Dieser Artikel liefert unter anderem Antworten auf die folgenden Fragen:

  • Wie entsteht die Zahnform einer Zykloidenverzahnung?
  • Wie wird eine Zykloide konstruiert?
  • Was ist eine Hypozykloide bzw. eine Epizykloide?
  • Unter welcher Bedingung erhält man als Sonderform der Zykloide eine Evolvente?
  • Welche Vor- und Nachteile haben Zykloidenzahnräder im Vergleich zu Evolventenzahnräder?

Konstruktion einer Zykloide

Die Flankenform einer Zykloidenverzahnung bildet die sogenannte Zykloide. Eine Zykloide wird durch das Abrollen eines Rollkreises auf einem Grundkreis konstruiert. Ein fixer Punkt auf dem Rollkreis beschreibt als Bahnkurve dabei die Zykloide. Ferner kann unterschieden werden zwischen einer Epizykloide und einer Hypozykloide. Eine Epizykloide entsteht, wenn der Rollkreis auf der Außenseite des Grundkreises abgerollt wird. Wird der Rollkreis hingegen auf der Innenseite des Grundkreises abgerollt, dann spricht man von einer Hypozykloide. Dementsprechend kann man Rollkreise einteilen in innere Rollkreise (-> Hypozykolide) und äußere Rollkreise (-> Epizykloide)

Konstruktion einer Zykloide (Epizykloide und Hypozykloide)
Abbildung: Konstruktion einer Zykloide (Epizykloide und Hypozykloide)

Eine Zykloide erhält man durch Abrollen eines Rollkreises auf einem Grundkreis! Epizykloiden ergeben sich durch Abrollen auf der Außenseite des Grundkreises und Hypozykloiden durch Abrollen auf der Innenseite des Grundkreises!

Animation: Konstruktion einer Zykloide (Epizykloide und Hypozykloide)

Konstruktion von Zykloidenzahnräder

Bei einer Zykloidenverzahnung hat die Kopfflanke des Zahnes die Form einer Epizykloide und die Fußflanke die Form einer Hypozykloide. Der innere Rollkreis mit dem die Hypozykloide konstruiert wird, entspricht im Allgemeinen nicht dem Rollkreis mit dem die Epizykloide konstruiert wird, d.h. es kommen unterschiedliche Rollkreise zum Einsatz.

Konstruktion der Zahnform von Zykloidenzahnräder (Zykloidenverzahnung)
Abbildung: Konstruktion der Zahnform von Zykloidenzahnräder (Zykloidenverzahnung)

Damit die Zähne zweier Zykloidenzahnräder richtig ineinandergreifen können, wird jener äußere Rollkreis zur Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) des einen Zahnrades, dann als innerer Rollkreis für die Konstruktion der Fußflanke (Hypozykloide) des Gegenrades verwendet! Umgekehrt entspricht der innere Rollkreis zur Konstruktion der Fußflanke (Hypozykloide) des einen Zahnrades gleichzeitig dem äußeren Rollkreis für die Epizykloide Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) des Gegenrades. Diese Kopplung über die identischen Rollkreise bewirkt die Gültigkeit des Verzahnungsgesetzes, welches für ein konstantes Übersetzungsverhältnis notwendig ist. 

Animation: Konstruktion von Zykloidenzahnräder (Zykloidenverzahnung)

Der Rollkreis zur Konstruktion der Kopfflanke des einen Zahnrades wird für die Konstruktion der Fußflanke des Gegenrades genutzt und umgekehrt!

Da ein Rollkreis folglich immer zur Konstruktion der Zahnform zweier zu paarender Zahnräder genutzt wird, sind Zykloidenzahnräder immer speziell aufeinander abgestimmt. Ein Zykloidenzahnrad kann in der Regel also nicht einfach durch ein Zahnrad mit anderer Zähnezahl ersetzt werden wie dies bei Evolventenzahnräder der Fall ist (sog. Satzräder). Das Herstellen von Satzrädern ist bei der Zykloidenverzahnung nur dann möglich, wenn die Rollkreise stets identisch gewählt werden und nur auf den Grundkreis des Hauptrades bezogen werden. 

Zykloidenzahnräder müssen immer speziell aufeinander abgestimmt werden und können im Allgemeinen nicht beliebig getauscht werden!

Die Rollkreise sind bei Zykloidenzahnräder im Allgemeinen auf die Grundkreise abgestimmt, d.h. sie stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander, da das Verhältnis von Rollkreisdurchmesser zu Grundkreisdurchmesser die Form der Zykloide bestimmt. Alle Zykloiden mit demselben Rollkreis-Grundkreis-Verhältnis sind zueinander ähnlich. Häufig wiederzufinden ist ein Verhältnis von etwa 1:3 für Rollkreisdurchmesser zu Grundkreisdurchmesser. Der Rollkreisdurchmesser bezieht sich dabei auf den inneren Rollkreis zur Konstruktion der Hypozykloide.

Der Grundkreis entspricht bei einer Zykloidenverzahnung stets dem Teilkreis bzw. dem Wälzkreis. Der Berührpunkt der Wälzkreise entspricht dem Wälzpunkt. Der Teilkreisdurchmesser \(d\) ermittelt sich analog zu einer Evolventenverzahnung aus dem Produkt von Modul \(m\) und Zähnezahl \(z\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d = m \cdot z} \\[5px]
\end{align}

Der Grundkreis eines Zykloidenzahnrades entspricht dem Teilkreis bzw. dem Wälzkreis!

Auch der Kopfkreisdurchmesser \(d_k\) eines Zykloidenzahnrades lässt sich ebenfalls analog zu einem Evolventenzahnrad bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{d_k = d + 2 \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Alle weiteren geometrischen Zusammenhänge sind ausführlich im Artikel Geometrie von Evolventenzahnräder dargelegt.

Sonderformen von Zykloiden

Spezialfall der Hypozykloide: Die Gerade

Eine Besonderheit in der Zahnform von Zykloidenzahnräder ergibt sich für den Fall, dass der Rollkreisdurchmesser der Hälfte des Grundkreisdurchmessers entspricht. In diesem Fall erhält man gerade Fußflanken die sich radial nach außen erstrecken. Eine solche Verzahnung wird auch als Uhrenverzahnung bezeichnet, da sie früher häufig in Uhrwerken wiederzufinden war (heutzutage kommt jedoch meist die Kreisbogenverzahnung bzgl. der Zahnkopfflanke zur Anwendung). 

Gerade als Spezialfall einer Hypozykloide
Abbildung: Gerade als Spezialfall einer Hypozykloide

Gerade Fußflanken erhält man wenn der Rollkreisdurchmesser zur Konstruktion der Hypozykloide der Hälfte des Grundkreisdurchmessers entspricht!

Animation: Gerade als Spezialfall einer Hypozykloide

Beachte, dass eine Hypozykloide nur konstruiert werden kann, wenn der Rollkreisdurchmesser kleiner oder im Extremfall gleich dem Grundkreis des Zahnrades ist (in einem solchen Extremfall spricht man auch von einer Punktverzahnung). Ansonsten kann kein inneres Abrollen auf dem Grundkreis erfolgen! Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für die Konstruktion einer Epizykloide; dort können grundsätzlich beliebig große Rollkreise für das äußere Abrollen auf dem Grundkreis Verwendung finden. Ein wichtiger Spezialfall hierzu wird im nächsten Abschnitt näher besprochen.

Speziellfall der Epizykloide: Die Evolvente

Ein wichtiger Spezialfall der Zykloidenverzahnung ergibt sich, wenn man den Rollkreis zuzr Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) immer größer und größer werden lässt. Im Extremfall erhält man schließlich einen Kreis mit unendlich großem Durchmesser, welcher aufgrund der unendlich kleinen Krümmung dann einer Rollgeraden entspricht. Die entstehende Epizykloide wird dann Evolvente genannt und die Verzahnung entsprechend als Evolventenverzahnung.

Evolvente als Spezialfall einer Epizykloide mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers
Abbildung: Evolvente als Spezialfall einer Epizykloide mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers

Die Evolventenverzahnung ist ein Spezialfall der Zykloidenverzahnung mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers.

Animation: Evolvente als Spezialfall einer Epizykloide mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers

Vor- und Nachteile von Zykloidenverzahnungen

Die allgemeine Zykloidenform eines Zahnes weist im Eingriff ein günstigeres Verschleißverhalten und damit geringere Reibungsverluste im Vergleich zur Evolventenform auf. Ursache hierfür sind die geringeren Pressungskräfte, da im Eingriff stets eine konvexe und eine konkave Flanken aufeinander treffen und sich praktisch aneinander schmiegen.

Darüber hinaus können mit einer Zykloidenverzahnung im Vergleich zur Evolventenverzahnung Zahnräder mit deutlich geringeren Grenzzähnezahlen ohne Unterschnitt hergestellt werden. Auf diese Weise sind bspw. Zahnräder mit nur drei Zähnen theoretisch realisierbar. 

Das günstigere Reibungsverhalten und die geringen Grenzzähnezahlen sind Hauptgründe weshalb die Zykloidenverzahnung häufig in Uhren wiederzufinden ist/war.

Trotz der genannten Vorteile der Zykloidenverzahnung ist die Evolventenverzahnung aus fertigungstechnischen und praktischen Gründen dennoch die am meisten verwendete Verzahnungsart im Maschinenbau! Grund ist die relativ einfache fertigungstechnische Herstellung einer Evolventenform (gerade Werkzeugflanken) im Vergleich zur Zykloidenform (gekrümmte Werkzeugflanken).

Darüber hinaus ist die Zykloidenverzahnung sehr empfindlich gegenüber einer ungenauen Einstellung des Achsabstandes, die dann zu Übersetzungsschwankungen führt. Aus diesen Gründen ist die Zykloidenverzahnung im Maschinenbau kaum vorzufinden sondern wird nur in speziellen Fällen angewendet wie bspw. in der Uhrenindustrie, bei Drehkolbengebläse (auch Roots-Verdichter genannt) oder für den Antrieb von Zahnstangen .