&p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot m_{rel} \cdot c^2 \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass Photonen zwar keine Ruhemasse besitzen, aber dennoch eine relativistische Masse. So zeigte Einstein mit seiner berühmten Energie-Masse-Äquivalenz-Gleichung, dass jedem mit Energie behafteten Teilchen eine entsprechende (relativistische) Masse \(m_{rel}\) zugeordnet werden kann:

\begin{align}
\label{e}
&\boxed{E =mc^2} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~ \boxed{W=m_{rel}\cdot c^2} \\[5px]
\end{align}

Gemäß der Quantenmechanik ergibt sich die Energie eines Photons aus dem Produkt von Frequenz \(f\) und Planckschem Wirkungsquantum \(h\), sodass hieraus die relativistische Masse ermittelt werden kann:

\begin{align}
&W = h\cdot f \\[5px]
\end{align}

Das in Gleichung (\ref{pp}) enthaltene Produkt aus (relativistischer) Masse \(m\) (=\(m_{rel}\)) und Quadrat der Lichtgeschwindigkeit \(c^2\) entspricht nach der Einsteingleichung (\ref{e}) gerade der Energie eines Photons \(W\). Somit gilt zwischen dem Strahlungsdruck \(p\) des Photonengases und dessen Energiedichte \(u_v\) folgender Zusammenhang:

\begin{align}
&p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot \overbrace{ m_{rel}\cdot c^2}^{W}=\frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot W =\frac{1}{3}\frac{\overbrace{N\cdot W}^{\text{“innere” Energie } U}}{V} =\frac{1}{3} \cdot \overbrace{\frac{U}{V}}^{\text{Energiedichte }u_v} = \frac{1}{3} u_v \\[5px]
\label{h}
&\boxed{p = \frac{1}{3} u_v } ~~~~~\text{gilt nur für ein Photonengas (homogene Strahlung)}
\end{align}

Bei der Herleitung wurde wiederum ausgenutzt, dass das Produkt von Photonenenergie und Photonenanzahl der im Photonengas insgesamt enthaltenen (inneren) Energie entspricht, d.h. der Strahlungsenergie (Photonengasenergie). Der Quotient von Strahlungsenergie und Hohlraumvolumen lässt sich wiederum als Energiedichte des Photonengases bzw. als Energiedichte der Strahlung auffassen.

Der Zusammenhang zwischen Druck und Energiedichte eines klassischen Gases unterscheidet sich also um den Faktor 2 von dem eines relativistischen Photonengases.

Herleitung aus dem Strahlungsdruck

Den Zusammenhang zwischen Strahlungsdruck und Energiedichte für ein homogenes Photonengas kann man auch aus dem Strahlungsdruck einer gerichteten Strahlung herleiten. Im Artikel Strahlungsdruck wurde gezeigt, dass der Strahlungsdruck \(p_{St}\), den eine gerichtete Strahlung auf einen Gegenstand bei vollständiger Reflexion ausübt, dem doppelten Wert der Energiedichte entspricht:

\begin{align}
\label{s}
&\boxed{p_{St} =2 \cdot u_v} ~~~~~\text{gilt nur bei vollständiger Reflexion einer gerichteten Strahlung} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung steht nicht im Widerspruch zu Gleichung (\ref{h})! Denn Gleichung (\ref{s}) gilt nur bei gerichteter Strahlung, d.h. wenn sich alle Photonen in dieselbe Richtung bewegen und auf eine Grenzfläche treffen. Im Falle der Hohlraumstrahlung, handelt es sich aber um eine Strahlung, die im Inneren permanent reflektiert, absorbiert und emittiert wird, d.h. die Photonen bewegen sich alle in völlig zufällige Richtungen; es handelt sich eben um ein Photonengas.

Um aus einer gerichteten Strahlung eine völlig zufällige Photonenbewegung zu machen, müssten sich alle darin enthaltenen Photonen plötzlich in unterschiedliche Richtungen bewegen. Bei der Annahme einer homogenen statistischen Verteilung, würden sich demnach insgesamt ein Sechstel der Photonen nach oben bewegen, ein Sechstel nach unten, wiederum ein Sechstel nach links und ein Sechstel nach rechts sowie ein Sechstel nach hinten und schließlich würden sich ein Sechstel der Photonen nach vorne auf die betrachtete Grenzfläche zubewegen, auf die ein Druck ausgeübt wird.

Stefan-Boltzmann-Gesetz, Strahlung, Schwarzer Körper, Energiedichte, Strahlungsdruck, Zusammenhang, Herleitung
Abbildung: Strahlungsdruck eines Photonenstrahls und Strahlungsdruck eines Photonengases

Bei gleicher Energiedichte (Photonendichte) ist der Druck bei einem homogenen Photonengas somit um ein Sechstel geringer im Vergleich zu einem gerichteten Photonenstrahl, da eben nur ein Sechstel der Photonen effektiv auf die Grenzfläche prallen. Somit kommt man für ein homogenes Photonengas wieder zum identischen Zusammenhang:

\begin{align}
& p = \frac{1}{6} \cdot p_{St} = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot u_v= \frac{1}{3} \cdot u_v \\[5px]
\end{align}

Man könnte an dieser Stelle nun argumentieren, dass der Hohlraumstrahlung doch keine vollständige Reflexion zugrunde liegt und damit Gleichung (\ref{s}) gar nicht gültig ist. Vielmehr handelt es sich bei einem Schwarzen Körper bzw. einer Hohlraumstrahlung doch um eine vollständige Absorption der Strahlung. Dies ist zwar richtig, jedoch werden im thermodynamischen Gleichgewicht genau dieselbe Anzahl an Photonen absorbiert wie emittiert. Hieraus stellt sich ja schließlich das thermodynamische Gleichgewicht ein.

Kinematisch betrachtet, ist eine Reflexion aber nichts anderes als eine Absorption (“Aufprall”) mit unmittelbarer Emission (“Rückprall”). Nur weil Absorption und Emission im Falle der Hohlraumstrahlung nicht zu identischen Zeiten stattfinden, bleiben sie vom Wesen her identisch wie die Reflexion, bei der beide Vorgänge im Prinzip unmittelbar nacheinander stattfinden. Deshalb muss bei der Hohlraumstrahlung im thermodynamischen Gleichgewicht von einem vollständig reflektierenden Verhalten ausgegangen werden!

Zusammenhang zwischen einer Volumenänderung und der Änderung der Photonengasenergie

Wie bereits die experimentelle Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung ergeben hat, hängt die Energie der abgegebenen Strahlung nur von der Temperatur hab. Die Energiedichte ist somit nur eine Funktion der Temperatur. Bei konstanter Temperatur und damit konstanter Energiedichte \(u_v\), bedeutet eine Vergrößerung des Hohlraumvolumens um \(\text{d}V\) somit eine entsprechende Vergrößerung der Photonengasenergie \(\text{d}U\):

\begin{align}
& U(T,V) = u_v(T) \cdot V \\[5px]
& \frac{\text{d}U(T,V)}{\text{d}V} =\frac{\text{d}(u_v(T) \cdot V )}{\text{d}V} = \overbrace{\underbrace{\frac{\partial{u_v(T)}}{\partial{V}}}_{=0} \cdot V +\underbrace{\frac{\partial{V} }{\partial{V}}}_{=1} \cdot u_v(T)}^{\text{Produktregel}} = u_v(T) = u_v \\[5px]
\label{t}
&\boxed{\left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = u_v = 3p} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die (partielle) Ableitung der Energiedichte nach dem Volumen Null ergibt, da die Energiedichte keine Funktion des Volumens ist. Bezüglich der Variablen \(V\) handelt sich also um die Ableitung einer Konstanten. Zudem wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass der Strahlungsdruck einem Drittel der Energiedichte entspricht bzw. die Energiedichte \(u_v\) dem dreifachen Wert des Drucks \(p\) [siehe Gleichung (\ref{h})].

Dass die Photonengasenergie bei konstanter Energiedichte im selben Maße steigt wie das Volumen wird auch anschaulich klar, denn eine konstante Energiedichte bedeutet schließlich auch eine konstante Photonendichte. Vergrößert man das Volumen des Hohlraumes, dann befinden sich bei gleichbleibender Photonendichte nun insgesamt mehr Photonen darin (der Hohlraum emittiert dann verstärkt Photonen bis sich wieder ein thermodynamische Gleichgewicht einstellt). Da jedes Photon mit einer bestimmten Energie verbunden ist, ist somit also auch die im Volumen enthaltene Gesamtenergie gestiegen.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Da das Photonengas analog zu einem klassischen idealen Gas betrachtet wird, kann an dieser Stelle auch der erste Hauptsatz der Thermodynamik zur Anwendung kommen. In differentieller Form stellt sich dieser wie folgt dar (darin bezeichnet \(S\) die Entropie):

\begin{align}
&\boxed{\text{d}U = T \cdot \text{d}S – p \cdot \text{d}V } ~~~~~\text{Erster Hauptsatz der Thermodynamik} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung durch \(\text{d}V\) geteilt erhält man bei konstanter Temperatur folgende Beziehung:

\begin{align}
\label{ss}
& \left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = T \left(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\right)_T – p \\[5px]
\end{align}

Ohne tiefer auf die Herleitung der sogenannten Maxwell-Beziehungen der Thermodynamik einzugehen, liefern diese an dieser Stelle einen weiteren wichtigen Zusammenhang. So steht eine Entropieänderung und eine Volumenänderung bei konstanter Temperatur im selben Zusammenhang wie eine Druckänderung und eine Temperaturänderung bei konstantem Volumen. Mathematisch wird dies wie folgt ausgedrückt:

\begin{align}
&\boxed{\left(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\right)_T = \left(\frac{\partial{p}}{\partial{T}}\right)_V} ~~~~~\text{Maxwell-Relation} \\[5px]
\end{align}

Diese Maxwell-Beziehung kann nun in Gleichung (\ref{ss}) eingesetzt werden, sodass gilt:

\begin{align}
\label{x}
& \left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = T \left(\frac{\partial{p}}{\partial{T}}\right)_V – p \\[5px]
\end{align}

Gemäß Gleichung (\ref{t}) kann der Ausdruck \(\left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T\) durch die Energiedichte \(u_v\) ersetzt werden. Zudem entspricht der Druck \(p\) nach Gleichung (\ref{h}) gerade einem Drittel der Energiedichte, sodass insgesamt gilt:

\begin{align}
u_v &= T \left(\frac{\partial{\frac{1}{3}u_v}}{\partial{T}}\right)_V – \frac{1}{3} u_v \\[5px]
u_v &= \frac{1}{3} T \left(\frac{\partial{u_v}}{\partial{T}}\right)_V – \frac{1}{3} u_v \\[5px]
3 u_v &= T \left(\frac{\partial{u_v}}{\partial{T}}\right)_V – u_v \\[5px]
\end{align}

Da die Energiedichte nur eine Funktion der Temperatur ist, kann die partielle Ableitung der Energiedichte nach der Temperatur als gewöhnliches Differential ausgedrückt werden. Nach anschließender Trennung der Variablen folgt schließlich:

\begin{align}
3 u_v &= T \frac{\text{d}u_v}{\text{d}T} – u_v \\[5px]
4 u_v &= T \frac{\text{d}u_v}{\text{d}T} \\[5px]
\frac{\text{d}u_v}{u_v} &=4 \frac{\text{d}T}{T} \\[5px]
\end{align}

Beide Seiten der Gleichung können nun unbestimmt integriert werden, wobei bei der Bildung der Stammfunktionen jeweils eine Integrationskonstante zu berücksichtigen ist, die in der Konstanten \(a\) zusammengefasst werden (\(a\) steht in diesem Fall allgemein für eine Konstante, nicht für einen speziellen Wert!):

\begin{align}
\int \frac{\text{d}u_v}{u_v} &= \int 4 \frac{\text{d}T}{T} \\[5px]
\ln{u_v} &= 4 \cdot \ln{T} + a\\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= e^{4 \cdot \ln{T}+a} \\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= e^{4 \cdot \ln{T}} \cdot e^{a} \\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= \left(e^{\ln{T}}\right)^4 \cdot a \\[5px]
&\underline{u_v = a \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Die Energiedichte \(u_v\) ist also proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur \(T\). Ein mit Photonen gefülltes Volumen \(V\) (z.B. das Volumen des betrachteten Hohlraumes), welche von einem Schwarzen Körper bei der Temperatur \(T\) emittiert werden, enthält also folgende Gesamtenergie \(U\):

\begin{align}
&U = u_v \cdot V = a \cdot T^4 \cdot V \\[5px]
\label{st}
&\boxed{U = a \cdot T^4 \cdot V} \\[5px]
\end{align}

Die Konstante \(a\) könnte nun experimentell bestimmt werden. In der Regel interessiert aber nicht die Energie eines Photonengases sondern die Leistung mit der ein Strahler die Photonen emittiert.

Strahlungsleistung

Im Folgenden wird nun ein Schwarzer Körper mit der Oberfläche \(A\) betrachtet, der sich im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur \(T\) befindet. Dieser Schwarze Körper emittiert Photonen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit \(c\) von der Oberfläche entfernen (bei einem Hohlkörper in den Hohlraum hinein und dann durch das Loch in die Umgebung, oder bei einem Vollkörper direkt in die Umgebung). Innerhalb der infinitesimalen Zeit \(\text{d}t\) legen diese Photonen dabei eine bestimmte Strecke \(\text{d}s\) zurück:

\begin{align}
& \text{d}s = c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Stefan-Boltzmann-Gesetz, Strahlung, Schwarzer Körper, Energiefluss-Diagramm, Kirchhoff-sches Strahlungsgesetz, Strahlungsleistung, Herleitung
Abbildung: Herleitung der Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers

Da die Photonen aus der Oberfläche \(A\) des Schwarzen Körpers austreten, nehmen diese innerhalb der Zeit \(\text{d}t\) ein bestimmtes Schalenvolumen um den Schwarzen Körper herum ein. Aufgrund der infinitesimalen Strecke, ergibt sich das Volumen \(\text{d}V\) dieser emittierten Photonenschale aus dem Produkt von Grundfläche \(A\) und Höhe \(\text{d}s\):

\begin{align}
& \text{d}V = A \cdot \text{d}s = A \cdot c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Bei gegebener Temperatur \(T\) ist die im ausgestoßenen Photonenvolumen \(\text{d}V\) enthaltene Energie \(\text{d}U\) durch Gleichung (\ref{st}) gegeben.

\begin{align}
&\text{d}U = a \cdot T^4 \cdot \text{d}V= a \cdot T^4 \cdot A \cdot c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Innerhalb der Zeit \(\text{d}t\) strahlt der Schwarze Körper also die Energie \(\text{d}U\) ab. Hieraus lässt sich dann die Strahlungsleistung \(\Phi\) als abgegebene Strahlungsenergie pro Zeit ermitteln:

\begin{align}
\require{cancel}
&\Phi =\frac{\text{d}U}{\text{d}t} = \frac{a \cdot T^4 \cdot A \cdot c \cdot \bcancel{\text{d}t} }{\bcancel{\text{d}t}} =\underbrace{a\cdot c}_{\sigma} \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Die Konstante \(a\) und die ebenfalls konstante Lichtgeschwindigkeit \(c\) können zu einer neuen Konstanten zusammengefasst werden, der sogenannten Stefan-Boltzmann-Konstanten \(\sigma\) (nicht zu verwechseln mit der Boltzmann-Konstanten \(k_B\)!). Damit ergibt sich die im thermodynamischen Gleichgewicht abgegeben Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers bei gegebener Temperatur \(T\) wie folgt:

\begin{align}
\label{bb}
&\boxed{\Phi = \sigma \cdot A \cdot T^4} ~~~~~ \sigma = 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Dieses Gesetzmäßigkeit wurde durch den Physiker Josef Stefan experimentell hergeleitet und später durch Ludwig Boltzmann mathematisch bewiesen. Dieses Gesetz wird deshalb als Stefan-Boltzmann-Gesetz bezeichnet.

Wird die Strahlungsleistung \(\Phi\) an dieser Stelle auf die Fläche \(A\) des Schwarzen Körpers bezogen, dann erhält man die Strahlungsintensität \(I\):

\begin{align}
&I=\frac{\Phi}{A} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T^4}{A} = \sigma \cdot T^4\\[5px]
&\boxed{I = \sigma \cdot T^4 } \\[5px]
\end{align}

Bei der zunächst empirisch durch Experimente bestimmten Stefan-Boltzmann-Konstante \(\sigma\), handelt es sich um eine Naturkonstante, die tatsächlich erst durch die Quantenmechanik aus anderen Naturkonstanten hergeleitet werden konnte:

\begin{align}
&\boxed{\sigma = \frac{2 \pi^5k_B^4}{15h^3c^2} } \\[5px]
\end{align}

Wie bereits zu Beginn des Artikels erläutert, gibt es Schwarze Körper nur in der Idealvorstellung. In der Realität strahlen Körper deshalb nicht mit der Intensität eines Schwarzen Körpers sondern mit geringerer Leistung. Dies wird durch den Emissionsgrad \(\varepsilon<1\) erfasst:

\begin{align}
&I=\varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4\\[5px]
\end{align}