Die Geschichte um die Krone des Archimedes ist der Überlieferung nach die folgende. Vor über 2000 Jahren regiert König Hieron II. von Syrakus. Für das Fertigen seiner Krone aus reinem Gold beauftrage er einen Goldschmied. Nachdem Hieron die Krone erhalten hatte, wurde er allerdings das Gefühl nicht los, dass die Krone gar nicht aus reinem Gold bestand. Um sicher zu gehen, dass der Goldschmied ihn nicht betrogen hatte, bat er den Wissenschaftler Archimedes sich der Sache anzunehmen und die Krone zu untersuchen.

Archimedes wusste zunächst nicht, wie er beweisen oder widerlegen sollte, dass die Krone aus reinem Gold bestand. Um besser nachdenken zu können, nahm sich Archimedes ein warmes Bad in einem Holzfass, das randvoll mit Wasser gefüllt war. Als das Wasser beim Einsteigen in das Fass überlief, kam ihm eine Idee. Er untersuchte daraufhin verschiedene Körper, die er jeweils in ein randvoll gefülltes Gefäß mit Wasser stellte. Manche Gegenstände schwammen auf der Wasseroberfläche und machen sanken zu Boden. Bei den Gegenständen, die auf dem Wasser schwammen, war die Auftriebskraft folglich genauso groß wie Gewichtskraft.

Bei den Gegenständen, die zu Boden sanken, war die Auftriebskraft geringer als die Gewichtskraft. Die Auftriebskraft konnte er in diesem Fallen dadurch bestimmen, dass er die scheinbare Gewichtskraft des Gegenstandes bestimmte, wenn sich dieser vollständig unter Wasser befindet. Die Auftriebskraft sorgt dabei dafür, dass der Gegenstand leichter erscheint. Den Betrag, um den der Körper leichter zu sein scheint, entspricht gerade der Auftriebskraft.

In allen Fällen untersichte er gleichzeitig wie viel Wasser aus dem randvoll gefüllten Gefäß überläuft, wenn die verschiedenen Gegenstände jeweils darin platziert wurden. Dabei stellt er fest, dass die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (übergelaufenes Wasser) gerade der Auftriebskraft entspricht. Dies wird auch als das archimedische Prinzip bezeichnet.

Das archimedische Prinzip besagt, dass die Auftriebskraft eines Körpers der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit entspricht!

Mit Hilfe dieses Prinzips hatte Archimedes nun eine Möglichkeit gefunden, die Reinheit der Krone zu untersuchen. Der Überlieferung nach soll Archimedes mit den Worten „Heureka! Heureka!“ schreiend durch die Straßen gelaufen sein (das Wort „Heureka“ kommt aus dem altgriechischen und bedeutet soviel wie „ich habe [die Lösung] gefunden„). Sollte die Krone nämlich nicht aus reinem Gold sein, sondern auch deutlich billigeres Silber beigemischt worden sein, dann hätte die Krone aufgrund der geringeren Dichte von Silber, bei gleicher Gesamtmasse ein größeres Volumen, als wenn reines Gold verwendet werden würde (Gold zählt zu den 10 schwersten Elementen die es gibt; Silber ist nur rund halb so schwer).

Aufgrund des größeren Volumens würde die Krone beim Eintauchen in Wasser somit eine größere Wassermasse verdrängen. Die Auftriebskraft wäre gemäß dem archimedischen Prinzip deshalb größer als bei einer Krone aus reinem Gold. Archimedes nahm deshalb eine Balkenwaage und platzierte die Krone auf die eine Schale. Auf der gegenüberliegenden Schale legte er nun einen Barren aus reinem Gold, der genauso schwer wie die Krone war. Beide Seiten hielten sich zunächst das Gleichgewicht.

Sollte die Krone tatsächlich aus reinem Gold sein, dann müsste auch das Volumen der Krone exakt dem Volumen des Barrens entsprechen. Beachte, dass sich Metalle im Gegensatz zu Gasen nicht komprimieren lassen, d.h. das Volumen an sich kann nicht geändert werden, sondern es kann bei gleicher Masse nur in eine andere Form gebracht werden (Gesetz der Volumenkonstanz). Archimedes stellte nun beide Schalen mitsamt Krone bzw. Barren in zwei Gefäße. Anschließend füllte er diese jeweils mit Wasser. Dabei kippte die Balkenwaage nun in Richtung des Goldbarrens.

Offensichtlich erfuhr die Krone eine größere Auftriebskraft als der Goldbarren. Archimedes schloss hieraus, dass die Krone eine größere Wassermenge verdränge und somit das Volumen der Krone größere sein müsse als das Volumen des Goldbarrens. Die Krone konnte also nicht aus reinem Gold sein, da das darin enthaltene Silber das Volumen der Krone vergrößerte.

Hätte der Goldschmied anstelle des leichteren Silbers hingegen Wolfram genutzt, so wäre der Schwindel vielleicht nicht aufgefallen, da Wolfram mit einer Dichte von 19,35 g/cm³ nahezu dieselbe Dichte von 19,32 g/cm³ wie Gold aufweist und somit die Volumina bei gleicher Masse ebenfalls nahezu identisch sind.

Kochen auf dem Mount Everest

Mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel nimmt der Luftdruck mehr und mehr ab (siehe hierzu auch den Artikel barometrische Höhenformel). Dabei zeigt sich das Phänomen, dass Wasser bereits bei deutlich geringeren Temperaturen als man es in geringeren Höhen gewohnt ist zu kochen beginnt. Auf Meereshöhe bei einem Druck von 1,013 bar beginnt Wasser bei einer Temperatur von 100 °C zu kochen.

Auf dem Mount Everest in einer Höhe von 8849 m herrscht allerdings nur ein Luftdruck von rund 0,325 bar. Aufgrund dieses deutlich verminderten Drucks beginnt das Wasser bereits bei einer Temperatur von rund 71 °C zu kochen. Da die Temperatur während des Koches jedoch nicht weiter ansteigt, dauert das Zubereiten von Speisen wie Kartoffeln oder Pasta somit deutlich länger (siehe hierzu auch den Artikel Warum bleibt die Temperatur bei einer Änderung des Aggregatzustandes konstant?).

Erklärung mit dem Teilchenmodell

Dass der Siedepunkt vom äußeren Umgebungsdruck abhängig ist, gilt nicht nur für Wasser, sondern letztlich für alle Flüssigkeiten. Insbesondere gilt auch dabei, dass sich bei vermindertem Druck eine Abnahme des Siedepunktes zeigt. Dieses Phänomen kann qualitativ mit dem Teilchenmodell erklärt werden.

Beim Sieden (ugs. auch als kochen bezeichnet) verdampft die Flüssigkeit und wird gasförmig. Bei diesem Verdampfungsvorgang wird den Molekülen so viel Energie zugeführt, dass diese den molekularen Bindungskräften der Flüssigkeit entkommen können und in die Gasphase übergehen. Bei einem umgebenden Luftdruck von 1 bar vollzieht sich dieser Verdampfungsvorgang im Falle von Wasser bei einer Temperatur 100 °C.

Wird nun aber der äußere Luftdruck erhöht, so prallen die Luftteilchen verstärkt auf die Flüssigkeitsoberfläche. Dabei drücken die Luftteilchen die Flüssigkeitsmoleküle sozusagen verstärkt wieder zurück in Flüssigkeit. Für die Moleküle in der Flüssigkeit wird es somit schwerer in die Gasphase überzugehen. Die Wasserteilchen benötigen folglich eine größere Energie und damit eine höhere Temperatur, um der flüssigen Phase entkommen zu können. Aus diesem Grund wird bei erhöhtem umgebendem Luftdruck eine höhere Siedetemperatur benötigt, um eine Flüssigkeit zu verdampfen bzw. sie zum Kochen zu bringen.

Die Siedetemperatur einer Flüssigkeit steigt mit zunehmendem äußeren Umgebungsdruck!

Erhöhung der Siedetemperatur bei erhöhtem Druck (Schnellkochtopf)

Unter hohem Druck siedet auch Wasser folglich erst bei höheren Temperaturen. Dies wird zum Beispiel in sogenannten Schnellkochtöpfen genutzt, um das Wasser auf über 100 °C zu erhitzen. Ein Schnellkochtopf schließt den Topf mit Wasser gasdicht ab. Beim Verdampfen dehnt sich Wasser normalerweise um das 1700-fache aus. Da dies bei fest verschlossenem Topf jedoch nicht möglich ist, erhöht sich folglich der Druck. Ein Überdruckventil begrenzt den Druck dabei meist auf maximal 2 bar. Die Siedetemperatur steigt bei diesem erhöhten Druck auf rund 120 °C an. Im Topf zubereitete Speisen werden folglich nicht mehr nur bei 100 °C gekocht, sondern bei 120 °C!

Verringerung der Siedetemperatur bei verringertem Druck

Wenn eine Erhöhung des Umgebungsdruck zu einer Erhöhung der Siedetemperatur führt, dann bedeutet dies im umgekehrten Fall, dass eine Erniedrigung des äußeren Luftdruckes eine Verringerung der Siedetemperatur zur Folge hat. Und genau dies erklärt, weshalb Wasser auf dem Mount Everest aufgrund des niedrigen Drucks bei bereits 71 °C kocht. Speisen zuzubereiten, die in Wasser normalerweise eine Temperatur von 100 °C erfordern, ist also in großen Höhen gar nicht so einfach. An dieser Stelle müsste man zu den bereits erläuterten Schnellkochtöpfen greifen, um einen erhöhten Druck zu erhalten und die Siedetemperatur zu erhöhen.

Mit folgendem Experiment kann man die Abnahme der Siedetemperatur bei geringer werdendem Druck eindrucksvoll demonstrieren. Hierzu wird ein Glas mit Wasser unter einer Vakuumglocke platziert. Im Glas befindet sich ein Thermometer, um die Temperatur zu beobachten. Das Thermometer zeigt zu Beginn eine Temperatur von 20 °C an. Nun schält man die Vakuumpumpe an und verringert so den Druck allmählich. Unterhalb eines Drucks von etwa 0,023 bar beobachtet man dann im Wasser kleine Blasen aufsteigen und das Wasser beginnt zu sprudeln. Es handelt sich dabei um die typische Erscheinung, wenn Wasser kocht, wobei die Temperatur nach wie vor 20 °C beträgt. Und tatsächlich beginnt das Wasser bei einem Druck von 0,023 bar bereits bei 20 °C zu sieden.

Komponenten der Druckkräfte am Fluidelement

Die Euler-Gleichung dient der Beschreibung von reibungsfreien (nicht-viskosen) Strömungen. Diese Gleichung beruht auf dem zweiten Newtonschen Axiom, das die Änderung der Geschwindigkeit eines Fluidteilchens auf eine Krafteinwirkung zurückführt. Damit verbunden ist letztlich auch die Impulserhaltung, sodass die Euler-Gleichung auch als Folge der Impulserhaltung angesehen werden kann.

Für die Herleitung der Euler-Gleichung betrachten wir ein infinitesimales Fluidvolumen dV mit der Masse dm. Wir beschreiben die Bewegung des Fluidelementes aus einem ortsfesten Koordinatensystem heraus (sog. Eulersche Betrachtungsweise). Das betrachtete Fluidelement bewegt sich definitionsgemäß entlang einer beliebig orientierten Stromlinie.

Wir betrachten zunächst die Bewegung des Fluidelementes in x-Richtung. An der Stelle x herrsche der Druck p. An dieser Stelle wirkt auf die Fläche dA_yz des Volumenelements damit folgende Kraft F_x:

\begin{align}
&\underline{F_\text{x} = p \cdot \text{d}A_\text{yz}} \\[5px]
\end{align}

Der Druck ist in einer Strömung örtlich nicht konstant. Denn Druckunterschiede sind schließlich die Ursache, dass eine Strömung überhaupt zustande kommt. Somit wird sich der Druck in x-Richtung im Allgemeinen ändern. Bei gegebenen Druckgradienten ∂p/∂x (der negativ oder positiv sein kann) ergibt sich über die Länge dx des Fluidelementes somit folgende Druckänderung dp_x:

\begin{align}
&\underline{\text{d}p_\text{x} =\frac{\partial p}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{Druckänderung entlang }\text{d}x \\[5px]
\end{align}

Diese Druckänderung führt zu folgender Kraft F_x+dx an der Stelle x+dx:

\begin{align}
&F_{\text{x+d}x}= \left(p + \text{d}p_\text{x} \right) \cdot \text{d}A_\text{yz} \\[5px]
&\underline{F_{\text{x+d}x} = \left(p + \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \text{d}x \right) \cdot \text{d}A_\text{yz}} \\[5px]
\end{align}

Die auf die Flächen dA_yz wirkenden Kräfte F_x und F_x+dx sind jeweils entgegengesetzt gerichtet, sodass in x-Richtung folgende effektive Druckkraft F_px wirkt, die die Bewegung in x-Richtung verursacht/beeinflusst.

\begin{align}
\require{cancel}
&F_\text{px} = F_\text{x} – F_{\text{x+d}x} \\[5px]
&F_\text{px} = p \cdot \text{d}A_\text{yz} – \left(p + \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \text{d}x \right) \cdot \text{d}A_\text{yz} \\[5px]
&F_\text{px} = \cancel{p \cdot \text{d}A_\text{yz}} – \cancel{p \cdot \text{d}A_\text{yz}} – \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \underbrace{\text{d}x \cdot \text{d}A_\text{yz}}_{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{F_\text{px} = – \frac{\partial p}{\partial x} \cdot \text{d}V} ~~~~~\text{Betrag der Druckkraft in x-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen gibt an, dass bei positivem Druckgradienten ∂p/∂x>0 die Kraft auf das Fluidelement entgegen der der positiven x-Richtung gerichtet ist, da der Druck entlang des Fluidelementes offensichtlich zunimmt. Das Fluidelement würde somit in x-Richtung abgebremst werden, sofern es sich in positive x-Richtung bewegen würde. Dieselben Überlegungen wie wir sie für die x-Richtung angestellt haben, lassen sich auch für die y-Richtung und z-Richtung anstellen. Dies führt zu analogen Gleichungen:

\begin{align}
&\boxed{F_\text{py} = – \frac{\partial p}{\partial y} \cdot \text{d}V}~~~~~\text{Betrag der Druckkraft in y-Richtung} \\[5px]
&\boxed{F_\text{pz} = – \frac{\partial p}{\partial z} \cdot \text{d}V}~~~~~\text{Betrag der Druckkraft in z-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnen ∂p/∂y und ∂p/∂z die Druckgradienten in y- bzw. z-Richtung.

Vektorschreibweise der Druckkraft

Die anhand der jeweiligen Gradienten berechneten Druckkräfte F_px, F_py und F_pz können zeilenweise als Vektor geschrieben werden. In vektorieller Schreibweise gilt für die resultierende Druckkraft F_p folglich:

\begin{align}
&\vec{F_\text{p}} = \begin{pmatrix}F_\text{px} \\\ F_\text{py} \\\ F_\text{pz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{\partial p}{\partial x}\cdot \text{d}V \\\ -\frac{\partial p}{\partial y}\cdot \text{d}V \\\ -\frac{\partial p}{\partial z} \cdot \text{d}V \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}\large\frac{\partial p}{\partial x} \\\ \large\frac{\partial p}{\partial y} \\\ \large\frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \text{d}V\\[5px]
\end{align}

Der Ausdruck in der Klammer entspricht dem Druckgradienten und kann auch durch den Nabla-Operator ∇ ausgedrückt werden (häufig wird der Vektorpfeil über dem Operator auch weggelassen; formal ist der Nabla-Operator allerdings ein Vektor!):

\begin{align}
&\boxed{\vec F_\text{p} =- \vec \nabla p \cdot \text{d}V } ~~~\text{mit:}~~~\boxed{\vec \nabla =\begin{pmatrix}\large\frac{\partial}{\partial x}\\\ \large\frac{\partial }{\partial y} \\\ \large\frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}} ~~~\text{Nabla-Operator}\\[5px]
& \vec \nabla p = \text{Druckgradient} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Anwendung des Nabla-Operators auf ein Skalarfeld (hier: räumliche Druckverteilung) ein Vektorfeld ergibt. Die Vektoren zeigen dabei in Richtung des stärksten Anstiegs der skalaren Größe (hier: in Richtung des größten Druckanstiegs).

Auch an dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das negative Vorzeichen in der oberen Formel der Tatsache gerecht wird, dass die auf ein Fluidvolumen dV wirkende Druckkraft F_p entgegen des Druckgradienten ∇p gerichtet ist. Ein Fluidelement wird somit in Richtung abnehmenden Drucks beschleunigt, sofern keine weiteren Kräfte auf das Fluidteilchen einwirken.

Scherkräfte und Feldkräfte

In einer Strömung ist die Geschwindigkeit im Allgemeinen weder zeitlich noch räumlich konstant. An den seitlichen Flächen des betrachteten Fluidvolumens strömt das Fluid somit entweder langsamer oder schneller vorbei. Es kommt zu Reibungskräften, die umso größer sind, je viskoser das Fluid ist. Da wir allerdings von einer reibungsfreien Strömung und damit von einem nicht-viskosen Fluid ausgehen, treten solche Scherkräfte in der Strömung nicht auf.

Weitere Kräfte, die am Fluid angreifen, aber im Allgemeinen nicht vernachlässigt werden können, sind Feldkräfte wie bspw. durch die Gravitation verursacht. Luftströmung auf der Erde oder Flüssigkeitsströmungen in Rohren werden bspw. maßgeblich durch die Gravitation beeinflusst. Bei Strömungen die zum Beispiel ferromagnetische Fluidpartikel enthalten, beeinflusst auch ein äußeres Magnetfeld die Strömung.

Auch elektrisch geladene Partikel in einem Fluid sind denkbar, sodass die Strömung dann durch ein äußeres elektrisches Feld beeinflusst wird. Wasser wird bereits aufgrund der Dipolwechselwirkung der H₂O-Moleküle in einem elektrischen Feld beeinflusst, ohne dass dabei elektrisch geladene Partikel enthalten sein müssen. Dies lässt sich mit einem elektrisch aufgeladenen Plastikstab eindrucksvoll demonstrieren. Bringt man den geladenen Plastikstab in die Nähe eines dünnen Wasserstrahls, dann stellt man fest, dass der Strahl abgelenkt wird.

Auf ein Fluidelement wirken neben der Druckkraft F_p somit auch Feldkräfte F_G (die Gewichtskraft soll an dieser Stelle nur stellvertretend für auch andere mögliche Feldkräfte stehen!). Die Summe beider Kräfte entspricht dann letztlich der resultierenden beschleunigenden Kraft F_b, die die Bewegung des Fluidelementes beeinflusst:

\begin{align}
& \vec{F}_\text{b} = \vec F_\text{G}+ \vec F_\text{p}\\[5px]
\label{besch}
&\boxed{\vec{F}_\text{b} = \vec F_\text{G}- \vec \nabla p \cdot \text{d}V } ~~~~~\text{beschleunigende Kraft auf ein Fluidelement}\\[5px]
\end{align}

Zweites Newtonsches Axiom (substantielle Beschleunigung)

Gemäß des zweiten Newtonschen Axioms führt die beschleunigende Kraft F_b zu einer entsprechenden Geschwindigkeitsänderung (Beschleunigung), die von der Masse dm des betrachteten Fluidelements abhängt. Diese materielle Beschleunigung wird auch als totale oder substantielle Beschleunigung a_sub bezeichnet:

\begin{align}
& \boxed{\vec a_\text{sub} = \frac{\vec F_\text{b}}{\text{d}m}} ~~~~~\text{2. Newtonsches Axiom}\\[5px]
& \vec a_\text{sub} = \frac{\vec F_\text{G}- \vec \nabla p \cdot \text{d}V}{\text{d}m} \\[5px]
& \vec a_\text{sub} = \frac{\vec F_\text{G}}{\text{d}m}- \frac{\vec \nabla p \cdot \text{d}V}{\text{d}m}
~~~\text{mit} ~~~\text{d}m=\rho \cdot \text{d}V ~~~\text{folgt:}\\[5px]
& \vec a_\text{sub} = \underbrace{\frac{\vec F_\text{G}}{\text{d}m}}_{\text{spezifische Feldkraft } g}- \frac{\vec \nabla p \cdot \text{d}V}{\rho \cdot \text{d}V} \\[5px]
\label{eu}
& \boxed{\vec a_\text{sub} = \vec g- \frac{1}{\rho} \vec \nabla p} ~~~~~\text{substantielle Beschleunigung}\\[5px]
\end{align}

Der Quotient von Feldkraft F_G und Masse dm lässt sich allgemein als Feldkraft pro Masseneinheit auffassen und entspricht im Falle der Gewichtskraft gerade der Fallbeschleunigung g. Sollten noch andere Feldkräfte wie magnetische oder elektrische Kräfte angreifen, so sind diese ebenfalls als massenspezifische Feldkräfte in der Gleichung zu berücksichtigen.

Lokale und konvektive Beschleunigung

Die substantielle Beschleunigung, d.h. die tatsächlich beobachtbare Beschleunigung eines materiellen Fluidelements (deshalb auch als materielle Beschleunigung bezeichnet), lässt sich letztlich auf zwei Ursachen zurückführen. Zum einen ändert sich eine Strömung und damit die Geschwindigkeit eines Fluidelementes nämlich nicht nur zeitlich, sondern auch örtlich. Die substantielle Beschleunigung ist somit auf eine zeitliche Komponente (lokale Beschleunigung) und eine örtliche Komponente (konvektive Beschleunigung) zurückzuführen.

Wir können uns hierzu eine Luftströmung an einem windigen Tag vorstellen. Der Wind weht dabei mit einer sich ständig ändernden Richtung (instationäre Strömung). Ein Fluidelement an einem bestimmten Ort betrachtet, ändert also von einer Sekunde auf die nächste seine Geschwindigkeit. Dies ist eine Folge der sich zeitlich permanent ändernden Strömung. Die darauf zurückzuführende Beschleunigung wird deshalb auch als lokale Beschleunigung a_lok bezeichnet, da sie eine Folge der sich ändernden Geschwindigkeit an einem festen (lokalen) Ort ist.

Man könnten nun schlussfolgern, dass bei einer stationären Strömung, bei der sich die Geschwindigkeit zeitlich nicht ändert, folglich keine Beschleunigung auf die Fluidteilchen wirke. Dem ist allerdings nicht so. Die Geschwindigkeit ändert sich bei einer stationären Strömung zwar zeitlich an einem festen Ort nicht mehr, aber ein Fluidteilchen muss beim Strömen im Allgemeinen dennoch seine Geschwindigkeit permanent ändern. Zum Beispiel ist die Strömungsgeschwindigkeit in einem Rohr an einer Engstelle größer im Vergleich zu einem Punkt in einem größeren Strömungsquerschnitt. Ein Fluidteilchen wird trotz der fehlenden zeitlichen Änderung der Strömung im Allgemeinen also dennoch beschleunigt, wenn es einen Ort ändert.

Auch das Strömen von Wind um eine gebogene Strecke erfordert ständig eine Anpassung des strömenden Fluidteilchens an die neue Geschwindigkeitsrichtung und damit eine Beschleunigung. Die auf die Änderung des Ortes zurückzuführende Beschleunigung wird deshalb auch als konvektive Beschleunigung a_kon bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich also festhalten:

• Die lokale Beschleunigung ist auf die sich zeitlich ändernde Strömungsgeschwindigkeit einer instationären Strömung an einem festen Ort zurückzuführen.
• Die konvektive Beschleunigung ist auf die sich von Ort zu Ort ändernde Strömungsgeschwindigkeit zurückzuführen.
• Beide Beschleunigungsanteile zusammen ergeben die beobachtbare Beschleunigung, die auch als substantielle oder materielle Beschleunigung bezeichnet wird.

Beachte, dass der lokale Anteil der Beschleunigung bei einer stationären Strömung entfällt, da sich die Geschwindigkeit an einem festen Ort der Strömung dann zeitlich nicht ändert!

Zusammenhang zwischen lokaler, konvektiver und substantieller Beschleunigung

Wir betrachten der Einfachheit halber zunächst ein Fluidteilchen auf einer Stromline s und beschreiben die Bewegung auf dieser Stromlinie (eindimensionale Bewegung). Die substantielle Änderung der Geschwindigkeit dv, d.h. die tatsächlich beobachtbare Geschwindigkeitsänderung, erhält man in diesem Fall also über die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ∂v/∂t innerhalb der Zeit dt (lokaler Anteil) und über eine räumliche Änderung der Geschwindigkeit ∂v/∂s (Gradient) innerhalb der Strecke ds (konvektiver Anteil):

\begin{align}
&\underbrace{\text{d}v}_{\text{substantielle Änderung}} = \underbrace{\frac{\partial v}{\partial t} \text{d}t}_{\text{lokale Änderung}} + \underbrace{\frac{\partial v}{\partial s} \text{d} s}_{\text{konvektive Änderung}}\\[5px]
\end{align}

Teilt man die obere Gleichung durch die Zeitdauer dt, so erhält man folgenden Ausdruck für die substantielle Beschleunigung a_sub in tangentialer Richtung der Stromlinie:

\begin{align}
\require{cancel}
&\boxed{a_\text{sub} = \frac{\text{d}v}{\text{d}t}} = \frac{\partial v}{\partial t} \frac{\cancel{\text{d}t}}{\cancel{\text{d}t}}+ \frac{\partial v}{\partial s} \underbrace{\frac{\text{d}s}{\text{d}t}}_{v} \\[5px]
&a_\text{sub} = \underbrace{~~~~~\frac{\partial v}{\partial t}~~~~~}_{\text{lokale Beschleunigung}} + \underbrace{~~~~~\frac{\partial v}{\partial s}v~~~~~}_{\text{konvektive Beschleunigung}} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
& \boxed{a_\text{sub} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial s}v} &&\text{substantielle Beschleunigung}\\[5px]
& \boxed{a_\text{lok}=\frac{\partial v}{\partial t}} &&\text{lokale Beschleunigung} \\[5px]
& \boxed{a_\text{kon}= \frac{\partial v}{\partial s}v} &&\text{konvektive Beschleunigung} \\[5px]
\end{align}

Der Term der konvektiven Beschleunigung ist offensichtlich von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt. Dies wird auch anschaulich klar, denn strömt das Fluidelement sehr schnell, dann legt dieses innerhalb einer bestimmten Zeit eine relativ große Strecke zurück. Bei gegebenem Geschwindigkeitsgradienten ∂c/∂s bedeutet dies dann auch eine entsprechend große Änderung der Geschwindigkeit und somit eine große Beschleunigung.

Substantielle Beschleunigung als Vektor

Die Beschreibung der Bewegung beschränkte sich der Einfachheit halber bisher auf die eindimensionale Bewegung eines Fluidteilchens auf einer Stromlinie. Im dreidimensionalen Fall, d.h. bei der Beschreibung der Bewegung aus einem ortsfesten Koordinatensystem heraus, lässt sich der lokale Beschleunigungsanteil ebenfalls noch relativ einfach in Vektorform schreiben:

\begin{align}
& \boxed{\vec a_\text{lok}=\frac{\partial \vec v}{\partial t} = \begin{pmatrix}\Large\frac{\partial v_x}{\partial t} \\\ \Large\frac{\partial v_y}{\partial t} \\\ \Large\frac{\partial v_z}{\partial t} \end{pmatrix} } ~~~~~\text{lokale Beschleunigung} \\[5px]
\end{align}

Im Gegensatz hierzu ist die Beschreibung der konvektiven Beschleunigung deutlich komplizierter, da es sich dabei um eine Ortsabhängigkeit in drei Dimensionen handelt. Jede Geschwindigkeitskomponente ändert sich nicht nur aufgrund einer lokalen Ortsänderung in einer Dimension, sondern ist die Folge einer Ortsänderung in allen drei Raumdimensionen!

Die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung wird sich im Allgemeinen nämlich nicht nur dann ändern, wenn sich ein Fluidteilchen in x-Richtung bewegt. Die Geschwindigkeit in x-Richtung wird sich zum Beispiel auch dann ändern, wenn sich das Fluidteilchen in y-Richtung bewegt, weil dort bspw. die Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung geringer ist. Auch eine Ortsänderung in z-Richtung hat im Allgemeinen eine Änderung der Geschwindigkeit in x-Richtung zur Folge, weil dort bspw. die Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung größer wird.

Die konvektive Beschleunigungskomponente in x-Richtung (a_kon,x) ist somit auf die Ortsänderung in alle drei Raumdimensionen zurückzuführen:

\begin{align}
& \underline{a_\text{kon,x}=\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}} ~~~~~\text{konvektive Beschleunigung in }x\text{-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Nochmals zur Erläuterung: Die Geschwindigkeit eines Fluidteilchens in x-Richtung wird sich im Allgemeinen eben nicht nur bei einer Ortsänderung in x-Richtung ändern (Geschwindigkeitsgradient ∂v_x/∂x), sondern auch bei einer Ortsänderung in y-Richtung (Geschwindigkeitsgradient ∂v_x/∂y) oder z-Richtung (Geschwindigkeitsgradient ∂v_x/∂z).

Für die konvektiven Beschleunigungskomponenten in y- und z-Richtung gelten die analogen Überlegungen:

\begin{align}
& \underline{a_\text{kon,y}=\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}v_\text{z}} ~~~~~\text{konvektive Beschleunigung in }y\text{-Richtung} \\[5px]
& \underline{a_\text{kon,y}=\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}v_\text{z}} ~~~~~\text{konvektive Beschleunigung in }z\text{-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Der Vektor der konvektiven Beschleunigung a_kon stellt sich insgesamt also mit 9 Termen dar:

\begin{align}
& \boxed{\vec a_\text{kon}= \large \begin{pmatrix} a_\text{kon,x}\\\ a_\text{kon,y}\\\ a_\text{kon,z} \end{pmatrix} 
= \Large \begin{pmatrix}
\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}
\\\
\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}v_\text{z}
\\\
\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}v_\text{z}
\end{pmatrix} 
} \\[0px]
&\text{konvektive Beschleunigung} \\[5px]
\end{align}

Die konvektive Beschleunigung lässt sich mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ deutlich kompakter darstellen:

\begin{align}
& \boxed{\vec a_\text{kon} = \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v}~~~\text{konvektive Beschleunigung} \\[5px]
\end{align}

Für den Vektor der substantielle Beschleunigung a_sub, als Summe von lokaler und konvektiver Beschleunigung, gilt somit:

\begin{align}
\label{en}
&\boxed{\vec a_\text{sub} = \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v} ~\text{substantielle Beschleunigung} \\[5px]
& \boxed{\vec a_\text{sub}
= \Large \begin{pmatrix}
\frac{\partial v_x}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}
\\\
\frac{\partial v_y}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}v_\text{z}
\\\
\frac{\partial v_z}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}v_\text{z}
\end{pmatrix} \\[5px]
}
\end{align}

Setzt man Gleichung (\ref{en}) in Gleichung (\ref{eu}) ein, dann erhält man letztlich die Bewegungsgleichung eines Fluidteilchens in einer reibungsfreien, instationären Strömung. Diese Gleichung wird auch als Euler-Gleichung bezeichnet und gilt sowohl für inkompressible als auch für kompressible Fluide:

\begin{align}
& \vec a_\text{sub} = \vec g- \frac{1}{\rho} \vec \nabla p \\[5px]
&\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v = \vec g- \frac{1}{\rho} \vec \nabla p \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v + \frac{1}{\rho} \vec \nabla p = \vec g}~~~\text{Euler-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Die Euler-Gleichung kann auch in Komponenten angegeben werden:

\begin{align}
& \boxed{\frac{\partial v_\text{x}}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = g_\text{x}}~~~\text{Euler-Gln. in x-Richung} \\[5px]
& \boxed{\frac{\partial v_\text{y}}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}v_\text{z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} = g_\text{y}}~~~\text{Euler-Gln. in y-Richung} \\[5px]
& \boxed{\frac{\partial v_\text{z}}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}v_\text{z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} = g_\text{z}}~~~\text{Euler-Gln. in z-Richung} \\[5px]
\end{align}

Beachte bei der Berechnung der konvektiven Beschleunigung mithilfe des Nabla-Operators folgende Vorgehensweise:

\begin{align}
\vec a_\text{kon} &= \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v\\[5px]
&= \left[\begin{pmatrix} v_x \\\ v_y \\\ v_z \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\\ \frac{\partial}{\partial y} \\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} v_x \\\ v_y \\\ v_z \end{pmatrix}\\[5px]
&=\left[ v_x \frac{\partial}{\partial x} + v_y \frac{\partial}{\partial y} + v_z \frac{\partial}{\partial z} \right] \cdot \begin{pmatrix} v_x \\\ v_y \\\ v_z \end{pmatrix}\\[5px]
&=\Large \begin{pmatrix}
v_\text{x} \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x} + v_\text{y} \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y} +v_\text{z} \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}
\\\
v_\text{x} \frac{\partial v_\text{y}}{\partial x} + v_\text{y} \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y} +v_\text{z} \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}
\\\
v_\text{x} \frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} +v_\text{y} \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y} +v_\text{z} \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}
\end{pmatrix} 
\end{align}

Anwendung der Euler-Gleichung entlang einer Stromlinie (Bernoulli-Gleichung)

Wir möchten an dieser Stelle die Euler-Gleichung auf eine Stromlinie anwenden und die Zustandsänderung einer Strömung entlang dieser Stromline beschreiben. In diesem Fall haben wir es mit einer eindimensionaler Beschreibung zu tun. Die Geschwindigkeit v entspricht der ortsabhängigen Geschwindigkeit auf der Stromlinie und p dem ebenfalls ortsabhängigen Druck. Mit s als Ortskoordinate entlang der Stromlinie lautet die Euler-Gleichung wie folgt:

\begin{align}
&\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial s}v + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial s} = – g \cdot \cos(\alpha) \\[5px]
\end{align}

Der Winkel α entspricht dem Winkel zwischen der senkrechten z-Richtung und der Tangente der Stromlinie s. Der Term -g⋅cos(α) beschreibt damit die entgegen der Stromlinie wirkende Komponente der Fallbeschleunigung, die bei einem positiven Winkel α zu einer abbremsenden Kraft des Fluidteilchen führt (deshalb das negative Vorzeichen). Eine infinitesimale Änderung auf der Stromlinie ds hängt über den Winkel α wie folgt mit der infinitesimalen Änderung dz in z-Richtung zusammen:

\begin{align}
&\cos(\alpha) = \frac{\text{d}z}{\text{d}s}\\[5px]
\end{align}

Damit gilt für die Euler-Gleichung entlang der Stromlinie:

\begin{align}
&\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial s}v + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial s} = – g \frac{\text{d}z}{\text{d}s}\\[5px]
\end{align}

Der Einfachheit halber gehen wir im Folgenden davon aus, dass die Strömung stationär sei und das betrachtete Fluid inkompressibel. In diesem Fall ist die Geschwindigkeit keine Funktion der Zeit und damit die partielle Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit Null (∂v/∂t=0). Aufgrund der Inkompressibilität ist zudem die Dichte keine Funktion des Ortes. Anstelle der partiellen Ableitungen nach dem Ort, können wir nun auch die totalen Differentiale schreiben. Wir erhalten dann folgenden Zusammenhang zwischen den infinitesimalen Änderungen von Druck, Geschwindigkeit und Höhe entlang der Stromlinie:

\begin{align}
\require{cancel}
&\cancel{\frac{\partial v}{\partial t}} + \frac{\text{d}v}{\text{d}s}v + \frac{1}{\rho} \frac{\text{d}p}{\text{d}s} = -g \frac{\text{d}z}{\text{d}s}\\[5px]
&\frac{\text{d} v}{\text{d}s}v + \frac{1}{\rho} \frac{\text{d}p}{\text{d}s} = -g \frac{\text{d}z}{\text{d}s}&&|\cdot \text{d}s\\[5px]
&v~\text{d}v + \frac{1}{\rho} \text{d}p = -g \text{d}z&&|\cdot \rho\\[5px]
&\underline{\text{d}p + \rho v ~\text{d}v ~ + \rho g ~\text{d}z = 0}\\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den infinitesimalen Änderungen von Druck, Geschwindigkeit und Höhe entlang einer Stromlinie. Wir können diese Gleichung nun integrieren, um nicht mehr die Zusammenhänge zwischen den Änderungen der Größen, sondern die Zusammenhänge zwischen den Größen selbst zu erhalten. Die als konstant betrachtete Dichte und die Fallbeschleunigung können dabei vor das Integral geschrieben werden können.

\begin{align}
&\int \left(\text{d}p + \rho v ~\text{d}v ~ + \rho g ~ \text{d}z \right)= \text{konstant}\\[5px]
&\int \text{d}p + \rho \int v ~\text{d}v ~ + \rho g ~\int \text{d}z = \text{konstant}\\[5px]
&\boxed{p + \frac{\rho}{2} v^2 + \rho g ~z = \text{konstant}}~~~\text{Bernoulli-Gleichung}\\[5px]
\end{align}

Wir erhalten schließlich die Bernoulli-Gleichung für inkompressible und reibungsfrei strömende Fluide! Diese Gleichung besagt, dass die Summe aus Druckenergie, kinetischer Energie und Lageenergie entlang der Stromlinie konstant ist (Energieerhaltung). Beachte, dass diese Gleichung nur für reibungsfreie, d.h. insbesondere für nicht-viskose Fluide gilt. Zwei Punkte auf einer Stromlinie sind in diesem reibungsfreien Fall somit wie folgt miteinander verknüpft:

\begin{align}
&\boxed{p_1 + \frac{\rho}{2} v_1^2 + \rho g ~z_1 =p_2 + \frac{\rho}{2} v_2^2 + \rho g ~z_2}\\[5px]
\end{align}

Beispiel und praktische Anwendungen der Bernoulli-Gleichung finden sich auch im Artikel Aufgaben und Lösungen zur Bernoulli-Gleichung.

Kontinuitätsgleichung für eindimensionale Strömungen

Die Erfahrung von Strömungsprozessen zeigt, dass die mit einem Stoffstrom verknüpfte Masse weder aus dem Nichts erzeugt noch vernichtet werden kann – sie bleibt stets erhalten. Mathematisch formuliert wird diese Erhaltung der Masse in der sogenannten Kontinuitätsgleichung.

Massenstromdichte am endlichen Volumenelement

Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung betrachten wir zunächst ein sehr kleines Volumenelement (Kontrollraum). Die Länge des Kontrollraums beträgt Δx und hat die Breite Δy sowie die Höhe Δz. Dieses endliche Volumenelement wird von einem kompressiblen Fluid durchströmt wird. Durch die seitlichen Flächen kann das Fluid dabei in das Volumenelement einströmen und über andere Flächen wieder verlassen.

Der Einfachheit halber betrachten wir zunächst nur eine Strömung in x-Richtung. Innerhalb einer infinitesimalen Zeit dt strömt dabei eine bestimmte Masse dm_x,ein in das Volumenelement ein. Auf der gegenüberliegenden Seite verlässt im selben Moment eine bestimmte Masse dm_x,aus das Volumenelement.

Die ein- bzw. ausströmende Masse ergibt sich über die Geschwindigkeit, mit die Strömung in das Volumenelement ein- bzw. ausströmt. Tritt die Strömung mit der Geschwindigkeit v_x,ein in das Volumenelement ein, dann legt sie innerhalb der Zeit dt die infinitesimale Strecke dx_x,ein=v_x,ein⋅dt zurück. Folgendes Volumen dV_x,ein strömt folglich in den Kontrollraum ein:

\begin{align}
&\text{d}V_\text{x,ein}=\Delta A \cdot \text{d}x_\text{x,ein} =\Delta A \cdot v_\text{x,ein} \cdot \text{d}t\\[5px]
\end{align}

Da es sich um eine infinitesimale (unendlich kleine) Strecke dx_x,ein handelt, kann innerhalb des eingeströmten Volumens von einer konstanten Dichte am Punkt des Eintritts in das Volumenelement ausgegangen werden. Beträgt die Dichte des Fluids beim Einströmen ϱ_x,ein, so ergibt sich die eingeströmte Masse dm_x,ein wie folgt:

\begin{align}
&\text{d}m_\text{x,ein}=\text{d}V_\text{x,ein} \cdot \rho_\text{x,ein} =\Delta A \cdot \rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein} \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Der pro Flächeneinheit eintretende Massenstrom in den Kontrollraum ist somit nur abhängig von der Dichte und der Geschwindigkeit. Dieser flächenspezifische Massenstrom \(\dot m^\text{*}\) wird auch als Massenstromdichte bezeichnet und ist zur besseren Unterscheidung im Vergleich zum absoluten Massenstrom mit einem Stern (*) gekennzeichnet:

\begin{align}
&\dot m_\text{x,ein}^\text{*} = \frac{\text{d}m_\text{x,ein}}{\Delta A \cdot \text{d}t} = \rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein} \\[5px]
\label{m_ein}
&\underline{\dot m_\text{x,ein}^\text{*} =\rho_\text{x,ein} \cdot v_\text{x,ein}} \\[5px]
&\boxed{\dot m^\text{*} = \rho \cdot v}~~~\text{Massenstromdichte} \\[5px]
\end{align}

Das Produkt von Dichte und Strömungsgeschwindigkeit im Strömungsfeld eines Fluids wird Massenstromdichte genannt. Sie gibt die in Strömungsrichtung strömende Masse pro Zeit- und Flächeneinheit an (flächenbezogener Massenstrom)!

Bei kompressiblen Stoffen ist die Dichte in einem Strömungsfeld im Allgemeinen räumlich nicht konstant, sondern ändert sich meist von Ort zu Ort. Staut sich das Fluid bspw. im betrachteten Kontrollraum auf, so unterscheidet sich die Dichte und die Strömungsgeschwindigkeit am Austritt aus dem Kontrollraum von den Werten am Eintritt des Kontrollraums. Für die Massenstromdichte am Austritt gilt analog zur Gleichung (\ref{m_ein}):

\begin{align}
&\underline{\dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\rho_\text{x,aus} \cdot v_\text{x,aus}} \\[5px]
\end{align}

Strömt in den Kontrollraum mehr Masse ein als ausströmt, dann erhöht sich die Masse innerhalb des Kontrollraums entsprechend (siehe Animation unten). Die Änderung der Masse \(\dot m_\text{KR}\) im Kontrollraum (KR) ergibt sich schließlich über die Differenz der Masse die einströmt und gleichzeitig wieder ausströmt (der Index x kennzeichnet lediglich, dass die Änderung der Masse im Kontrollraum auf eine Strömung in x-Richtung zurückzuführen ist – später werden wir nämlich noch Strömungsanteile in y- und z-Richtung berücksichtigen):

\begin{align}
\label{m}
& \underbrace{~~\dot m_\text{KR}~~}_\text{Änderung der Masse im KR} = \underbrace{~~\dot m_\text{x,ein}~~}_\text{einströmende Masse in den KR} – \underbrace{~~\dot m_\text{x,aus}~~}_\text{ausströmende Masse aus dem KR} \\[5px]
& \dot m_\text{KR} ~~=~~ \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \Delta A~~ -~~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \Delta A \\[5px]
& \boxed{\dot m_\text{KR} ~~=~~ \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \Delta y\cdot \Delta z~~ -~~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \Delta y \cdot \Delta z} \\[5px]
\end{align}

Massenstromdichte am infinitesimalen Volumenelement

Betrachten wir nun ein infinitesimales Volumenelement (Kontrollraum) in einer kompressiblen Strömung, bei dem sich entlang der x-Koordinate die Massenstromdichte und damit das Produkt von Dichte und Geschwindigkeit ändert. Entlang dieser x-Koordinate können wir einen Gradienten der Massenstromdichte definieren: ∂(ϱ⋅v_x)/∂x. Über die Länge dx des infinitesimalen Volumenelementes ergibt sich in x-Richtung somit folgende Änderung in der Massenstromdichte \(\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*}\):

\begin{align}
& \underline{\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*} =\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{Änderung in der Massenstromdichte entlang } \text{d}x\\[5px]
\end{align}

Am Austritt des Kontrollraums bestimmt sich die Massenstromdichte also wie folgt:

\begin{align}
& \dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\dot m_\text{x,ein}^\text{*} +\text{d} \dot m_\text{x} \\[5px]
& \underline{\dot m_\text{x,aus}^\text{*} =\dot m_\text{x,ein}^\text{*} + \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{Massenstromdichte beim Austritt}\\[5px]
\end{align}

Die sich im Kontrollraum ergebende zeitliche Änderung der Masse \(\dot m_\text{KR}\) lässt sich mit Gleichung (\ref{m}) bestimmen, wobei an dieser Stelle die infinitesimalen Abmessungen dy bzw. dz treten:

\begin{align}
\require{cancel}
& \dot m_\text{KR} = \dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \dot m_\text{x,aus}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
& \dot m_\text{KR} = \dot m_\text{x,ein}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \left(\dot m_\text{x,ein}^\text{*}+ \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x \right) \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
& \dot m_\text{KR} = \cancel{\dot m_\text{x,ein}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z} ~-~ \cancel{\dot m_\text{x,ein}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z}~-~ \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
&\dot m_\text{KR} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \underbrace{\text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z}_{\text{d}V} \\[5px]
\label{a}
&\underline{\dot m_\text{KR} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen bringt an dieser Stelle zum Ausdruck, dass sich bei einem positiven Gradienten die Masse im Volumenelement zeitlich verringert, da offensichtlich der austretende Massenstrom größer als der einströmende Massenstrom ist. Wenn sich die Masse im Volumenelement im Allgemeinen aber zeitlich ändert, dann ändert sich damit natürlich auch dessen Dichte ϱ zeitlich:

\begin{align}
\label{b}
&\underline{\dot m_\text{KR} = \frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich bei der vorliegenden Betrachtungsweise um ein infinitesimales Volumenelement handelt, dem im Falle unendlich kleiner Abmessungen eine einzige sich zeitlich ändernde Dichte zugeordnet werden kann. Im nächsten Schritt werden wir sehen, dass die Größe des Volumenelementes ohnehin keine Rolle spielt und somit tatsächlich unendlich klein gewählt werden kann.

Beachte ferner, dass die Dichte in Strömungen im Allgemeinen nicht nur zeitlich variiert (bspw. bei instationären Strömungen), sondern sich auch von Ort zu Ort ändert (bspw. bei Querschnittsverengungen). Die zeitliche Änderung der Dichte ist deshalb eine partielle Ableitung der Dichtefunktion nach der Zeit.

Gleichung (\ref{b}) in Gleichung (\ref{a}) eingesetzt, ergibt schließlich folgenden Zusammenhang zwischen dem Gradienten der Massenstromdichte und der daraus resultierenden zeitlichen Änderung der Dichte in einem Punkt der Strömung:

\begin{align}
\require{cancel}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}}~~~\text{Kontinuitätsgleichung eindimensionaler Strömungen} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung wird schließlich als Kontinuitätsgleichung bezeichnet und gilt in dieser Form für eindimensionale Strömungen. Wie gesehen, resultiert diese Gleichung aus der Massenerhaltung. Die Kontinuitätsgleichung dient dazu die zeitliche Änderung der Dichte in beliebigen Punkten einer Strömung anhand des vorhandenen Strömungsfeldes (dargestellt durch die Vektoren der Massenstromdichte) zu ermitteln. Somit sind Aussagen über die zeitliche Entwicklung von instationären Strömungen kompressibler Fluide möglich. Dabei gilt gemäß der Kontinuitätsgleichung folgende Aussage:

Der Gradient der Massenstromdichte in einem Punkt einer Strömung entspricht der zeitlichen Änderung der Dichte in diesem Punkt!

Beachte, dass die Massenstromdichte eine vektoriellen Größe ist und in dieselbe Richtung zeigt die wie Strömungsgeschwindigkeit, da sie letztlich ein Produkt aus einer vektoriellen Größe (Geschwindigkeit) und einer skalaren Größe (Dichte) ist. Die Massenstromdichte ist im Prinzip eine mit der Dichte gewichtete Strömungsgeschwindigkeit. Zur Veranschaulichung von Strömungsfeldern siehe auch den Artikel Stromlinien, Bahnlinien, Streichlinien und Zeitlinien.

Kontinuitätsgleichung für dreidimensionale Strömungen

Die bisherige Betrachtung beschränkte sich auf eine eindimensionale Strömung in x-Richtung. Im Allgemeinen ist eine Strömung allerdings dreidimensional, d.h. die Strömungsgeschwindigkeit hat Anteile in alle drei Raumrichtungen. Man darf an einem Volumenelement deshalb nicht nur den Massenstrom in x-Richtung betrachten, sondern man muss auch die Strömungsanteile in y- und z-Richtung berücksichtigen. Es strömt sozusagen nicht nur über die vordere und hintere Fläche Masse in das Volumenelement ein bzw. aus diesem heraus aus, sondern auch über die seitlichen Flächen (y-Richtung) und die untere bzw. obere Fläche (z-Richtung).

Für die y- und z-Richtung lassen sich die hierauf jeweils zurückzuführenden zeitlichen Massenänderungen im Kontrollraum analog zur Gleichung (\ref{a}) ermitteln:

\begin{align}
\label{aa}
&\dot m_\text{x} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{c}
&\dot m_\text{y} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{d}
&\dot m_\text{z} = ~- \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \cdot \text{d}V \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnen die Geschwindigkeiten v_x, v_y und v_z die Komponenten des Strömungsvektors v. Die sich im infinitesimalen Kontrollraum ergebende Änderung der Masse ist nun nicht mehr nur auf eine Strömung in x-Richtung zurückzuführen, sondern auch durch die Strömungsanteile in y- und z-Richtung. Analog zur Gleichung (\ref{b}) für den eindimensionalen Fall, gilt für den dreidimensionalen Fall nun:

\begin{align}
&\underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V}_\text{Änderung der Masse im Kontrollraum} = \underbrace{\dot m_\text{x}+\dot m_\text{y} +\dot m_\text{z}}_{\text{einströmende Masse über die Grenzen des Kontrollraums}} \\[5px]
\end{align}

Gleichungen (\ref{aa}) bis (\ref{d}) in diese Gleichung eingesetzt, liefert schließlich die Kontinuitätsgleichung für dreidimensionale Strömungen:

\begin{align}
\require{cancel}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V}= ~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}\cdot \cancel{\text{d}V} – \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}\cdot \cancel{\text{d}V} – \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z}\cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \left[\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z}\right]}~~~\text{Kontinuitätsgleichung} \\[5px]
\end{align}

Die Summe aus den partiellen Ableitungen nach dem Ort (Summe der Gradienten der Massenstromdichte) wird in der Mathematik auch als Divergenz (div) bezeichnet. Die Divergenz ist ein mathematischer Operator, der im Fall eines Strömungsfeldes Strömungen durch ein Volumenelement bilanziert. Die Divergenz lässt sich auch als Skalarprodukt von Nabla-Operator ∇ und Vektorfeld der Massenstromdichte ϱv schreiben:

\begin{align}
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} = ~- \text{div}\left(\rho \vec v \right) }~~~\text{mit}~~~\text{div}\left(\rho \vec v \right) = \vec \nabla \cdot \rho \vec v =\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \\[5px]
\end{align}

Für inkompressible Fluide ändert sich die Dichte nicht und ist deshalb zeitlich konstant. Die partielle Ableitung der Dichte nach der Zeit ist in diesen Fällen deshalb Null (∂ϱ/∂t=0). Zudem ist dann auch die Dichte räumlich konstant und kann deshalb vor den Divergenzausdruck geschrieben werden. Für inkompressible Stoffe lautet die Kontinuitätsgleichung somit wie folgt:

\begin{align}
&\boxed{\text{div}\left(\vec v \right) = 0} ~~~\text{Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide} \\[5px]
\end{align}

Anschauliche Interpretation der Divergenz

Vektorfelder können mit Pfeilen visualisiert werden. Die Länge der Pfeile gibt dabei den Betrag der vektoriellen Größe an und die Pfeilspitzen die Richtung. Man kann Vektorfelder aber auch anschaulich durch Feldlinien darstellen. Dabei gibt die Dichte der Feldlinien den Betrag der Feldstärke wieder und die Tangente and die Feldlinien die Vektorrichtung. Auf ähnliche Weise lässt sich auch das Strömungsfeld von Fluiden mit Hilfe von Stromlinien („Feldlinien“) visualisieren. Die Dichte der Stromlinien ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit und die Tangente an die Stromlinien gibt die Strömungsrichtung wieder.

Die untere Abbildung zeigt hierzu schematisch ein zweidimensionale Strömungsfeld. Man kann sich dabei vorstellen man gieße Wasser in ein Waschbecken und lasse dabei gleichzeitig den Abfluss offen. Das erhaltene Geschwindigkeitsfeld entspräche dann in vereinfachter Weise dem abgebildeten Strömungsfeld.

Am Punkt wo das Wasser auf das Becken trifft, ist aus zweidimensionaler Sicht eine Wasserquelle. In diesem Punkt wird das Wasser in der Strömungsebene sozusagen erzeugt (Beachte, dass wir hier den zweidimensionalen Fall betrachten und nicht den dreidimensionalen Fall, bei dem offensichtlich Wasser nicht einfach so erzeugt werden kann). Im Punkt des Abflusses verschwindet aus zweidimensionaler Sicht das Wasser wieder. In diesem Punkt wird das Wasser in der Strömungsebene sozusagen vernichtet.

Würde man auf dieses Vektorfeld den Divergenz-Operator anwenden, dann erhielte man am Punkt wo das Wasser „entsteht“ einen positiven Wert. Am Punkt wo das Wasser „vernichtet“ wird, ergäbe sich ein negativer Divergenzwert. Mit der Anwendung des Divergenz-Operators auf ein Vektorfeld kann kann man somit auf anschauliche Weise Quellen und Senken von Vektorfeldern sichtbar zu machen. Feldlinien oder Strömungslinien beginnen in Punkten positiver Divergenz (Quellen) und enden in Punkten mit negativer Divergenz (Senken). Die Tatsache, dass Feldlinien oder Strömungslinien in Quellen oder in Senken stark auseinanderlaufen, d.h. divergieren, ist schließlich auch der Grund für den Namen des Operators.

Der Divergenz-Operator wandelt ein Vektorfeld in ein Skalarfeld um und kann als Maß für die Quellstärke werden! Positive Divergenzen sind Quellen und negative Divergenzen sind Senken von Feldlinien!

Man kann sich anstelle des oberen Strömungsbildes auch vorstellen man hätte zwei elektrische Ladungen. Das erhaltene Feldlinienbild sähe im Prinzip genauso aus. Tatsächlich spielt auch bei diesem Feld die Divergenz als Maß für die Quellstärke (Maß für die elektrische Ladung) eine große Rolle. Dem Divergenz-Operator kommt deshalb bei sehr vielen Vektorfeldern eine große Bedeutung zu.

Es gibt aber auch Vektorfelder, die keine Quellen bzw. Senken besitzen und somit quellenfrei sind. Hierzu zählen bspw. magnetische Felder, deren Feldlinien keinen Beginn und kein Ende haben, sondern stets geschlossen sind. Auch inkompressible Strömungen sind aufgrund der Tatsache, dass Masse nicht erzeugt oder vernichtet werden kann, offensichtlich quellenfrei (Achtung: Das obere Beispiel des 2D-Strömungsfeldes diente nur als illustratives Beispiel).

Definition der Viskosität

Im Artikel Viskosität wurde die Ursache der Viskosität hauptsächlich auf Anziehungskräfte zwischen den Schichten eines Fluids zurückgeführt. Diese wirken ähnlich wie Reibungskräfte, sodass es zu einer gegenseitigen Abbremsung der einzelnen Fluidschichten kommt. Zur anschaulichen Definition der Viskosität kann man ein Fluid zwischen zwei Platten betrachten. Die untere Platte ruht dabei und die oberen Platte wird mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Aufgrund der Haftbedingung haftet sowohl die oberste als auch die unterste Fluidschicht jeweils an den Platten. Die untere Fluidschicht bleibt somit in Ruhe und die oberste Fluidschicht bewegt sich mit derselben Geschwindigkeit wie die obere Platte. Dazwischen bildet sich dann ein lineares Geschwindigkeitsprofil. Ein betrachtete Fluidschicht bewegt sich somit stets langsamer als die unmittelbar darüber befindliche Fluidschicht. Aufgrund der molekularen Anziehungskräfte ist somit eine untere Schicht immer versucht die darüber befindliche Schicht auszubremsen.

Diese Reibungskräfte zwischen den Schichten müssen entsprechend kompensiert werden, wenn die oberste Platte mit konstanter Geschwindigkeit gezogen werden soll. Je viskoser (zähflüssiger) ein Fluid ist, desto stärke innere Reibungskräfte wirken und umso größere Kräfte werden für das Verschieben der obersten Platte benötigt. Die Viskosität η gibt dabei den Zusammenhang zwischen der flächenbezogenen Kraft F/A (Schubspannung τ), die zur Verschiebung der Schichten notwendig ist, und der Steigung des Geschwindigkeitsprofils dv/dy (Geschwindigkeitsgradient) wieder:

\begin{align}
\label{t}
&\frac{F}{A}=\boxed{\tau= \eta \cdot \frac{\text{d} v}{\text{d} y}} ~~~~~\text{Newtonsches Reibungsgesetz}\\[5px]
\end{align}

Viskosität von Gasen durch Impulstransport

Das Zustandekommen der Viskosität durch wirkende Reibungskräfte zwischen den Fluidschichten ist bei Flüssigkeiten sehr anschaulich. In Gasen üben die Moleküle allerdings nahezu keinerlei Anziehungskräfte aufeinander aus. Reibungskräfte einzelner Fluidschichten durch intermolekulare Anziehungskräfte sind somit so gut wie nicht vorhanden. Die Praxis zeigt aber, dass selbst Gase eine beachtliche Viskosität aufweisen und es in Strömungen zur Abbremsung einzelner Fluidschichten kommt. Wie kann dieses Verhalten ohne Vorhandensein von Anziehungskräften erklärt werden?

Die abbremsende Wirkung der Fluidschichten kommt in Gasen hauptsächlich durch den Impulstransport der Gasmoleküle zustande, wenn diese von einer langsameren Schicht in eine schnellere Schicht eindiffundieren. In Flüssigkeiten findet dieser Prozess zwar auch statt; er ist aber im Vergleich zu dem Abbremseffekt aufgrund der wirkenden Anziehungskräften vernachlässigbar.

Betrachten wir hierzu nochmals die bereits angesprochene Schichtenströmung (laminare Strömung), die diesmal aus einem idealen Gas als Fluid besteht. Prallt in diesem Gas ein Gasmolekül mit einem anderen zusammen, dann findet ein Impulsaustausch statt, d.h. ein langsameres Molekül nimmt einen Teil des Impulses des schnelleren Moleküls auf. Ein solcher Impulstransport findet allerdings nicht nur innerhalb einer Fluidschicht statt. Aufgrund der ungeordneten Brown’schen Molekularbewegung diffundieren Moleküle auch in benachbarte Fluidschichten ein. Was passiert, wenn nun ein langsameres Molekül in eine Schicht aus schnelleren Teilchen eindiffundiert? Die schnellen Moleküle werden an diesem eindiffundierten Gasteilchen abgebremst und es kommt insgesamt zu einer Verlangsamung der Schicht.

Man kann sich die Situation mit einem Wagen und einer Kugel veranschaulichen. Der Wagen soll mit konstanter Geschwindigkeit gezogen werden, als beim Vorbeifahren plötzlich die schwere Kugel hineingelegt wird. Die Kugel steht dabei für das langsamere Gasmolekül (in diesem Fall sogar Stillstand), das in die schnelleren Fluidschicht eindiffundiert (veranschaulicht durch den Wagen). Da die Kugel beim Einlegen eine geringere Geschwindigkeit als der Wagen hat, muss die Kugel nach dem Einlegen auf die Geschwindigkeit des Wagens beschleunigt werden, sofern die Geschwindigkeit weiterhin konstant bleiben soll. Dies erfordert eine der Masse der Kugel entsprechende Kraft (Kraft = Masse x Beschleunigung). Das Einlegen der langsamen Kugel in den schnelleren Wagen verursacht somit einen Widerstand, der sich durch eine zusätzlich aufzubringende Kraft bemerkbar macht. Würde man diese Kraft nicht aufbringen, dann würde der Wagen an der langsameren Kugel abgebremst werden, ähnlich zu einer Reibungskraft.

Diffusionsprozesse von Gasmolekülen zwischen den einzelnen Schichten einer laminaren Strömung führt zu einem Impulstransport. Auf diesem Impulstransport beruht maßgeblich die Viskosität von Gasen!

Schnellere Schichten geben also ein Teil ihres Impulses durch Diffusion in langsamere Schichten weiter. Insgesamt findet als ein Impulstransport von der bewegten Platte hin zur ruhenden Platte statt. Dieser Impulsstrom, der letztlich einer Kraft zwischen den Schichten entspricht, fließt sozusagen in Richtung abnehmender Geschwindigkeit, d.h. entgegen des Geschwindigkeitsgradienten. Besonders anschaulich wird der Transport des Impulses, wenn die obere Platte aus der Ruhe heraus in Bewegung gesetzt wird. Zunächst wird lediglich die unmittelbar an der oberen Platte haftende Schicht in Bewegung gesetzt. Durch den Transport des Impulses auf die darunter befindliche Schicht, beginnt sich nun diese in Bewegung zu setzen, usw. Der Impuls breitet sich somit allmählich durch die Schichten aus.

Die Widerstandskraft beim Bewegen der Platte kommt schließlich dadurch zustande, dass das in Bewegung setzen der Gasschichten dadurch behindert wird, dass die untere Platte fixiert ist. Das Festhalten der Platte erfordert letztlich dieselbe Kraft im Vergleich zur Aufrechterhaltung der Bewegung der oberen Platte. Der Impuls wird sozusagen an der oberen Platte eingeleitet und wird von Schicht zu Schicht übertragen und strömt an der unteren Platte schließlich wieder heraus. Im Gleichgewichtszustand findet schließlich keine Netto-Impulsstrom statt, der auf die Fluidschichten übertragen wird, sodass sich diese schließlich mit jeweils konstanter (aber unterschiedlicher) Geschwindigkeit bewegen.

Herleitung der Viskosität von idealen Gasen

Spannung als Impulsstromdichte

Die Kraft F lässt sich ganz allgemein aus der Änderung des Impulses pro Zeit ermitteln:

\begin{align}
&F= \frac{\text{d} p}{\text{d} t} = \dot p ~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{\text{Kraft = Impulsstrom}}\\[5px]
\end{align}

Die Kraft auf die einzelnen Fluidschichten kommt also durch die Änderung des Impulses, verursacht durch den Impulstransport aufgrund von Diffusionsprozessen, zustande und lässt sich somit auch als Impulsstrom p* auffassen. Bezieht man die Kraft und damit den Impulsstrom auf die Fläche, so erhält man letztlich eine Schubspannung, die sich dann wiederum als Impulsstromdichte p*_A interpretieren lässt (Änderung des Impulses pro Zeit- und Flächeneinheit):

\begin{align}
&\tau = \frac{F}{A}= \frac{\dot p}{A} = \dot p_\text{A} ~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{\text{Spannung = Impulsstromdichte}}\\[5px]
\end{align}

Das Newton’sche Reibungsgesetz (\ref{t}) lässt sich somit auch wie folgt darstellen:

\begin{align}
\label{tt}
&\boxed{\dot p_\text{A} = – \eta \cdot \frac{\text{d} v}{\text{d} y}} \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen wurde an dieser Stelle deshalb eingefügt, um der Tatsache gerecht zu werden, dass der Impulsstrom weg von schnelleren Schichten hin zu langsameren Schichten übertragen wird, d.h. in Richtung abnehmendem Geschwindigkeitsgradienten. An dieser Stelle lässt sich eine interessante Analoge zu anderen Transportvorgängen wie Wärmetransport und Stofftransport ziehen, die letztlich auf dieselbe Weise beschrieben werden:

Impulstransport zwischen den Schichten

Mithilfe der kinetischen Gastheorie kann man die Viskosität von idealen Gasen rechnerisch ermitteln. Für die Herleitung der Formel betrachten wir die bereits angesprochene Schichtenströmung, bei der sich ein ideales Gas zwischen zwei Platten befindet. Die untere Platte ist dabei fixierst und die obere Platte bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit.

Wir betrachten die Strömung auf mikroskopischer Ebene und bewegen uns jeweils mit den einzelnen Fluidschichten mit. Die durchschnittliche Wegstrecke, die die Gasteilchen zwischen zwei Stößen zurücklegen, wird mittlere freie Weglänge λ genannt. Wir betrachten deshalb Gasschichten, die einen Abstand λ zueinander haben, sodass es bei Diffusionsprozessen jeweils innerhalb dieser Schichten zu einem Stoß und damit zu einem Impulstransport kommt. Wir betrachten nun eine Schicht in einer belieben Höhe y. Die mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle in x-Richtung bzgl. eines ortsfesten Koordinatensystems (ruhende Platte) sei mit v_x(y) bezeichnet.

Die mittlere Geschwindigkeit v_x(y+λ)der Gasteilchen im Abstand λ in der darüber befindliche Schicht lässt sich über den Geschwindigkeitsgradienten dv/dy ermitteln:

\begin{align}
&v_{x}(y+\lambda)= v_{x}(y) + \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \\[5px]
\end{align}

Analog lässt sich die mittlere Geschwindigkeit v_x(y-λ) der Gasteilchen im Abstand λ in der darunter befindliche Schicht bestimmen:

\begin{align}
&v_{x}(y-\lambda)= v_{x}(y) – \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \\[5px]
\end{align}

Bezeichnet n*_A die Teilchenstromdichte, d.h. die Anzahl der Teilchen pro Zeit- und Flächeneinheit, die von der oberen Schicht bzw. unteren Schicht in die mittlere Schicht eindiffundiert, dann lassen sich die entsprechenden Impulsströme mit nachfolgender Formel bestimmen. Beachte, dass die Teilchenstromdichte für beide Schichten identisch ist, sofern wir von einer inkompressiblen Gasströmen ausgehen, bei der die Teilchendichte in jedem Punkt der Strömung dieselbe ist.

\begin{align}
&\dot p_{A}(y+\lambda) = \dot n_\text{A} \cdot \overbrace{m \cdot v_{x}(y+\lambda)}^{\text{Impuls eines Teilchens}} = \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \left(v_{x}(y) + \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \right) \\[5px]
&\dot p_{A}(y-\lambda) = \dot n_\text{A} \cdot m \cdot v_{x}(y-\lambda) = \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \left(v_{x}(y) – \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \right) \\[5px]
\end{align}

Der Netto-Impulsstrom p*_A(y) in der Schicht auf der Höhe y ergibt sich schließlich aus der Summe beider Impulsströme. Gemäß des gewählten Koordinatensystems entspricht der von unten nach oben gerichtete Impulsstrom (in positive y-Richtung zeigten) auch einem positiven Wert und der nach unten gerichtete Impulsstrom einem negativen Wert. Für den Netto-Impulsstrom gilt deshalb:

\begin{align}
\dot p_\text{A}(y) &= \dot p_{A}(y-\lambda) ~-~ \dot p_{A}(y+\lambda) \\[5px]
&= \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \left(v_{x}(y) – \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \right)- \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \left(v_{x}(y) + \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \right) \\[5px]
&= \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \left(v_{x}(y) ~- \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} ~-~ v_{x}(y) ~- \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y}\right) \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
&\boxed{\dot p_\text{A}= – 2~ \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \lambda \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y}} ~~~\text{Netto-Impulsstrom}\\[5px]
\end{align}

Viskosität von idealen Gasen in Abhängigkeit der Teilchenstromdichte

Gemäß obenstehender Gleichung ist der Netto-Impulsstrom offensichtlich keine Funktion der Variablen y mehr und somit in jedem Punkt der Strömung identisch! Vergleicht man diese Formel mit dem Newtonschen Reibungsgesetz (\ref{tt}), so zeigt sich sofort, dass der Ausdruck 2⋅n*_A⋅m⋅λ offensichtlich der Viskosität η entspricht:

\begin{align}
&\dot p_\text{A} = – \eta \cdot \frac{\text{d} v}{\text{d} y} \\[5px]
&\dot p_\text{A}=- \underbrace{2~ \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \lambda}_{\eta} \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \\[5px]
\label{eta}
&\boxed{\eta= 2~ \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \lambda} ~~~\text{Viskosität idealer Gase}\\[5px]
\end{align}

Die Viskosität eines (idealen) Gases ist also nur von der Masse eines Gasteilchens, der mittleren freien Weglänge und der Teilchenstromdichte abhängig. Der flächenbezogene Teilchenstrom n*_A, der von einer darüber bzw. darunter befindlichen Schicht eindiffundiert, ist wiederum davon abhängig wie stark sich die Gasmoleküle aufgrund der ungeordneten Diffusionsbewegung bewegen (Brownsche Molekularbewegung). Dies ist wiederum durch die Temperatur bestimmt.

Ist die Temperatur hoch, dann finden Diffusionsprozesse vermehrt statt und es diffundieren vermehrt Teilchen zwischen den Schichten. Die Teilchenstromdichte ist entsprechend groß und somit auch der Impulstransport. Dies macht sich einer zunehmenden Kraft bemerkbar, die für das Aufrechterhalten der makroskopischen Strömung (Bewegung der Platte) erforderlich ist! Die Viskosität von Gasen nimmt deshalb im Allgemeinen mit der Temperatur zu und nicht wie bei Flüssigkeiten ab!

An dieser Stelle zeigt sich auch die Tatsache, dass bei idealen Gasen der Druck keinen Einfluss auf die Viskosität hat. Zwar steigt die Teilchendichte und damit der diffundierende Teilchenstrom proportional mit zunehmendem Druck, jedoch nimmt im selben Maße die mittlere freie Weglänge ab. Beide Effekte heben sich also gegenseitig auf.

Bei idealen Gasen ist die Viskosität unabhängig des Drucks und steigt mit zunehmender Temperatur an!

Viskosität von idealen Gasen in Abhängigkeit der Temperatur

An dieser Stelle möchten wir die quantitative Abhängigkeit der Viskosität idealer Gase von der Temperatur explizit herleiten. Hierfür muss ein Zusammenhang zwischen der senkrecht zur Strömung diffundierenden Teilchenstromdichte und der Temperatur gefunden werden.

Hierzu bewegen wir uns in Gedankten mit einer Schicht mit, sodass diese relativ zu uns als Beobachter ruht. Die Gasteilchen selbst sind auf mikroskopischer Ebene allerdings keinesfalls in Ruhe. Sie bewegen sich aufgrund der Brown’schen Molekularbewegung völlig ungeordnet in alle Richtungen gleichermaßen. Gemäß der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist die mittlere Geschwindigkeit eines Gasteilchens v_T wie folgt mit der Temperatur T des Gases verknüpft:

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{ \overline{v_\text{T}} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}} ~~~\text{arithmetisch gemittelte Geschwindigkeit} \\[5px]
\end{align}

In dieser Gleichung bezeichnet m die Masse eines Gasteilchens und k_B die Boltzmann-Konstante. Beachte, dass die Geschwindigkeit v_T die mittlere Geschwindigkeit relativ zu den sich bewegenden Fluidschichten darstellt und nicht die Überlagerung der makroskopischen Strömungsbewegung beinhaltet. Letztere hat ohnehin keinen Einfluss auf die Temperatur; die Temperatur eines Gases ist schließlich nicht davon abhängig, ob sich das Gas in Ruhe befindet oder sich bewegt.

Betrachten wir nun zunächst eine gerichtete Strömung bei der sich alle Teilchen mit der (mittleren) Geschwindigkeit v in dieselbe Richtung bewegen. Die Anzahl der Teilchen die pro Zeit- und Flächeneinheit strömen (Teilchenstromdichte) lässt sich wie folgt ermitteln. Hierzu betrachten wir ein Flächenelement dA durch das die Teilchen innerhalb einer Zeit dt mit der (mittleren) Geschwindigkeit v strömen. Die Teilchen legen dabei die Strecke dl=v⋅dt zurück. Somit durchströmen die Teilchen offensichtlich folgendes Volumen dV:

\begin{align}
&\text{d}V =\text{d}A \cdot \text{d}l = \text{d}A \cdot \overline{v} \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Bei einer gegeben Teilchendichte n (Anzahl Teilchen pro Volumeneinheit) sind in diesem Volumen bzw. durchströmen dieses Volumen somit folgende Anzahl an Teilchen dN:

\begin{align}
&\text{d}N = n \cdot \text{d}V =n \cdot \text{d}A \cdot \overline{v} \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Die pro Zeit- und Flächeneinheit hindurchtretende Anzahl an Teilchen (Teilchenstromdichte n*_A) durch eine senkrecht zur Strömung gerichtete Fläche ergibt sich somit wie folgt:

\begin{align}
&\dot n_\text{A} = \frac{\text{d}N}{\text{d}A \cdot \text{d}t} =n \cdot \overline{v} \\[5px]
&\boxed{\dot n_\text{A} =n \cdot \overline{v} } ~~~\text{Teilchenstromdichte einer gerichteten Bewegung}\\[5px]
\end{align}

Betrachten wir nun wieder unsere Schichtenströmung, mit der wir uns in Gedanken mitbewegen. Aus dieser Sichtweise ist die Strömung nicht mehr gerichtet, sondern mit einer mittleren Geschwindigkeit v_T völlig ungeordnet. Die Teilchen bewegen sich in alle Raumrichtungen gleichermaßen. Dies bedeutet, dass sich nur ein Sechstel der Teilchen nach unten bewegt und in eine darunter befindliche Gasschicht eindiffundiert. Die senkrecht zur Hauptströmung gerichtete Teilchenstromdichte ist somit nur ein Sechstel so groß:

\begin{align}
\label{na}
&\boxed{\dot n_\text{A} = \frac{1}{6} n \cdot \overline{v_\text{T}} } ~~~\text{Teilchenstromdichte einer ungeordneten Bewegung}\\[5px]
\end{align}

Einsetzen von (\ref{a}) in Gleichung (\ref{na}) ergibt schließlich folgende diffundierende Teilchenstromdichte in Abhängigkeit der Temperatur:

\begin{align}
&\dot n_\text{A} = \frac{1}{6} n \cdot \underbrace{\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}}_{\overline{v_\text{T}}} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung in Formel (\ref{eta}) eingesetzt, zeigt schlussendlich folgenden Zusammenhang zwischen der Viskosität und der Temperatur:

\begin{align}
&\eta= 2~ \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \lambda \\[5px]
&\eta= 2~ \frac{1}{6} n \cdot \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \cdot m \cdot \lambda \\[5px]
\label{ac}
&\boxed{\eta= \frac{1}{3} n \cdot \sqrt{\frac{8 k_B m T}{\pi}} \cdot \lambda} \\[5px]
\end{align}

Als letzten kann noch die mittlere freie Weglänge λ durch die Teilchendichte n und den Durchmesser der Gasmoleküle d ausgedrückt werden (Herleitung siehe Artikel Mittlere freie Weglänge & Stoßzahl):

\begin{align}
& \boxed{\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}~n ~\pi d^2}} \\[5px]
\end{align}

Setzt man diese Formel in Gleichung (\ref{ac}) ein, dann zeigt sich schließlich folgende Formel zur Berechnung der Viskosität von idealen Gasen:

\begin{align}
&\eta= \frac{1}{3} n \cdot \sqrt{\frac{8 k_B m T}{\pi}} \cdot \lambda \\[5px]
&\eta= \frac{1}{3} n \cdot \sqrt{\frac{8 k_B m T}{\pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}~n ~\pi d^2} \\[5px]
&\boxed{\eta= \sqrt{\frac{4 k_B m~T}{9\pi^3~d^4}}} \\[5px]
&\boxed{\eta \sim \sqrt{T}} \\[5px]
\end{align}

In dieser Formel wird offensichtlich, dass die Teilchendichte und damit der Druck keinen Einfluss auf die Viskosität von idealen Gasen nimmt. Lediglich die Temperatur als variable Größe beeinflusst die Viskosität. Die Viskosität steigt proportional mit der Wurzel der Temperatur!

Beachte, dass diese Formel nur für laminare Strömungen gilt, bei denen sich die Schichten makroskopisch nicht mischen und nur auf mikroskopischer Ebene Diffusionsprozesse zwischen den Schichten stattfinden. Bei turbulenten Strömungen ist der Impulsaustausch durch die Verwirbelungen größer und die Viskosität entsprechend höher.

Vergleich zwischen Viskosität und Wärmeleitfähigkeit

Gleichung (\ref{na}) kann auch direkt in die Formel (\ref{eta}) für die Viskosität eingesetzt werden, sodass folgt:

\begin{align}
&\eta= 2~ \dot n_\text{A} \cdot m \cdot \lambda \\[5px]
&\eta= 2~ \frac{1}{6} n \cdot \overline{v_\text{T}} \cdot m \cdot \lambda \\[5px]
&\eta= \frac{1}{3} \underbrace{n \cdot m}_{\rho} \cdot \lambda \cdot \overline{v_\text{T}} \\[5px]
&\boxed{\eta= \frac{1}{3} \cdot \rho \cdot \lambda \cdot \overline{v_\text{T}}} \\[5px]
\end{align}

Bei der Herleitung wurde ausgenutzt, dass das Produkt von Teilchendichte und Masse eines Teilchens gerade der Dichte ϱ des Gases entspricht. An dieser Stelle zeigt sich ein interessante Analogie zur Wärmeleitfähigkeit k von idealen Gasen (um Verwechslungen mit der mittleren freien Weglänge zu vermeiden, wurde die Wärmeleitfähigkeit nicht mit λ sondern mit k bezeichnet):

\begin{align}
& \boxed{k= \frac{1}{3} \cdot \rho \cdot \lambda \cdot c_v \cdot \overline{v_\text{T}} } \\[5px]
\end{align}

Die Wärmeleitfähigkeit folgt also im Prinzip denselben Gesetzmäßigkeiten wie die Viskosität, d.h. sie nimmt insbesondere mit steigender mittlerer Teilchengeschwindigkeit zu (steigender Temperatur). Dies ist insofern nicht verwunderlich, da mit der Diffusion von Teilchen nicht nur ein Impulstransport, sondern auch ein (Wärme-)Energietransport verbunden ist.

Euler-Gleichung

Im Artikel Herleitung der Euler-Gleichung wurde folgende Gleichung zur Beschreibung der Bewegung von reibungsfreien Strömungen hergeleitet:

\begin{align}
&\boxed{\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v + \frac{1}{\rho} \vec \nabla p = \vec g}~~~\text{Euler-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Die Annahme einer reibungsfreien Strömung bedeutet insbesondere die Vernachlässigung der Viskosität von Fluiden. In der Praxis hat jedoch jedes Fluid eine Viskosität (auch ideale Gase!). Diese Viskosität führt zu Reibungskräften innerhalb des Fluids. Die Berücksichtigung der Viskosität in der oberen Euler-Gleichung führt dann schließlich zu der Navier-Stokes-Gleichung.

Normalkräfte auf ein Fluidelement

Für die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen betrachten wir ein Fluidelement und die hierauf wirkenden Kräfte. Wir beschränken uns dabei zunächst nur auf die Untersuchung der Bewegung in x-Richtung. Die Bewegung des Fluidelements wird zum einen durch die Druckkräfte beeinflusst, die auf die vordere und hintere Fläche wirken. Diese Druckkräfte stellen letztlich Normalspannungen dar und werden im Folgenden mit σ anstelle mit p bezeichnet. Wir werden später nämlich noch sehen, dass neben den Druckkräften weitere (viskositätsbedingte) Kräfte senkrecht auf die Flächen wirken und einen Beitrag zur Normalspannung leisten.

Die auf die vordere und hintere Fläche wirkenden Normalspannungen sind dabei allerdings unterschiedlich, da bspw. der Druck in Strömungsrichtung in der Regel abnimmt. Es ist also an einer betrachteten Stelle x ein Druckgradient und somit ein Spannungsgradient ∂σ_x/∂x vorhanden. Wirkt an der Stelle x die Normalspannung σ_x, dann ändert sich diese entlang der Strecke dx um ∂σ_x/∂x⋅dx. Folgende druckbedingte Normalkräfte wirken somit an der Stelle x bzw. x+dx auf das Volumenelement:

\begin{align}
& \underline{F_\text{x} = \sigma_\text{x} \cdot \text{d}A_\text{yz}} ~~~~~\text{Normalkraft an der Stelle }x\\[5px]
& \underline{F_\text{x+dx} = \left(\sigma_\text{x} + \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x}\text{d}x\right) \text{d}A_\text{yz}} ~~~~~\text{Normalkraft an der Stelle }x+\text{d}x \\[5px]
\end{align}

Da diese Kräfte offensichtlich in unterschiedliche Richtungen wirken, ergibt sich die resultierende Normalkraft F_σx auf das Volumenelement aus der Differenz beider Kräfte:

\begin{align}
\require{cancel}
& F_{\sigma_\text{x}} = F_\text{x} – F_\text{x+dx} \\[5px]
& F_{\sigma_\text{x}} = \sigma_\text{x} \cdot \text{d}A_\text{yz} – \left(\sigma_\text{x}+ \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x}\cdot \text{d}x\right) \cdot \text{d}A_\text{yz}\\[5px]
& F_{\sigma_\text{x}} = \cancel{\sigma_\text{x} \cdot \text{d}A_\text{yz}} – \cancel{\sigma_\text{x} \cdot \text{d}A_\text{yz}} – \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} \cdot \underbrace{\text{d}x \cdot \text{d}A_\text{yz}}_{\text{d}V} \\[5px]
& \boxed{F_{\sigma_\text{x}} = ~ – \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} \cdot \text{d}V} ~~\text{resultierende Normalkraft in x-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Scherkräfte auf ein Volumenelement

Aufgrund der Viskosität η wirken auf die seitlichen Flächen des Fluidelements und auf die Fläche oben und unten Schubkräfte (Scherkräfte) bzw. Schubspannungen in x-Richtung. Im Gegensatz zu den zuvor betrachteten Normalspannungen, die senkrecht zur Fläche gerichtet sind, wirken die Scherspannungen parallel zur Fläche.

Die Schubspannungen τ_ij ermitteln sich gemäß des Newtonschen Reibungsgesetztes anhand des vorhandenen Geschwindigkeitsgradiente ∂v_j/∂i (auch Schergeschwindigkeit genannt); zur Anwendbarkeit dieses Gesetztes innerhalb eines Kontinuums später mehr:

\begin{align}
\label{newton}
& \boxed{\tau_\text{ij} = \eta \cdot \frac{\partial v_\text{j}}{\partial i}} ~~~\text{Newtonsches Reibungsgesetz}\\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet i (=y,z) die Richtung der Flächennormalen für die die Schubspannung ermittelt wird und j (=x) die Richtung in der die Schubspannung τ_ij letztlich wirkt. Auf diese Weise ergibt sich für die seitliche Fläche an der Position y die Bezeichnung τ_yx:

\begin{align}
&\underline{\tau_\text{yx}}~~~~~\text{Schubspannung an der Stelle }y \\[5px]
\end{align}

Über die Breite dy des Fluidelementes hinweg wird sich der Geschwindigkeitsgradient ∂v_x/∂y im Allgemeinen ändern. Somit wirkt an der Stelle y+dy eine andere Schubspannung. Man kann an dieser Stelle einen entsprechenden Schubspannungsgradienten ∂τ_yx/∂y definieren, sodass sich dann über die Länge dy folgende Schubspannung ergibt:

\begin{align}
&\underline{\tau_\text{yx}+\frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}\text{d}y}~~~~~\text{Schubspannung an der Stelle }y+\text{d}y \\[5px]
\end{align}

Konkret bedeutet ein positiver Schubspannungsgradient, dass gemäß dem Newtonschen Reibungsgesetz der Geschwindigkeitsgradient in y-Richtung ansteigt. Die Strömungsgeschwindigkeit an der Stelle y+dy ist somit größer als an der Stelle y. In Strömungsrichtung betrachtet (positive x-Richtung), strömt das Fluid rechts des Fluidelementes also langsamer vorbei und links davon schneller.

Das Fluidelement wird auf der rechten Seite sozusagen abgebremst und auf der linken Seite von der Strömung mitgerissen, d.h. beschleunigt. Die Schubspannung an der Stelle y ist somit in negative x-Richtung gerichtet und an der Stelle y+dy in positive Richtung. Die resultierende Schubspannung der beiden seitlichen Flächen ergibt sich folglich aus der Differenz beider Scherspannungen:

\begin{align}
&\tau_\text{yx,res} = \underbrace{\tau_\text{yx}+\frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}\cdot \text{d}y}_{\text{Schubspannung an der Stelle }y+\text{d}y} – \underbrace{\tau_\text{yx}}_{\text{Schubspannung an der Stelle }y} \\[5px]
&\underline{\tau_\text{yx,res}=\frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}\cdot \text{d}y}~~~~~\text{resultierende Schubspannung auf das Fluidelement} \\[5px]
\end{align}

Diese Schubspannung (Kraft pro Flächeneinheit) multipliziert mit der Fläche dA_xz ergibt schließlich die resultierende Kraft F_τyx, die auf die seitliche Flächen des Fluidelementes wirken:

\begin{align}
&F_{\tau_\text{yx}}= \tau_\text{yx,res} \cdot \text{d}A_\text{xz}\\[5px]
&F_{\tau_\text{yx}}=\frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}\cdot \underbrace{\text{d}y \cdot \text{d}A_\text{xz}}_{\text{d}V}\\[5px]
\label{for}
&\boxed{F_{\tau_\text{yx}} =\frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}\cdot \text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Für die resultierende Schubspannung bzw. die resultierende Schubkraft F_τzx auf die obere und untere Fläche des Fluidelements gilt ganz analog:

\begin{align}
&\boxed{F_{\tau_\text{zx}} =\frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z}\cdot \text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Gewichtskraft auf ein Fluidelement

Als weitere Kraft neben Normal- und Scherkräften wirkt im Allgemeinen die Gravitation auf ein Fluidelement. Die betrachtete Strömung in x-Richtung muss dabei nicht notwendigerweise horizontal gerichtet sein, sondern kann in einem beliebigen Winkel verlaufen. In diesen Fällen ist nur diejenige Komponente der Gewichtskraft F_gx relevant, die auch in x-Richtung weist g_x bezeichnet darin die Komponente der Fallbeschleunigung in x-Richtung):

\begin{align}
&F_{\text{g}_\text{x}} = \text{d}m \cdot g_\text{x} \\[5px]
&\boxed{F_{\text{g}_\text{x}} = \rho g_\text{x} \cdot \text{d}V } ~~~\text{Gewichtskraft auf das Fluidelement in x-Richtung} \\[5px]
\end{align}

Im Gegensatz zu den Normal- oder Scherkräften, greift die Gewichtskraft nicht an Flächen an, sondern am gesamten Volumen des Fluidelements. Die Gewichtskraft zählt deshalb zu den sogenannten Volumenkräften. Auch andere angreifende Feldkräfte wie elektrische oder magnetische Kräfte zählen zu den Volumenkräften. Auch diese können am Fluidelement angreifen und müssen denn entsprechend berücksichtigt werden. An dieser Stelle soll die Gewichtskraft somit nur exemplarisch für auch andere Feldkräfte stehen.

Substantielle, lokale und konvektive Beschleunigung

Die Summe aus Normalkraft F_σx, Scherkraft F_τyx und F_τzx sowie der Volumenkraft F_gx, ergibt schließlich die insgesamt auf das Fluidelement wirkende resultierende Kraft F_xres in x-Richtung:

\begin{align}
&F_{\text{x}_\text{res}} = F_{\sigma_\text{x}} + F_{\tau_\text{yx}} + F_{\tau_\text{zx}} + F_{\text{g}_\text{x}} \\[5px]
&F_{\text{x}_\text{res}} =
– \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} \cdot \text{d}V
+ \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y} \cdot \text{d}V
+ \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z} \cdot \text{d}V
+ \rho g_\text{x} \cdot \text{d}V
\\[5px]
\end{align}

Gemäß des zweiten Newtonschen Axioms führt diese resultierende Kraft zur folgender Beschleunigung a_x in x-Richtung, wobei dm=ϱ⋅dV die Masse des Fluidelements bezeichnet:

\begin{align}
\require{cancel}
&a_\text{x} = \frac{F_{\text{x}_\text{res}}}{\text{d}m} = \frac{F_{\text{x}_\text{res}}}{\rho~ \text{d}V} \\[5px]
&a_\text{x} =
\frac{- \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} \cdot \cancel{\text{d}V}
+ \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y} \cancel{\text{d}V}
+ \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z} \cancel{\text{d}V}
+ \rho g_\text{x} \cdot \cancel{\text{d}V}}{\rho~ \cancel{\text{d}V}}
\\[5px]
&a_\text{x} =
\frac{- \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x}
+ \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}
+ \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z}
+ \rho g_\text{x}}{\rho}
\\[5px]
\end{align}

und somit folgt:

\begin{align}
\label{a}
&\underline{a_\text{x}~ \rho=
– \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x}
+ \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y}
+ \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z}
+ \rho g_\text{x} }
\\[5px]
\end{align}

Die auch als substantielle Beschleunigung a_x bezeichnete Geschwindigkeitsänderung des Fluidelements in x-Richtung lässt sich zum einen durch die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit an einem festen Ort ausdrücken (lokale Beschleunigung: ∂v_x/∂t) und zum anderen durch die Geschwindigkeitsänderung aufgrund der örtlichen Änderung des Fluidelements (konvektive Beschleunigung: ∂v_x/∂x⋅v_x + ∂v_x/∂y⋅v_y + ∂v_x/∂z⋅v_z):

\begin{align}
\label{sub}
&\underbrace{~~a_\text{x}~~}_{\text{substantielle}\\\text{Beschleunigung}} = \underbrace{\frac{\partial v_\text{x}}{\partial t}}_{\text{lokale}\\\text{Beschleunigung}} + \underbrace{\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}}_\text{konvektive Beschleunigung} \\[5px]
\end{align}

Dieser Zusammenhang zwischen substantieller, lokaler und konvektiver Beschleunigung ist im Artikel Herleitung der Euler-Gleichung ausführlich hergeleitet und soll an dieser Stelle nicht weiter erläutert werden. Wird die Gleichung für die substantielle Beschleunigung (\ref{sub}) in Gleichung (\ref{a}) eingesetzt, dann folgt:

\begin{align}
\label{nav}
&\boxed{\left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial t} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}\right) ~ \rho=- \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z} + \rho g_\text{x}} \\[5px]
\end{align}

Viskose Spannungstensor

Bei dreidimensionalen Strömung ändert sich die Geschwindigkeit bzw. der Geschwindigkeitsgradient in alle drei Richtungen. Dabei ist die entstehende Schubspannung aufgrund der Viskosität nicht mehr nur auf den Geschwindigkeitsgradient in einer bestimmten Richtung zurückzuführen, sondern noch auf einen Geschwindigkeitsgradienten senkrecht dazu.

Man diese Situation analog zur Deformation eines Fluidelementes betrachten. Man stelle sich hierzu Schubkräfte vor, die das Fluidelement verformen. Es entstehen auf diese Weise schräge Flächen, sodass die in der Fläche wirkenden Schubkräfte nun plötzlich eine weitere Raumdimension beeinflussen. Tatsächlich sind bei Fluiden die in zusätzliche Raumrichtungen wirkenden Spannungen nicht auf eine tatsächliche Deformation zurückzuführen (Stärke der Scherung), sondern auf die Scherrate (Geschwindigkeit der Scherung).

Diese Erkenntnis führt zur Einführung eines viskosen Spannungstensors, der die auf ein Fluidelement wirkenden Spannungen (Normal- und Schubspannungen) beschreibt:

\begin{align}
\label{matr1}
& \boxed{\tau =
\begin{pmatrix}
\color{red}{\tau_\text{xx}} & \tau_\text{xy} & \tau_\text{xz}
\\\
\tau_\text{yx} & \color{red}{\tau_\text{yy}} & \tau_\text{yz}
\\\
\tau_\text{zx} & \tau_\text{zy} & \color{red}{\tau_\text{zz}}
\end{pmatrix}} ~~~\text{viskoser Spannungstensor}\\[5px]
\end{align}

Für ein isotropes Newton’sches Fluid können die einzelnen Komponenten des viskosen Spannungstensors τ wie folgt anhand der Viskosität η ermittelt werden:

\begin{align}
\label{matr2}
& \boxed{\large\tau = \eta \cdot
\begin{pmatrix}
&\color{red}{\left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}\right)}
& \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}\right)
& \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial z} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial x}\right)
\\\
& \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}\right)
&\color{red}{\left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}\right)}
& \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial z} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial y}\right)
\\\
& \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}\right)
& \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial y} + \frac{\partial v_\text{y}}{\partial z}\right)
&\color{red}{\left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial z} + \frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}\right)}
\end{pmatrix}} \\[5px]
\end{align}

Die einzelnen Einträge des Spannungstensors können auch wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}
\label{t}
&\boxed{\tau_\text{ij} = \eta \left(\frac{\partial v_\text{i}}{\partial j} + \frac{\partial v_\text{j}}{\partial i}\right)} ~~~\text{viskose Spannung}\\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich an dieser Stelle nun der Unterschied zum Newton’schen Reibungsansatz nach Gleichung (\ref{newton}): Bei dreidimensionalen Strömungen eines Kontinuums (Kontinuumsmechanik) hängen die Schubspannung jeweils noch von einem weiteren Geschwindigkeitsgradienten ab. Diese Erkenntnis und die Einführung des viskosen Spannungstensors ist im Wesentlichen die Leistung von Stokes.

Für die in Gleichung (\ref{nav}) enthaltenen Schubspannungen τ_yx und τ_zx gilt nach Gleichung (\ref{t}):

\begin{align}
\label{tyx}
&\underline{\tau_\text{yx} = \eta \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}\right)}\\[5px]
\label{tzx}
&\underline{\tau_\text{zx} = \eta \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}\right)}\\[5px]
\end{align}

Berücksichtigung der viskosen Normalspannung

Bei den angegebenen Spannungen mit identischen Indizes in Gleichung (\ref{matr1}) bzw. (\ref{matr2}) (rot markiert), zeigen offensichtlich sowohl die Flächennormale als auch die Wirkrichtung der Kraft in dieselbe Richtung. Es handelt sich dabei also nicht um Schubspannungen, sondern um Normalspannungen, die der besseren Unterscheidung deshalb häufig mit σ bezeichnet werden:

\begin{align}
& \tau_\text{xx} = \sigma_{\eta~\text{x}} \\[5px]
& \tau_\text{yy} = \sigma_{\eta~\text{y}} \\[5px]
& \tau_\text{zz} = \sigma_{\eta~\text{z}} \\[5px]
\end{align}

Dies bedeutet aber offensichtlich auch, dass die Viskosität nicht nur Schubspannungen, sondern auch Normalspannungen erzeugt. Diese aus der Viskosität resultierenden Normalspannungen sind deshalb zusätzlich mit dem Formelzeichen für die Viskosität η bezeichnet. Für die in x-Richtung wirkende viskositätsbedingte Normalspannung σ_ηx gilt nach Gleichung (\ref{t}):

\begin{align}
& \tau_\text{xx} =\underline{\sigma_{\eta~\text{x}}}= \eta \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}\right) = \underline{2\eta \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}} \\[5px]
\end{align}

Diese viskose Normalspannung wirkt als Normalkraft zusätzlich zum (statischen) Druck in x-Richtung auf das Fluidelement. Im Gegensatz zum statischen Druck, der entgegen der Flächennormalen des Fluidelements wirkt (sozusagen auf das Fluidelement gerichtet ist), wirkt die viskose Normalspannung jedoch in Richtung der Flächennormalen (d.h. weg vom Fluidelement). Die in x-Richtung insgesamt auf das Fluidelement wirkende Normalspannung σ_x ergibt sich somit aus dem statischen Druck p, abzüglich der viskosen Normalspannung σ_ηx:

\begin{align}
& \sigma_\text{x} = p~ – \sigma_{\eta~\text{x}} \\[5px]
\label{sx}
& \underline{\sigma_\text{x} = p~ – 2\eta \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}} \\[5px]
\end{align}

Die Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Fluide

Werden die Gleichungen (\ref{tyx}), (\ref{tzx}) und (\ref{sx}) schließlich in die rechte Seite von Gleichung (\ref{nav}) eingesetzt, dann ergibt sich die nachfolgend angegebene Gleichung (der Übersichtlichkeit halber ist nur die rechte Seite der Gleichung dargestellt):

\begin{align}
&…=- \frac{\partial \sigma_\text{x}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_\text{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_\text{zx}}{\partial z} + \rho g_\text{x} \\[5px]

&…=- \frac{\partial}{\partial x}\left(p~ – 2\eta \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}\right) +\eta ~\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}\right) + \eta ~\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}\right)+ \rho g_\text{x} \\[5px]

&…=- \frac{\partial p}{\partial x} + \color{red}{ 2\eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2}} +\eta \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}\right) + \eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2}+ \eta \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} \right)+ \eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}+ \rho g_\text{x} \\[5px]
\end{align}

Den rot markierten Term können wir auch etwas anders schreiben und erhalten damit:

\begin{align}
…=&- \frac{\partial p}{\partial x} + \color{red}{\eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2} +\eta \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}\right)} +\eta \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\partial x}\right) + \eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2} \\[5px]&
+ \eta \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\partial x} \right) + \eta \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}+ \rho g_\text{x} \\[5px]
\end{align}

Wir ordnen diese Gleichung nun etwas:

\begin{align}
…=&- \frac{\partial p}{\partial x}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}\right)\\[5px]&
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial x}} \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\color{blue}{\partial x}}\right)
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial y}} \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\color{blue}{\partial x}}\right)
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial z}} \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\color{blue}{\partial x}} \right)
+ \rho g_\text{x} \\[5px]
\end{align}

Wir können die Koordinaten nach denen wir die partielle Ableitung in den einzelnen Termen bilden auch vertauschen, denn schließlich macht es keinen Unterschied, ob wir zuerst partiell nach y ableiten und anschließend nach x oder erst nach x und anschließend nach y. Wir tauschen also die rot markierten Operatoren außerhalb der Klammer mit den blau markierten Operatoren innerhalb der Klammer:

\begin{align}
…=&- \frac{\partial p}{\partial x}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}\right)\\[5px]&
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial x}} \left(\frac{\partial v_\text{x}}{\color{blue}{\partial x}}\right)
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial x}} \left(\frac{\partial v_\text{y}}{\color{blue}{\partial y}}\right)
+ \eta \frac{\partial}{\color{red}{\partial x}} \left(\frac{\partial v_\text{z}}{\color{blue}{\partial z}} \right)
+ \rho g_\text{x} \\[5px]
\end{align}

Wir klammern nun den Operator mit dem wir partiell nach x ableiten aus und erhalten:

\begin{align}
…=&- \frac{\partial p}{\partial x}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}\right)
+ \eta \frac{\partial}{\partial x}
\color{red}{\underbrace{\left(
\frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}
+\frac{\partial v_\text{y}}{\partial y}
+\frac{\partial v_\text{z}}{\partial z}
\right)}_{=0}}
+ \rho g_\text{x} \\[5px]
\end{align}

Der rot markierte Term ist für ein inkompressibles Fluid aufgrund der Kontinuitätsgleichung null (dies gilt in sehr guter Näherung auf für Gase bei nicht all zu großen Strömungsgeschwindigkeiten)! Diese Vereinfachung führt schließlich zur folgenden Gesamtgleichung, die die Bewegung eines in inkompressiblen Fluids als Kontinuum in x-Richtung beschreibt:

\begin{align}
&\left(\frac{\partial v_\text{x}}{\partial t}+ \frac{\partial v_\text{x}}{\partial x}v_\text{x} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial y}v_\text{y} + \frac{\partial v_\text{x}}{\partial z}v_\text{z}\right) \rho
=
– \frac{\partial p}{\partial x}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 v_\text{x}}{\partial z^2}\right)
+ \rho g_\text{x}
\\[5px]
\end{align}

Für die Bewegung in y- und z-Richtung gelten die analogen Gleichungen. Diese Gleichungen werden schließlich als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet:

\begin{align}
&\boxed{\left(\frac{\partial \color{red}{v_\text{x}}}{\partial t}
+ \frac{\partial \color{red}{v_\text{x}}}{\partial x}v_\text{x}
+ \frac{\partial \color{red}{v_\text{x}}}{\partial y}v_\text{y}
+ \frac{\partial \color{red}{v_\text{x}}}{\partial z}v_\text{z}
\right) \rho
=
– \frac{\partial p}{\partial \color{red}{x}}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 \color{red}{v_\text{x}}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 \color{red}{v_\text{x}}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 \color{red}{v_\text{x}}}{\partial z^2}\right)
+ \rho \color{red}{g_\text{x}}}
\\[5px]

&\boxed{\left(\frac{\partial \color{green}{v_\text{y}}}{\partial t}
+ \frac{\partial \color{green}{v_\text{y}}}{\partial x}v_\text{x}
+ \frac{\partial \color{green}{v_\text{y}}}{\partial y}v_\text{y}
+ \frac{\partial \color{green}{v_\text{y}}}{\partial z}v_\text{z}
\right) \rho
=
– \frac{\partial p}{\partial \color{green}{y}}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 \color{green}{v_\text{y}}}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 \color{green}{v_\text{y}}}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 \color{green}{v_\text{y}}}{\partial z^2}\right)
+ \rho \color{green}{g_\text{y}}}
\\[5px]

&\boxed{\left(\frac{\partial \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial t}
+ \frac{\partial \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial x}v_\text{x}
+ \frac{\partial \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial y}v_\text{y}
+ \text{ }\frac{\partial \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial z}v_\text{z}
\right) \rho
=
– \frac{\partial p}{\partial \color{blue}{z}}
+ \eta \left(\frac{\partial^2 \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial x^2}
+ \text{ }\frac{\partial^2 \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial y^2}
+ \text{ }\frac{\partial^2 \color{blue}{v_\text{z}}}{\partial z^2}\right)
+ \rho \color{blue}{g_\text{z}}}
\\[5px]
\end{align}

In vektorieller Schreibweise stellt sich die Navier-Stokes-Gleichung wie folgt dar:

\begin{align}
&\boxed{ \left[\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v \right] \rho = – \vec \nabla p+ \eta \left( \vec \nabla^2 \vec v \right) + \rho \vec g}~~~\text{Navier-Stokes-Gleichung} \\[5px]
&\underbrace{\left[\underbrace{\frac{\partial \vec v}{\partial t}}_\text{lokale Beschl.} + \underbrace{\left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v}_\text{konvektive Beschl.} \right]}_\text{(substantielle) Beschleunigung} \rho = \underbrace{- \vec \nabla p}_{\text{„Druckkraft“}\\\text{(Normalkraft)}}+ \underbrace{\eta \left( \vec \nabla^2 \vec v \right)}_{\text{„Reibungskraft“}\\\text{(Scherkraft)}} + \underbrace{\rho \vec g}_{\text{„Gewichtskraft“}\\\text{(Volumenkraft)}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die hier dargestellte Form der Navier-Stokes-Gleichung nur für inkompressible Fluide gilt und näherungsweise auch für relativ langsam strömende Gase!

Die Navier-Stokes-Gleichungen können im Allgemeinen nicht analytisch gelöst werden. Nur für spezielle Fälle kann unter vereinfachten Annahmen eine Lösung bzw. Näherungslösung gefunden werden. Unter anderem ergibt sich als Spezialfall von inkompressiblen Fluide in einer Rohrströmung das Gesetz von Hagen-Poiseuille. Für Fluide, bei denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, gilt η=0 und man erhält als Spezialfall schließlich die Euler-Gleichung für reibungsfreie Strömungen:

\begin{align}
& \left[\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v \right] \rho = – \vec \nabla p+ \rho \vec g \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \left(\vec v \cdot \vec \nabla \right) \vec v + \frac{1}{\rho} \vec \nabla p = \vec g}~~~\text{Euler-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Radial-, Axial- und Halbaxialpumpen

Kreiselpumpen sind Strömungsmaschinen die mit Hilfe der Zentrifugalkraft, erzeugt durch sich drehende Laufräder, Flüssigkeiten fördern. Kreiselpumpen werden deshalb auch als Zentrifugalpumpen bezeichnet. Axial zum Laufrad tritt die zu fördernde Flüssigkeit auf der Saugseite in den Saugstutzen der Pumpe ein. Das in der Pumpe rotierende Laufrad beschleunigt die Flüssigkeit unter Wirkung der Zentrifugalkraft.

Die Zunahme der Geschwindigkeit erhöht den dynamischen Druck in der Flüssigkeit sehr stark. Beim Verlassen des Laufrades trifft die Flüssigkeit auf die aufgestaute Flüssigkeit im Druckstutzen und wird hierdurch wieder abgebremst. Der dynamische Druck der Flüssigkeit wandelt sich dabei in statischen Druck um (mehr Informationen zum Zusammenhang zwischen dynamischem und statischem Druck finden Sie auch im Artikel Bernoulli-Effekt). Hierdurch ist der statische Druck im Druckstutzen sehr stark erhöht. Dieser hohe Druck ermöglicht das Pumpen der Flüssigkeit auf eine bestimmte geodätische Druckhöhe.

Je nach Bauart der Pumpe bzw. des Laufrades verlässt die Flüssigkeit das Laufrad in radialer oder in axialer Richtung. Bei einer radialen Abströmrichtung spricht man auch von einer Radialpumpe. Die Laufräder von Radialpumpen gibt es entweder als geschlossene Form mit Deckscheibe oder in der offenen Variante (letztere findet sich in den Abbildungen wieder).

Verlässt die Flüssigkeit das Laufrad in axialer Richtung so bezeichnet man diese Bauform auch als Axialpumpe. In diesem Fall verhält sich das Laufrad wie der Propeller eines Schiffs, nur dass in diesem Fall der Propeller ortsfest gebunden ist und hierdurch eine Strömung im Rohr erzeugt. Man spricht bei Axialpumpen deshalb auch von Propellerpumpen. Sie werden in großen Chemieanlagen häufig als Umwälzpumpen eingesetzt. Darüber hinaus existieren auch Kreiselpumpen, bei denen die Flüssigkeit in einem schrägen Winkel das Laufrad verlässt. Man spricht dann von Diagonalpumpen oder Halbaxialpumpen.

Kreiselpumpen sind Strömungsmaschinen, die Flüssigkeiten mit Hilfe der Zentrifugalkraft fördern! Je nach erzeugter Strömung bezüglich des Laufrades spricht man von Radialpumpen, Axialpumpen oder Halbaxialpumpen!

Im Gegensatz zu Axialpumpen können mit Radialpumpen große Förderhöhen erreicht werden, jedoch sind meist nur relativ geringe Volumenströme bei kompakter Bauweise möglich. Für das Erzielen großer Förderströme müssen dann eventuell mehrere Radialpumpen parallel geschalten werden. Axialpumpen bieten im Vergleich hierzu zwar große Volumenströme, jedoch sind nur relativ geringe Förderhöhen möglich (ca. 15 m). Für das Erreichen großer Förderhöhen müssen dann eventuell mehrere Axialpumpen in Reihe geschaltet werden. Ein Kompromiss aus den Vor- und Nachteilen beider Pumpenvarianten bieten Halbaxialpumpen.

Radialpumpen bieten große Förderhöhe bei geringen Volumenströmen, während Axialpumpen hohe Volumenströme bei geringen Förderhöhen liefern. Halbaxialpumpen bieten einen Kompromiss aus beiden Bauarten.

Für das Fördern von stark verunreinigten oder feststoffhaltigen Flüssigkeiten werden Radiallaufräder mit einer bis maximal drei Schaufeln eingesetzt. Dies erhöht den Strömungsquerschnitt und verbessert somit den Durchfluss durch das Laufrad. Solche Laufräder werden auch als Kanal-Laufräder bezeichnet. Im Falle von Propellerpumpen stellt sich dabei die Schnecken- oder Schraubenform als praktische Variante heraus, wenn es um das Fördern von feststoffhaltigen Flüssigkeiten geht.

Kavitation

Durch den erzeugten Unterdruck am Saugstutzen saugt die Pumpe das zu fördernde Medium an. Genauer gesagt: der höhere Umgebungsdruck außerhalb des Saugrohrs drückt das Fluid in die Pumpe in Richtung Unterdruck (siehe Trinkhalmprinzip). Da der Umgebungsdruck 1 bar beträgt und eine Pumpe maximal ein Vakuum erzeugen kann, ist der Druck mit dem die Flüssigkeit insgesamt in die Pumpe gedrückt werden kann auf maximal 1 bar begrenzt. Damit lässt nur eine begrenzte geodätischen Saughöhe erreichen. Im Fall der Förderung von Wasser beträgt die maximale Saughöhe bei Erzeugung eines perfekten Vakuums theoretisch 10 Meter.

Die Saughöhe einer Kreiselpumpe ist aber nicht nur aufgrund des begrenzen Umgebungsdrucks limitiert, sondern auch durch das Auftreten von Kavitation. Unter Kavitation versteht man die Bildung von Dampfblasen, wenn der statische Druck in einer Flüssigkeit unterhalb des Dampfdrucks fällt. Der Dampfdruck von Wasser liegt bei einer Temperatur von 20 °C bei 23 mbar. Sollte der statische Druck im Wasser unterhalb dieses Wertes Fallen, dann beginnt das Wasser selbst bei dieser geringen Temperatur lokal zu verdampfen und es bilden sich kleine Gasblasen (analog zu den aufsteigenden Dampfblasen beim Erhitzen von Wasser beim Kochen).

Steigt der Druck in der Pumpe anschließend wieder an, dann werden die Dampfblasen instabil und implodieren. Da es sich dabei um eine gasgefüllte Blase handelt, ist die Teilchendichte relativ gering. Somit fällt die Blase beim Implodieren nahezu ohne Widerstand schlagartig in sich zusammen. Die umgebende Flüssigkeit wird in der zusammenfallenden Blase so stark beschleunigt, dass die dabei entstehende Mikrojets lokale Drücke von mehreren Tausend bar erzeugen! Treffen solche Mikrojets auf die Laufräder der Pumpe, so führt dies mit der Zeit zu Beschädigungen. Das Auftreten von Kavitation macht sich häufig durch laute Geräusche oder durch Vibrationen der Pumpe bemerkbar.

Unter Kavitation versteht man die Bildung von Dampfblasen und deren anschließende Implosion, wobei die dabei entstehenden Mikrojets die Oberflächen von Bauteilen zerstören!

Besonders anfällig für die Bildung von Dampfblasen sind Bereiche, in denen der statische Druck relativ gering ist. Dies aus zweierlei Gründen am Pumpeneingang der Fall. Zum einen muss die Pumpe dort ohnehin ein Unterdruck aufweisen, damit die Flüssigkeit überhaupt in die Pumpe gefördert werden kann. Hinzu kommt, dass gemäß des Bernoulli-Effektes der statische Druck sinkt, wenn sich Strömungsgeschwindigkeit erhöht. Gerade am Einlauf zum Laufrad ist die Strömungsgeschwindigkeit aufgrund des verkleinerten Einlassquerschnitts besonders hoch und der statische Druck damit am geringsten. Wird dort der Dampfdruck unterschritten, dann bilden sich Dampfblasen, die durch die Drucksteigerung in der Pumpe schließlich implodieren.

NPSH-Wert (Haltedruckhöhe)

Die Gefahr der Kavitation ist offensichtlich dann besonders groß, wenn Pumpe zur Förderung des Mediums einen großen Unterdruck erzeugen muss. Auf Seiten der Anlage ist dies bei großen geodätischen Saughöhen und bei großen Verlusthöhen der Saugleitung (bedingt durch Reibungsverluste) der Fall. Auf Seiten der Pumpe besteht die Gefahr der Kavitation besonders bei großen Volumenströmen, da dies wiederum hohe Strömungsgeschwindigkeiten bedeutet und somit zu einem starken Absinken des statischen Drucks führt.

NPSH-Wert der Anlage (NPSHA)

Für den kavitationsfreien Betrieb von Kreiselpumpen muss deshalb sichergestellt werden, dass der Gesamtdruck im Einlauf der Pumpe (Mitte Saugstutzen als Bezugsniveau) nicht unterhalb des Dampfdrucks der zu fördernden Flüssigkeit fällt. Die vorhandene Differenz Δp zwischen dem Gesamtdruck p_E,ges am Einlauf und dem Dampfdruck p_Dampf des Mediums bestimmt sich mit nachfolgender Gleichung, wobei sich der Gesamtdruck aus Summe von statischem Druck p_E und dynamischem Druck ϱ/2⋅v_E² schreiben lässt (v_E bezeichnet die mittlere Strömungsgeschwindigkeit am Einlass zum Laufrad):

\begin{align}
&\Delta p = p_\text{E,ges} – p_\text{Dampf} \\[5px]
\label{dp}
&\Delta p = \left(p_\text{E}+\frac{\rho}{2}v_\text{E}^2 \right) – p_\text{Dampf} \\[5px]
\end{align}

Welche anschauliche Aussage steckt nun hinter dieser Gleichung? Ohne Berücksichtigung von Verlusten entspricht der Gesamtdruck am Einlauf (Term in der runden Klammer) aufgrund der Energieerhaltung letztlich auch dem Gesamtdruck mit dem das Medium in das offene Ende des Saugrohrs gedrückt wird. Diesem Druck wirkt am anderen Ende des Saugrohrs (Einlass Laufrad) der Dampfdruck der Flüssigkeit als minimal vorhandener Druck entgegen. Somit lässt sich die Druckdifferenz Δp als positiven Netto-Saugdruck interpretieren, mit dem die Flüssigkeit maximal eingesaugt werden könnte, ohne dass der Dampfdruck unterschritten werden würde.

Dieser Netto-Saugdruck lässt sich auch in eine äquivalente Höhe einer Flüssigkeitssäule umrechnen, die mit diesem Saugdruck angehoben werden könnte. Man spricht dann von der positiven Netto-Saughöhe („Haltedruckhöhe“). Im englisch-sprachigen Raum wird diese positive Netto-Saughöhe als Net Positive Suction Head bezeichnet, kurz NPSH. Zur Bestimmung des NPSH-Wertes der Anlage (Index A) ist Gleichung (\ref{dp}) lediglich durch den Term ϱ⋅g zu teilen:

\begin{align}
&\underbrace{\frac{\Delta p}{\rho g}}_{\text{NPSH}_\text{A}} = \left(\frac{p_\text{E}}{\rho g}+\frac{v_\text{E}^2}{2g}\right) – \frac{p_\text{Dampf}}{\rho g} \\[5px]
\label{a}
&\underline{\text{NPSH}_\text{A} = \left(\frac{p_\text{E}}{\rho g}+\frac{v_\text{E}^2}{2g} \right) – \frac{p_\text{Dampf}}{\rho g}} \\[5px]
\end{align}

Mit Hilfe der erweiterten Bernoulli-Gleichung lässt sich an dieser Stelle einen Zusammenhang zwischen dem Zustand im Behälter (0), wo die Flüssigkeit angesaugt wird, und dem Zustand am Einlauf zum Laufrad (E) herstellen. Hierbei werden auch Druckverluste Δp_V im Saugstutzen berücksichtigt. Unter Vernachlässigung der kinetischen Energien (v₀≈0) aufgrund der meist geringen Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels im Behälter folgt:

\begin{align}
\require{cancel}
& p_0 + \frac{1}{2} \rho \cancel{v_0^2} +\rho g h_0= p_E + \frac{1}{2} \rho v_E^2 + \rho g h_E + \Delta p_\text{V}\\[5px]
& p_0 + \rho g h_0= p_E + \frac{1}{2} \rho v_E^2 + \rho g h_E + \Delta p_\text{V} \\[5px]
& \frac{p_0}{\rho g} + h_0= \frac{p_E}{\rho g} + \frac{v_E^2}{2g} + h_E + \underbrace{\frac{\Delta p_\text{V}}{\rho g}}_{\text{Verlusthöhe }H_\text{V}} \\[5px]
& \frac{p_E}{\rho g} + \frac{v_E^2}{2g} = \frac{p_0}{\rho g} – \underbrace{(h_E~ -~ h_0)}_{\text{geodätische Saughöhe }h_\text{s}} – H_\text{V} \\[5px]
\label{pe}
& \underline{\frac{p_E}{\rho g} + \frac{v_E^2}{2g} = \frac{p_0}{\rho g} – h_\text{s} – H_\text{V}} \\[5px]
\end{align}

Der Term in der runden Klammer in Gleichung (\ref{a}) kann nun durch Gleichung (\ref{pe}) ersetzt werden:

\begin{align}
&\text{NPSH}_\text{A} = \left(\frac{p_0}{\rho g} – h_\text{s} – H_\text{V} \right) – \frac{p_\text{Dampf}}{\rho g} \\[5px]
&\boxed{\text{NPSH}_\text{A} = \frac{p_0-p_\text{Dampf}}{\rho g} – h_\text{s} – H_\text{V}} \\[5px]
\end{align}

In dieser Gleichung bezeichnet H_V die Verlusthöhe aufgrund der Reibungs- und Strömungsverluste im Saugstutzen. Die geodätische Saughöhe h_s entspricht dem Höhenunterschied zwischen Flüssigkeitsspiegel im Behälter und dem Einlass zum Laufrad. Für den sogenannten Saugbetrieb, d.h. wenn der Behälter tiefer als die Pumpe liegt, ist als Saughöhe ein positiver Wert einzusetzen. Für den Fall, dass der Behälter höher als die Pumpe liegt, spricht man vom Zulaufbetrieb und für die „Saughöhe“ gilt ein entsprechend negativer Wert.

NPSH-Wert der Pumpe (NPSHR)

Der NPSH_A-Wert der Anlage entspricht letztlich der vorhandenen Haltedruckhöhe aufgrund den Gegebenheiten seitens der Anlage (Index A für Available = „vorhanden“). Die Pumpe darf für den kavitationsfreien Betrieb diese Haltedruckhöhe nicht überschreiten. Es ist somit unbedingt erforderlich, dass die Pumpe eine geringere Haltedruckhöhe erzeugt bzw. aufweist als aus Sicht der Anlage vorhanden ist. Man spricht im Falle der Pumpe deshalb vom NPSH_R-Wert der Pumpe (Index R für Required= „erforderlich“).

Die Haltedruckhöhen von Kreiselpumpen geben die Pumpenhersteller in ihren Datenblätter an. Der NPSH_R-Wert ist stark von der Pumpendrehzahl und dem geförderten Volumenstrom abhängig. Aus Sicherheitsgründen sollte der NPSH_A-Wert der Anlage um etwa 0,5 m größer sein als der NPSH_R-Wert der Pumpe:

\begin{align}
&\boxed{\text{NPSH}_\text{A} \geq \text{NPSH}_\text{R} + 0,5 \text{ m}} ~~~\text{kavitationsfreier Betrieb} \\[5px]
\end{align}

Maßnahmen zur Vermeidung von Kavitation

Sollte Kavitation während des Betriebs einer Kreiselpumpe auftreten, so müssen entsprechende Gegenmaßnahmen ergriffen werden. Die Reduzierung der Strömungsgeschwindigkeit ist dabei entscheidend, um das zu starke Absinken des Drucks zu verhindern.

Seitens der Pumpe kann dies bspw. durch eine Verringerung der Pumpendrehzahl erreicht werden. Dabei nimmt allerdings der Förderstrom ab. Ist eine solche Verringerung des Volumenstroms nicht erwünscht, dann muss eine größere Pumpe genutzt werden, die bereits bei geringeren Drehzahlen denselben Volumenstrom fördert.

Ein zu starkes Absinken des Drucks kann konstruktiv auch durch den Einsatz eines Vorsatzläufers innerhalb der Pumpe verhindert werden. Vorsatzläufer werden auch als Vorpropeller oder Inducer bezeichnet. Der Vorsatzläufer ist letztlich ein axiales Laufrad, das dem eigentlichen Pumpenlaufrad vorgeschaltet ist und auf derselben Welle sitzt. Vorsatzläufer erhöhen den statischen Druck der Flüssigkeit vor dem Eintritt in das Pumpenlaufrad und verringern somit das Unterschreiten des Dampfdrucks (Verringerung des NPSHR-Werts der Pumpe).

Kreiselpumpen mit Vorsatzläufer werden im Teillastbereich betrieben, da unter Volllast Kavitation im Vorsatzläufer auftreten würde. Somit können Pumpen mit Vorsatzläufer nicht das gesamte Leistungsspektrum im Vergleich zu Pumpen ohne Vorsatzläufer abdecken. Bedingt durch den zusätzlichen Läufer sind zudem die Wirkungsgrade geringer.

Maßnahmen zur Verringerung/Vermeidung von Kavitation können auch seitens der Anlage vorgenommen werden. An dieser Stelle bewirkt eine Vergrößerung der Saugleitung bei gleichbleibendem Volumenstrom ebenfalls eine Verringerung der Strömungsgeschwindigkeit. In diesem Zusammenhang ist die Saugleitung evtl. auch auf Verstopfungen hin zu überprüfen.

Ein weitere Möglichkeit Kavitation zu vermeiden, ist es die geodätische Saughöhe so gering wie möglich zu halten. Hierfür muss entweder der Saugbehälter höher oder die Pumpe tiefer gelegt werden. Eventuell ist auch eine Umstellung von Saugbetrieb auf Zulaufbetrieb in Betracht zu ziehen.

Anfahren und Abschalten von Kreiselpumpen

Kreiselpumpen sollte man nicht einfach an- und abschalten, da dies sonst zu Schädigungen an der Pumpe führen kann. Es gilt deshalb eine bestimmte Vorgehensweise einhalten. Zunächst sollte die Pumpe nicht im trockenen Zustand angeschaltet werden und auch während des Betriebs darf die Pumpe nicht trocken laufen. Zum einen kann die Kreiselpumpe beim Trockenlauf in der Regel keine Saugwirkung entwickeln und damit keine Flüssigkeit fördern (Ausnahme: Seitenkanalpumpen). Zum anderen dient die strömende Flüssigkeit gleichzeitig zur Kühlung der Pumpe. Fehlt diese Kühlwirkung kommt es sehr schnell zur Überhitzung der Pumpe. Zudem übt der Flüssigkeitsdruck eine gewisse Zentrierung auf die rotierenden Bauteile innerhalb der Pumpe aus und verhindert somit einen direkten Kontakt mit benachbarten Bauteilen. Aus den besagten Gründen haben Kreiselpumpen häufig einen Trockenlaufschutz, der die Pumpe bei fehlender Flüssigkeit sofort abschaltet.

Vor dem Anfahren der Pumpe, muss diese deshalb mit Flüssigkeit befüllt werden. Beim Befüllen der Pumpe darf sich diese nicht wieder durch die Saugleitung entleeren. Deshalb ist meist ein Rückschlagventil in der Saugleitung eingebaut, das automatisch ein Rücklauf verhindert. Es kann auch ein einfaches Absperrventil eingebaut sein, das dann zunächst manuell geschlossen werden muss.

Würde man die Pumpe nach dem Befüllen und bei geöffnetem Ventil direkt anschalten, dann würde die Pumpe sofort einen hohen Volumenstrom fördern wollen. Das in Rotation versetzen des Elektromotors und das gleichzeitige Fördern des hohen Volumenstroms erfordert einen sehr hohen Leistungsbedarf des Motors. Dies kann zur Überhitzung führen. Damit dies nicht passiert muss der Volumenstrom beim Anlaufen der Pumpe deshalb gedrosselt werden.

Die Drosselung des Volumenstroms erfolgt allerdings nicht über das Ventil in der Saugleitung, da eine Verengung in der Saugleitung die Strömungsgeschwindigkeit erhöhen würde und damit wiederum die Gefahr der Kavitation bestünde. Aus diesem Grund befindet sich in der Druckleitung ein weiteres Absperrventil, das beim Anschalten der Pumpe zunächst geschlossen ist und erst allmählich geöffnet wird, sodass der Volumenstrom langsam auf sein Maximum ansteigt.

Zusammengefasst erfolgt das Anfahren von Kreiselpumpen also wie folgt:

1. Ventil in der Saugleitung schließen (Verhinderung des Leerlaufens)
2. Pumpe befüllen (Erzielung einer Saugwirkung und Schutz vor Überhitzung)
3. Ventil in der Druckleitung schließen
4. Ventil in der Saugleitung vollständig öffnen (Vermeidung von Kavitation)
5. Motor der Pumpe einschalten
6. Ventil in der Druckleitung langsam öffnen (Verhinderung der Motorüberhitzung)

Beim Abschalten der Pumpe muss ebenfalls auf eine bestimmte Vorgehensweise geachtet werden. Zunächst wird das Ventil in der Druckleitung wieder langsam geschlossen. Ein zu schnelles Schließen sollte vermieden werden, da ansonsten die Flüssigkeit hinter dem Ventil aufgrund ihrer Trägheit versucht ist weiterzufließen und somit ein sehr großer Unterdruck entsteht. Der Unterdruck zieht die Flüssigkeit dann wieder zurück und prallt mit voller Wucht auf die Armatur. Dies kann sowohl das Ventil als auch die Rohrleitung zerstören.

Nachdem das Absperrventil in der Druckleitung geschlossen wurde, kann die Pumpe nun abgeschaltet werden. Anschließend sollte das Absperrventil in der Saugleitung wieder geschlossen werden, um ein Leerlaufen der Pumpe zu verhindern. Bei Rückschlagventilen passiert dies automatisch.

Zusammengefasst erfolgt das Abschalten von Kreiselpumpen also wie folgt:

1. Ventil in der Druckleitung langsam schließen (Verhinderung von Druckstößen)
2. Motor der Pumpe abschalten
3. Ventil in der Saugleitung schließen (Verhinderung des Leerlaufens)

Förderhöhe einer Pumpe

Pumpen dienen zur Förderung von Gasen oder Flüssigkeiten. Diese Fluide werden in der Regel von einem tiefer gelegenen Niveau gefördert und auf ein höher gelegenes Niveau gepumpt. Zwischen diesen Niveaus ist die Pumpe angeordnet. Mit Hilfe der Pumpe wird auf der sogenannten Saugseite ein Unterdruck erzeugt, sodass das Fluid angesaugt wird. Anschließend setzt die Pumpe das Fluid unter hohen Druck. Auf der sogenannten Druckseite wird das Fluid nun mit erhöhtem Druck durch die Rohrleitung geschoben und auf das höhere Niveau gefördert. Im Folgenden betrachten wir ausschließlich das Fördern von inkompressiblen Fluiden wie Flüssigkeiten.

Welche Höhendifferenz die Flüssigkeit durch die Pumpe überwinden kann, hängt von der Leistung der Pumpe, der Dichte des zu fördernden Fluids und vom Volumenstrom ab. Um dies zu zeigen, betrachten wir eine vertikale Rohrleitung. Mit Hilfe einer Pumpe wird durch dieses Rohr ein Fluid der Dichte ϱ von einem tiefer gelegenen Becken in die Höhe gepumpt. Am offenen Ende der Rohrleitung tritt das Wasser aus. Die zu überwindende Höhendifferenz betrage H. Reibungs- oder Strömungsverluste werden im Folgenden vernachlässigt.

Die Zeitdauer bis ein Fluidteilchen vom unteren Becken (Höhe Flüssigkeitsspiegel) vollständig durch die Rohrleitung hinauf gepumpt wurde, sei mit t bezeichnet. Innerhalb dieser Zeit t muss offensichtlich einmal die gesamte im Rohr befindliche Flüssigkeit der Masse m=V⋅ϱ um die Höhe H angehoben werden (mit V als Volumen des Fluids im Rohr). Hierzu ist folgende Arbeit W_H erforderlich:

\begin{align}
&W_\text{H} = m \cdot g \cdot H ~~~\text{mit}~~~m =V \cdot \rho \\[5px]
&W_\text{H} = V \cdot \rho \cdot g \cdot H ~~~~~\text{Hubarbeit der Pumpe} \\[5px]
\end{align}

Diese Arbeit wird offensichtlich innerhalb der Zeit t erbracht, sodass sich hieraus folgende Leistung P_H ergibt, die die Pumpe liefern muss:

\begin{align}
&P_\text{H} = \frac{W_\text{H}}{t} \\[5px]
&P_\text{H} = \frac{V \cdot \rho \cdot g \cdot H}{t} \\[5px]
&P_\text{H} = \underbrace{\frac{ V}{t}}_{\dot V} \cdot \rho \cdot g \cdot H\\[5px]
&\boxed{P_\text{H} = \dot V \cdot \rho \cdot g \cdot H} ~~~~~\text{Leistung der Pumpe} \\[5px]
\end{align}

Bei der Herleitung wurde ausgenutzt, dass der Quotient aus Volumen V und Zeitdauer t gerade dem geförderten Volumenstrom V* entspricht.

Umgekehrt bedeutet dies: Bei gegebener Pumpenleistung P_H und zu förderndem Volumenstrom V* ergibt sich die maximale Förderhöhe der Pumpe H in Abhängigkeit der Dichte des Fluids ϱ wie folgt (bei einer größeren Höhe wäre der hydrostatische Druck der Flüssigkeitssäule größer als der erzeugte Druck der Pumpe und das Fluid könnte nicht weiter nach oben gefördert werden):

\begin{align}
&P_\text{H} = \frac{W_\text{H}}{t} \\[5px]
&P_\text{H} = \frac{V \cdot \rho \cdot g \cdot H}{t} \\[5px]
&P_\text{H} = \underbrace{\frac{ V}{t}}_{\dot V} \cdot \rho \cdot g \cdot H\\[5px]
\label{p}
&\boxed{H = \frac{P_\text{H}}{\dot V \cdot \rho \cdot g}} ~~~~~\text{Förderhöhe der Pumpe} \\[5px]
\end{align}

Als Förderhöhe einer Pumpe bezeichnet man die maximale Höhendifferenz die eine Pumpe aufgrund ihrer auf das Fluid übertragenen Leistung bei gegebenem Volumenstrom und gegebener Dichte im verlustfreien Fall maximal überwinden kann!

Beachte, dass die Förderhöhe der Pumpe keine Reibungsverluste im Rohr oder Druckverluste durch eingebaute Komponenten berücksichtigt, sondern nur für den verlustfreien Fall der Rohrleitung gilt. Diese Verluste sind nämlich keine Verluste, die unmittelbar der Pumpe zugeordnet werden könnten, sondern sie sind von der Eigenschaft der Anlage abhängig für die die Pumpe eingesetzt werden soll. Hersteller von Pumpen können solche Rohrleitungsverluste also ohnehin nicht berücksichtigen, da sie die Einsatzbedingungen der Pumpe nicht kennen. Deshalb werden die Rohrleitungsverluste bei der Förderhöhe der Anlage berücksichtigt (später mehr dazu).

Pumpenwirkungsgrad

Die Leistung P_H in den oberen Gleichungen bezieht sich nur auf die Leistung, die die Pumpe effektiv auf das Fluid überträgt, d.h. jene Leistung die tatsächlich für das kontinuierliche Anheben des Fluids auf die Höhe H erforderlich ist! Diese Leistung ist nicht identisch mit dem sogenannten Leistungsbedarf P_B der Pumpe (auch Leistungsaufnahme genannt), d.h. jener Leistung die bspw. eine elektrische Pumpe aus dem Stromnetz entnehmen muss.

Es gilt in diesem Fall Umwandlungsverluste zu berücksichtigen, die bei der Umwandlung der zugeführten elektrischen Leistung in mechanische Leistung entstehen. Ebenfalls müssen Strömungsverluste in der Pumpe durch Turbulenzen berücksichtigt werden, vor allem bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten bzw. hohen Volumenströmen. All dies wird in einem Pumpenwirkungsgrad η zusammengefasst:

\begin{align}
&\boxed{P_\text{H} = P_\text{B} \cdot \eta} \\[5px]
\end{align}

Der Pumpenwirkungsgrad ist keine konstante Größe, sondern vom geförderten Volumenstrom abhängig! Der Wirkungsgrad steigt zunächst mit zunehmendem Volumenstrom an und fällt dann ab einem Maximalwert aufgrund hoher Turbulenzen und den damit verbundenen Strömungsverlusten wieder ab. Typische maximale Wirkungsgrade liegen bei Pumpen zwischen 70 % und 90 %.

Die untere Abbildung zeigt für eine gegebene Drehzahl einer Kreiselpumpe die typischen Verläufe zwischen Förderhöhe, Wirkungsgrad und Leistungsaufnahme der Pumpe in Abhängigkeit des Volumenstroms (Drosselkurve genannt). Beachte, dass solche Kennlinien nur für jeweils eine bestimmte Pumpendrehzahl gültig sind.

Förderhöhe der Anlage

Geodätische Förderhöhe

Die Höhendifferenz zwischen einem tiefer und einem höher gelegenen Becken wird als geodätische Förderhöhe der Anlage H_geo bezeichnet. Als Bezugspunkte dienen dabei die jeweiligen Flüssigkeitsspiegel, sofern das höher gelegene Becken von unten befüllt wird. Wird es von oben befüllt, dann ist der Bezugspunkt jener Punkt an dem die Flüssigkeit aus dem Rohr strömt. Für das untere Becken spielt es dabei keine Rolle wie tief der Saugstutzen in die Flüssigkeit eintaucht. Im unteren Becken ist stets die Flüssigkeitsoberfläche zugrunde zu legen, da die Flüssigkeit im Rohr ohnehin von selbst bis auf den äußeren Flüssigkeitsspiegel ansteigt.

Die geodätische Förderhöhe einer Anlage, lässt sich weiter aufteilen in eine geodätische Saughöhe auf der Saugseite und eine geodätische Druckhöhe auf der Druckseite. Beide Höhen zusammen, bilden die geodätische Förderhöhe der Anlage.

Als geodätische Förderhöhe einer Anlage bezeichnet man die (von einer Pumpe) zu überwindende Höhendifferenz zwischen einem tiefer und einem höher gelegenen Niveau! Sie ergibt sich aus der Summe von geodätischer Saughöhe und geodätischer Druckhöhe.

Damit Flüssigkeiten gefördert werden können, muss die Förderhöhe der Pumpe in jedem Fall größer sein als die geodätische Förderhöhe der Anlage. Dies gilt allerdings nur, wenn im Rohr keine Reibungsverluste oder Strömungsverluste durch eingebaute Komponenten wie bspw. Ventile oder sonstige Messstellen entstehen. Zudem ist die maximale geodätische Saughöhe physikalisch bedingt limitiert.

Maximale geodätische Saughöhe

Auf der Saugseite arbeitet die Pumpe nach dem Trinkhalmprinzip. Es ist demnach also keineswegs so, dass die Pumpe Flüssigkeit einsaugt. Vielmehr drückt der auf der Flüssigkeitsoberfläche lastende (Umgebungs-)Druck das Fluid in die Pumpe. Da der Umgebungsdruck endlich ist, können selbst bei Erzeugung eines perfekten Vakuums keine beliebige Saughöhen überwunden werden. Unter Vernachlässigung von Reibung- und Strömungsverlusten, bestimmt sich die maximale geodätische Saughöhe nach folgender Formel (siehe hierzu den Artikel Wie funktioniert das Trinken mit einem Trinkhalm?):

\begin{align}
\label{hmax}
&\boxed{h_\text{s,max} = \frac{p_0}{\rho \cdot g} } ~~~~~\text{maximale geodätische Saughöhe} \\[5px]
\end{align}

In dieser Formel bezeichnet p₀ den auf der Flüssigkeitsoberfläche lastende (Umgebungs-)Druck und ϱ die Dichte der Flüssigkeit. Für das Fördern von Wasser mit ϱ = 1000 kg/m³ beträgt die maximale geodätische bei einem Umgebungsdruck von 1 bar somit 10 Meter.

Aufgrund der Tatsache, dass jedoch keine Pumpe ein perfektes Vakuum erzeugen kann und aufgrund der Viskosität der geförderten Flüssigkeit unweigerlich Reibungsverluste entstehen, beträgt die maximale geodätische Saughöhe für Wasser in der Praxis nur maximal 8 Meter. Beachte, dass bei geschlossenen Behältern der Umgebungsdruck künstlich erhöht werden kann, sodass dann auch größere Saughöhen möglich werden.

Im Gegensatz zur Saughöhe ist die Druckhöhe auf der Druckseite der Pumpe im Prinzip nicht auf einen Maximalwert beschränkt. Je nach erzeugtem Druck lassen sich im Allgemeinen beliebige Druckhöhen erreichen.

Verlusthöhe

Wie bereits angesprochen, müssen in der Realität Reibungsverluste und Strömungsverluste in der Anlage berücksichtigt werden. Die Pumpe muss also in der Realität eine größere Leistung auf das Fluid übertragen als im reibungsfreien Idealfall. Unter Berücksichtigung der Reibung verhält sich die reale Anlage so, als wäre eine fiktive reibungsfreie Anlage um eine bestimmte Höhe größer. Diese zusätzliche (fiktive) Höhe, in der die Reibungs- und Strömungsverluste zum Tragen kommen, wird Verlusthöhe H_V genannt.

Bezeichnet P_V die Verlustleistung, die beim Strömen des Fluids mit dem Volumenstrom V* entsteht, dann kann die Verlusthöhe H_V gemäß Gleichung (\ref{p}) wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}
&\boxed{H_\text{V} = \frac{P_\text{V}}{\dot V \cdot \rho \cdot g} } ~~~~~\text{Verlusthöhe der Anlage} \\[5px]
\end{align}

Die (fiktive) Förderhöhe der Anlage H_A ist somit um den Betrag der Verlusthöhe H_V größer als die geodätische Förderhöhe H_geo:

\begin{align}
&\boxed{H_\text{A} = H_\text{geo} + H_\text{V}} ~~~~~\text{Gesamtförderhöhe der Anlage} \\[5px]
\end{align}

Man muss die Förderhöhe der Pumpe also mit der (fiktiven) Förderhöhe der Anlage vergleichen, wenn es um die Auswahl einer geeigneten Pumpe geht. Die Förderhöhe der Pumpe muss größer sein als diese Förderhöhe der Anlage, damit das Fluid gefördert werden kann. Dabei ist allerdings noch nicht berücksichtigt, dass im oberen bzw. unteren Becken unterschiedliche Drücke herrschen können. Deshalb muss im Allgemeinen auch noch eine Druckhöhendifferenz berücksichtigt werden, auf die im nächsten Abschnitt näher eingegangen wird.

Auch in einem horizontalen Rohr treten aufgrund der Viskosität des darin strömenden Fluids unweigerlich Reibungsverluste auf. Die damit verbundene Verlusthöhe lässt sich in diesem Fall tatsächlich sehr anschaulich zeigen. Hierzu kann man sich kleine Steigrohre am Rohr angebracht vorstellen. Aufgrund des statischen Drucks im strömenden Fluid, wird das Fluid im Steigrohr um einen bestimmten Betrag nach oben gedrückt. Durch die Reibungsverluste im Rohr sinkt der statische Druck stromabwärts jedoch (konstanter Rohrquerschnitt vorausgesetzt). Die Flüssigkeit in einem Steigrohr erreicht an dieser Stelle nur noch eine geringere Höhe. Die Differenz in den Flüssigkeitsspiegeln entspricht anschaulich der Verlusthöhe des horizontalen Rohrs.

Druckhöhendifferenz

Stellen wir uns folgende Situation vor. Wasser soll von einem geschlossenen Behälter in einen 6 Meter höher gelegenen offene Behälter gefördert werden. Im geschlossenen Behälter wird durch ein Kompressor ein Überdruck erzeugt. Auch ohne das Vorhandensein einer Pumpe wird durch diesen Überdruck das Wasser bereits von selbst ein Stück nach oben gedrückt. Bei einem Überdruck von 0,1 bar steigt das Wasser theoretisch bereits auf eine Höhe von 1 Meter über dem Wasserspiegel an [siehe Formel (\ref{hmax})]. Die Pumpe hat somit nur noch die letzten 5 Meter Höhendifferenz zu überwinden. Energetisch betrachtet, hat die Anlage aus Sicht der Pumpe nur eine Förderhöhe von 5 Metern (ohne Berücksichtigung der Verlusthöhe).

Umgekehrt, erhöht sich die Förderhöhe der Anlage, wenn der untere Behälter offen sich und im höher liegenden Behälter ein Überdruck erzeugt wird. In diesem Fall drückt der größere Druck im oberen Behälter die Wassersäule nach unten. Damit hat die Pumpe nun eine deutlich größere Höhendifferenz zu überwinden. Die Effekte gleichen sich nur dann aus, wenn in beiden Behältern die Drücke gleich groß sind (z.B. Umgebungsdruck in beiden Behältern). Auch ohne externe Kompressoren, kommen in geschlossenen Behältern ohne Entlüftung, Druckunterschiede zustande, da sich das Luftvolumen im Tank bei einer Änderung des Flüssigkeitsstandes ebenfalls ändert, ohne dass Luft entweichen oder nachströmen kann.

Die zusätzlich Förderhöhe bzw. die verringerte Förderhöhe aufgrund der Druckdifferenz Δp zwischen den beiden Behältern wird als Druckhöhendifferenz H_p bezeichnet. Die Druckdifferenz bestimmt sich dabei über die Differenz zwischen dem Druck im oberen Behälter p₂ und dem Druck im unteren Behälter p₁. Auf diese Weise wird auch das Vorzeichen korrekt wiedergegeben, sodass bei einem Unterdruck im oberen Behälter (bzw. einem Überdruck im unteren Behälter) eine negative Druckhöhendifferenz resultiert, die die Förderhöhe der Anlage verringert.

\begin{align}
&H_\text{p} = \frac{\Delta p}{\rho \cdot g} \\[5px]
&\boxed{H_\text{p} = \frac{p_\text{2}-p_\text{1}}{\rho \cdot g} } ~~~~~\text{Druckhöhendifferenz} \\[5px]
\end{align}

Die Gesamtförderhöhe der Anlage H_A bestimmt sich im Allgemeinen somit aus der Summe von geodätischer Förderhöhe H_geo, Verlusthöhe H_V und Druckhöhendifferenz H_p:

\begin{align}
&\boxed{H_\text{A} = H_\text{geo} + H_\text{V} + H_\text{p} } ~~~~~\text{Förderhöhe der Anlage} \\[5px]
\end{align}

Förderhöhe als eine auf die Gewichtskraft bezogene Energie

An dieser Stelle soll die Förderhöhe nach Gleichung (\ref{p}) nochmals genauer untersucht und etwas anders interpretiert werden. Hierzu wird ausgenutzt, dass sich die Leistung also Arbeit pro Zeit und der Volumenstrom als Volumen pro Zeit darstellen lässt.

\begin{align}
\require{cancel}
&H = \frac{P_\text{H}}{\dot V \cdot \rho \cdot g} ~~~~~\text{mit}~~~P_\text{H}=\frac{W_\text{H}}{t}~~~~~\text{und}~~~\dot V = \frac{V}{t}~~~\text{folgt:}\\[5px]
&H = \frac{\frac{W_\text{H}}{\bcancel{t}}}{\frac{V}{\bcancel{t}} \cdot \rho \cdot g} \\[5px]
&H = \frac{W_\text{H}}{\underbrace{V \cdot \rho}_{m} \cdot g} \\[5px]
&H = \frac{W_\text{H}}{m \cdot g} \\[5px]
&\boxed{H = \frac{W_\text{H}}{F_\text{G}}} \\[5px]
\end{align}

Die Förderhöhe lässt sich als eine auf die Gewichtskraft bezogene Energie interpretieren. Dementsprechend gilt:

• Förderhöhe der Pumpe = Auf ein Fluidelement übertragene Energie der Pumpe (bezogen auf die Gewichtskraft des Fluidelements).
• Förderhöhe der Anlage = Benötigte Energie zum Fördern eines Fluidelements (bezogen auf die Gewichtskraft des Fluidelements).

Anlagenkennlinie

Während die geodätische Förderhöhe und die Druckhöhendifferenz eine konstante Größe einer Anlage ist, ist die Verlusthöhe vom Volumenstrom abhängig. Die Druckverluste nehmen mit zunehmendem Volumenstrom zu. Im Artikel Druckverlust in Rohrsystemen (Rohrreibungszahl) wurde hierzu bereits folgende Gleichung hergeleitet, die den Druckverlust Δp_V einer Rohrleitung mit der Rohrreibungszahl λ, dem Innendurchmesser d und der Länge L beschreibt:

\begin{align}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^5}} ~~~\text{Druckverlust in einem geraden Rohrabschnitt} \\[5px]
\end{align}

Mit diesem Druckverlust ist unweigerlich ein Verlust an mechanischer Energie verbunden und damit eine entsprechende Verlusthöhe. Die Verlust Höhe steigt also (näherungsweise) quadratisch mit dem Volumenstrom an. „Näherungsweise“ deshalb, weil die Rohrreibungszahl wiederum vom Volumenstrom selbst beeinflusst wird. Die untere Abbildung zeigt qualitativ den Verlauf der Förderhöhe einer Anlage in Abhängigkeit des Volumenstroms.

Während also die Förderhöhe der Anlage mit zunehmenden Volumenstrom ansteigt, sinkt (wie eingehend bereits gezeigt) die Förderhöhe der Pumpe aufgrund der zunehmenden Strömungsverluste innerhalb der Pumpe. Im Betrieb der Pumpe stellt sich je nach Volumenstrom ein gemeinsamer Betriebspunkt ein, der dem Schnittpunkt zwischen Pumpenkennlinie und Anlagenkennlinie entspricht.

Die Anlagenkennlinie kann durch ein Drosselventil gezielt beeinflusst werden, um den Volumenstrom entsprechend zu steuern. Dabei muss allerdings beachtet werden, dass Kreiselpumpen einen maximalen Wirkungsgrad bei einem bestimmten Volumenstrom aufweisen. Für einen energieeffizienten Betrieb sollte der Betriebspunkt möglichst nahe diesem maximalen Wirkungsgrad liegen. Mit einer Änderung der Anlagenkennlinie durch ein Drosselventil wird der Betriebspunkt in aller Regel jedoch nachteilig verändert. Es resultieren durch die höheren Strömungswiderstände aufgrund der Zustellung geringere Wirkungsgrade. Eine Änderung der Drehzahl der Pumpe zur Steuerung des Volumenstroms kann deshalb an dieser Stelle sinnvoller sein.

Druckverlust

Im Artikel Druckverlust in Rohrsystemen (Rohrreibungszahl) wurde auf den Druckverlust in Rohrleitungen und den damit verbundenen Formeln bereits ausführlich eingegangen. Deshalb sollen die Formeln an dieser Stell nur nochmal kurz zusammengefasst werden. Der Druckverlust Δp_V im Inneren eines Rohres mit dem Innendurchmesser \d und der Länge L ist von der Dichte des Fluids ϱ und der (mittleren) Strömungsgeschwindigkeit v abhängig:

\begin{align}
\label{def}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{\rho}{2} \bar v^2 \cdot \frac{L}{ d}} ~~~\text{Druckverlust in einem geraden Rohrabschnitt} \\[5px]
\end{align}

Der Einfluss der Strömung (laminar oder turbulent) und der Einfluss der Rauigkeit des Rohres auf den Druckverlust werden dabei durch die Rohrreibungszahl λ erfasst (auch Rohrwiderstandszahl oder Rohreibungskoeffizient genannt).

Der Druckverlust lässt sich auch in Abhängigkeit des Volumenstroms V* ausdrücken:

\begin{align}
\label{volu}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{8\rho~}{\pi^2} \dot{V}^2 \cdot \frac{L}{d^5}} ~~~\text{Druckverlust in einem geraden Rohrabschnitt} \\[5px]
\end{align}

Rohrreibungszahl für laminare Strömungen

Für laminare Strömungen ist die Rohrreibungszahl nicht von der Rauigkeit der Rohrwand abhängig, sondern nur durch die Reynoldszahl Re bestimmt:

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{\lambda_\text{lam}= \dfrac{64}{Re}} ~~~\text{Rohrreibungszahl bei laminarer Strömung}\\[5px]
&Re= \frac{v \cdot d \cdot \rho}{\eta}
\end{align}

Rohrreibungszahl für turbulente Strömungen

Bei turbulenten Strömungen ist der Einfluss der Rauigkeit der Rohrwand hingegen relativ groß. Die Rohrreibungszahl steigt mit zunehmender Rauheit und sinkt mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit. Bei hinreichend großen Reynoldszahlen wird die Rohrreibungszahl unabhängig der Strömungsgeschwindigkeit und ist damit nur noch von der Rauheit des Rohres abhängig. Die Rohrreibungszahl ist für turbulente Strömung durch die Colebrook-White Gleichung (\ref{cw}) gegeben:

\begin{align}
\label{cw}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2,51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}} +\frac{\varepsilon}{3,71}\right)} ~~~\text{Colebrook-White-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet ε die relative Rauheit der Rohrwand, d.h. das Verhältnis von Oberflächenrauheit und Rohrdurchmesser.

Als einfache Näherung kann die nachfolgend angegebene Haaland-Gleichung verwendet werden. Sie dient auch als Bestimmung des Startwertes für die iterative Lösung der Colebrook-White-Gleichung. Mehr zu diesem iterativen Lösungsverfahren der Colebrook-White-Gleichung im Artikel Druckverlust in Rohrsystemen (Rohrreibungszahl).

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur,0}}}}=-1,8\cdot \log_\text{10}\left(\frac{6,9}{Re} +\left(\frac{\varepsilon}{3,7}\right)^{1,11}\right)} ~~~\text{Haaland-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Für hydraulisch glatte Rohre, bei denen die viskose Unterschicht (laminare Unterschicht) die Oberflächenrauheiten vollständig überdeckt, ist die relative Rauheit null (ε=0). Die Colebrook-White-Gleichung lautet für diesen Spezialfall:

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2,51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}} \right)} ~~~\text{hydraulisch glatte Rohre} \\[5px]
\end{align}

Für hydraulisch raue Rohre, bei denen die Oberflächenrauheiten vollständig durch die viskose Unterschicht ragen, gilt nachfolgend angegebene Formel nach Nikuradse. Die Rohrreibungszahl ist dabei nicht mehr von der Reynoldszahl abhängig, sondern hauptsächlich durch die Wandrauigkeiten bestimmt.

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{\varepsilon}{3,71} \right)} ~~~\text{hydraulisch raue Rohre} \\[5px]
&\lambda_\text{tur}=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{3,71}{\varepsilon} \right)}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass zwar die Rohrreibungszahl mit zunehmender Reynoldszahl sinkt, dies aber nicht bedeutet, dass der Druckverlust hierdurch geringer werden würde. Der Druckverlust nimmt gemäß Gleichung (\ref{def}) nämlich mit dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit zu. Der quadratische Einfluss der Strömungsgeschwindigkeit übersteigt also die geringer werdende Rohrreibungszahl um ein Vielfaches, sodass der Druckverlust grundsätzlich mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit ansteigt.

Moody-Diagramm

Das Moody-Diagramm gibt graphisch für verschiedene (relative) Wandrauigkeiten eines Rohres die Rohrreibungszahl in Abhängigkeit der Reynoldszahl (Strömungsart) wieder. Im Übergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Strömung ist eine verlässliche Angabe des Rohrreibungsbeiwertes allerdings nicht möglich.

Die im Diagramm blau-gestrichelte Kurve markiert den Bereich der hydraulisch rauen Rohre, für die die Rohrreibungszahl unabhängig der Reynoldszahl ist. Für den hydraulisch rauen Bereich gilt folgende Ungleichung:

\begin{align}
&\boxed{\sqrt{\lambda}~Re~\varepsilon>200 } ~~~\text{für hydraulisch raue Rohre} \\[5px]
\end{align}

Einleitung

Strömen Fluide durch Rohre, dann treten unweigerlich Energieverluste auf. Dies ist zum einen durch Reibung begründet, die zwischen Rohrwand und Fluid entsteht (Wandreibung). Zum anderen entstehen auch innerhalb des Fluids Reibungseffekte aufgrund der Viskosität des Fluids (innere Reibung). Dieser innere Reibungseffekt ist umso größer, je schneller das Fluid strömt (siehe hierzu auch Artikel Hagen-Poiseuille-Gesetz für Rohrströmungen mit Reibung).

Weitere Strömungsverluste entstehen durch Verwirbelungen im Fluid, die besonders an Armaturen hervorgerufen werden, die letztlich Strömungshindernisse darstellen. Diese Verwirbelungen beinhalten zwar kinetische Energien, transportieren sie aber makroskopisch betrachtet nicht durch die Rohrleitung, sondern verbleiben sozusagen an Ort und Stelle.

Im Artikel Bernoulli-Effekt wurde bereits ausführlich gezeigt, dass Druck auch als volumenspezifische Energie aufgefasst werden kann. In diesem Zusammenhang gibt der Druck an, wie viel Energie pro Volumeneinheit in einem Fluid steckt. Wenn salopp formuliert, Druck also Energie bedeutet, dann bedeutet ein Energieverlust unweigerlich einen Druckverlust. Die oben beschriebenen Reibungs- und Strömungseffekte sind somit stetes begleitet mit einem entsprechenden Druckverlust.

Der Druckverlust bezieht sich dabei grundsätzlich auf den Verlust an statischem Druck (bzw. Verlust am Gesamtdruck). Der dynamische und der hydrostatische Druck werden nicht durch die Energieverluste beeinflusst, da diese sozusagen nur Wirkung der Strömung sind aber nicht Ursache. Die hydrostatischen Drücke und dynamischen Drücke sind durch die Geometrie der Rohrleitung vorgegeben. Weitere Druckverluste entstehen in einzelnen Bauteilen, z.B. Ventile, Krümmer oder Messapparaturen.

Der (statische) Druckverlust in Rohrleitungen ist mit dem Verlust an mechanischer Energie verbunden, der unweigerlich beim Strömen eines Fluids durch ein Rohrsystem auftritt.

Im Folgenden betrachten wir ausschließlich inkompressible Strömungen wie Flüssigkeiten oder langsam strömende Gase.

Druckverlust in Rohrleitungen (Rohrreibungszahl)

Unabhängig davon, ob es sich um eine laminare oder turbulente Strömung handelt, beschreibt man den Druckverlust durch eine Rohrleitung mit Hilfe einer dimensionslosen Ähnlichkeitskenngröße. Diese sogenannte Rohrreibungszahl λ beschreibt im Wesentlichen das Verhältnis zwischen Druckverlust Δp_V (Energieverlust) und der in der Strömung enthaltenen kinetischen Energie in Form des dynamischen Drucks Δp_dyn (Staudruck). Zudem muss das Verhältnis von Rohrinnendurchmesser d und Rohrlänge L berücksichtigt werden.

\begin{align}
& \lambda := \frac{\Delta p_\text{V}}{p_\text{dyn}} \cdot \frac{d}{L}~~~\text{mit}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{lambda}
& \boxed{\lambda= \frac{\Delta p_\text{V}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}} ~~~\text{Rohrreibungszahl} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet d den Innendurchmesser des Rohres und L die Länge des geraden Rohrabschnitts, entlang dessen der Druckverlust Δp_V beträgt. Die Rohrreibungszahl wird auch als Rohrwiderstandszahl bezeichnet oder Rohreibungskoeffizient genannt.

Die Strömungsgeschwindigkeit bezieht sich dabei auf die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Rohr. Beachte, dass sowohl bei turbulenter als auch bei laminarer Strömung keine einheitliche Geschwindigkeit über den Rohrquerschnitt hinweg vorliegt, sondern ein typisches Geschwindigkeitsprofil (siehe Hagen-Poiseuille-Strömung).

Der Rohrreibungskoeffizient (Rohrreibungszahl) ist eine dimensionslose Ähnlichkeitskenngröße zur Beschreibung des Druckverlustes in geraden Rohrabschnitten!

Anhand der Definition der Rohrreibungszahl als Ähnlichkeitskenngröße, kann man also in einem verkleinerten Modellmaßstab des späteren Rohrsystems zunächst die Rohrreibungszahl bestimmen. Anschließend kann man diese dann auf den realen Maßstab anwenden und somit den Druckverlust in der tatsächlichen Rohrleitung wie folgt bestimmen:

\begin{align}
\label{def}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 \cdot \frac{L}{ d}} ~~~\text{Druckverlust in einem geraden Rohrabschnitt} \\[5px]
\end{align}

Die Rohrreibungszahl lässt sich anhand der Geometrie des Rohres auch mathematisch berechnen wie sich später noch zeigen wird.

Beachte, dass diese Formel nur für gerade Rohrabschnitte gilt. In Rohrkrümmern treten aufgrund der Umlenkung der Strömung in der Regel weitere Strömungsverluste auf, die zu Druckverlusten führen. Diese bauteilabhängigen Druckverluste (Einzelwiderstände) werden durch einen Druckverlustbeiwert ζ gesondert berücksichtigt. Später mehr dazu.

In der Praxis wird häufig nicht eine bestimmte Strömungsgeschwindigkeit gefordert, sondern ein bestimmter Volumenstrom. Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ist dabei über die Querschnittsfläche des Rohres A mit dem Volumenstrom V* verknüpft:

\begin{align}
&\boxed{\dot V =\bar v \cdot A} ~~~\text{mit}~A=\frac{\pi}{4}d^2~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\dot V = \bar v \cdot \frac{\pi}{4}~d^2 \\[5px]
\label{vol}
&\underline{\bar v = \frac{4\dot V}{\pi ~d^2}} \\[5px]
\end{align}

Wird Gleichung (\ref{vol}) in Gleichung (\ref{def}) eingesetzt, dann ergibt schließlich folgende Formel für den Druckverlust bei gegebenem Volumenstrom:

\begin{align}
& \Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{1}{2}\rho ~\left( \frac{4\dot V}{\pi ~d^2}\right)^2 \cdot \frac{L}{ d}\\[5px]
\label{volu}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \lambda \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^5}} ~~~\text{Druckverlust in einem geraden Rohrabschnitt} \\[5px]
\end{align}

Der Durchmesser geht offensichtlich mit der fünften Potenz in die Berechnung des Druckverlustes ein und hat somit entscheidenden Einfluss. Im Allgemeinen gilt: umso größer der Durchmesser, desto geringer sind die Druckverluste! Beachte, dass die Rohrreibungszahl λ allerdings abhängig von Strömungsgeschwindigkeit ist. Die Strömungsgeschwindigkeit wiederum hängt vom Volumenstrom und somit vom vorhandenen Rohrdurchmesser ab! Diese Größen beeinflussen sich im Allgemeinen also gegenseitig.

Druckverlust bei laminarer Rohrströmung

Der aufgrund der Viskosität zustande kommende Druckverlust durch die innere Reibung des Fluids („Zähigkeit“) wurde für eine laminare Strömung bereits im Artikel zum Hagen-Poiseuille-Gesetz ausführlich hergeleitet:

\begin{align}
\label{lam}
& \boxed{\Delta p_\text{V,lam} = \frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v} ~~~\text{Druckverlust durch Viskosität} \\[5px]
\label{lam2}
& \boxed{\Delta p_\text{V,lam} = \frac{128~\eta ~ L}{\pi d^4} \cdot \dot V} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet Δp_V,lam den Druckverlust entlang eines Rohrabschnitts mit dem Durchmesser d und der Länge L, wenn dieses von einem Fluid mit der dynamischen Viskosität η und der mittleren Geschwindigkeit v laminar durchströmt wird.

Der unweigerlich entstehende Druckverlust aufgrund der stets vorhandenen Viskosität von Fluiden, muss in jedem Fall kompensiert werden, wenn ein Fluid durch eine Rohrleitung gefördert werden soll. Der Druckverlust entspricht folglich dem Druck, den eine Pumpe in jedem Fall erzeugen muss, um das Fluid am Strömen zu halten.

Die Rohrreibungszahl λ_lam für eine laminare Rohrströmung lässt sich durch Einsetzen der Formel (\ref{lam}) in Gleichung (\ref{lambda}) ermitteln:

\begin{align}
\require{cancel}
\lambda_\text{lam} &= \frac{\Delta p_\text{V,lam}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&= \frac{\frac{32~\eta ~ L}{d^2} \cdot \bar v}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} \cdot \frac{d}{L}\\[5px]
&= \frac{2 \cdot 32~\eta ~ \cancel{L}~\cancel{\bar v}}{d^{\cancel{2}}~\rho ~\bar v^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{d}}{\cancel{L}}\\[5px]
&= \frac{64~\eta}{d~\rho ~\bar v}\\[5px]
&= \dfrac{64}{\color{red}{\dfrac{d \rho ~\bar v}{\eta}}}~~~\text{mit}~~~\color{red}{Re=\frac{d~\rho~\bar v}{\eta}}\\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{\lambda_\text{lam}= \dfrac{64}{Re}} ~~~\text{Rohrreibungszahl bei laminarer Strömung}\\[5px]
\end{align}

Bei laminarer Strömung hängt die Rohrreibungszahl nur von der Reynoldszahl ab. Umso höher die Reynolds-Zahl, desto geringer die Rohrreibungszahl!

Beachte, dass die Rohrreibungszahl zwar mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit (zunehmender Reynoldszahl) abnimmt, dies aber nicht bedeutet, dass der Druckverlust hierdurch geringer wird. Der Druckverlust steigt gemäß Gleichung (\ref{def}) nämlich gleichzeitig quadratisch mit der Strömungsgeschwindigkeit an. Insgesamt nimmt der Druckverlust somit linear mit der Strömungsgeschwindigkeit zu – siehe Gleichung (\ref{lam})!

Es wurde bereits angedeutet, dass nicht nur innerhalb des Fluids selbst Reibung vorhanden ist, sondern im Allgemeinen auch zwischen Fluid und Rohrwand Reibungseffekte auftreten. Da das Fluid aufgrund der Haftbedingung aber ohnehin an der Wand haftet und die laminaren Schichten die Rauigkeiten der Wand überdecken, hat dies keinen zusätzlichen Einfluss auf den Druckverlust. Der gesamte Druckverlust bleibt also bei einer laminaren Strömung auf Gleichung (\ref{a}) beschränkt. Anders sieht dies bei turbulenten Strömungen aus, auf die im nächsten Abschnitt näher eingegangen wird.

Druckverlust bei turbulenter Rohrströmung

Turbulenzen in der Strömung bedeuten letztlich Verwirbelungen. Diese beinhalten zwar kinetische Energie beinhalten, aber diese Energie wird nicht wirklich transportiert. Stromabwärts kommt diese Energie sozusagen nicht an und ist deshalb im technisch nutzbaren Sinne verloren. Es existiert neben dem viskositätsbedingten Druckverlust durch Reibung somit ein zusätzlicher Druckverlust durch Turbulenz. Der Druckverlust ist bei turbulenter Strömung somit größer als bei laminarer Strömung.

Viskose Unterschicht

Bei turbulenten Strömungen hat die Rauigkeit der Rohrwand großen Einfluss auf den Rohrreibungskoeffizienten. Hierzu betrachten wir die Situation des Fluids an der rauen Rohrwand etwas genauer. Zunächst haften auch bei einer turbulenten Strömung die unmittelbar an der Wand befindlichen Fluidteilchen aufgrund der Haftbedingung dort an. Dabei können sich in unmittelbarer Umgebung zur Wand allerdings keine Turbulenzen ausbilden, da Querströmungen durch Wand verhindert werden (das Fluid kann ja schließlich nicht durch die Wand strömen). Deshalb bildet sich in unmittelbarer Umgebung zur Wand eine sogenannte laminare Unterschicht, die auch als viskose Unterschicht bezeichnet wird.

Je nachdem wie dick diese viskose Unterschicht ist und wie groß die Rauigkeiten sind, überdeckt die Unterschicht mehr oder weniger stark die Rauigkeiten der Wand. Sind die Rauigkeiten zu groß, dann beeinflussen diese sehr stark die Strömung und führen zu erhöhten Turbulenzen. Diese wiederum bewirken einen relativ großen Druckverlust. Sind die aus der viskosen Unterschicht herausragenden Oberflächenrauigkeiten hingegen relativ klein, dann ist die Turbulenz und damit der Druckverlust geringer. Werden die Oberflächenrauigkeiten hingegen vollständig von der viskosen Unterschicht überdeckt, dann ist der Druckverlust durch die Turbulenz in der Strömung am geringsten. Man spricht in diesem Fall auch von einem hydraulisch glatten Rohr.

Ein Rohr wird als hydraulisch glatt bezeichnet, wenn die viskose Unterschicht die Oberflächenrauigkeiten vollständig überdecken. Der Druckverlust ist dabei am geringsten!

Relative Rauheit

Die Rauigkeit einer Oberfläche wird durch die sogenannte gemittelte Rautiefe k angegeben (in der Technik auch mit R_z symbolisiert). Dieser Rauigkeitskennwert beschreibt den über mehrere Messstrecken gemittelte Abstand zwischen tiefster und höchster Stelle einer rauen Oberfläche.

Die gemittelte Rautiefe als Absolutmaß für die Rauigkeit der Rohrwand ist zur Charakterisierung des Einflusses auf die turbulente Strömung aber nicht geeignet. Die Rauigkeit, die letztlich den Randbereich der Strömung beeinflusst, muss immer im Verhältnis zum gesamten Strömungsquerschnitt betrachtet werden, d.h. zum Innendurchmesser des Rohres. Das Verhältnis von absoluter Rauheit k und Rohrdurchmesser d wird auch als relative Rauheit ε bezeichnet:

\begin{align}
\label{e}
&\boxed{\varepsilon= \frac{k}{d}} ~~~\text{relative Rauheit}\\[5px]
\end{align}

Die relative Rauheit gibt anschaulich an, wie viel Prozent des gesamten Rohrdurchmessers die Rauigkeiten einnehmen.

Achtung: In der deutschsprachigen Literatur wird der Begriff der relativen Rauheit häufig auch umgekehrt definiert, d.h. als Verhältnis von Rohrdurchmesser zu Rautiefe:

\begin{align}
&\text{„relative Rauheit“}= \frac{d}{k} ~~~~~\text{(weit verbreitete Definition)}\\[5px]
\end{align}

Diese ist insofern sehr ungeschickt, weil diese Größe dann eigentlich genau das Gegenteil einer Rauheit beschreibt, nämlich die Glattheit: Umso größer der Quotient, desto weniger rau das Rohr! Aufgrund dieser missverständlichen Begrifflichkeit möchten wir deshalb bei der Definition der relativen Rauheit gemäß Gleichung (\ref{e}) bleiben!

Implizite Colebrook-White-Gleichung

Die Wissenschaftler Colebrook und White leiteten unter Einbeziehung empirischer Ergebnisse folgende implizite Gleichung zur Bestimmung der Rohrreibungszahl λ_tur für turbulente Rohrströmungen her:

\begin{align}
\label{cw}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2,51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}} +\frac{\varepsilon}{3,71}\right)} ~~~\text{Colebrook-White-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Der Begriff implizit bedeutet an dieser Stelle, dass diese Gleichung nicht direkt nach der Rohrreibungszahl aufgelöst werden kann. Vielmehr gilt es bei gegebener Reynoldszahl Re der Strömung und gegebener relativer Rauheit ε des Rohres, eine Rohrreibungszahl zu finden, die dann dieser Gleichung genügt. Ist dies der Fall, so entspricht die gefundene Rohrreibungszahl dem gesuchten Wert. Im Abschnitt Explizite Haaland-Gleichung wird auf ein iteratives Lösungsverfahren dieser Gleichung näher eingegangen. Im sogenannten Moody-Diagramm können die Rohrreibungszahlen auch graphisch ermittelt werden.

Für hydraulisch glatte Rohre überdeckt die viskose Unterschicht die Rauigkeiten der Wand. In diesem Fall ist die relative Rauheit ε in der Colebrook-White-Gleichung Null zu setzen ist, unabhängig des rechnerisch erhaltenen Wertes:

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{2,51}{Re} \cdot \color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}} \right)} ~~~\text{hydraulisch glatte Rohre} \\[5px]
\end{align}

Ragen die Unebenheiten der Rohrwand vollständig aus der viskosen Unterschicht heraus, dann ist die Rohrreibungszahl nahezu ausschließlich durch die Wandrauigkeiten bestimmt und unabhängig der Reynoldszahl. Der Wissenschaftler Nikuradse leitete für solche hydraulisch rauen Rohre folgende explizite Gleichung zur Bestimmung der Rohrreibungszahl her:

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur}}}}=-2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{\varepsilon}{3,71} \right)} ~~~\text{hydraulisch raue Rohre} \\[5px]
&f_\text{tur}=\frac{1}{\left[2\cdot \log_\text{10}\left(\frac{3,71}{\varepsilon} \right)\right]^2} \\[5px]
\end{align}

Explizite Haaland-Gleichung

Es hat einen Grund, weshalb die Colebrook-White-Gleichung (\ref{cw}) in dieser zunächst etwas komisch anmutenden Form gegeben ist. Dies ermöglich nämlich ein iteratives Vorgehen, sodass die die gesuchte Rohrreibungszahl ausgehend eine Startwertes 1/√λ_tur,0 bestimmt werden kann. Der Startwert lässt sich dabei durch die von Haaland vorgeschlagene explizite Gleichung ermitteln:

\begin{align}
&\boxed{\color{red}{\frac{1}{\sqrt{\lambda_\text{tur,0}}}}=-1,8\cdot \log_\text{10}\left(\frac{6,9}{Re} +\left(\frac{\varepsilon}{3,7}\right)^{1,11}\right)} ~~~\text{Haaland-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Der mit der Haaland-Gleichung explizit ermittelte Wert 1/√λ_tur,0 kann nun in die rechte Seite der Colebrook-White-Gleichung eingesetzt werden. Hierdurch ergibt sich gemäß der linken Seite der Gleichung schließlich ein neuer Wert 1/√λ_tur,1. Dieser kann anschließend wieder in die rechte Seite der Gleichung eingesetzt werden. Der nach zwei Durchläufen erhaltene Wert 1/√λ_tur,2 entspricht in der Regel mit hinreichender Genauigkeit dem gesuchten Wert 1/√λ_tur. Damit lässt sich schließlich die Rohrreibungszahl λ_tur ermitteln.

Alternativ zur Haaland-Gleichung kann als Startwert auch ein Wert von 1/√λ_tur,0=7,5 genutzt werden. Dies entspricht dem Ergebnis der Haaland-Gleichug für ein hydraulisch glattes Rohr (ε=0) und einer Reynolds-Zahl von Re =10⁵.

Verlustleistung

Jeder Druckverlust in einer Rohrleitung muss durch die Leistung einer entsprechenden Pumpe kompensiert werden. Die Verlustleistung P_V aufgrund des Druckverlustes Δp_V ist abhängig vom Volumenstrom V*:

\begin{align}
\label{v}
&P_\text{V} = \Delta p_\text{V} \cdot \dot V \\[5px]
\end{align}

Wird der Druckverlust Δp_V nach Gleichung (\ref{volu}) eingesetzt, so folgt:

\begin{align}
\label{dr}
&\boxed{P_\text{V} = \lambda \cdot \frac{8\rho~L}{\pi^2} \cdot \frac{\dot{V}^3}{d^5}} ~~~\text{gilt allgemein}\\[5px]
\end{align}

An dieser Stelle gilt wieder zu beachten, dass die Rohrreibungszahl λ abhängig von der Reynolds-Zahl und damit von der Strömungsgeschwindigkeit ist. Die Strömungsgeschwindigkeit wiederum hängt vom Volumenstrom und vom vorhandenen Rohrdurchmesser ab!

Lediglich für laminare Strömungen gilt zwischen der Reynolds-Zahl und der Rohrreibungszahl ein expliziter Zusammenhang gemäß Formel (\ref{a}). In diesem Fall kann der Druckverlust für laminare Strömungen gemäß Gleichung (\ref{lam2}) direkt in Formel für die Verlustleistung (\ref{v}) eingesetzt werden. Für den Fall von laminaren Rohrströmungen gilt dann folgender Zusammenhang:

\begin{align}
&P_\text{V,lam} = \Delta p_\text{V,lam} \cdot \dot V \\[5px]
&\boxed{P_\text{V,lam} = \frac{128~\eta ~ L}{\pi} \cdot \frac{\dot{V}^2}{d^4}} ~~~\text{gilt nur für laminare Strömungen}\\[5px]
\end{align}

Druckverlust durch einzelne Bauteile (Druckverlustbeiwert)

Ein Rohrsystem enthält in der Regel nicht nur ein einziges gerades Rohr. Meist besteht ein Rohrsystem aus mehreren Rohrbögen (Krümmer), Verzweigungen, Reduzierungen, Erweiterungen, Ventile, etc. Diese einzelnen Bauteile haben ebenfalls Energieverluste und damit Druckverluste zur Folge.

Beschrieben werden diese Druckverluste durch jeweils einen Druckverlustbeiwert ζ (auch Widerstandsbeiwert genannt). Der Druckverlustbeiwert ist analog zur Rohrreibungszahl definiert, d.h. als Verhältnis zwischen Druckverlust Δp_V im Bauteil und dem dynamischen Druck der Strömung p_dyn:

\begin{align}
& \zeta:= \frac{\Delta p_\text{V}}{p_\text{dyn}} ~~~\text{mit}~~~ p_\text{dyn}=\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2 ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{zeta}
& \boxed{\zeta= \frac{\Delta p_\text{V}}{\tfrac{1}{2}\rho ~\bar v^2} } ~~~\text{Druckverlustbeiwert} \\[5px]
\end{align}

Die Bedeutung des Druckverlustbeiwerts bei durchströmten Körpern ist letztlich identisch mit dem Widerstandsbeiwert bei umströmten Körpern.

Der Druckverlustbeiwert ist eine dimensionslose Ähnlichkeitskenngröße zur Beschreibung des Druckverlust in einzelnen Bauteilen (Krümmer, Ventile, Reduzierstücke, Erweiterungen, etc.)!

Die Druckverlustbeiwerte für die verschiedenen Bauteile werden in der Regel auf experimentellem Wege ermittelt und sind in Tabellenbüchern angegeben. Bei bekanntem Druckverlustbeiwert lässt sich der Druckverlust durch das Bauteil dann wie folgt ermitteln:

\begin{align}
\label{dez}
& \boxed{\Delta p_\text{V} = \zeta \cdot \frac{1}{2}\rho ~\bar v^2 } ~~~\text{Druckverlust in einzelnen Bauteilen} \\[5px]
\end{align}

Die Strömungsgeschwindigkeit bezieht sich grundsätzlich auf die Geschwindigkeit des Fluids vor dem eigentlichen Bauteil und nicht auf die Strömungsgeschwindigkeit im Bauteil! Ein Ventil bspw. reduziert je nach Stellung den strömenden Querschnitt und erhöht im Bauteil somit die Strömungsgeschwindigkeit. Die für die Druckverlustberechnung zugrunde zulegende Strömungsgeschwindigkeit bezieht sich aber auf die Strömungsgeschwindigkeit in der Zuleitung!

Letztlich kann man auch für einen geraden Rohrabschnitt einen Druckverlustbeiwert definieren. Auf diese Weise können auch die geraden Rohrabschnitte als Einzelwiderstände betrachtet werden. In diesem Fall steht der Druckverlustbeiwert über die Länge des Rohrabschnitts L und dem Rohrinnendurchmesser d wie folgt mit der Rohrreibungszahl λ in Zusammenhang:

\begin{align}
&\boxed{\zeta_\text{R} = \frac{L}{d} \lambda}~~~\text{Druckverlustbeiwert eines geraden Rohrabschnitts} \\[5px]
\end{align}

Umgekehrt lässt sich für Einzelwiderstände eine äquivalente Rohrlänge L_ä angeben. Man kann sich die einzelnen Bauteile somit als zusätzliche Rohrabschnitte gedacht vorstellen. In der unten angegebenen Gleichung, entspricht λ dabei der Rohrreibungszahl der eigentlichen Rohre.

\begin{align}
&\boxed{L_\text{ä}= \frac{d \cdot \zeta}{\lambda}}~~~\text{äquivalente Rohrlänge von Bauteilen} \\[5px]
\end{align}

Bei einem Rohrdurchmesser von d = 1 cm und einem Druckverlustbeiwerte von ζ=1 sowie einer Rohrreibungszahl von λ = 0,02 erhält man eine äquivalente Rohrlänge von nur 0,5 m. Bei sehr langen Rohrleitungssystemen und wenigen Einzelwiderständen (was häufig der Fall ist) kann der Druckverlust durch die eingebauten Komponenten also meist vernachlässigt werden.

Im Allgemeinen gilt aber: Die Summe der Druckverluste Δp_V,R durch die einzelnen geraden Rohrabschnitte, plus die Summe der Druckverluste Δp_V,E durch die Einzelwiderstände, ergibt schließlich den Gesamtdruckverlust Δp_V,ges des gesamten Rohrleitungssystems:

\begin{align}
&\boxed{\Delta p_\text{V,ges} = \sum \Delta p_\text{V,R} +\sum \Delta p_\text{V,E} } \\[5px]
\end{align}

Bei nur einer Rohrleitung der Länge L mit konstantem Innendurchmesser d und damit konstanter mittlerer Strömungsgeschwindigkeit v gilt:

\begin{align}
&\boxed{\Delta p_\text{V,ges} = \left(\lambda \frac{L}{d} + \sum \zeta \right) \frac{1}{2}\rho~\bar{v}^2} \\[5px]
\end{align}