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Schwarzkörperstrahlung

Dieser Artikel liefert unter anderem Antworten auf die folgenden Fragen:

  • Wie entstehen die Farben von Gegenständen?
  • Was versteht man im physikalischen Sinne unter einem Schwarzen Körper?
  • Wie kann das Zustandekommen der Wärmestrahlung auf atomarer Ebene erklärt werden?
  • Wie werden Schwarze Körper in der Praxis näherungsweise realisiert?
  • Wie lassen sich die unterschiedlichen “Glühfarben” von Gegenständen erklären?
  • Wie lässt sich das abgestrahlte Wellenlängenspektrum mathematisch beschreiben?
  • Welche Aussage liefert das Stefan-Boltzmann-Gesetz?
  • Was besagt das Wiensche Verschiebungsgesetz?

Schwarzer Körper

Trifft weißes Licht auf einen opaken Gegenstand, dann wird immer ein gewisser Teil absorbiert und der Rest reflektiert. Je nachdem welche Wellenlängen absorbiert werden, besteht das reflektierte Licht aus bestimmten Wellenlängen. Diese reflektierten Wellenlängen bestimmten die wahrgenommene Farbe des Gegenstandes.

Bei einem grünen Blatt werden offensichtlich alle Wellenlängen, bis auf den grünen Wellenlängenbereich zwischen 500 nm und 550 nm, absorbiert. Somit beinhaltet das reflektierte Licht genau jenen Wellenlängenbereich, der uns den grünen Farbeindruck vermittelt.

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Abbildung: Farbwahrnehmung eines grünen Blattes

Absorbiert ein Gegenstand hingegen alle auftreffenden Wellenlängen des sichtbaren Lichts, dann wird offensichtlich auch keine sichtbare Strahlung reflektiert. Der Gegenstand erscheint uns unter normalen Bedingungen schwarz. Von einem schwarzen Gegenstand geht also keine sichtbare Strahlung aus. Ein Gegenstand, der alle auftreffende Strahlung absorbiert und unter normalen Bedingungen für unser Auge deshalb schwarz erscheint, wird auch als Schwarzer Körper bezeichnet. Ein idealer Schwarzer Körper gibt es also nur als Idealvorstellung, da in der Realität jeder Körper immer auch eine gewisse auftreffende Strahlung reflektiert. Deshalb kann bei der abgebildeten Kohle in der unteren Abbildung auch leichte Schattierungen auf der lichteinfallenden Seite erkennen.

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Abbildung: Farbwahrnehmung eines schwarzen Gegenstandes

Ein Schwarzer Körper ist ein idealisierter Gegenstand, der alle auftreffende elektromagnetische Strahlung absorbiert!

Wärmestrahlung

Man könnten nun vorschnell den Schluss ziehen und meinen, dass von einem Schwarzen Körper also folglich keinerlei elektromagnetische Strahlung ausgeht. Aus energetischer Sicht ist diese Vermutung allerdings sehr schnell wiederlegt. Denn elektromagnetische Strahlung ist je nach Wellenlänge immer mit einer bestimmten Strahlungsenergie verbunden. Wird diese Strahlungsenergie von einem Gegenstand absorbiert, dann kann die aufgenommene Energie ja nicht einfach verschwinden. Die absorbierte Strahlungsenergie macht sich in einer Temperaturerhöhung des Gegenstandes bemerkbar (Erhöhung der inneren Energie)!

Solange ein Schwarzer Körper also bestrahlt wird und Energie absorbiert, müsste seine Temperatur stetig ansteigen. Die Erfahrung zeigt aber, dass bspw. Gegenstände die in die Sonne gelegt und damit bestrahlt werden, sich nicht permanent aufheizen. Auch wenn es sich dabei nicht um ideale Schwarze Körper handelt, sondern um reale Körper, die nur teilweise Strahlung absorbieren, so sollte dennoch die Temperatur aufgrund der permanent absorbierten Strahlungsenergie stetig ansteigen.

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Abbildung: Erwärmung eines Gegenstandes durch Absorption von Strahlung

Aber selbst ein Gegenstand der nahezu perfekt schwarz angemalt ist und damit als Schwarzer Körper betrachtet werden kann, wird irgendwann in ein thermisches Gleichgewicht kommen, in dem die Temperatur nicht weiter ansteigt. Wenn aber ständig Strahlungsenergie absorbiert wird, dann muss folglich auch irgendwie Energie wieder abgegeben werden, damit dieses thermische Gleichgewicht erklärt werden kann.

Man könnte nun meinen, dass der in die Sonne gelegte Gegenstand durch die umgebende Luft per Wärmeströmung (Konvektion) gekühlt wird oder auch durch Wärmeleitung mit dem Boden. Diese Wärmetransportvorgänge werden sicherlich stattfinden und einen Beitrag zum thermischen Gleichgewicht leisten, jedoch muss noch ein anderer Mechanismus vorhanden sein. Dies zeigt sich, wenn man einen Gegenstand betrachtet, der aufgrund eines umgebenden Vakuums solche Wärmetransportvorgänge verbietet (Beachte, dass Wärmeströmung und Wärmeleitung nur im Zusammenhang mit vorhandenen Materieteilchen stattfinden können). Auch dabei wird sich sich mit der Zeit ein thermisches Gleichgewicht einstellen, wenn der Gegenstand im Vakuum bestrahlt wird.

Als alltägliches Beispiel sei hierzu die Erde genannt, die im Vakuum des Weltalls von der Sonne bestrahlt wird und einen Teil der Sonnenstrahlung absorbiert. Offensichtlich findet auch dabei kein permanentes Aufheizen der Erde statt, sondern die Erde befindet sich in einem stabilen thermischen Gleichgewicht, welches zu einer mittleren Oberflächentemperatur von rund 15 °C führt. Da aufgrund des Vakuums ein Wärmetransport durch Wärmeleitung und Wärmeströmung ausgeschlossen sind, muss das thermische Gleichgewicht darauf zurückzuführen sein, dass die Erde selbst Energie durch elektromagnetische Strahlung abgibt und nicht nur Energie durch die Sonnenstrahlung aufnimmt.

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Abbildung: Erwärmung der Erde

Man bezeichnet diese abgegebene Strahlung eines Körpers im thermischen Gleichgewicht aufgrund seiner Temperatur auch als Wärmestrahlung, thermische Strahlung oder Temperaturstrahlung. Bei sehr stark aufgeheizten Gegenständen wie bspw. einem glühenden Stück Metall, kann man diese Wärmestrahlung nicht nur sehr deutlich spüren sondern anhand der glühenden rötlichen Farbe auch tatsächlich sehen!

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Abbildung: Sichtbare Strahlung eines glühenden Stahlstabes

In Glühbirnen wird diese thermische Strahlung technisch genutzt, um sichtbares Licht zu emittieren, wobei der meiste Teil der Wärmestrahlung im nicht-sichtbaren Infrarotbereich emittiert wird und tatsächlich nur als “Wärme” wahrgenommen wird. Das abgestrahlte Wellenlängenspektrum hängt also stark von der Temperatur des Körpers ab. Bei geringem Strom und damit geringer Temperatur strahlt der Glühfaden schwach rötlich, bei großem Strom und somit großer Temperatur dann intensiv gelblich. Auf diese spektrale Verteilung in Abhängigkeit der Temperatur wird im Abschnitt Schwarzkörperstrahlung näher eingegangen.

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Abbildung: Thermische Strahlung einer Glühbirne bei unterschiedlichen Temperaturen

Als Wärmestrahlung, thermische Strahlung oder Temperaturstrahlung bezeichnet man die im thermischen Gleichgewicht abgegebene Strahlung eines Körpers aufgrund seiner Temperatur!

Anmerkung: Häufig wird als Wärmestrahlung im engeren Sinne nur die nicht-sichtbare Strahlung im Infrarot-Bereich bezeichnet. Im weitesten Sinne (und so auch in diesem Artikel) bezieht sich der Begriff der Wärmestrahlung auf den gesamten abgestrahlten Wellenlängenbereich eines Körpers aufgrund seiner Temperatur, d.h. auf die gesamte energetische Strahlung!

Auch bei einem idealen Schwarzen Körper muss aus energetischen Gründen eine solche Abgabe von Strahlungsenergie stattfinden. Ansonsten könnte eben nicht erklärt werden, weshalb es bei vollständiger Absorption von Strahlungsenergie dennoch irgendwann zu einem thermischen Gleichgewicht kommt und sich der Körper nicht weiter aufheizt! Auch wenn also ein Schwarzer Körper definitionsgemäß alle auftreffende Strahlung absorbiert, gibt dieser dennoch Strahlung ab, auch wenn es sich dabei eben nicht um reflektierte Strahlung handelt (es wird ja schließlich alle auftreffende Strahlung absorbiert)! Siehe hierzu auch den Artikel Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Das Zustandekommen der thermischen Strahlung kann durch die Schwingung der Atome erklärt werden. Grundsätzlich führt jede beschleunigte Bewegung von elektrisch geladenen Teilchen zur Erzeugung von elektromagnetischen Wellen, also Strahlung. Je höher die Temperatur desto stärker und schneller schwingen die Teilchen und umso mehr Strahlung wird abgegeben (höhere Intensität). Lediglich im absoluten Nullpunkt sind keine Atomschwingungen vorhanden und der Körper emittiert keine Wärmestrahlung.

Die Wärmestrahlung kommt durch Schwingungen der Atome zustande!

Anmerkung zum Begriff des Schwarzen Körpers

Beachte, dass die Definition eines Schwarzen Körper lediglich darin besteht, dass alle auftreffende Strahlung absorbiert wird und nicht darin, dass dieser selbst keine Strahlung emittieren könnte! Dies kann er sehr wohl, nur liegt diese ausgesendete Strahlung bei Umgebungsbedingungen im nicht-sichtbaren Wellenlängenbereich (Infrarot-Strahlung). Der Gegenstand erscheint für unser Auge deshalb zunächst schwarz, weshalb es zur Bezeichnung Schwarzer Körper kommt.

Lediglich wenn die Temperatur sehr stark erhöht wird und der Körper zu glühen anfängt, wird Strahlung im sichtbaren Bereich Strahlung ausgesendet. Auch wenn der Körper nun je nach Temperatur eine Farbe besitzt (“Glühfarben”), bezeichnet man diesen Gegenstand definitionsgemäß nach wie vor als Schwarzen Körper, da weiterhin alle auftreffende Strahlung auf den Gegenstand absorbiert wird. Ein Schwarzer Körper muss also tatsächlich nicht zwangsläufig schwarz sein! Ein eindrucksvolles Beispiel ist die Sonne, die tatsächlich einen fast perfekten Schwarzen Körper darstellt, aber aufgrund der enormen Temperatur von 5778 K weiß glühend am Himmel erscheint.

Die Definition eines Schwarzer Körpers ist nicht, dass dieser unter allen Umständen schwarz erscheint, sondern dass er alle auftreffende Strahlung absorbiert! Je nach Temperatur sendet auch ein vermeintlich schwarzer Gegenstand sichtbare Strahlung aus und glüht” somit in verschiedenen Farben!

Schwarzkörperstrahlung

Sofern ein Gegenstand nicht allzu stark erhitzt wird, liegt die von einem Körper abgegebene Wärmestrahlung im infraroten Wellenlängenbereich. Diese Infrarotstrahlung ist für unser Auge unsichtbar, weshalb ein Schwarzer Körper tatsächlich zunächst weiterhin schwarz erscheint! Mit einer Wärmebildkamera kann diese Wärmestrahlung aber “sichtbar” gemacht werden und lässt dann umgekehrt Rückschlüsse auf die Temperatur zu.

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Abbildung: Wärmebild eines Autos

Die abgegebene Wärmestrahlung ändert ihren Wellenlängenbereich jedoch mit der Temperatur, sodass bei ausreichend hohen Temperaturen das emittierte Wellenlängenspektrum sich in den sichtbaren Bereich verschiebt und sogar darüber hinaus (d.h. in der Ultraviolett-Bereich). Auch ein vermeintlich “schwarzer” Körper beginnt dann farblich zu “glühen”. Es handelt sich bei diesem Glühen eben nicht um reflektierte Strahlung sondern um selbst emittierte Strahlung von “innen” heraus!

An dieser Stelle kommt nun auch der Schwarze Körper ins Spiel. Zur Untersuchung des emittierten Strahlungsspektrums eine Gegenstandes ist es notwendig, dass tatsächlich auch nur die vom Körper selbst emittierte Wärmestrahlung gemessen wird und nicht die von anderen Strahlungsquellen reflektierten Anteile. Deshalb darf der zu untersuchende Körper keine Strahlung reflektieren sondern muss alle auftreffende Strahlung absorbieren. Man benötigt zur Untersuchung des Wellenlängenspektrums der thermischen Strahlung (auch als spektrale Verteilung bezeichnet) also einen Schwarzen Körper!

Ein Schwarzer Körper eignet sich zur Untersuchung der spektralen Verteilung der ausgesendeten Wärmestrahlung besonders, da die Strahlung keine reflektierenden Anteile von Störquellen enthält!

In der Praxis kann ein Schwarzer Körper in sehr guter Näherung relativ einfach realisiert werden. Hierzu wird lediglich ein Loch in einen hohlen Gegenstand gebohrt. Trifft nun Strahlung in das Loch, dann wird diese im Inneren mehrfach an den Wänden reflektiert und immer auch zu einem gewissen Grad absorbiert. Nach mehreren Reflexionen ist die eingetretene Strahlung somit nahezu vollständig absorbiert worden und tritt nicht mehr durch das Loch aus. Alle einfallende Strahlung wird somit vom Hohlraum “verschluckt” und das Loch erscheint deshalb zunächst schwarz. Der Hohlraum kann somit in sehr guter Näherung als Schwarzer Körper betrachtet werden.

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Abbildung: Blumentopf mit Bodenöffnung und geöffnete, leere Getränkedose

Die obere Abbildung zeigt hierzu einen auf den Kopf gestellten Blumentopf mit Bodenöffnung sowie eine leere, geöffnete Getränkedose. Aufgrund der absorbierten einfallenden Strahlung erscheinen die Innenräume durch die Öffnungen jeweils schwarz. Selbst bei der Getränkedose aus hoch-reflektierendem Aluminium, dringt aufgrund der Absorption der einfallenden Lichtstrahlen so gut wie keine sichtbare Strahlung mehr nach außen! Selbst reflektierende Materialen wie Metalle können also durch ein Loch in sehr guter Näherung zu einem Schwarzen Hohlkörper werden.

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Abbildung: Absorption und Reflexion eines einfallenden Lichtstrahls in einen Hohlraum

Beachte, dass sich der Begriff des Schwarzen Körpers tatsächlich nur auf den Hohlraum bzw. das Loch bezieht und nicht auf den Gegenstand an sich! Denn der Körper selbst hat in der Regel eine sichtbare Farbe, die durch Reflexionen des auftreffenden Lichtes zustande kommt. Die Außenseite des Gegenstandes stellt also keineswegs einen Schwarzen Körper dar!

Auch wenn zunächst offensichtlich kein sichtbares Licht aus dem Hohlraum emittiert wird und deshalb schwarz erscheint, so tritt aufgrund des Schwingens der Atome dennoch Strahlung in Form von Wärmestrahlung aus. Diese Strahlung wird aufgrund des verwendeten Schwarzen Körpers dann auch als Schwarzkörperstrahlung bezeichnet bzw. aufgrund der Realisierung mit einem Loch auch Hohlraumstrahlung genannt. Mit einer Wärmebildkamera kann diese zunächst nicht sichtbare Schwarzkörperstrahlung in Form von Infrarotstrahlung sichtbar gemacht werden (weiße Bereiche in der unteren Illustration).

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Abbildung: Illustration der Wärmestrahlung in Falschfarben

Als Schwarzkörperstrahlung oder Hohlraumstrahlung wird die emittierte Wärmestrahlung eines Schwarzen Körpers bezeichnet!

Spektrale Verteilung der Intensität der Schwarzkörperstrahlung (Planck-Sepktrum)

Mit unterschiedlichen Materialien kann nun mit Hilfe der Hohlraumstrahlung das emittierte Wellenlängenspektrum bei verschiedenen Temperaturen gemessen und untersucht werden. Aufgrund der thermischen Beständigkeit auch bei relativ hohen Temperaturen ist es an dieser Stelle sinnvoll Materialien aus Metall zu verwenden. In die hohlen Metallblöcke werden dann Löcher angebracht, durch die die Schwarzkörperstrahlung nach außen dringen kann und mit einem Detektor gemessen werden kann. Die Temperatur kann relativ einfach durch Erwärmung der Metallblöcke verändert werden.

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Abbildung: Untersuchung der spektralen Intensitätsverteilung der Schwarzkörperstrahlung für verschiedene Materialien und Temperaturen
Animation: Absorption der einfallenden Strahlung in einen Hohlraum

Die Auswertung des Experiments erfolgt in einem Diagramm, in dem die sogenannte spektrale Intensität über die Wellenlänge aufgetragen wird. Ein solches Diagramm gibt vereinfacht gesagt an, welche Wellenlänge mit welcher Intensität (Strahlungsleistung pro Fläche) abgestrahlt wird. Näheres hierzu im nächsten Absatz. Meist wird dabei eine doppelt-logarithmische Einteilung verwendet, um bei den verschiedenen Temperaturen einen möglichst großen Wellenlängenbereich abdecken zu können.

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Abbildung: Spektrale Verteilung der Intensität der Strahlung eines Schwarzen Körpers (Planck-Spektrum)

Bei dem Begriff der Intensität handelt es sich im physikalischen Sinne um eine Strahlungsleistung pro Flächeneinheit (Flächenleistungsdichte), d.h. um die pro Flächeneinheit emittierte Strahlungsenergie pro Zeit. Als Fläche ist in diesem Fall die Oberfläche der Hohlräume zu verstehen, da von dieser Fläche die Strahlung ausgeht und durch das Loch austritt. Die Intensität wird für die Auftragung im Diagramm zudem auf die Wellenlänge selbst bezogen, da die Intensität immer nur innerhalb eines Wellenlängenbereichs gemessen werden kann und nicht für eine exakte Wellenlänge bestimmt werden kann. Diese Intensität pro Wellenlänge wird deshalb auch als spektrale Intensität bezeichnet. In einem solchen Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve innerhalb eines Wellenlängenbereichs der Intensität mit der die Strahlung im entsprechenden Wellenlängenbereich wahrgenommen wird. Die Fläche unter der gesamten Kurve entspricht somit der insgesamt abgestrahlten Intensität.

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Abbildung: Interpretation der Fläche unter der spektralen Intensitätskurve

Bei der Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung mit unterschiedlichen Materialien stellt man nun fest, dass das abgestrahlte Wellenlängenspektrum nur von der Temperatur abhängig ist und nicht vom Material. Die Strahlung eines Schwarzen Körpers der mit einem Hohlraum in einem Aluminiumblock realisiert wird, weißt somit die identisch spektrale Intensitätsverteilung auf wie die Schwarzkörperstrahlung eines Stahblocks oder eines Blocks aus Messing.

Das Wellenlängespektrum einer Schwarzkörperstrahlung ist nur von der Temperatur abhängig und nicht vom Material!

Die genauere Untersuchung des Wellenlängenspektrums zeigt, dass sich das Maximum der spektralen Intensität mit zunehmender Temperatur zu immer geringeren Wellenlängen verschiebt. Während bei relativ niedrigen Temperaturen das Maximum im Infrarotbereich liegt und damit die Strahlung für das Auge nicht sichtbar ist, verschiebt sich das Wellenlängenspektrum mit zunehmender Temperatur in den sichtbaren Bereich. Das Loch bzw. der Schwarze Körper beginnt nun aufgrund der sichtbar emittierten Strahlung zu leuchten.

Animation: Schwarzkörperstrahlung in Abhängigkeit der Temperatur

Ab ca. 1000 K handelt es sich dabei um ein leicht rötliches leuchten, wie man es von glühendem Metall kennt. Die untere Abbildung zeigt hierzu das Glühen eines Heizelementes eines Backofens. Die Temperatur liegt dabei im Bereich von etwa 800 °C.

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Abbildung: Rotes Glühen des Heizelementes eines Ofens
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Abbildung: Rotes Glühen eines Schwarzen Körpers bei 1000 K

Bei 2000 K treten im Wellenlängenspektrum vermehrt Anteile im gelben Wellenlängenbereich auf, sodass der Körper eher gelblich strahlt. Da die abgestrahlte Intensität jedoch im gesamten sichtbaren Bereich relativ hoch ist, werden alle Farbrezeptoren in unserem Auge sozusagen “überbelichtet”. In diesem Fall werden dann alle Rezeptoren nahezu identisch angeregt und die gelbliche Strahlung erscheint für unser Auge meist weiß (siehe auch Artikel Farbwahrnehmung).

Abbildung: Gelbes Glühen eines Schwarzen Körpers bei 2000 K

Auch die weiße Farbe des Lichtbogens beim Schweißen mit Temperaturen von über 3000 K lässt sich mit der Überblendung der Farbrezeptoren in unserem Auge erklären. Tatsächlich handelt es sich bei dem abgestrahlten Spektrum jedoch eher um eine gelbliches Wellenlängenspektrum. Diese gelbliche Farbe kann als solche nur wahrgenommen werden, wenn die Intensität stark verringert wird, z.B. wenn sie indirekt als Streulicht auf einem weißen Blatt Papier beobachtet wird.

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Abbildung: Sichtbare Schwarzkörperstrahlung beim Schweißen

Darüber hinaus zeigt sich anhand der spektralen Verteilung, dass bei solch hohen Temperaturen von über 3000 K vermehrt Ultraviolett-Strahlung (UV-Strahlung) emittiert wird. Dies erklärt die notwendige erforderliche Schutzausrüstung beim Schweißen, welche nicht nur die Augen sondern auch die Arme schützt. Ohne bedeckte Arme würde man durch die UV-Strahlung ansonsten einen “Sonnenbrand” bekommen!

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Abbildung: Hellgelbes Glühen eines Schwarzen Körpers bei 3000 K

Bei noch größeren Temperaturen von etwa 6000 K sind im abgestrahlten Wellenlängenspektrum nahezu alle sichtbaren Wellenlängenanteile mit gleicher Intensität vertreten. Bei dieser Strahlung handelt es sich also um eine weiße “Farbe”. Dies erklärt auch die weiße Sonnenstrahlung, da die Sonne als nahezu perfekter Schwarze Körper eine Oberflächentemperatur von 5778 K aufweist! Dabei strahlt die Sonne auch in nicht unerheblichem Maße UV-Strahlung ab. Zum Glück wird jedoch ein Großteil dieser UV-Strahlung durch die Erdatmosphäre absorbiert.

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Abbildung: Weißes Glühen eines Schwarzen Körpers bei 6000 K
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Abbildung: Sonne als Schwarzer Körper mit einer Oberflächentemperatur von 5778 K

Deutlich höhere Temperaturen als die der Sonne, besitzen bspw. sogenannte Blaue Riesen. Dabei handelt es sich ebenfalls um Sterne, die jedoch teilweise das 50-fache der Masse der Sonne besitzen. Die Oberflächentemperaturen können dabei mehrere 10.000 Kelvin betragen. In diesem Temperaturbereich sind im abgestrahlten Spektrum die blauen Wellenlängenanteile stärker vertreten als die rötlichen Anteile. Das Licht solcher Blauer Riesen erscheint deshalb bläulich, was letztlich auch Namensgeber dieser Sternenart ist.

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Abbildung: Blaues Glühen eines Schwarzen Körpers bei 10.000 K

Mathematische Beschreibung

Plancksches Strahlungsgesetz

Das ausgesendete Wellenlängenspektrum der Schwarzkörperstrahlung konnte lange Zeit nicht erklärt, da man bis dahin immer von einer kontinuierlichen Verteilung der Energie ausging. Erst durch Einführung diskreter Energiezustände gelang es dem Physiker Max Planck die Schwarzkörperstrahlung mathematisch zu beschreiben. Obwohl er die Einführung diskreter Energien physikalisch zunächst nicht zu deuten wusste, legte er damit den Grundstein der Quantenmechanik.

Wellenlängendarstellung

Folgende Formel konnte Planck für die spektrale Intensität \(I_s\) in Abhängigkeit der Wellenlänge \(\lambda\) herleiten, die auch als Planck’sches Strahlungsgesetz bekannt ist:

\begin{align}
\label{planck}
&\boxed{I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} } \\[5px]
\end{align}

Frequenzdarstellung

Da Wellenlänge \(\lambda\) und Frequenz \(f\) über die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) in Zusammenhang stehen (\(\lambda = \frac{c}{f}\)), kann das Planck’sche Strahlungsgesetz auch in Abhängigkeit der Frequenz ausgedrückt werden. Dabei darf allerdings die Wellenlänge \(\lambda\) nicht einfach nur durch den Ausdruck \(\frac{c}{f}\) ersetzt werden. Dies hat damit zu tun, dass es sich bei der spektralen Intensität um eine auf die Wellenlänge bezogene Größe handelt. Man muss also auch die Wellenlängenintervalle \(\text{d}\lambda\) in entsprechende Frequenzintervalle \(\text{d}f\) umrechnen!

Wirklich vergleichbar sind nur die abgestrahlten Intensitäten, nicht aber die spektralen Intensitäten. Die abgegebene Intensität \(\text{d}I(\lambda)\) in einem Wellenlängenbereich zwischen \(\lambda\) und \(\lambda + \text{d}\lambda\) ergibt sich durch Multiplikation der spektralen Intensität \(\text{d}I(\lambda)\) mit dem Wellenlängenintervall \(\text{d}\lambda\) (“Fläche unter der Kurve”):

\begin{align}
\label{c}
&\text{d} I(\lambda) =I(\lambda) \cdot \text{d}\lambda= \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} \cdot \text{d}\lambda \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Umrechnung der Wellenlängendarstellung in die Frequenzdarstellung

Dem Wellenlängenintervall \(\text{d}\lambda\) muss man also ein entsprechendes Frequenzintervall \(\text{d}f\) zuordnen. Dies gescheit über die Ableitung der Funktion \(f=\frac{c}{\lambda}\) nach der Variablen \(\lambda\):

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{f = \frac{c}{\lambda}} ~~~\text{bzw.}~~~\boxed{\color{red}{\lambda=\frac{c}{f}}}\\[5px]
&\frac{\text{d}f}{\text{d}\lambda} = \frac{c}{-\lambda^2} \\[5px]
\label{z}
&\text{d}\lambda = – \frac{\lambda^2}{c} \cdot \text{d}f \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen in Gleichung (\ref{z}) drückt lediglich aus, dass eine Erhöhung der Frequenz um \(\text{d}f>0\), eine Verringerung der Wellenlänge um \(\text{d}\lambda<0\) zur Folge hat. An dieser Stelle sind allerdings nur die nur die Beträge der Intervalle relevant, sodass auf das negative Vorzeichen verzichtet werden kann. Unter Berücksichtigung von Gleichung (\ref{a}) gilt somit:

\begin{align}
&\text{d}\lambda = \frac{\lambda^2}{c} \cdot \text{d}f = \frac{\left( \color{red}{\frac{c}{f}}\right)^2}{c} \cdot \text{d}f = \frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f \\[5px]
\label{b}
&\boxed{\color{blue}{\text{d}\lambda = \frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f}} \\[5px]
\end{align}

Werden nun die Gleichungen (\ref{a}) und (\ref{b}) in Gleichung (\ref{c}) eingesetzt, dann folgt für die spektrale Intensität \(I_s(f)\) in der Frequenzdarstellung:

\begin{align}
\text{d} I(f) &= \frac{2\pi h c^2}{\color{red}{\left(\frac{c}{f}\right)}^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\color{red}{\frac{c}{f}} k_B T}\right)-1} \cdot \color{blue}{\frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f} \\[5px]
&= \frac{2\pi h c^2 f^5}{c^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{ k_B T}\right)-1} \cdot \color{blue}{\frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f} \\[5px]
&= \underbrace{\frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{ k_B T}\right)-1}}_{I_s(f)} \cdot \text{d}f \\[5px]
\label{freq}
&\boxed{I_s(f) = \frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} } \\[5px]
\end{align}

Beachte also, dass wenn es um die spektrale Intensität geht, nicht mehr einfach nur die Wellenlänge in eine Frequenz umgerechnet werden kann, da aufgrund des reziproken Zusammenhangs unterschiedliche und vor allem nicht mehr äquidistante Intervallbreiten zugrunde liegen! Im Abschnitt Wien’sches Verschiebungsgesetz wird dies ebenfalls nochmals eine Rolle spielen.

Für die Umrechnung von der Wellenlängenform in die Frequenzform der spektralen Verteilung gilt also:

\begin{align}
&\boxed{I_s(f) =\frac{\lambda^2}{c} \cdot I_s(\lambda)} \\[5px]
\end{align}

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Da die Fläche unter der Kurve die abgestrahlte Intensität \(I\) wiedergibt, kann die gesamte abgestrahlte Intensität eines Schwarzen Körpers durch Integration des Planck’schen Strahlungsgesetzes über den gesamten Wellenlängenbereich bzw. Frequenzbereich hinweg erhalten werden. An dieser Stelle soll die Integration anhand der Frequenzdarstellung nach Gleichung (\ref{freq}) erfolgen:

\begin{align}
&I= \int_{0}^{\infty} I_s(f) ~ \text{d}f\\[5px]
&I= \int_{0}^{\infty} \frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} ~ \text{d}f\\[5px]
\label{her}
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{f^3}{\exp\left(\dfrac{hf }{k_B T}\right)-1} ~ \text{d}f\\[5px]
\end{align}

Diese Integral kann man dadurch lösen, dass man zunächst das Argument der Exponentialfunktion \(\frac{hf}{k_BT}\) durch \(x\) ersetzt (Integration durch Substitution). Somit gelten folgende Beziehungen zwischen der neu definierten Variablen \(x\) und der bisherigen Variablen \(f\):

\begin{align}
&x := \frac{hf}{k_B T} ~~~\Rightarrow \boxed{\color{red}{f = \frac{x k_B T}{h}}} \\[5px]
&\frac{\text{d}x}{\text{d}f} = \frac{h}{k_B T} ~~~\Rightarrow \boxed{\color{blue}{\text{d}f = \frac{k_B T}{h}\text{d}x} } \\[5px]
\end{align}

Werden diese Beziehungen in Gleichung (\ref{her}) eingesetzt, dann gilt:

\begin{align}
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\left(\color{red}{\frac{x k_B T}{h} }\right)^3}{\exp\left(\color{red}{x} \right)-1} ~ \color{blue}{\frac{k_B T}{h}\text{d}x }\\[5px]
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{k_B^3 T^3}{h^3} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~ \frac{k_B T}{h}\text{d}x\\[5px]
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \frac{k_B^3 T^3}{h^3} \cdot \frac{k_B T}{h} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~\text{d}x\\[5px]
&I= \frac{2\pi k_B^4}{h^3 c^2} T^4 \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~\text{d}x\\[5px]
\end{align}

Das Integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~\text{d}x \) lässt sich auf herkömmliche Weise nicht so einfach lösen. Ein Blick in die Formelsammlung der Mathematik liefert aber als Ergebnis den Wert \(\frac{\pi^4}{15}\). Somit gilt für die abgestrahlte Intensität des Schwarzen Körpers:

\begin{align}
&I= \frac{2\pi k_B^4}{h^3 c^2} T^4 \cdot \frac{\pi^4}{15}\\[5px]
&I= \underbrace{\frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}}_{\sigma} \cdot T^4 \\[5px]
&\boxed{I= \sigma \cdot T^4}~~~~~\text{mit}~~~~~\boxed{\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}}= 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Die konstanten Größen können zu einer neuen Konstante zusammengefasst werden, der sogenannten Stefan-Boltzmann-Konstanten \(\sigma\) (nicht zu verwechseln mit der Boltzmann-Konstante \(k_B\)!). Die abgestrahlte Intensität eines Schwarzen Körpers ist also nur von der Temperatur abhängig und nimmt mit der vierten Potenz zu. Diese Gesetzmäßigkeit wird auch als Stefan-Boltzmann-Gesetz bezeichnet.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die Strahlungsintensität eines Schwarzen Körpers im thermischen Gleichgewicht proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist!

Die Strahlungsleistung \(\Phi\) eines Schwarzen Körpers, d.h. dessen pro Zeiteinheit abgegebene Strahlungsenergie, ergibt sich schließlich durch Multiplikation der Intensität \(I\) (als Flächenleistungsdichte) mit der Oberfläche \(A\) des Schwarzen Körpers:

\begin{align}
&\boxed{\Phi(T,A) = \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

In der Praxis strahlen reale Gegenstände nicht mit der Intensität eines Schwarzen Körpers, sondern haben eine geringere Strahlungsleistung. Dies wird durch den einheitenlosen Emissionsgrad \(\varepsilon<1\) ausgedrückt. Der Emissionsgrad gibt die Strahlungsleistung eines realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper wieder:

\begin{align}
&\boxed{I_{real}=\varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4}\\[5px]
&\boxed{\Phi_{real} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Für nicht-metallische Oberflächen liegt der Emissionsgrad in vielen Fällen über 0,9. Viele Gegenstände können im Hinblick auf die emittierte Strahlung somit in sehr guter Näherung als Schwarze Körper betrachtet werden. Anhand der ausgesendeten Strahlung kann deshalb auch sehr gut auf die Temperatur geschlossen werden. Dies macht die Temperaturbestimmung von realen Gegenständen mit Hilfe einer Wärmebildkamera oder einem Pyrometer relativ einfach.

Mehr Informationen zum Stefan-Boltzmann-Gesetz und zur Herleitung aus der Thermodynamik finden sich im Hauptartikel Stefan-Boltzmann-Gesetz wieder.

Wiensches Verschiebungsgesetz

Betrachtet man die spektrale Verteilung der Intensität in Abhängigkeit der Temperatur, dann verschiebt sich das Maximum der spektralen Intensität mit zunehmender Temperatur zu immer geringeren Wellenlängen. Die Abhängigkeit dieser Wellenlänge \(\lambda_{max}\), bei der die spektraler Intensität ein Maximum aufweist, von der Temperatur ist durch nachfolgende Gleichung gegeben. Diese Gleichung ist auch als Wiensches Verschiebungsgesetz bekannt:

\begin{align}
&\boxed{\lambda_{max}=\frac{2897,8 \text{ µm K}}{T}}~~~\text{Wiensches Verschiebungsgesetz} \\[5px]
\end{align}

Schwarzkörper-strahlung, schwarzer Körper, Wien-sches Verschiebungsgesetz
Abbildung: Wiensches Verschiebungsgesetz

Man kann das Wiensche Verschiebungsgestz durch Bestimmung des Hochpunktes der Planckschen Strahlungsfunktion (\ref{planck}) ermitteln. Hierfür muss die Funktion unter Zuhilfenahme der Produktregel lediglich nach der Wellenlänge \(\lambda\) abgeleitet und Null gesetzt werden:

\begin{align}
\label{abl}
&\frac{\text{d}I_s(\lambda)}{\text{d}\lambda} \overset{!}{=} 0 ~~~~~\text{mit}~~~~~ I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} \\[5px]
\end{align}

Schwarzkörper-strahlung, schwarzer Körper, Wien-sches Verschiebungsgesetz, Herleitung
Abbildung: Herleitung des Wienschen Verschiebungsgesetzes

\begin{align}
\frac{\text{d}I_s(\lambda)}{\text{d}\lambda} &= 2 \pi c^2 \left(\frac{hc}{k_B T \lambda^7} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda}\right)}{\left[\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1\right]^2} – \frac{1}{\lambda^6} \cdot \frac{5}{\exp\left(\frac{hc}{k_B T \lambda}\right)-1} \right) \\[5px]
&= \underbrace{\frac{2 \pi c^2}{\lambda^6 \cdot \left[ \exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1 \right] }}_{>0} \underbrace{\left(\frac{hc}{k_B T \lambda} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda}\right)}{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1} – 5 \right)}_{=0} =0
\end{align}

Diese Gleichung wird nur dann null sein, wenn der Ausdruck in der runden Klammer null wird. Somit folgt:

\begin{align}
&\frac{hc}{k_B T \lambda} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right)}{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1} – 5 = 0 \\[5px]
\end{align}

Mit der nachfolgend angegebenen Substitution, vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:

\begin{align}
\label{max}
&\boxed{x := \frac{hc}{\lambda k_B T}} ~~~\Rightarrow~~~ x \cdot \frac{\exp\left(x\right)}{\exp\left(x\right) -1} – 5 = 0 \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden, z.B. mit dem Newton-Verfahren. Als Lösung erhält man \(x=4,9651\). Mit dieser Lösung kann die Wellenlänge \(\lambda_{max}\) in Abhängigkeit der Temperatur durch Umstellung von Gleichung (\ref{max}) ermittelt werden:

\begin{align}
& \lambda_{max}= \frac{hc}{x k_B T} = \frac{\tfrac{hc}{x k_B}}{T}= \frac{0,0028978 \text{ m K}}{T}= \frac{2897,8 \text{ µm K}}{T} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
&\boxed{\lambda_{max}=\frac{2897,8 \text{ µm K}}{T}}\\[5px]
\end{align}

Das Maximum der spektralen Intensität kann auch für die Frequenzdarstellung \(I_s(f)\) ermittelt werden. Hierfür ist die Funktion \(I_s(f)\) nach der Frequenz \(f\) abzuleiten und anschließend Null zu setzen:

\begin{align}
&\frac{\text{d}I_s(f)}{\text{d}\lambda} \overset{!}{=} 0 ~~~\Rightarrow~~~ \boxed{f_{max} = 5,879 \cdot 10^{10} \tfrac{\text{Hz}}{\text{K}} \cdot T}
\end{align}

Anmerkung

Beachte, dass das Wiensche Verschiebungsgesetz die Wellenlänge \(\lambda_{max}\) angibt bei der die spektrale Intensität ein Maximum aufweist. Dieses Maximum ist nicht gleichzusetzen mit dem Maximum der Intensität an sich bzw. mit dem Maximum der Strahlungsleistung! Dies führt zum Beispiel dazu, dass zwar der allgemeine Zusammenhang \(f=\frac{c}{\lambda}\) gilt, jedoch in diesem speziellen Fall nicht \(f_{max}=\frac{c}{\lambda_{max}}\)!

Dies hat damit zu tun, dass es sich bei der spektralen Intensität um eine auf die Wellenlänge bezogene Größe handelt. Man misst sozusagen die Strahlungsleistung in einem bestimmten Wellenlängenbereich \(\text{d}\lambda\) und bezieht hierauf die Strahlungsleistung. Ein Vergleich unterschiedlicher Strahlungsleistungen ist also nur dann gegeben wenn auch immer dieselben Wellenlängenintervalle betrachtet werden. Da die Frequenz nun nicht proportional zur Wellenlänge ist sondern umgekehrt proportional, bedeuten äquidistante Wellenlängenintervalle nicht auch äquidistante Frequenzintervalle.

Als einfaches Beispiel soll der Wellenlängebereich zwischen 1 und 10 µm dienen, der in Intervallen von jeweils 1 µm unterteilt wird. Es ergibt sich somit die folgenden äquidistante Reihe:

\begin{align}
&1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 \\[5px]
\end{align}

Die reziproken Werte hiervon, die im übertragenen Sinne die Bedeutung der Frequenz als reziproker Wert der Wellenlänge haben, ergeben aber keine äquidistante Reihe mehr:

\begin{align}
&\frac{1}{1}-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} -\frac{1}{4} -\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} -\frac{1}{8} -\frac{1}{9} -\frac{1}{10} \\[5px]
&1-0,5-0,333-0,25-0,25-0,2-0,167-0,143-0,125-0,111-0,1 \\[5px]
\end{align}

Man kann also äquidistante Wellenlängenintervalle nicht mit äquidistanten Frequenzintervallen vergleichen kann. Deshalb gilt in der Frequenzdarstellung der spektralen Intensität eine andere Frequenz \(f_{max}\) als man durch die Formel \(f_{max}=\frac{c}{\lambda_{max}}\) erwarten könnte.