Unterschnitt

Unterschnitt aufgrund des Herstellungsprozesses

Die unten abgebildete Animation zeigt schematisch den Herstellungsprozess dreier Zahnräder mit unterschiedlichen Zähnezahlen durch Wälzfräsen. Es zeigt sich, dass bei zu geringen Zähnezahlen offensichtlich ein Untergraben des Zahnfußes durch den Wälzfräser eintritt. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass bei kleinen Zahnrädern die Schneiden des Fräsers relativ weit in das Zahnrad eingreifen (beim roten Zahnrad bis auf rund die Hälfte des Radius). Hierdurch wird der Zahn während der Rotation des Zahnrades sehr stark ausgehöhlt.

Ein solches Untergraben des Zahnes wird auch als Unterschnitt bezeichnet und führt zur Schwächung des Zahnes. Unterschnitte gilt es deshalb stets zu vermieden, d.h. die Anzahl der Zähne darf ein Minimum nicht unterschreiten.

Als Unterschnitt bezeichnet man das Untergraben des Zahnes bei zu geringen Zähnezahlen und führt zur Schwächung des Zahnfußes!

Unterschnitt aufgrund der Funktion

Ein Unterschnitt während der Zahnradfertigung tritt nicht nur beim Wälzfräsen sondern prinzipiell bei allen Wälzverfahren auf, wie bspw. Wälzstoßen oder Wälzhobeln. Zwar ließe sich ein Unterschnitt durch andere Fertigungsverfahren wie bspw. Profilfräsen oder Profilräumen vermeiden, jedoch ist der Unterschnitt auch zur Erfüllung der Funktion zwingend erforderlich. Wäre ein Unterschnitt bei kleinen Zahnrädern nicht vorhanden, dann würden sich die Zahnräder im Eingriff verhaken! Wie die untere Animation zeigt, müssen sich die Zähne des roten Zahnrades von den Zähnen des grünen Zahnrades untergraben lassen, um ein Kämmen zu ermöglichen.

Durch einen Unterschnitt wird der jeweilige Zahnfuß nicht nur geschwächt sondern auch die Eingriffsstrecke verkürzt. So wird nämlich durch den Unterschnitt ein Teil der evolventenförmigen Zahnflanke abgeschnitten. Dieser abgeschnittene Teil steht dann natürlich nicht mehr für die Kraftübertragung zur Verfügung. Die Zahnflanken verlieren somit deutlich vor dem eigentlichen Eingriffsende (Punkt E‘) den Kontakt zueinander (bereits im Punkt E). Die vergrößerte Darstellung in der Abbildung zeigt, dass der Flankenkontakt nach dem Punkt E bereits nicht mehr vorhanden ist. Die Eingriffsstrecke wird dementsprechend verkürzt.

Ein Unterschnitt führt nicht nur zur Schwächung des Zahnes sondern auch zur Verringerung der Eingriffsstrecke!

Mindestzähnezahl (Grenzzähnezahl)

Zur Vermeidung eines Unterschnitts, darf das Zahnrad eine bestimmte Mindestzahl an Zähnen nicht unterschreiten (Grenzzähnezahl genannt). Welche Zähnezahl mindestens vorhanden sein muss, soll im Folgenden gezeigt werden.

Die untere Animation zeigt hierzu das Bezugsprofil des Wälzfräsers wie es in ein zu 6-zahniges Zahnrad eingreift. Dieses Situation kann analog zum Eingriff einer treibenden Zahnstange in ein Zahnrad betrachtet werden (die Grundlagen hierzu sind im Kapitel Zahnstange ausführlich erläutert). Die Eingriffslinie ergibt sich als Tangente an den Grundkreis und verläuft senkrecht zur Flanke des Bezugsprofils. Der Eingriff beginnt im Schnittpunkt A zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des Zahnrades und endet im Schnittpunkt E zwischen Eingriffslinie und Kopflinie des Bezugsprofils (die Verkürzung der Eingriffsstrecke durch den Unterschnitt ist in der Abbildung nicht berücksichtigt).

Wie die Animation zeigt, wird der Zahn ab dem Punkt B untergraben. Dies entspricht dem Punkt ab dem sich die Profilecke über die radiale Linie des Zahnrades schiebt und den Zahn somit untergräbt. Zwischen dem Beginn des Unterschneidens im Punkt B und dem Eingriffsende im Punkt E wird der Zahn innerhalb des grün markierten Bereichs ausgehöhlt und damit geschwächt.

Anmerkung: Die radiale Linie entspricht der Tangente an die Zahnflanke auf Höhe des Grundkreises. Da im Falle eines Unterschnitts ein Teil der evolventenförmigen Zahnflanke jedoch abgeschnitten wird, entsteht eine kleine „Lücke“ zwischen radialer Linie und der tatsächlich vorhandenen Zahnflanke.

Der Punkt B ab dem ein Unterschneiden auftritt, entspricht ganz allgemein dem Berührpunkt zwischen Grundkreis  und Eingriffslinie. In diesem Punkt verläuft die Flanke des Bezugsprofils  deckungsgleich mit der radialen Linie des Zahnrades. Über diesen Punkt hinaus wird das Bezugsprofil dann die radiale Linie überschreiten und den Zahn unterschneiden.

Ein Unterschnitt tritt in dem Punkt ein, wo der Grundkreis die Eingriffslinie berührt!

Im Vergleich zum oberen Beispiel zeigt die untere Animation den Eingriff des Bezugsprofils in ein Zahnrad mit 20 Zähnen. Der Punkt B ab dem ein Unterschnitt theoretisch eintritt liegt dabei jedoch außerhalb der Eingriffsstrecke AE. Die Profilecke ist also bereits aus dem Eingriff bevor diese den Zahne hätte unterschneiden können. Die Zähne des Zahnrades werden somit nicht unterschnitten. Ein Unterschnitt wird also immer dann eintreten, wenn der Berührpunkt B von Grundkreis und Eingriffslinie innerhalb der Eingriffsstrecke AE liegt.

Zu einem Unterschnitt kommt es immer dann, wenn der Grundkreis die Eingriffslinie innerhalb der Eingriffsstrecke berührt!

Für den Grenzfall bei dem die Zähne eines Zahnrades gerade noch nicht unterschnitten werden, fällt der Beginn des Unterschneidens im Punkt B mit dem Eingriffsende E zusammen. Wie die untere Animation zeigt ist dies in etwa bei einem Zahnrad mit der Zähnezahl 17 der Fall.

Bei Zahnräder mit Zähnezahlen über 17 tritt kein Unterschnitt mehr auf!

Berechnung der Mindestzähnezahl

Die im Abschnitt zuvor erwähnte Grenzzähnezahl von 17 ist unabhängig des Moduls und gilt somit für jede Zahngröße gleichermaßen! Dies soll im folgenden mathematisch gezeigt werden. Hierzu werden die sich im Grenzfall ergebenden geometrischen Verhältnisse näher betrachtet, d.h. wenn die Punkte B und E theoretisch exakt zusammenfallen.

Der Abstand zwischen Profilmittellinie und Kopflinie des Bezugsprofils entspricht ganz allgemein dem Modul m und die Neigung der Flanken dem Normaleingriffswinkel α₀ (siehe hierzu auch das Kapitel Zahnradherstellung). Wird in der unteren Abbildung nun das sich ergebende orangefarbene Dreieck betrachtet, so zeigt sich, dass die Gegenkathete bezüglich des Normaleingriffwinkels α₀ gerade dem Modul m des Zahnrades entspricht  Folglich gilt für die Strecke CB die unten angegebene Beziehung.

\begin{align}
\label{1}
& \overline{CB} =\frac{m}{\sin(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Die Strecke CB kann auch aus dem Teilkreisradius r₀ bzw. dem Teilkreisdurchmesser d₀ ermittelt werden (siehe gelbes Dreieck). Der Teilkreisdurchmesser d₀ ergibt sich dabei aus dem Produkt von Modul m und (Mindest-)Zähnezahl z_min (siehe hierzu auch den Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder):

\begin{align}
\label{2}
& \overline{CB} = r_0 \cdot sin(\alpha_0) = \frac{d_0}{2} \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{m \cdot z_{min}}{2} \cdot \sin(\alpha_0)  \\[5px]
\end{align}

Die beiden Gleichungen (\ref{1}) und (\ref{2}) können nun gleichgesetzt und nach der gesuchten Grenzzähnezahl z_min aufgelöst werden:

\begin{align}
&\overline{CB} = \overline{CB} \\[5px]
&\frac{m}{\sin(\alpha_0)} = \frac{m \cdot z_{min}}{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
&\boxed{z_{min} = \frac{2}{\sin^2(\alpha_0)} } \\[5px]
\end{align}

Für einen Normaleingriffswinkel von α₀ = 20 ° ergibt sich somit eine theoretische Grenzzähnezahl von z_min= 17. In der Praxis geht man bei einer Normverzahnung jedoch von einer Grenzzähnezahl von 14 Zähnen aus, bei der sich ein Unterschnitt dann tatsächlich negativ bemerkbar macht.

Die theoretische Mindestzähnezahl ab der kein Unterschnitt mehr auftritt liegt für eine Normverzahnung von 20° bei 17. In der Praxis geht man meist von einer Mindestzähnezahl von 14 aus!

Tatsächlich lassen sich jedoch auch Zahnräder unter der berechneten Mindestzähnezahl von 17 fertigen; und das ohne Unterschnitt! Hierzu muss jedoch der Fertigungsprozess mit einer sogenannten Profilverschiebung speziell angepasst werden. Auf solche profilverschobenen Zahnräder wird im nächsten Artikel näher eingegangen.

Einleitung

Die grundlegenden Zusammenhänge beim Eingriff zweier Zahnräder wurden bereits im Artikel Eingriff von Evolventenzahnräder (Kämmen) ausführlich erläutert. In diesem Artikel soll ein Spezialfall eines Zahnrades näher betrachtet werden: die Zahnstange. Die untere Animation zeigt hierzu das Eingreifen eines treibenden Zahnrades in eine Zahnstange.

Eingriffsstrecke

Die Zahnstange ist letztlich ein Spezialfall eines Zahnrades mit unendlich großem Durchmesser. Die gekrümmte Flankenform geht bei der Zahnstange schließlich in eine geradlinige Flankenform über. Die Flanken sind dabei gerade um den Betrag des Normaleingriffwinkels α₀ gegen die Senkrechte geneigt. Die Eingriffslinie verläuft hierdurch ebenfalls unter diesem Winkel α₀ (= Betriebseingriffswinkel), da die Eingriffslinie senkrecht zu den Zahnstangenflanken steht. Die Eingriffslinie liegt wie üblich als Tangente am Grundkreis des Zahnrades an und ist hierdurch eindeutig festgelegt.

Die Eingriffsstrecke beginnt analog zur Paarung zweier Zahnräder im Schnittpunkt A zwischen Eingriffslinie und Kopflinie der getriebenen Zahnstange (Höhe des Zahnkopfes). Ebenfalls wird das Ende der Eingriffsstrecke wiederum durch den Schnittpunkt E zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des treibenden Zahnrades begrenzt.

Wälzpunkt

Auch der Wälzpunkt C ist analog als Schnittpunkt zwischen Eingriffslinie und Mittellinie zweier Zahnradachsen zu bilden. Da eine solche Mittellinie immer in radiale Richtung eines Zahnrades zeigt und somit stets senkrecht zur Zahnradoberfläche gerichtet ist, steht sie im Falle einer Zahnstange folglich senkrecht zur Zahnstange. Damit ist auch der Wälzpunkt C eindeutig festgelegt.

Bei spielfreier Paarung sitzt die Zahnstange mit beiden Flanken fest an den Zahnflanken des Zahnrades. Ein Verschieben der Zahnstange in radiale Richtung ändert grundsätzlich nichts an der Lage der Eingriffslinie, die sich stets als Flankennormale der Zahnstange und Tangente des Zahnradgrundkreises ergibt. Weder der Grundkreis noch der Flankenwinkel ändern sich in diesem Fall, sodass folglich auch die Eingriffslinie identisch bleibt. Hierdurch ergeben sich auch keine Änderungen in der Lage des Wälzpunktes, da die Mittellinie ebenfalls erhalten bleibt! Einzige Auswirkung einer Abstandsänderung ergibt sich auf die Länge der Eingriffsstrecke, die sich bei einer radialen Verschiebung der Zahnstange weg vom Zahnrad verkürzt.

Die Lage des Wälzpunktes bleibt bei Zahnstangen stets konstant! Die Eingriffsstrecke wird bei einer Vergrößerung des Abstandes zwischen Zahnstange und Zahnrad verkürzt!

Die unveränderliche Lage des Wälzpunktes wird auch anhand dessen Definition sofort ersichtlich. So ist der Wälzpunkt definiert als jener Punkt, in dem die Umfangsgeschwindigkeiten beider „Zahnräder“ identisch sind. Im Falle der Zahnstange handelt es sich jedoch um eine translatorische Geschwindigkeit. Jeder Punkt auf der Zahnstange bewegt sich somit stets mit derselben Geschwindigkeit und dies unabhängig vom Abstand zum Zahnrad. Damit ändert sich auch jener Wälzkreis auf dem Zahnrad nicht, dessen Punkte sich mit derselben Geschwindigkeit wie die Zahnstange bewegen. Der Wälzkreis bleibt identisch und damit auch der Wälzpunkt!

Definition des Teilkreises

Im Gegensatz zur Paarung zweier Zahnräder ist der Wälzpunkt bei Paarung mit einer Zahnstange also unabhängig des Abstandes zwischen Zahnrad und Zahnstange! Die Wälzgerade der Zahnstange und der Wälzkreis des Zahnrades (die beide ja durch den Wälzpunkt verlaufen) ändern sich hierdurch ebenfalls nicht! Dieser Sachverhalt spielt vor allem bei der Zahnradherstellung mithilfe von zahnstangenförmigen Werkzeugen (Wälzfräser) eine besondere Rolle. Hierdurch entstehen auch bei sogenannten Profilverschiebungen (die gleichbedeutend mit dem radialen Verschieben der Zahnstange sind) auf einem Zahnrad stets identische Wälzkreise. Diese werden dann auch als Herstellungswälzkreise bezeichnet.

Im Gegensatz zu einem Zahnrad haben zahnstangenförmige Werkzeuge (bzw. Zahnstangen) an jeder Stelle identische Zahnabstände p₀. Bei Zahnrädern hingegen hängen diese Zahnabstände vom betrachteten Kreisumfang ab. Mit steigendem Durchmesser der betrachtet wird, verteilen sich auch die Zähne auf einem immer größeren Umfang und der Zahnabstand nimmt folglich zu. Lediglich dort wo die Zähne des zahnstangenförmigen Werkzeuges (bzw. der Zahnstange) unmittelbar auf dem Zahnrad abwälzen finden sich identische Zahnabstände wieder (Umfangsteilungen p₀). Dies entspricht per Definition gerade den Herstellungswälzkreisen.

Aus diesem Grund werden die Herstellungswälzkreise auch als Teilkreise bezeichnet, da dort die Umfangsteilungen p₀ für alle Zahnräder die mit demselben zahnstangenförmigen Werkzeug gefertigt werden, identisch sind. Der Teilkreis ist als Herstellungswälzkreis folglich eine feste (unveränderliche) Größe eines Zahnrades, die alleine durch das zahnstangenförmige Herstellungswerkzeug bestimmt wird! Deshalb kann die eigentliche Zahnstange auch tatsächlich als Definition für den Teilkreis eines Zahnrades benutzt werden:

Der Teilkreis eines Zahnrades entspricht dem Herstellungswälzkreis bei der Zahnradfertigung durch Wälzfräsen bzw. dem Wälzkreis bei der Paarung mit einer Zahnstange!

Die stets identischen Umfangsteilungen auf den Herstellungswälzkreisen ermöglicht es nicht nur „normale“ Zahnräder (sogenannte Null-Räder) mit profilverschobenen Zahnrädern (V-Räder genannt) zu paaren sondern auch Zahnräder mit beliebiger Größe, d.h. beliebigen Zähnezahlen zu kombinieren, sofern diese mit demselben zahnstangenförmigen Werkzeug hergestellt wurden (dann auch als Satzräder bezeichnet).

Evolventenfunktion

Für die Berechnung von Evolventenzahnräder, muss zunächst die evolventenförmige Zahnflanke mathematisch beschrieben werden. Hierzu zeigt die untere Abbildung die zum Grundkreis mit dem Radius r_b gehörende Evolvente. Ein Punkt P auf dieser Evolvente lässt sich durch den Winkel α beschreiben, welcher zwischen den Geraden GP und GT aufgespannt wird. Der Punkt G entspricht dabei dem Mittelpunkt des Grundkreises und T dem Tangentenpunkt auf dem Grundkreis.

Die Länge der Strecke TP ist mit dem Krümmungsradius ϱ der Evolvente im Punkt P identisch. Zudem entspricht die Strecke TP der bogenförmigen Abrollstrecke auf dem Grundkreis ST, da die Rollgerade bei der Evolventenkonstruktion gleitfrei auf dem Grundkreis abrollt:

\begin{align}
\label{1}
\overset{\frown}{ST} &= \overline{TP} \\[5px]
\end{align}

Definition der Involut-Funktion

Der Winkel α beschreibt zwar eindeutig einen Punkt auf der Evolvente, für viele geometrische Berechnungen ist jedoch der in der Abbildung eingezeichnete Winkel φ von größerer direkter Bedeutung. Salopp formuliert, beschreibt der Winkel φ die „Dicke“ des evolventenförmigen Zahnes (siehe Abbildung oben).

Mithilfe von Gleichung (\ref{1}) lässt sich zwischen den Winkeln φ und α folgender Zusammenhang herstellen:

\begin{align}
\overset{\frown}{ST} &= \overline{TP}  \\[5px]
r_b \cdot \left(\varphi + \alpha \right) &= r_b \cdot \tan(\alpha)  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{p}
&\boxed{\varphi = \tan(\alpha)-\alpha} \\[5px]
\end{align}

Die sich nach Gleichung (\ref{p}) ergebende Funktion wird auch als Evolventenfunktion oder als Involut-Funktion inv(α) bezeichnet (engl.: involute = Evolvente). 

\begin{align}
\label{involute}
&\boxed{\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha)-\alpha}  = \varphi ~~~\text{Involut-Funktion, Evolventenfunktion}  \\[5px]
\end{align}

Alle Winkel sind für die Involut-Funktion sind grundsätzlich im Bogenmaß anzugeben!

Die Evolventenfunktion inv(α) ordnet sozusagen zu einem beliebigen Evolventenpunkt P (beschrieben durch den Winkel α) den sich zum Startpunkt der Evolvente ergebenden Winkel φ zu. Auf diese Weise können viele geometrische Zahnradgrößen bestimmt werden.

Eingriffswinkel

Dass der Evolventenwinkel wie auch der Eingriffswinkel mit demselben Symbol α bezeichnet werden, ist an dieser Stelle kein Zufall! Der Evolventenwinkel α in der Evolventenfunktion lässt sich nämlich als Betriebseingriffswinkel α_b interpretieren, wenn sich der betrachtete Punkt P auf dem Wälzkreis des Zahnrades befindet und somit den Wälzpunkt C bildet (P=C)! 

Da die Eingriffslinie letztlich durch die Tangente an den Grundkreis gebildet wird, welche gleichzeitig durch den Wälzpunkt C verläuft, ist die Strecke TP somit ein Teil der Eingriffslinie. Der Evolventenwinkel α entspricht damit dem Betriebseingriffswinkel α_b. Befindet sich der Punkt P auf dem Teilkreis des Zahnrades, dann erhält man als Winkel den Normaleingriffswinkel α₀!

Berechnung der Zahndicke

Mithilfe der im vorangegangenen Abschnitt erläuterten Evolventenfunktion kann die Zahndicke s auf einem beliebigen Durchmesser d eines Zahnrades ermittelt werden. Hierzu zeigt die untere Abbildung die geometrischen Verhältnisse. Darin bezeichnet s₀ die Zahndicke auf dem Teilkreis und r₀ den entsprechenden Teilkreisradius. Die Zahndicke in einem beliebigen Abstand r zum Grundkreismittelpunkt G sei mit s bezeichnet. 

Die Herleitung zur Berechnung der Zahndicke s geschieht über das gelb markierte Dreieck in der oberen Abbildung. Der spitze Winkel des gelben Dreiecks kann zum einen über die Differenz der Winkel δ₀ und δ ermittelt werden, wobei sich die einzelnen Winkel gemäß der Definition des Bogenmaßes als „Bogenlänge geteilt durch Bogenradius“ wie folgt bestimmen:

\begin{align}
\label{delta}
\underline{\delta_0} =\frac{\tfrac{s_0}{2}}{r_0}=\frac{s_0}{2 r_0} =\underline{\frac{s_0}{d_0}}  ~~~~\text{und}~~~~ \underline{\delta} =\frac{\tfrac{s}{2}}{r}=\frac{s}{2 r} = \underline{\frac{s}{d}}  \\[5px]
\end{align}

Zum anderen lässt sich der spitze Winkel des gelben Dreiecks aber auch durch die Differenz der Winkel φ und φ₀ ermitteln. Damit gilt also folgende Beziehung zwischen den Winkeln δ und φ bzw. δ₀ und φ₀:

\begin{align}
 \delta –  \delta_0 &= \varphi_0 – \varphi \\[5px]
 \frac{s}{d} –  \frac{s_0}{d_0} &= \varphi_0 – \varphi \\[5px]
\end{align}

Die obere Gleichung lässt sich nun nach der gesuchten Zahndicke s in Abhängigkeit des betrachteten Durchmessers d auflösen:

\begin{align}
s &= d \left( \frac{s_0}{d_0} + \varphi_0 – \varphi \right) \\[5px]
\end{align}

Die Winkel φ und φ₀ entsprechen den Winkeln, die sich mithilfe der Evolventenfunktion inv(α) nach Gleichung (\ref{involute}) bestimmen lassen.

\begin{align}
\label{ss}
\underline{s = d \left( \frac{s_0}{d_0} + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha) \right)} \\[5px]
\end{align}

Bei der Anwendung von Gleichung (\ref{ss}) muss beachtet werden, dass die Zahndicke s₀ auf dem Teilkreis von einer möglichen Profilverschiebung abhängig ist. Im Artikel Profilverschiebung von Zahnräder wurde der Zusammenhang zwischen dem Profilverschiebungsfaktor x und der Zahndicke s₀ bereits hergeleitet (mit m als Modul des Zahnrades):

\begin{align}
&\underline{s_0 = m \cdot \left(\frac{\pi}{2} +2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0)  \right) }  \\[5px]
\end{align}

Im vorangegangenen Abschnitt wurde erläutert, dass der Evolventenwinkel α in Gleichung (\ref{ss}) letztlich dem Betriebseingriffswinkel entspricht sofern sich der betrachtete Punkt P auf dem Wälzkreis befindet. Im Falle des Punktes P₀, welcher sich auf dem Teilkreis befindet, ist der Evolventenwinkel α₀ dann identisch mit dem Normaleingriffswinkel α₀. Dieser ist bei einer Normverzahnung in der Regel auf α₀=0,349 rad (=20°) festgelegt.

Auch wenn der betrachtete Punkt P auf dem Kreis auf dem die Zahndicke s ermittelt werden soll nicht notwendigerweise dem späteren Wälzkreis entspricht, so kann jedoch jeder beliebige Punkt P immer als auf einem Wälzkreis liegend betrachtet werden. Denn letztlich ergibt sich der Wälzkreis erst durch den Achsabstand bei der späteren Paarung mit einem Gegenrad. Da der Achsabstand grundsätzlich beliebig gewählt werden kann, kann der Wälzkreis theoretisch auch immer so angepasst werden, dass dieser durch den Punkt P verläuft.

Durch diese Betrachtung lässt sich dann ein Zusammenhang zwischen dem (Wälzkreis-)Durchmesser d des Kreises auf dem die Zahndicke s bestimmt werden soll und dem (Eingriffs-)Winkel α herstellen. Dieser  Zusammenhang geschieht über den Normaleingriffswinkel α₀ und dem entsprechenden Teilkreisdurchmesser d₀ und wurde im Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder bereits hergeleitet. Ansatz dieses Zusammenhangs ist der identische Grundkreisdurchmesser d_b welcher sowohl bei Betrachtung des Wälzkreises (mit den Größen d und α) als auch bei Betrachtung des Teilkreises (mit den Größen d₀ und α₀) identisch ist:

\begin{align}
\label{base}
&\overbrace{d \cdot \cos(\alpha)}^{\text{Grundkreisdurchmesser } d_b} = \overbrace{d_0 \cdot \cos(\alpha_0)}^{\text{Grundkreisdurchmesser }d_b} \\[5px]
\label{z}
&\underline{\alpha = \arccos \left(\frac{d_0}{d} \cdot \cos(\alpha_0)\right)} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Der Winkel α in Gleichung (\ref{z}) entspricht im Allgemeinen also nicht dem Betriebseingriffswinkel α_b! Der Winkel α stellt in diesem Fall lediglich eine „Rechengröße“ dar, die sich je nach betrachtetem Durchmesser d ergibt. Nur wenn der betrachtete Durchmesser d tatsächlich dem Wälzkreisdurchmesser entspricht, dann ist der Winkel α mit dem Betriebseingriffswinkel α_b identisch. Bei Betrachtung der Zahndicke auf dem Teilkreis entspricht der Winkel α dem Normaleingriffswinkel α₀.

Mit der Evolventenfunktion nach Gleichung (\ref{involute}) ist die Zahndicke s auf einem beliebigen Kreis mit dem Durchmesser d somit vollständig bestimmt. Nachfolgend sind die hierzu notwendigen Gleichungen nochmals zusammengefasst:

\begin{align}
\label{tooth}
&\boxed{s = d \left( \frac{s_0}{d_0} + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha) \right)} \\[5px]
&\text{mit} \\[5px]
\label{tooth0}
&\boxed{s_0 = m \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0) \right)}  \\[5px]
&\boxed{\text{inv}(\alpha_0) = \tan(\alpha_0)-\alpha_0} ~~~~~\text{mit}~~~~~ \boxed{\alpha_0 =0,349 \text{ rad } (=20°)} \\[5px]
&\boxed{\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha)-\alpha} ~~~~~\text{mit}~~~~~ \boxed{\alpha = \arccos \left(\frac{d_0}{d} \cdot \cos(\alpha_0)\right) } \\[5px]
\end{align}

Der Winkel α ist in den oberen Gleichungen lediglich als Rechengröße zu betrachten und entspricht im Allgemeinen nicht dem Betriebseingriffswinkel α_b!

Berechnung der Umfangsteilung und der Eingriffsteilung

Als Umfangsteilung (kurz: Teilung genannt) bezeichnet man den bogenförmigen Abstand zweier gleichgerichteter Zahnflanken. Auf einem beliebigen Kreisdurchmesser d ergibt sich die Teilung p damit als Quotient von Umfangslänge π⋅d und Zähnezahl z:

\begin{align}
&\underline{p = \frac{\pi \cdot d}{z}} \\[5px]
\end{align}

Im Falle des Teilkreises mit dem Teilkreisdurchmesser d₀ erhält man die Umfangsteilung p₀:

\begin{align}
&\underline{p_0 = \frac{\pi \cdot d_0}{z}} \\[5px]
\end{align}

Werden beide Gleichungen durcheinander dividiert, dann kann über die Umfangsteilung p₀ ein Zusammenhang zwischen einem beliebig weiteren Durchmesser d und der sich dort ergebenden Umfangsteilung p hergestellt werden:

\begin{align}
&\frac{p}{p_0} = \frac{d}{d_0} \\[5px]
\label{pitch}
&\boxed{p = \frac{d}{d_0} \cdot p_0} \\[5px]
\end{align}

Des Weiteren kann das Verhältnis d/d₀ gemäß Gleichung (\ref{base}) auch über den zum Durchmesser d gehörenden Evolventenwinkel α und den zum Teilkreisdurchmesser d₀ gehörenden Evolventenwinkel α₀ (Normaleingriffswinkel) ausgedrückt werden. Dies bedeutet letztlich, dass ein Punkt auf der Evolvente betrachtet wird welcher sich auf dem Kreis mit dem Durchmesser d befindet (→ α) bzw. auf dem Teilkreis mit dem Durchmesser d₀ liegt (→ α₀).

\begin{align}
\label{kap}
&\overbrace{d \cdot \cos(\alpha)}^{\text{Grundkreisdurchmesser } d_b} = \overbrace{d_0 \cdot \cos(\alpha_0)}^{\text{Grundkreisdurchmesser }d_b} \\[5px]
\label{d}
&\underline{   \frac{d}{d_0}=\frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha)}    } \\[5px]
\end{align}

Unter Berücksichtigung dieses Durchmesserverhältnisses kann die Teilung p gemäß Gleichung (\ref{pitch}) dann auch wie folgt bestimmt werden:

\begin{align}
\label{pp}
&p = \frac{d}{d_0} \cdot p_0= \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha)} \cdot p_0 = \frac{\overbrace{\cos(\alpha_0) \cdot p_0}^{p_b}}{\cos(\alpha)} = \frac{p_b}{\cos(\alpha)}   \\[5px]
\end{align}

Der in Gleichung (\ref{pp}) auftretende Term p₀⋅cos(α₀) entspricht – wie im Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder gezeigt – gerade der Eingriffsteilung p_b, d.h. dem Abstand zweier in Kontakt stehender Zahnflanken beim Eingriff auf der Eingriffslinie (siehe Abbildung unten). Damit gilt für die Teilung p auf einem beliebigen Durchmesser, welcher durch den Evolventenwinkel α beschrieben wird:

\begin{align}
&\boxed{p = \frac{p_b}{\cos(\alpha)}} \\[5px]
\end{align}

Für einen Evolventenpunkt auf dem Grundkreis d_b ergibt sich ein Evolventenwinkel von α=0 (siehe Abbildung oben) und die entsprechende Umfangsteilung auf dem Grundkreis ist damit identisch mit der Eingriffsteilung:

\begin{align}
&p = \frac{p_b}{\cos(0)}= p_b = p_0 \cdot \cos(\alpha_0) \\[5px]
\end{align}

Die Umfangsteilung auf dem Grundkreis entspricht der Eingriffsteilung auf der Eingriffsstrecke!

Da die Umfangsteilung auf dem Teilkreis p₀ auch über den Modul m und die Kreiszahl π ausgedrückt werden kann p₀=π⋅m, siehe Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder), gilt für die Eingriffsteilung folglich:

\begin{align}
\label{pb}
&\boxed{p_b = \pi \cdot m \cdot \cos(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Die Umfangsteilung auf dem Grundkreis entspricht der Eingriffsteilung auf der Eingriffsstrecke p_b, welche über den Normaleingriffswinkel α₀ und dem Modul m in Zusammenhang stehen!

Berechnung des Achsabstandes

Im Folgenden soll der Achsabstand zweier korrigierter Zahnräder in Abhängigkeit der jeweiligen Profilverschiebungsfaktoren x ermittelt werden.

Ausgangspunkt bildet die spielfreie Paarung beider Zahnräder, sodass die Zahndicke auf dem Wälzkreis des einen Zahnrades exakt in die Zahnlücke auf dem Wälzkreis des Gegenrades passt. Die Summe der jeweiligen Zahndicken s₁ bzw. s₂ entspricht somit der Umfangsteilung p auf den Wälzkreisen der Zahnräder, welche für beide identisch sein muss, da ansonsten die Zähne nicht ineinandergreifen könnten. 

\begin{align}
\label{ppp}
& \underline{p = s_1 + s_2}  \\[5px]
\end{align}

Die Umfangsteilung p auf den Wälzkreisen ist an dieser Stelle nicht zu verwechseln mit der Umfangsteilung p₀ auf den Teilkreisen!

Die Zahndicke s auf einem beliebigen Kreisdurchmesser d lässt sich anahnd von Gleichung (\ref{tooth}) und (\ref{tooth0}) ermitteln (Größen mit dem Index „0“ beziehen sich auf den Teilkreis):

\begin{align}
\label{s}
&s = d \left( \tfrac{s_{0}}{d_{0}} + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha) \right) ~~~\text{mit} ~~~ s_0 = m \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) ~~~\text{folgt}: \\[5px]
&s = d \left(\tfrac{m}{d_0} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha) \right) ~~~\text{mit}~~~m=\tfrac{d_0}{z} ~~~\text{folgt weiter:}  \\[5px]
&\underline{s = d \left(\tfrac{1}{z} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha) \right)}  \\[5px]
\end{align}

Da die Evolventenfunktion inv(α) in diesem Fall auf die Wälzkreise d₁ bzw. d₂ angewendet wird, entspricht der Evolventenwinkel α dem Betriebseingriffswinkel α_b. Insgesamt lässt sich Gleichung (\ref{ppp}) damit wie folgt darstellen:

\begin{align}
\notag
p =  &d_1 \left(\tfrac{1}{z_1} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_1 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\label{pppp}
&+  d_2 \left(\tfrac{1}{z_2} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_2 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\end{align}

Die in Gleichung (\ref{pppp}) enthaltenen Wälzkreisdurchmesser d₁ bzw. d₂ können aus der Definition der Teilung p als Verhältnis von Wälzkreisumfang π⋅d und Zähnezahl z bestimmt werden (p = π⋅d/z). Für die Wälzkreisdurchmesser der beiden Zahnräder d₁ und d₂ gilt dann:

\begin{align}
\label{dd}
&d_1 = \frac{z_1 \cdot p}{\pi} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~d_2 = \frac{z_2 \cdot p}{\pi}  \\[5px]
\end{align}

Die Gleichungen (\ref{dd}) können nun in Gleichung (\ref{ppp}) eingesetzt werden, sodass folgt:

\begin{align}
\notag
p =  & \tfrac{z_1 \cdot p}{\pi} \left(\tfrac{1}{z_1} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_1 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
&+  \tfrac{z_2 \cdot p}{\pi} \left(\tfrac{1}{z_2} \left( \tfrac{\pi}{2} + 2 x_2 \cdot \tan(\alpha_0) \right) + \text{inv}(\alpha_0) – \text{inv}(\alpha_b) \right) \\[5px]
\end{align}

Auflösen dieser Gleichung nach dem gesuchten Betriebseingriffswinkel α_b in Form der Involut-Funktion inv(α_b) führt schließlich zu:

\begin{align}
\notag
\boxed{\text{inv}(\alpha_b) = 2 \frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} \cdot \tan(\alpha_0) + \text{inv}(\alpha_0)} ~~~\text{mit} ~~~\boxed{\text{inv}(\alpha_0) = \tan(\alpha_0)-\alpha_0} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Involut-Funktion keine algebraische Funktion ist und somit nicht durch Umstellen eine Umkehrfunktion abgeleitet werden kann. Eine Möglichkeit zur Bestimmung des Betriebseingriffswinkels bietet an dieser Stelle das iterative Newton-Verfahren.

Ist der Betriebseingriffswinkel durch ein solches Näherungsverfahren bestimmt, dann kann hieraus nicht nur der Wälzkreisdurchmesser sondern auch der Achsabstand a ermittelt werden, da Wälzkreisdurchmesser d und Teilkreisdurchmesser d₀ über den Betriebseingriffswinkel α_b und den Normaleingriffswinkel α₀ gemäß Gleichung (\ref{d}) in Zusammenhang stehen:

\begin{align}
&\boxed{d  = d_0 \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)}} ~~~\text{Wälzkreisdurchmesser}  \\[5px]
\end{align}

Der Achsabstand a selbst, ergibt sich schließlich über die Summe der Wälzkreisradien r=d/2 ergibt:

\begin{align}
a &= r_1+r_2 \\[5 px]
&= \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} \\[5px]
& = \frac{d_{0,1}}{2}  \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)} + \frac{d_{0,2}}{2} \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha_b)} \\[5px]
& = (d_{0,1}+d_{0,2}) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}  \\[5px]
& = (m \cdot z_1 + m \cdot z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\boxed{a = m \cdot( z_1 + z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)}}  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass Zahnräder auch mit negativen Profilverschiebungsfaktoren hergestellt werden können. Ist die Summe der Profilverschiebungsfaktoren Null, dann erhält man denselben Achsabstand wie im Falle von nicht-korrigierten Zahnrädern (Null-Achsabstand a₀ genannt). Auch der Betriebseingriffswinkel entspricht dann dem Normaleingriffswinkel α₀. In diesen Fällen spricht man auch von einem sogenannten V-Null-Getriebe. Ist die Summe der Profilverschiebungsfaktoren hingegen größer Null, dann wird das Getriebe V-Plus-Getriebe genannt. Demzufolge erhält man mit einer Summe kleiner Null ein V-Minus-Getriebe.

\begin{align}
&\text{V-Null-Getriebe: } &&x_1+x_2 = 0 \\[5px]
&\text{V-Plus-Getriebe: } &&x_1+x_2 > 0 \\[5px]
&\text{V-Minus-Getriebe: } &&x_1+x_2 < 0 \\[5px]
&\text{Null-Getriebe: } &&x_1=x_2 = 0 \\[5px]
\end{align}

Bei V-Plus-Getrieben vergrößert sich sowohl der Betriebseingriffswinkel als auch der Achsabstand im Vergleich zu einem Null-Getriebe. Bei V-Minus-Getrieben erhält man eine Verkleinerung des Achsabstandes und des Betriebseingriffswinkels.

Berechnung der Profilverschiebungsfaktoren

Der vorherige Abschnitt leitete den Achsabstand a zweier Zahnräder anhand gegebener Profilverschiebungsfaktoren x her:

\begin{align}
\label{a}
&a = m \cdot( z_1 + z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 \cdot \cos(\alpha_b)} \\[5px]
\end{align}

wobei der Betriebseingriffswinkel α_b durch ein Näherungsverfahren über die Involut-Funktion bestimmt werden muss:

\begin{align}
\label{inv}
\text{inv}(\alpha_b) = 2 \frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} \cdot \tan(\alpha_0) + \text{inv}(\alpha_0) \\[5px]
\end{align}

In einigen Fällen ist der zu erzielende Achsabstand a durch das Getriebe jedoch fest vorgegeben. Dann muss der Achstabstand durch eine gezielte Profilverschiebung eingestellt werden. Die untere Abbildung zeigt hierzu die Änderung des Achsabstandes durch eine Profilverschiebung beider Zahnräder mit den Profilverschiebungsfaktoren x₁ und x₂.

Ist der Achsabstand a also vorgegeben, dann kann zunächst der Betriebseingriffswinkel α_b durch Umstellen von Gleichung (\ref{a}) im Vorfeld ermittelt werden:

\begin{align}
\label{alpha}
&\boxed{\alpha_b= \arccos \left(m \cdot( z_1 + z_2) \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{2 a} \right)} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{inv}) kann dann direkt nach den Profilverschiebungsfaktoren aufgelöst werden:

\begin{align}
\text{inv}(\alpha_b) &= 2 \frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} \cdot \tan(\alpha_0) + \text{inv}(\alpha_0) \\[5px]
2 \frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} \cdot \tan(\alpha_0) &= \text{inv}(\alpha_b) – \text{inv}(\alpha_0)  \\[5px]
\frac{x_1+x_2}{z_1+z_2} &= \frac{\text{inv}(\alpha_b) – \text{inv}(\alpha_0)}{2 \cdot \tan(\alpha_0) }  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{x}
\boxed{x_1+x_2 = \frac{\text{inv}(\alpha_b) – \text{inv}(\alpha_0)}{2 \cdot \tan(\alpha_0)} \cdot (z_1+z_2)} \\[5px]
\end{align}

Soll also ein bestimmte Achsabstand a durch Profilverschiebung realisiert werden, dann muss die Summe der Profilverschiebungsfaktoren der Gleichung (\ref{x}) genügen. Solange dies erfüllt ist, können die Faktoren also prinzipiell beliebig gewählt werden. Sinnvoll ist es jedoch die Profilverschiebungsfaktoren gleichmäßig auf die einzelnen Zahnräder aufzuteilen, wobei die Summe nicht sehr viel größer oder kleiner sein sollte als 1 (d.h. die Summe der Profilverschiebungen sollte in der Größenordnung des Moduls liegen).

Die Summe der Profilverschiebungsfaktoren sollte in der Größenordnung des Moduls der Zahnräder liegen!

Die Aufteilung der Profilverschiebungsfaktoren hängt auch davon ab, wie spitz die Zahnköpfe durch eine Profilverschiebung werden. Wie im Artikel Profilverschiebung erläutert, sollte die Zahnkopfdicke nach der Profilverschiebung noch mindestens 20 % des Moduls betragen. Ist dies nicht mehr gegeben, dann muss der Kopfkreis gekürzt werden. Auf eine solche Kopfkreiskürzung wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.

Berechnung der Kopfkreiskürzung

Im Artikel Profilverschiebung wurde gezeigt, dass mit einer Profilverschiebung eine entsprechende Vergrößerung des Kopfkreisdurchmessers d_k und des Fußkreisdurchmessers d_f um den Betrag der (positiven) Profilverschiebung verbunden ist:

\begin{align}
&\boxed{d_k =  m \cdot (z+2x+2) }   \\[5px]
\label{f}
&\boxed{d_f =  m \cdot (z+2x-2) -2c }   \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet z die Zähnezahl, m den Modul, x den Profilverschiebungsfaktor und c das Herstellungs-Zahnkopfspiel. Letzteres ergibt sich durch das Werkzeugprofil bei der Zahnradherstellung.

Das Herstellungs-Zahnkopfspiel c darf an dieser Stelle nicht mit dem Betriebs-Zahnkopfspiel c_b verwechselt werden, welches sich im Betrieb bei der Paarung zweier Zahnräder tatsächlich ergibt! So wurde im Artikel Profilverschiebung  bereits erläutert, dass bei der spielfreien Paarung von korrigierten Zahnrädern im Betrieb eine Verringerung des Zahnkopfspiels im Vergleich zur Paarung von Nullrädern eintritt, da die Achsabstandsänderung geringer ist als die Summe der Profilverschiebungen.

Das in Gleichung (\ref{f}) angegebene Herstellungs-Zahnkopfspiel c bezieht sich also zunächst nur auf das Spiel zwischen Werkzeug und Zahnrad bei der Zahnradherstellung (siehe Abbildung unten). Das Zahnkopfspiel c_b bezeichnet hingegen das tatsächlich im Betrieb vorhandene Spiel zwischen Zahnkopf des einen Zahnrades und dem Zahngrund des Gegenrades. Nur bei Nullrädern sind beide Zahnkopfspiele identisch.

Die Verringerung des Betriebpiels bei der Paarung von korrigierten Zahnrädern macht also dann eine Kürzung der Kopfkreise notwendig, wenn auch im Betrieb das geforderte Zahnkopfspiel c aufrecht erhalten werden soll. Auf welche Beträge d_k^* die Kopfkreise hierfür gekürzt werden müssen, soll im Folgenden gezeigt werden. Anhand der unteren Abbildung wird zunächst deutlich, dass sich das Betriebs-Zahnkopfspiel c_b ganz allgemein aus dem Achsabstand a, dem Fußkreisdurchmesser d_f1 des einen Zahnrades und des Kopfkreisdurchmessers d_k2 des Gegenrades ermittelt:

\begin{align}
\label{cb}
&c_b = a – \frac{d_{f1}}{2} – \frac{d_{k2}}{2} \\[5px]
\end{align}

Wird Gleichung (\ref{f}) in Gleichung (\ref{cb}) eingesetzt, dann lässt sich das Betriebs-Zahnkopfspiel c_b anhand des Herstellungs-Zahnkopfspiels c wie folgt bestimmen:

\begin{align}
&c_b = a – \frac{\overbrace{    m \cdot (z_1+2x_1-2) -2c      }^{d_{f1}}}{2} – \frac{d_{k2}}{2} \\[5px]
\label{cc}
&\boxed{c_b = a – m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 – 1 \right) – \frac{d_{k2}}{2}  + c } \\[5px]
\end{align}

Soll nun der Kopfkreisdurchmesser so angepasst werden, dass das Betriebs-Zahnkopfspiel c_b dem Herstellunds-Zahnkopfspiel c entspricht, dann kann Gleichung (\ref{cc}) unter der Bedingung c_b=c nach dem gesuchten Kopfkreisdurchmesser d_k2^* umgestellt werden:

\begin{align}
&c_b = a – m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 – 1 \right) – \frac{d_{k2}^\text{*}}{2}  + c \overset{!}{=} c \\[5px]
&a – m \cdot \left( \frac{z_1}{2} + x_1 – 1 \right) – \frac{d_{k2^\text{*}}}{2} = 0   \\[5px]
\label{da2}
&\boxed{d_{k2}^\text{*} = 2 a – m \cdot \left(z_1 + 2 x_1 – 2 \right)   }  \\[5px]
\end{align}

Für den Kopfkreisdurchmesser d_k1^* gilt analog:

\begin{align}
\label{da1}
&\boxed{d_{k1}^\text{*} = 2 a – m \cdot \left(z_2 +2 x_2 – 2 \right)   }  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Kopfkreiskürzungen gemäß den Gleichungen (\ref{da2}) und (\ref{da1}) nicht vom Zahnkopfspiel selbst abhängig sind!

Berechnung des Überdeckungsgrades

Im Artikel Eingriff wurde bereits erläutert, dass sich die Eingriffslinie als Tangente an die Grundkreise der gepaarten Zahnräder ergibt. Die eigentliche Eingriffsstrecke verläuft dabei ausgehend des Schnittpunktes A zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des getriebenen Gegenrades bis hin zum Schnittpunkt E zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des treibenden Zahnrades. Der Verhältnis von Eingriffsstrecke l zur Eingriffsteilung p_b (Abstand zweier benachbarter Eingriffspunkte) wird Überdeckungsgrad oder Profilüberdeckung ε genannt. 

\begin{align}
&\boxed{\epsilon = \frac{l}{p_b}} >1 \\[5px]
\end{align}

Für eine kontinuierliche Kraftübertragung muss bereits ein neuer Zahn in Eingriff kommen bevor der vorauslaufende Zahn die Eingriffsstrecke verlässt. Die Profilüberdeckung muss folglich stets größer Eins sein. Die Ermittlung dieser Profilüberdeckung zweier profilverschobener Zahnräder wird im Folgenden hergeleitet.

Da die Eingriffsteilung p_b bereits nach Gleichung (\ref{pb}) berechnet werden kann, muss lediglich noch die Eingriffsstrecke l ermittelt werden. Für die Herleitung der Eingriffsstrecke l dient zunächst die untere Abbildung. Hieraus wird ersichtlich, dass die Summe der Strecken T₁E (gelbes Dreieck) und T₂A (blaues Dreieck) um den Wert der Eingriffsstrecke l größer ist als die Strecke T₁T₂. Für die Eingriffsstrecke l gilt somit:

\begin{align}
& \overline{T_1 E} + \overline{T_2 A} – l = \overline{T_1 T_2} \\[5px]
\label{0}
& \underline{ l = \overline{T_1 E} + \overline{T_2 A} – \overline{T_1 T_2} } \\[5px]
\end{align}

Die Strecke T₁E kann über das gelb eingefärbte Dreieck anhand des Grundkreisdurchmessers d_b1 und des (evtl. gekürzten) Kopfkreisdurchmessers d_k1^* bestimmt werden:

\begin{align}
& \left( \frac{d_{k1}^\text{*}}{2} \right)^2 = \overline{T_1 E}^2 + \left( \frac{d_{b1}}{2} \right)^2 \\[5px]
\label{11}
&\underline{   \overline{T_1 E}  = \sqrt{ \left( \frac{d_{k1}^\text{*}}{2} \right)^2 – \left( \frac{d_{b1}}{2} \right)^2} }\\[5px]
\end{align}

Die Strecke T₂A lässt sich über das blau eingefärbte Dreieck anhand des Grundkreisdurchmessers d_b2 und des (evtl. gekürzten) Kopfkreisdurchmessers d_k2^* bestimmen:

\begin{align}
& \left( \frac{d_{k2}^\text{*}}{2} \right)^2 = \overline{T_2 A}^2 + \left( \frac{d_{b2}}{2} \right)^2 \\[5px]
\label{2}
&\underline{   \overline{T_2 A}  = \sqrt{ \left( \frac{d_{k2}^\text{*}}{2} \right)^2 – \left( \frac{d_{b2}}{2} \right)^2} }\\[5px]
\end{align}

Die Strecke T₁T₂=T₁^* T₂^* ergibt sich über das rot eingefärbte Dreieck anhand des Achsabstandes a sowie des Grundkreisdurchmessers d_b1 bzw. d_b2:

\begin{align}
& a^2 =\overline{T_1 T_2}^2 + \left( \frac{d_{b1}}{2} + \frac{d_{b2}}{2} \right)^2 \\[5px]
\label{3}
& \underline{\overline{T_1 T_2} = \sqrt{a^2 – \left( \frac{d_{b1}}{2} + \frac{d_{b2}}{2} \right)^2}    } \\[5px]
\end{align}

Die Gleichungen (\ref{11}), (\ref{2}) und (\ref{3}) können nun in Gleichung (\ref{0}) eingesetzt werden:

\begin{align}
& l = \overline{T_1 E} + \overline{T_2 A} – \overline{T_1 T_2}  \\[5px]
& l = \sqrt{ \left( \frac{d_{k1}^\text{*}}{2} \right)^2 – \left( \frac{d_{b1}}{2} \right)^2}  +  \sqrt{ \left( \frac{d_{k2}^\text{*}}{2} \right)^2 – \left( \frac{d_{b2}}{2} \right)^2} – \sqrt{a^2 – \left( \frac{d_{b1}}{2} + \frac{d_{b2}}{2} \right)^2}     \\[5px]
\label{l}
&  \boxed{l = \frac{1}{2}  \left[ \sqrt{ d_{k1}^\text{* 2}  – d_{b1}^2}   +  \sqrt{ d_{k2}^\text{* 2} – d_{b2}^2  }  –  \sqrt{   4 a^2 – \left( d_{b1} + d_{b2} \right)^2}  \right]}   \\[5px]
\end{align}

Die Grundkreisdurchmesser d_b in Gleichung (\ref{l}) lassen sich dabei über den Modul m, den Normaleingriffswinkel α₀ und die entsprechende Zähnezahl z ermitteln:

\begin{align}
&d_b = \overbrace{d_0}^{= m \cdot z} \cdot \cos(\alpha_0) \\[5px]
&\boxed{d_b = m \cdot z \cdot \cos(\alpha_0) } \\[5px]
\end{align}

Damit sind alle Größen zur Ermittlung des Überdeckungsgrades ε gegeben und nachfolgend nochmals zusammengefasst:

\begin{align}
&\boxed{\epsilon = \frac{l}{p_b}} \\[5px]
\text{mit} \\[5px]
&\boxed{p_b= \pi \cdot m \cdot \cos(\alpha_0)}  \\[5px]
\text{und} \\[5px]
&\boxed{l = \frac{1}{2}  \left[ \sqrt{ d_{k1}^\text{* 2}  – d_{b1}^2}   +  \sqrt{ d_{k2}^\text{* 2} – d_{b2}^2  }  –  \sqrt{   4 a^2 – \left( d_{b1} + d_{b2} \right)^2}  \right]}  \\[5px]
&\boxed{d_{b1} = m \cdot z_1 \cdot \cos(\alpha_0) } \\[5px]
&\boxed{d_{b2} = m \cdot z_2 \cdot \cos(\alpha_0) } \\[5px]
\end{align}

Die Kopfkreisdurchmesser d_k^* entsprechen den gekürzten Kopfkreisen, sofern eine Kopfkreiskürzung durchgeführt wurde. 

Die für die Berechnung der Profilüberdeckung angegebenen Formeln gelten nur für Zahnräder ohne Unterschnitt! Bei unterschnittenen Zahnrädern wird die Eingriffsstrecke durch das Unterschneiden des Zahnfußes gekürzt und die Profilüberdeckung damit verringert!

Excel-Tabelle zur Berechnung der Evolventenverzahnung

Die folgende Excel-Tabelle zur Zahnradkonstruktion bietet die Möglichkeit verschiedene geometrische Größen von Evolventenzahnräder zu berechnen, unter anderem die Berechnung von:

• Achsabstand
• Kopfkreiskürzung
• Berechnung der Summe der Profilverschiebungsfaktoren
• Betriebseingriffswinkel
• Profilverschiebungsfaktoren
• Übersetzungsverhältnis
• Teilkreisdurchmesser
• Wälzkreisdurchmesser
• Kopfkreisdurchmesser
• Fußkreisdurchmesser
• Grundkreisdurchmesser
• Zahnkopfspiel
• Teilung
• Zahndicken
• Zahnkopfdicke
• Überdeckungsgrad

Die in der Excel-Tabelle hinterlegten Berechnungen wurden noch nicht vollständig auf Richtigkeit überprüft!

Wälzfräsen

Die Herstellung einer Evolventenverzahnung geschieht häufig durch sogenanntes Wälzfräsen. Die Schneiden des Wälzfräsers sind dabei geradflankig ausgeführt und winden sich spiralförmig um das Fräswerkzeug (analog zum Gewinde einer Schraube). Das Querschnittsprofil des Wälzfräsers gleicht dem einer Zahnstange!

Während sich das Zahnrad dreht fräsen sich die Zähne des ebenfalls rotierenden Wälzfräsers mit der Zeit immer weiter nach innen in das Zahnrad, bis die endgültige Zahntiefe erreicht ist. Während einer Umdrehung des Fräsers schiebt sich das Zahnrad um einen Zahn weiter. Insofern entspricht die („Gewinde“-)Steigung der Fräserschneiden gerade der Zahnteilung des Zahnrades. Zahnrad und Wälzfräser bilden in ihrem Bewegungsablauf eine Art „Schneckengetriebe“.

Die Drehzahl zwischen Zahnrad und Wälzfräser muss also aufeinander abgestimmt sein, damit sich die Zähne richtig ausbilden können. Die Anzahl der Zähne am Zahnrad gibt dabei das Verhältnis der Drehzahlen wieder. Bei der Herstellung eines Zahnrades mit 18 Zähnen muss die Drehzahl des Fräsers folglich 18 mal so groß sein wie die Drehzahl des Zahnrades.

Die Geometrie des zahnstangenförmigen Werkzeugprofils richtet sich nach dem gewünschten Flankenprofil des Zahnes am Zahnrad. Die Werkzeugflanken sind dabei um den Betrag des Normaleingriffswinkels α₀ gegen die Vertikale geneigt. Aus dem sogenannten Bezugsprofil wird nach Berücksichtigung der Fußgrundausrundung und des Zahnkopfspiels c bzw. des Werzeugspiels das eigentliche Werkzeugprofil erstellt. Die Profilmittellinie entspricht dabei der Wälzgeraden.

Aufgrund des geradflankigen Werkzeugprofils ist die Werkzeugherstellung und damit die Herstellung einer Evolventenverzahnung für große Losgrößen sehr wirtschaftlich.

Die Zerspanungsleistung des Wälzfräsens ist sehr groß, sodass vor allem sehr dicke Zahnräder in relativ kurzer Zeit hergestellt werden können. Mit diesem Verfahren können jedoch keine Innenverzahnungen hergestellt werden. Hierfür bietet sich zum Beispiel das im nachfolgenden Abschnitt näher erläuterte Wälzstoßen an.

Der grundsätzliche Zusammenhang zwischen einem Zahnrad und einer Zahnstange („Werkzeugprofil“) zeigt die untere Abbildung. Dabei zeigt sich, dass der senkrechte Abstand der Evolventen für alle Zahnräder einer identischen Modulreihe stets dem senkrechten Abstand zweier benachbarter Flanken entspricht. Dieser Abstand entspricht zugleich der Eingriffsteilung p_b, d.h. dem Abstand zweier sich berührender Flanken im Eingriff mit einem Gegenrad (oder einer Zahnstange).

Wie die Abbildung verdeutlicht steht die Eingriffsteilung p_b über den Normaleingriffswinkel α₀ in direktem Zusammenhang zur Umfangsteilung p₀ der Zähne auf dem Teilkreis. Beachte, dass die Teilung p₀ auf allen Zahnrädern bzw. Zahnstangen für eine Modulreihe identisch ist, da diese ansonsten nicht miteinander gepaart werden könnten. Aus diesem Grund entspricht die Umfangsteilung p₀ der abgebildeten Zahnstange zugleich der Umfangsteilung der Zahnräder.

Mit einem einzigen Wälzfräser können also im Prinzip Zahnräder mit beliebigen Zähnezahlen der identischen Modulreihe hergestellt und anschließend miteinander gepaart werden. So geschieht das Herstellen eines 6-zahnigen Zahnrades (rot) mit demselben Werkzeug wie die Herstellung eines 18-zahnigen Zahnrades (grün) oder eines 9-zahnigen Zahnrades. Da also ein ganzer „Satz“ unterschiedlicher Zahnräder mit ein und demselben Werkzeug hergestellt und beliebig gepaart werden können, spricht man in diesem Zusammenhang auch von sogenannten Satzrädern. 

Anmerkung: Wie die obere Animation zeigt, werden bei zu geringer Zähnezahl die Zähne beim Herstellungsprozess „untergraben“ und damit geschwächt. Auf einen solchen Unterschnitt – und wie man diesen auch bei geringen Zähnezahlen vermeiden kann – wird im Artikel Profilverschiebung näher eingegangen.

Wälzstoßen

Zahnräder können nicht nur durch Fräsen sondern auch durch Stoßen hergestellt werden. Im Gegensatz zum Fräsen erfolgt das Zerspanen beim Stoßen jedoch durch eine geradlinige Stoßbewegung des Werkzeuges.

Beim sogenannten Wälzstoßen sind die Schneiden wie die Zähne eines Zahnrades am Umfang des Werkzeugs angeordnet. Die sich nach hinten verjüngenden Schneiden haben dabei evolventenförmige Flanken. Das Werkzeug (Schneidrad) führt beim Zerspanungsvorgang oszillierende Hin-und Herbewegungen in axialer Richtung aus. Während des Arbeitshubs stoßen die Schneiden in den Zahnradrohling und tragen Material ab. Beim Rückhub (Leerhub) wird das Werkzeug jeweils etwas zurückgezogen, damit es nicht zur Kollision mit dem Zahnradrohling kommt.

Der Hin- und Herbewegung des Schneidrades ist eine Wälzbewegung von Werkzeug und Werkstück überlagert. Das Schneidrad wälzt sich praktisch schneidend am Werkstück ab. Das Stoßwerkzeug kann insofern als „Zahnrad mit Schneiden“ betrachtet werden, das stoßend auf dem Zahnradrohling abwälzt. Deshalb auch der Begriff Wälzstoßen. Durch den sich ständig wiederholenden Stoßvorgang bei gleichzeitiger Wälzbewegung werden die Zähne schrittweise ausgebildet.

Im Gegensatz zum Wälzfräsen können mit einem solchen Wälzstoßverfahren auch Innenverzahnungen hergestellt werden. Auch das Herstellen einer Schrägverzahnung ist durch das Wälzstoßen problemlos möglich. Hierzu wird das Werkzeug lediglich um den Betrag des Schrägungswinkels schräg gestellt.

Mit Wälzstoßen lassen sich auch Innenverzahnungen herstellen!

Alle Wälzverfahren zur Zahnradherstellung (Wälzfräsen, Wälzstoßen und Wälzhobeln) basieren letztlich auf demselben Prinzip, welches sich am Beispiel des Wälzstoßens anschaulich zeigen lässt: Die Werkzeugschneiden wälzen sich senkrecht zur Schnittbewegung auf dem Zahnradrohling ab. Durch die Einhüllende der Schneidkannten entsteht dann evolventenförmige Zahnform.

Wälzhobeln

Anstelle eines „zahnradförmigen“ Werkzeuges wie dies beim Wälzstoßen der Fall ist, können auch „zahnstangenförmige“ Werkzeuge verwendet werden. Werkzeug und Werkstück bilden der Kinematik nach eine Art „Zahnstangengetriebe“. Man spricht dann vom sogenannten Wälzhobeln.

Die zahnstangenförmige Anordnung der geradflankigen Schneiden wird dabei als Schneidkamm oder Hobelkamm bezeichnet. Der erforderliche Freiwinkel an den Schneiden wird wiederum dadurch erzielt, dass sich diese nach hinten verjüngen.

Während des Arbeitshubs nimmt der Hobelkamm Material vom Zahnradrohling ab und wird beim Rückhub anschließend wieder etwas vom Werkstück abgehoben um eine Kollision zu vermeiden. Wie bei einem „Zahnstangengetriebe“ üblich, dreht sich sowohl der Zahnradrohling als auch der Hobelkamm während des Hobelns weiter. Das herzustellende Zahnrad wälzt sich sozusagen am Schneidkamm ab. Da der Schneidkamm in der Regel weniger Schneiden besitzt als Zähne am Zahnrad hergestellt werden sollen, muss der Wälzhobel nach einem Durchlauf wieder zurückgesetzt werden.

Auch eine Schrägverzahnung lässt sich mit dem Wälzhobel problemlos herstellen. Hierzu muss lediglich der Schneidkamm entsprechend dem Schrägungswinkel schräg gestellt  werden. Im Vergleich zum Stoßwerkzeug beim Wälzstoßen, dessen Schneiden evolventenförmig sind, handelt es sich beim Wälzhobel um geradflankige Schneiden. Wälzhobel lassen sich somit deutlich einfacher und damit kostengünstiger herstellen. Innenverzahnungen können mit mit einem Wälzhobel jedoch nicht hergestellt werden. Angewendet wird das Wälzhobeln vor allem bei sehr großen Zahnrädern bzw. Zahnkränzen. Die Zerspanungsleistung ist im Vergleich zum Wälzfräsen relativ gering.

Profilfräsen

Beim Profilfräsen haben die Schneiden am scheibenförmigen Werkzeug die Form der Zahnlücke. Das Fräswerkzeug fräst jede Zahnlücke einzeln bevor der Zahnradrohling jeweils eine Zahnlücke weiterbewegt wird. Das Herstellen der Zahnform kommt ausschließlich durch die Rotationsbewegung des Werkzeugs zustande. Beim Zerspanungsvorgang findet somit keine überlagerte Wälzbewegung des Werkstückes wie beim Wälzfräsen, Wälzstoßen oder Wälzhobeln statt. Bei allen Wälzverfahren kommt die Zahnform letztlich durch die Hüllkurve der Schneiden zustande; beim Profilfräsen oder auch beim Profilräumen entsteht die Zahnform hingegen direkt durch die Schneidengeometrie des Werkzeugs.

Im Gegensatz zu den wälzenden Verfahren muss die Schneidbewegung des Werkzeuges also nicht auf die Bewegung des Werkstückes abgestimmt sein. Deshalb kann das Profilfräsen auch auf „normalen“ Fräsmaschinen durchgeführt werden und erfordert keine speziellen Maschinen. Da jedoch die Zahnlücken je nach Größe des Zahnrades unterschiedliche Geometrien aufweisen, kann ein Profilfräser nur für das Herstellen eines bestimmtes Zahnrad verwendet werden. Für jeden Modul und jede Zähnezahl werden somit eigene Scheibenfräser notwendig, die durch die individuelle Form relativ teuer sind.

Profilfräsen von Zahnräder kann auf einfachen Fräsmaschinen durchgeführt werden. Für jeden Modul und jede Zähnezahl sind spezielle Scheibenfräser erforderlich!

Profilräumen

Das Räumen ähnelt vom Bewegungsablauf her dem Stoßen bzw. dem Hobeln. Jedoch besitzt ein Räumwerkzeug mehrere hintereinander angeordnete Schneiden. Jede Schneide nimmt dabei Material und erzeugt somit sukzessiv die endgültige Form. Wurde das Räumwerkzeug vollständig durch das Werkstück bewegt, ist die endgültige Form in der Regel bereits erreicht. Profilräumen besitzt somit eine hohe Zerspanungsleistung und wird vor allem bei Innenverzahnungen angewendet.

Im Vergleich zum Wälzstoßen oder Wälzhobeln entsteht die Zahngeometrie beim Profilräumen direkt durch evolventenförmige Werkzeugschneiden und nicht durch eine einhüllende Schnittbewegung. Mit einem Räumwerkzeug kann somit nur ein bestimmtes Zahnrad gefertigt werden. Für jede Änderung der Zähnezahl oder des Moduls wird ein eigens angefertigtes Räumwerkzeug benötigt. Profilräumen wird deshalb nur in der Massenfertigung angewendet.

Eingriffslinie

Aufgrund der besonderen Konstruktion der Zahnform eines Evolventenzahnrades (Abrollens einer Geraden auf einem Kreis) wird umgekehrt bewirkt, dass der Schnittpunkt zweier aufeinander abrollender Evolventen auf einer geraden Linie verläuft. Diese Situation ergibt sich, wenn zwei Zahnräder im Eingriff sind (auch als Kämmen bezeichnet). Die evolventenförmigen Zahnflanken gleiten dann auf einer geraden Linie aufeinander ab (schwarze Linie in der unteren Animation). Diese Gerade wird deshalb auch als Eingriffsgerade oder Eingriffslinie bezeichnet. Die Eingriffslinie entspricht im Prinzip der Rollgeraden für die Konstruktion der evolventenförmigen Zahnflanken.

Die Eingriffslinie entspricht der an die Grundkreise der Zahnräder angelegten Tangente.

Die auf der Eingriffsgeraden tatsächlich zurückgelegte Strecke des Berührpunktes der aufeinander abwälzenden Zahnflanken wird dann Eingriffsstrecke genannt (rote Linie in der oberen Animation). Die Eingriffsstrecke beginnt im Schnittpunkt A zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des getriebenen Zahnrades und endet im Schnittpunkt E zwischen Eingriffslinie und Kopfkreis des treibenden Zahnrades.

Eingriffswinkel

Der Eingriffswinkel α entspricht dem Winkel zwischen der Verbindungsnormalen der beiden Zahnradachsen (Normale zur Mittellinie) und der Eingriffslinie. Für ein Normzahnrad ist dieser Eingriffswinkel bei spielfreier Paarung der Zähne auf 20° festgelegt. In diesem Normzustand wird der Eingriffswinkel auch als Normaleingriffswinkel α₀ (=20°) bezeichnet. Der Achsabstand wird in diesem Fall Normachsabstand oder Null-Achsabstand a₀ genannt und die entstehenden Wälzkreise als Teilkreise bezeichnet.

Diese Normung des Eingriffswinkels α₀ ist insbesondere für die Werkzeuggeometrie bei der Zahnradherstellung wichtig, da sich hiernach der Flankenwinkel des zahnstangenförmigen Werkzeugs richtet. So bedeutet zum Beispiel ein Normaleingriffswinkel von 20°, dass auch die Flanken des Wälzfräsers zur Herstellung der Zahnflanken ebenfalls um 20° geneigt sein müssen. Die Zahnform wird somit maßgeblich durch den Normaleingriffwinkel bestimmt. Siehe hierzu auch den Artikel Geometrie von Evolventenzahnräder.

Der Normaleingriffswinkel wird sich bei nicht-profilverschobenen Zahnrädern bei der spielfreien Paarung automatisch einstellen. Bei Achsabstandsänderungen oder durch Profilverschiebungen wird sich der Eingriffswinkel allerdings ändern und dann vom Normaleingriffswinkel abweichen. Der sich im späteren Betrieb tatsächlich ergebende Eingriffswinkel wird Betriebseingriffswinkel α genannt.

Mit Änderung des Eingriffswinkels ist letztlich auch direkte eine Änderung der Eingriffslinie und damit der Eingriffsstrecke verbunden. Weicht der Achsabstand vom Normachsabstand ab, dann ergibt sich keine spielfreie Paarung der Zahnräder mehr und die Eingriffsstrecke wird verkürzt (siehe dunkelblaues Zahnrad in der unteren Animation).

Eingriffsteilung und Überdeckungsgrad

Für die Gewährleistung einer kontinuierlichen Kraftübertragung zwischen den Flanken zweier Zahnräder muss darauf geachtet werden, dass mindestens immer ein Zahnpaar auf der Eingriffsstrecke im Eingriff ist. Dies ist aufgrund der verkürzten Eingriffsstrecke bei zu großen Achsabständen nicht immer gegeben (siehe Animation oben)!

Idealerweise greift das zweite Zahnpaar bereits ein, solange das erste Zahnpaar noch nicht die Eingriffsstrecke verlassen hat, d.h. es sind zweitweise sogar zwei oder mehr Zahnpaare im Eingriff. Entsprechend verteilen sich die Umfangskräfte auf mehrere Zähne, was eine Reduzierung der einzelnen Zahndruckkräfte bedeutet. Die Gefahr des Zahnbruchs wird hierdurch verringert.

Der Abstand zweier benachbarter Berührpunkte B₁ und B₂ auf der Eingriffsstrecke l wird Eingriffsteilung p_b genannt.

Als Eingriffsteilung p_b bezeichnet man den Abstand zweier in Kontakt stehender Flanken auf der Eingriffsstrecke.

Für eine kontinuierliche Kraftübertragung muss die Eingriffsteilung folglich immer kleiner als die Eingriffsstrecke sein (p_b < l). Das Verhältnis von Eingriffsstrecke und Eingriffsteilung wird auch Überdeckungsgrad oder Profilüberdeckung ε genannt:

\begin{align}
&\boxed{\epsilon = \frac{l}{p_b}} \ge 1 \\[5px]
\end{align}

Der Überdeckungsgrad muss also stets größer 1 sein; üblicherweise im Bereich von 1,2 bei einer Geradverzahnung. Besonders groß wird die Profilüberdeckung bei großen Zähnezahlen und kleinem Modul, was sich dann günstig auf die Geräuschentwicklung auswirkt!

Die Profilüberdeckung gibt anschaulich an, wie viel Zähne auf der Eingriffsstrecke gleichzeitig im Eingriff sind. Je größer die Profilüberdeckung desto größere Kräfte können übertragen werden und umso geringer die Geräuschentwicklung!

Einfluss des Achsabstandes auf die Eingriffsteilung und den Überdeckungsgrad

Aufgrund der besonderen Konstruktion der Evolvente für die Form der Zahnflanken, sind diese sind immer rechtwinklig zur Eingriffslinie gerichtet. Man kann sich hierzu einfach die Eingriffsgerade als Rollgerade vorstellen mit der die Evolventenform konstruiert wird. Dann wird sofort deutlich, dass die Eingriffslinie immer senkrecht zur Evolvente und damit senkrecht zur Zahnflanke steht.

Die Eingriffsteilung entspricht also ganz allgemein dem senkrechten Abstand zweier benachbarter, gleichgerichteter Zahnflanken eines Zahnrades bzw. dem senkrechten Abstand benachbarter Evolventen!

Die Eingriffsteilung entspricht dem senkrechten Abstand zweier benachbarter, gleichgerichteter Zahnflanken eines Zahnrades!

Da der Abstand der Zahnflanken und damit die Eingriffsteilung eine konstante Größe eines Zahnrades ist, ändert sich die Eingriffsteilung auch nicht bei Achsabstandsänderungen. Lediglich die Eingriffsstrecke wird bei einer Vergrößerung des Achsabstandes verkürzt, sodass sich hierdurch der Überdeckungsgrad verringert. Bei zu großen Achsabstandsänderungen kann der Überdeckungsgrad kleiner 1 werden und somit die Zahnflanken teilweise ihre Kontakt zueinander verlieren.

Die Eingriffsteilung ändert sich bei einer Achsabstandsänderung nicht, lediglich die Eingriffsstrecke und damit der Überdeckungsgrad wird bei Vergrößerung des Achsabstandes verkürzt.

Eingriffsteilung als Grundkreisteilung

Die Eingriffsteilung p_e wird häufig auch als Grundkreisteilung bezeichnet. Dies hat auch einen bestimmten Grund. Durch die besondere Konstruktion der Evolvente (Abrollen der (Eingriffs-)Geraden auf dem Grundkreis) entspricht die Eingriffsteilung letztlich der Teilung der Zähne auf dem Grundkreis.

Die Eingriffsteilung entspricht dem bogenförmigen Abstand zweier benachbarter, gleichgerichteter Flanken auf dem Grundkreis eines Zahnrades und wird deshalb auch Grundkreisteilung genannt!

Einfluss des Achsabstandes auf das Übersetzungsverhältnis

Beim Eingriff zweier Zahnräder entspricht die Kraftrichtung der Normalen im Berührungspunkt zweier Zahnflanken. Bei Evolventenverzahnungen entspricht dies gerade der Eingriffslinie. Egal wie sich die Lage der Eingriffslinie nun mit einer Veränderung des Achsabstandes ändert, bleibt die Kraft auf der Eingriffslinie folglich immer tangential zum Grundkreis gerichtet und steht damit stets senkrecht auf dem Grundkreisradius.

Der Grundkreis selbst ändert sich bei Zahnrädern auch bei Achsabstandsänderungen grundsätzlich nicht, da der Grundkreis die Form der Evolvente und damit die Zahnform bestimmt. Umgekehrt ausgedrückt bedeutet dies, dass zu jeder Evolvente bzw. zu jeder Zahnform ein bestimmter Grundkreis gehört. Da sich die Zahnform eines Zahnrades bei Achsabstandsänderungen natürlich nicht ändert, bleibt auch der Grundkreis bzw. der Grundkreisradius stets derselbe!

Da also auch bei Achsabstandsänderungen die Kraft immer senkrecht zum Grundkreisradius steht, ergeben sich folglich keine Änderungen im Drehmoment. Damit ist auch das Übersetzungsverhältnis von Evolventenzahnrädern unabhängig vom Achsabstand (bei Zykloidenverzahnungen ist dies bspw. nicht der Fall). Aus diesem Grund – und aufgrund der relativ einfachen Herstellung – wird die Evolventenverzahnung im Maschinenbau vorwiegend verwendet. Eingeschränkt werden muss diese Aussage natürlich dann, wenn der Achsabstand so groß wird, dass die Flanken den Kontakt zueinander verlieren.

Das Übersetzungsverhältnis von Evolventenzahnrädern ist unabhängig des Achsabstands!

Das konstante Übersetzungsverhältnis gilt nicht nur bezüglich der Drehmomente sondern auch für die Drehzahlen. Man erhält bei Achsabstandsänderungen also auch keine Änderung in der Drehzahl am Abtriebsrad! Denn die mechanische Leistung ergibt sich aus dem Produkt von Drehzahl und Drehmoment. Wenn bei konstanter zugeführter Leistung sich das Drehmoment nicht ändert, dann muss auch die Drehzahl konstant bleiben. Ansonsten widerspräche dies dem Energieerhaltungssatz.

Wälzpunkt und Wälzkreis

Die Zahnflanken von Evolventenzahnräder gleiten während der Bewegung im Allgemeinen aufeinander ab, lediglich im sogenannten Wälzpunkt C tritt keine Gleitung sondern reines Wälzen auf. Dies bedeutet, dass die Umfangsgeschwindigkeiten beider Zahnräder in diesem Punkt identisch sind. Man kann sich die Zahnräder in diesem Punkt als Wälzzylinder vorstellen, die gleitfrei aufeinander abwälzen.

Die zugehörigen Durchmesser werden dann Wälzkreisdurchmesser genannt. Vor und nach dem Wälzpunkt finden Relativbewegungen zwischen den Zahnradflanken statt. Diese Gleitbewegungen sind auch der Grund weshalb Zahnräder im Allgemeinen geschmiert werden müssen, um die Verschleißerscheinungen an den Flanken zu minimieren.

Die Zahnflanken der Zahnräder gleiten im Allgemeinen aufeinander ab; lediglich im Wälzpunkt tritt ein reines Wälzen auf! Die zugehörigen Wälzkreisdurchmesser der Zahnräder bezeichnen die Durchmesser von gedachten Zylindern, die ohne Gleiten aufeinander abrollen!

Der Wälzpunkt liegt nicht wie häufig behauptet im Mittelpunkt der Eingriffsstrecke, sondern befindet sich im Schnittpunkt zwischen Eingriffslinie und Mittellinie der Zahnradachsen.

Im Gegensatz zum Teilkreisdurchmesser ist der Wälzkreisdurchmesser keine konstante Größe eines Zahnrades, sondern vom Achsabstand abhängig. Denn wird der Achsabstand verändert, dann ändert sich auch die Neigung der Eingriffslinie (d.h. der Eingriffswinkel) und damit die Lage des Wälzpunktes. Hierdurch ändern sich dann auch die Wälzkreise. Mit zunehmendem Achsabstand nehmen die Wälzkreisdurchmesser zu.

Die sich im Eingriff zweier Zahnräder einstellenden Wälzkreise sind vom Achsabstand abhängig: Je größer der Achsabstand, desto größer der Wälzkreisdurchmesser!

Berechnung der Wälzkreisdurchmesser

Wie im Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder bereits ausführlich erläutert, sind die Teilkreise von Zahnräder speziell definierte Kreise auf die die Umfangsteilung bzw. Durchmesserteilung der Zähne bezogen wird. Die Teilkreise sind nur dann mit den Wälzkreisen identisch, wenn Zahnräder spielfrei miteinander gepaart werden und der Betriebseingriffswinkel α somit dem Normaleingriffswinkel α₀ entspricht.

Ändert sich jedoch der Eingriffswinkel durch eine Achsabstandsänderung, dann unterscheiden sich die Wälzkreise von den Teilkreisen. Die sich bei Achsabstandsänderungen neu einstellenden Wälzkreise können dabei anhand des Betriebseingriffswinkels α ermittelt werden. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

Wie im Abschnitt zuvor bereits erläutert, ändern sich die Grundkreise auch bei einer Änderung des Achsabstandes bzw. bei einer Änderung des Eingriffswinkels nicht. Es gilt somit sowohl für den Normaleingriffswinkel α₀ mit dem entsprechenden Teilkreisradius r₀ als auch für einen beliebigen Betriebseingriffswinkel α mit dem sich neu einstellenden Wälzkreisradius r derselbe Grundkreisradius r_b.

Über den Kosinus des Eingriffswinkels stehen beide Radien bzw. Durchmesser in Zusammenhang (siehe gelbes bzw. blaues Dreieck in der oberen Abbildung). Auf diese Weise kann aus dem Teilkreisdurchmesser d₀ der sich im Betrieb bei einem Betriebseingriffswinkel α einstellende Wälzkreisdurchmesser d wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}
&r_b(\alpha)=r_b(\alpha_0)  \\[5px]
&r \cdot \cos(\alpha) = r_0 \cdot \cos(\alpha_0)  \\[5px]
&\tfrac{d}{2} \cdot \cos(\alpha) = \tfrac{d_0}{2} \cdot \cos(\alpha_0)  \\[5px]
&\boxed{d = d_0 \cdot \frac{\cos(\alpha_0)}{\cos(\alpha)}} ~~~\text{mit } \alpha_0 = 20° ~\text{Normverzahnung} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass Teilkreisdurchmesser d₀ und Normaleingriffswinkel α₀ feste Größen eines Zahnrades sind und sich auch im Eingriff nicht ändern! Salopp formuliert beschreibt der Normaleingriffswinkel die Flankenform des Zahnrades und der Teilkreisdurchmesser die Größe des Zahnrades. Da diese Größen des Zahnrades im Vorfeld also bekannt sind, kann direkt mithilfe des Betriebseingriffwinkels α der zugehörige Wälzkreisdurchmesser d ermittelt werden.

Auch an dieser Stelle wird nochmals deutlich, dass der Wälzkreis offensichtlich nur dann dem Teilkreis entspricht, wenn der Betriebseingriffswinkel gleich dem Normaleingriffswinkel ist (α=α₀). In vielen Fällen ist dies in der Praxis jedoch nicht gegeben, sodass im Betrieb der Wälzkreis vom Teilkreis abweicht. Dies trifft insbesondere bei korrigierten Zahnrädern zu (Zahnräder mit Profilverschiebung).

Allgemeines Verzahnungsgesetz

Im Abschnitt „Einfluss des Achsabstandes auf das Übersetzungsverhältnis“ wurde bereits erläutert, dass das Übersetzungsverhältnis von Evolventenzahnrädern unabhängig des Achsabstandes ist. Eine solche Unabhängigkeit des Übersetzungsverhältnisses sollte nicht nur für Achsabstandsänderungen gelten, sondern grundsätzlich vorhanden sein.

Weichen die Zahnflanken einer Evolventenverzahnung bspw. von der idealen Evolventenform ab, dann kann sich die Kraftrichtung der Zahnflanken während des Eingriffs auf der Eingriffsgeraden ändern. Hierdurch ändert sich auch der senkrecht zur Kraft gerichtete Hebelarm und damit das Drehmoment. Dies wiederum führt dann zu Drehmoment- bzw-Drehzahlschwankungen während des Eingriffs. Man erhält in diesem Fall kein konstantes Übersetzungsverhältnis.

Die Flankenform hat also einen entscheidenden Einfluss auf die Konstanz des Übersetzungsverhältnisses. Deshalb stellt sich bei allen Zahnformen für Zahnräder zunächst immer die Frage, wie diese geformt sein müssen damit im Eingriff ein konstantes Übersetzungsverhältnis vorliegt. Die Antwort hierauf lässt sich auf folgenden Sachverhalt reduzieren:

Für ein gleichbleibendes Übersetzungsverhältnis muss die Normale im Berührpunkt zweier in Kontakt stehender Zahnflanken stets durch den Wälzpunkt verlaufen (allgemeines Verzahnungsgesetz)!

Diese Aussage wird auch als allgemeines Verzahnungsgesetz bezeichnet. Würde nämlich die Kraftrichtung nicht permanent durch den Wälzpunkt verlaufen, dann hätte dies zur Folge, dass sich durch die stets ändernde Kraftrichtung auch dauernd ein anderer senkrechter Hebelarm bzgl. der Drehachse einstellt und damit Drehmomentschwankungen verursacht. Das Übersetzungsverhältnis wäre folglich nicht konstant.

Einleitung

Im Artikel Unterschnitt von Zahnräder wurde gezeigt, dass die Vermeidung eines Unterschnitts bei einem Normzahnrad mit einem Eingriffswinkel von 20° eine Mindestzähnezahl von 17 erforderlich macht. Sollen Zahnräder dennoch unterhalb der Grenzzähnezahl gefertigt werden (z.B. weil ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis erzielt werden soll), so muss der Unterschnitt auf andere Weise vermieden werden. Hierzu wird die sogenannte Profilverschiebung angewendet. Auf eine solche Profilverschiebung wird in diesem Artikel näher eingegangen.

Profilverschiebung

Bei der Profilverschiebung wird das Werkzeugprofil bei der Zahnradherstellung um einen bestimmten Betrag nach außen verschoben. Die untere Animation zeigt hierzu die Auswirkungen einer Profilverschiebung auf die Zahnform eines Zahnrades mit 8 Zähnen. Es wird dabei deutlich, dass mit größer werdender Profilverschiebung der Unterschnitt geringer wird und sogar ganz vermieden werden kann.

Die untere Abbildung zeigt nochmals den Vergleich der Zahnformen mit zunehmender Profilverschiebung (von links nach rechts). Auch wenn sich die Zahnformen voneinander unterscheiden, so können die Zähne dennoch ineinander greifen und ein kämmen ermöglichen. Profilverschobene Zahnräder (auch als korrigierte Zahnräder bezeichnet) lassen sich folglich mit nicht-profilverschobenen Zahnrädern ohne Weiteres paaren, solange diese mit demselben Werkzeug gefertigt wurden und somit denselben Modul aufweisen.

Mit einer Profilverschiebung lassen sich Unterschnitte vermeiden. Hierzu wird das Werkzeugprofil bei der Zahnradherstellung nach außen verschoben. Zahnräder mit unterschiedlichen Profilverschiebungen können ohne Weiteres miteinander gepaart werden!

Einfluss der Profilverschiebung auf die Form der Zahnflanke

Auch wenn dies auf den ersten Blick vielleicht nicht so erscheinen mag, so hat eine Profilverschiebung keinen Einfluss auf die Form der Zahnflanke ansich. Alle profilverschobenen Zahnräder nutzen im Vergleich zu ihren nicht-profilverschobenen Varianten dieselbe Evolvente als Zahnform. Es wird lediglich ein anderer Teil derselben Evolvente genutzt. Dies zeigt sich deutlich, wenn die Zahnflanken der Zahnräder mit unterschiedlichen Profilverschiebungsfaktoren aufeinander gelegt werden.

Beachte, dass sich der Grundkreis zur Konstruktion der Evolvente alleine durch den Flankenwinkel des Werkzeugprofils (= Normaleingriffswinkel) bei der Zahnradherstellung bestimmt. Und da sich der Flankenwinkel des Werkzeugs bei einer Profilverschiebung nicht ändert, ändert sich auch der Grundkreis und damit die Evolvente nicht.

Bei profilverschobenen Zahnräder wird dieselbe Evolvente als Zahnform genutzt. Der Grundkreis ändert sich deshalb bei einer Profilverschiebung nicht, da dieser alleine durch den Flankenwinkel des Herstellungswerkzeugs (Normaleingriffswinkel) bestimmt ist!

Wie im Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder bereits erläutert nimmt der Krümmungsradius der Evolvente mit größerer Länge zu, d.h. umso weiter weg die Evolvente vom Grundkreis ist, desto größer ist der Krümmungsradius und umso weniger stark ist diese folglich gekrümmt. Die Flankenform ist in diesem entfernteren Bereich eher „flach“ statt „spitz“. Die geringere Krümmung führt im Eingriff zu einer größeren Auflagefläche der Flanken, was die Flächenpressung (Hertzsche Pressung) entsprechend herabsetzt. Dies reduziert die Beanspruchung der Flanken und erhöht somit die Flankentragfähigkeit.

Durch eine Profilverschiebung kann die Flankentragfähigkeit erhöht werden!

Einfluss der Profilverschiebung auf den Teilkreisdurchmesser

Der Grund weshalb profilverschobene Zahnräder ohne Weiteres mit anderen profilverschobenen Zahnrädern gepaart werden können, liegt darin begründet, dass alle Zahnräder auf ihreren Herstellungswälzkreisen dieselbe Zahnteilung aufweisen. Dies soll in diesem Abschnitt näher erläutert werden.

Zunächst ist festzuhalten, dass sich bei der Zahnradherstellung der Wälzpunkt C zwischen zahnstangenförmigen Werkzeug und Zahnrad auch bei einer Profilverschiebung nicht ändert (an dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich auf das Kapitel Zahnstange verwiesen, welches die Zusammenhänge im Detail erläutert!). Dies liegt darin begründet, dass sich der Wälzpunkt als Schnittpunkt zwischen Mittellinie und Eingriffslinie bestimmt. Die Eingriffslinie wiederum ergibt sich stets als Normale zur Werkzeugflanke, welche als Tangente am Grundkreis des Zahnrades anliegt.

Wie die obere Abbildung zeigt, hat eine Profilverschiebung nun weder eine Auswirkung auf den Flankenwinkel des Werkzeugs („Neigung der Eingriffslinie“) noch auf den Grundkreis des Zahnrades („Position der Eingriffslinie“). Somit bleibt auch bei einer Profilverschiebung die Eingriffslinie und damit der Wälzpunkt stets identisch.

Die unveränderliche Lage des Wälzpunktes wird auch bereits aus dessen Bedeutung heraus ersichtlich. So beschreibt der Wälzpunkt nämlich jenen Punkt in dem die Geschwindigkeiten des zahnstangenförmigen Werkzeugprofils und des Zahnrades identisch sind, d.h. ein gleitfreies abwälzen stattfindet. Eine radiale Verschiebung des Werkzeugprofils ändert jedoch nichts an den Geschwindigkeitsverhältnissen und damit auch nichts an der Lage des Wälzpunktes.

Durch den Wälzpunkt verläuft die Wälzgerade des Werkzeuges und der (Herstellungs-)Wälzkreis des Zahnrades. Der stets gleichbleibende Wälzpunkt führt damit unabhängig von der Profilverschiebung zu immer denselben Herstellungswälzkreisen auf den Zahnrädern. Auf diesen Herstellungswälzkreisen wird letztlich die Teilung der Zähne vorgenommen (Umfangsteilung p₀). Damit entspricht der Herstellungswälzkreis dem Teilkreis der Zahnräder (siehe auch Artikel Zahnstange). Eine Profilverschiebung hat folglich keine Auswirkungen auf den sich ergebenden Teilkreis und der hierauf bezogenen Umfangsteilung, sodass eben auch profilverschobene Zahnräder mit nicht-profilverschobenen Zahnrädern gepaart werden können!

Der Teilkreis (Herstellungswälzkreis) eines Zahnrades ändert sich bei einer Profilverschiebung nicht, sodass profilverschobene Zahnräder mit nicht-profilverschobenen Zahnräder gepaart werden können!

Profilverschiebungsfaktor

Die Profilverschiebung V bei Zahnrädern wird meist durch einen Profilverschiebungsfaktor x in Bezug auf den Modul m angegeben. Bei positiven Faktoren (x>0) wird das Werkzeugprofil nach außen verschoben und bei negativen Faktoren (x<0) nach innen (gilt für Außenverzahnungen).

\begin{align}
&\boxed{V = x \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Ein Profilverschiebungsfaktor von bspw. x=+0,25 bedeutet anschaulich, dass das Werkzeugprofil um das 0,25-fache des Moduls nach außen verschoben wird. Dabei vergrößern sich im Allgemeinen sowohl der Fußkreis- als auch der Kopfkreisradius entsprechend um den Betrag der Profilverschiebung.

Für nicht-korrigierte Zahnräder ohne Profilverschiebung (auch Nullräder genannt) wurde bereits im Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder die Berechnung des Fußkreisdurchmessers d_f,0 und des Kopfkreisdurchmessers d_k,0 erläutert. Diese ergeben sich anhand des Moduls m und der Zähnezahl z, wobei beim Fußkreisdurchmesser zusätzlich noch ein Zahnkopfspiel c berücksichtigt wird:

\begin{align}
d_{k,0} &= m \cdot (z+2)   ~~~&&\text{gilt nur für Nullräder}\\[5px]
d_{f,0} &= m \cdot (z-2) – 2 \cdot c   ~~~&&\text{gilt nur für Nullräder}\\[5px]
\end{align}

Nun zeigt sich, dass die Kopfkreisradien und die Fußkreisradien bei korrigierten Zahnrädern um den Betrag der (positiven) Profilverschiebung V vergrößert werden. Für die entsprechenden Durchmesser gilt in diesem Fall dann:

\begin{align}
&d_k = d_{k,0} + 2 \cdot V = m \cdot (z+2) + 2 \cdot V = m \cdot (z+2) + 2 \cdot m \cdot x     \\[5px]
\label{a}
&\boxed{d_k =  m \cdot (z+2x+2)}   ~~~\text{gilt allgemein, ohne Kopfkreiskürzung}\\[5px]
&d_f = d_{f,0} + 2 \cdot V = m \cdot (z-2) – 2 \cdot c + 2 \cdot V =  m \cdot (z-2) – 2 \cdot c + 2 \cdot m \cdot x   \\[5px]
&\boxed{d_f =  m \cdot (z+2x-2) -2c }   ~~~\text{gilt allgemein}\\[5px]
\end{align}

Vergrößerung der Zahndicke

Eine Profilverschiebung hat auch Auswirkungen auf die Zahndicke und die Zahnlücke auf dem Teilkreis. Während sich die Zahndicke s₀ auf dem Teilkreis vergrößert, verringert sich die Zahnlücke e₀ entsprechend. Im Folgenden soll die sich ergebende Zahndicke s₀ auf dem Teilkreis in Abhängigkeit des Profilverschiebungsfaktors x bestimmt werden.

Hierzu zeigt die untere Abbildung zunächst die Vergrößerung des Abstandes der Werkzeugflanken auf der Wälzgerade (Breite des blau markierten Dreiecks), wenn das Werkzeugprofil um die Profilverschiebung V=x⋅m verschoben wird. Dieser Abstand der Werkzeugflanken auf der Wälzgerade entspricht aufgrund des reinen Abwälzvorgang während der Zahnradherstellung der späteren Zahndicke s₀ auf dem Herstellungswälzkreis des Zahnrades (=Teilkreis).

Im Vergleich zum nicht-korrigierten Nullzahnrad, dessen Zahndicke gerade der Hälfte der Umfangsteilung p₀ entspricht (p₀/2), vergrößert sich beim korrigierten Zahnrad die Zahndicke um einen Betrag Δs. Aus der oberen Abbildung ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen dem Profilverschiebungsfaktor x und der resultierenden Zahndicke s₀ auf dem Teilkreis (mit α₀ als Normaleingriffswinkel):

\begin{align}
&s_0 = \frac{p_0}{2} + \Delta s \\[5px]
&s_0 = \frac{p_0}{2} + 2 \cdot V \cdot \tan(\alpha_0) \\[5px]
&\underline{s_0 = \frac{p_0}{2} + 2 \cdot m \cdot x \cdot \tan(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Darüber hinaus steht die Umfangsteilung p₀ über die Kreiszahl π mit dem Modul m in Zusammenhang (siehe Artikel Konstruktion von Evolventenzahnräder):

\begin{align}
&\underline{p_0 = \pi \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Damit ergibt sich die Zahndicke s₀ auf dem Teilkreis eines um den Faktor x profilverschobenen Zahnrades mit dem Modul m wie folgt:

\begin{align}
&s_0 = \frac{\pi \cdot m}{2} + 2 \cdot m \cdot x \cdot \tan(\alpha_0) \\[5px]
&\boxed{s_0 = m \cdot \left(\frac{\pi}{2} +2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0)  \right) } ~~~\text{mit } \alpha_0 = 20° \\[5px]
\end{align}

Um denselben Betrag Δs wie sich die Zahndicke vergrößert, verkleinert sich die die Zahnlücke e₀ entsprechend:

\begin{align}
&\boxed{e_0 = m \cdot \left(\frac{\pi}{2} – 2 \cdot x \cdot \tan(\alpha_0)  \right) } \\[5px]
\end{align}

Kürzung des Kopfkreises

Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass sich bei einer (positiven) Profilverschiebung die Zahndicke auf dem Teilkreis vergrößert und sich somit die Zahnstabilität erhöht. Gleichzeitig verringert sich jedoch die Zahnkopfdicke s_k auf dem Kopfkreis.

Bei zu geringer Zahnkopfdicke droht jedoch die Gefahr des Ausbrechens des Zahnkopfes. Um dies zu verhindern, muss dann der dann Kopfkreisdurchmesser gekürzt werden, sodass eine gewisse Zahnkopfdicke und damit Zahnstabilität erhalten bleibt. Das Kürzen des Kopfkreisdurchmessers sollte dabei so erfolgen, dass als Zahnkopfdicke mindestens das 0,2-fache des Moduls vorhanden ist (eine solche Kopfkreiskürzung ist in Gleichung (\ref{a}) noch nicht berücksichtigt!) Beachte, dass sich bei einer Kopfkreiskürzung die Eingriffsstrecke entsprechend verringert! Die detaillierten Berechnungen zur Bestimmung der Eingriffsstrecke sind im Artikel „Berechnung von Zahnräder“ erläutert.

Als Zahnkopfdicke sollte mindestens 20 % des Moduls vorhanden sein. Um dies zu erreichen, kann bei einer Profilverschiebung eine Kopfkreiskürzung erforderlich werden! Hierdurch verringert sich die Eingriffsstrecke!

Die untere Animation zeigt die Profilverschiebung eines 6-zahnigen Zahnrades zur Vermeidung eines Unterschnitts. In diesem Fall verringert sich die Zahnkopfdicke sogar so stark, dass die Evolventen spitz zulaufen, bevor der verschobene Kopfkreisdurchmesser erreicht wird. Die Vergrößerung des Kopfkreisradius um den Betrag der Profilverschiebung kann in diesem Fall also nicht aufrecht erhalten werden – der Kopfkreisdurchmesser wird unweigerlich gekürzt.

Zusätzlich müsste der Kopfkreis zur Zahnkopfstabilisierung auf mindestens 20% des Moduls nochmals gekürzt werden. Mit einer so starken Kürzung des Kopfkreises ist dann jedoch auch eine entsprechend große Verringerung der Eingriffsstrecke verbunden. Evolventenzahnräder mit Zähnezahlen unter 7 sollten deshalb grundsätzlich vermieden werden.

Evolventenzahnräder mit weniger als 7 Zähnen sollten aufgrund der zu starken Kopfkreiskürzung vermieden werden!

Achsabstand und Eingriffwinkel

Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass bei korrigierten Zahnrädern (dargestellt in grün in der unteren Abbildung) ein verlängerter Teil der Evolvente  im Vergleich zu einem nicht korrigierten Zahnrad (dargestellt in rot) als Zahnflanke genutzt wird. Im Eingriff mit einem anderen Zahnrad wird also auch dieser weiter gekrümmte Teil der Evolvente für die Kraftübertragung genutzt. Deshalb ergibt sich nun ein Spiel zwischen den Zahnradflanken, wenn der Achsabstand a um den Wert der (positiven) Profilverschiebung V=x⋅m vergrößert wird. Die Rückflanke krümmt sich sozusagen bereits weg, bevor diese die gegenüberliegende Flanke des anderen Zahnrades berührt.

Für eine spielfreie Führung müssen die Zahnräder deshalb wieder etwas zusammengeschoben werden. Der Achsabstand verringert sich hierdurch zwar wieder leicht, er bleibt jedoch immer noch größer im Vergleich zum Nullrad. Gleichzeitig verringert sich durch dieses Zusammenschieben jedoch das Kopfspiel am Zahngrund (siehe Abbildung unten). Dies kann eine Kopfkreiskürzung erforderlich machen, um noch weiterhin ein gewisses Zahnkopfspiel c zu erhalten.

Der Achsabstand ist also bei spielfreier Paarung und positiver Profilverschiebung (auch V-Plus-Zahnrad genannt) größer und bei negativer Profilverschiebung (auch V-Minus-Zahnrad genannt) kleiner als beim Nullrad ohne Profilverschiebung. Somit kann durch eine gezielte Profilverschiebung der Achsabstand entsprechend verändert und angepasst werden. Auch aus diesem Grund wird eine Profilverschiebung häufig angewandt.

Profilverschiebungen werden häufig zur Anpassung des Achsabstandes angewendet!

Neben den bereits erwähnten Auswirkungen ergibt sich durch eine Profilverschiebung auch eine Änderung im Betriebseingriffswinkel α. Dies zeigt der Vergleich der Eingriffsverhältnisse eines Nullrades (grün) und eines V-Plus-Rades (blau) in der unteren Animation zeigt. Der Betriebseingriffswinkel α ist nicht zu verwechseln mit dem Normaleingriffswinkel α₀ durch welchen letztlich der Flankenwinkel des zahnstangenförmigen Herstellungswerkzeuges bestimmt ist und sich auch bei einer Profilverschiebung natürlich nicht ändert!

Die detaillierten Berechnungen zur Bestimmung des Betriebseingriffswinkels und des Achsabstandes sind im Artikel Berechnung von Zahnräder erläutert.

Berechnung der Profilverschiebung zur Vermeidung von Unterschnitt

Im Artikel Unterschnitt wurde gezeigt, dass es bei Unterschreiten einer Mindestzähnezahl von z_min=17 zu einem Unterschnitt kommt, der den Zahn untergräbt und diesen somit schwächt. Eine Profilverschiebung liefert hierfür nun die Möglichkeit einen solchen Unterschnitt vollständig zu kompensieren. Dabei stellt sich nun die Frage wie der Profilverschiebungsfaktor zur Vermeidung eines Unterschnitts bei gegebener Zähnezahl z<z_min gewählt werden muss.

Wie ebenfalls im Kapitel Unterschnitt ausführlich erläutert, muss für die Vermeidung eines Unterschnitts der Schnittpunkt B zwischen Grundkreis und Eingriffslinie außerhalb der Eingriffsstrecke AE liegen. Im Grenzfall bei dem ein Unterschnitt gerade noch vermieden wird, fällt der Beginn des Unterschneidens mit dem Ende der Eingriffsstrecke zusammen und das Bezugsprofil („Werkzeugprofil“) tritt aus dem Zahnrad aus bevor dieses den Zahn unterschneidet. Siehe hierzu die untere Animation.

Wie die obere Animation zeigt, wird die Verschiebung des Tangentenpunktes B auf das Ende der Eingriffsstrecke im Punkt E durch eine positive Profilverschiebung erreicht. Beachte, dass sich das Eingriffsende durch den Schnittpunkt zwischen Eingriffslinie und Kopflinie des Bezugsprofils ergibt und somit durch eine Profilverschiebung beeinflusst werden kann, während sich die Eingriffslinie bei einer Profilverschiebung grundsätzlich nicht ändert! In der unteren Animation sind die Eingriffsverhältnisse für die unterschiedlichen Profilverschiebungen nochmals gemeinsam gezeigt.

Im Grenzfall fällt der Punkt B also gerade mit dem Eingriffsende E zusammen (grünes Zahnrad). Aus den sich nun ergebenden geometrischen Verhältnissen, kann bei gegebenem Normaleingriffswinkel α₀ der entsprechende Profilverschiebungsfaktor x ermittelt werden.

Wird nach der Profilverschiebung das sich bildende orangefarbene Dreieck betrachtet, so zeigt sich, dass die Gegenkathete bezüglich des Eingriffwinkels α₀ der Differenz aus dem Modul m und der Profilverschiebung V=x⋅m entspricht. Folglich gilt für die Strecke CE zwischen Wälzpunkt C und Eingriffsende E folgende Beziehung:

\begin{align}
&\sin(\alpha_0) = \frac{m-V}{\overline{CE}}= \frac{m-m \cdot x}{\overline{CE}} = \frac{m\cdot (1-x)}{\overline{CE}} \\[5px]
\label{1}
&\underline{\overline{CE} = \frac{m \cdot (1-x)}{\sin(\alpha_0)}} \\[5px]
\end{align}

Die Strecke CE kann auch aus dem Teilkreisradius r₀ bzw. dem Teilkreisdurchmesser d₀ ermittelt werden (blaues Dreieck). Der Teilkreisdurchmesser ergibt sich dabei aus der Multiplikation des Moduls m mit der Zähnezahl z:

\begin{align}
&\overline{CE} = r_0 \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{d_0}{2} \cdot \sin(\alpha_0) = \frac{m \cdot z }{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
\label{2}
&\underline{\overline{CE} = \frac{m \cdot z}{2} \cdot \sin(\alpha_0)} \\[5px]
\end{align}

Die beiden Gleichungen (\ref{1}) und (\ref{2}) können nun gleichgesetzt und nach dem gesuchten Profilverschiebungsfaktor x aufgelöst werden:

\begin{align}
&\overline{CE} = \overline{CE}  \\[5px]
&\frac{m \cdot (1-x)}{\sin(\alpha_0)} = \frac{m \cdot z}{2} \cdot \sin(\alpha_0) \\[5px]
&\underline{x = 1-z \cdot \frac{\sin^2(\alpha_0)}{2}  } \\[5px]
\end{align}

Ferner kann ausgenutzt werden, dass der Faktor sin²(α₀)/2 in der Gleichung gerade dem Kehrwert der Mindestzähnezahl z_min entspricht, ab der ohne Profilverschiebung ein Unterschnitt auftreten würde (Herleitung der Formel siehe Artikel Unterschnitt). Für eine Normverzahnung mit α₀=20° beträgt diese Grenzzähnezahl in der Theorie z_min=17. Damit kann der benötigte Profilverschiebungsfaktor x zur Vermeidung eines Unterschnitts wie folgt ermittelt werden.

\begin{align}
&\boxed{x = 1-\frac{z}{z_{min}} } ~~~ \text{mit } z_{min}=17 \\[5px]
\end{align}

Für ein Normzahnrad mit einer Zähnezahl von bspw. z = 8 Zähnen beträgt dieser Profilverschiebungsfaktor x=0,53. In der Praxis kann häufig ein leichter Unterschnitt ohne größere negative Auswirkungen in Kauf genommen werden, sodass in diesen Fällen mit einer Grenzzähnezahl von z_min=14 gerechnet wird.

Beachte, dass für eine Zähnezahl, die größer als die Grenzzähnezahl ist (z>z_min), der Profilverschiebungsfaktor negativ wird. Dies bedeutet, dass theoretisch eine negative Profilverschiebung vorgenommen werden kann, ohne dass es dabei zu einem Unterschnitt kommt.

Zusammenfassung

Zusammenfassend kann also festgehalten werden, dass eine Profilverschiebung immer dann angewandt wird, wenn

• ein Unterschnitt vermieden werden soll,
• die Zahnstabilität erhöht werden muss,
• die Flächenpressung an den Flanken geändert werden soll, oder
• der Achsabstand gezielt beeinflusst werden muss.

Eine positive Profilverschiebung führt bei Außenverzahnungen dabei zur

• Vergrößerung des Fußkreises,
• Vergrößerung des Kopfkreises,
• Verbreiterung des Zahnfußes (erhöhte Stabilität) und damit
• Verringerung des Unterschnittes,
• Verschmälerung des Zahnkopfes (evtl. Kopfkreiskürzung nötig),
• Vergrößerung der Zahndicke auf dem Teilkreis und
• Verringerung der Zahnlücke auf dem Teilkreis,
• Verringerung der Flächenpressung an den Flanken (erhöhte Flankentragfähigkeit) und
• Vergrößerung des Achsabstandes bei Paarung mit einem Nullrad.

Sowohl der Grundkreis- als auch der Teilkreisdurchmesser ändern sich bei einer Profilverschiebung nicht. Bei einer negativen Profilverschiebung sind die oben aufgeführten Auswirkungen gerade gegenteilig. Aufgrund der vielen positiven Eigenschaften ist eine Profilverschiebung bei der Herstellung von Evolventenzahnräder grundsätzlich zu empfehlen.

Einleitung

Im Maschinenbau wird fast ausschließlich die Evolvente als Zahnform für Zahnräder genutzt. Man spricht dann von einer sogenannten Evolventenverzahnung. Der Einsatz einer Evolventenverzahnung ist zum einen auf die günstigen Eingriffsverhältnisse zurückzuführen. Zum anderen ist die Evolventenverzahnung aufgrund der relativ einfachen Werkzeuggeometrie kostengünstig herzustellen.

Konstruktion einer Evolvente

Im Falle der Evolventenverzahnung setzt sich die Form der Zähne aus zwei Kreisevolventen zusammen (kurz Evolvente genannt). Eine Kreisevolvente wird durch Abrollen einer sogenannten Rollgeraden auf einem Grundkreis konstruiert. Die dabei entstehende Bahnkurve beschreibt die Form der Evolvente. Zwei spiegelverkehrte Evolventen bilden dann die Grundform eines Zahnes.

Man kann die Evolvente auch durch Abrollen einer Schnur von einem Kreis konstruieren. Die Schnur wird beim Abwickel dabei stets straff gehalten. Das Ende der Schnur beschreibt dann ebenfalls die Form der Kreisevolvente.

Eine Evolvente wird durch Abrollen einer Rollgeraden auf einem Grundkreis konstruiert bzw. durch Abwickeln eines stets straff gehaltenen Fadens vom Grundkreis!

Je länger die Evolvente, desto größer ist deren Krümmungsradius, d.h. desto weniger stark ist die Evolvente gekrümmt. Aus der Konstruktion der Evolvente wird deutlich, dass die Krümmungsradius gerade der Bogenlänge auf dem Grundkreis entspricht.

Je länger die Evolvente wird, desto geringer wird deren Krümmung!

Die Flankenform kann aber nicht nur durch eine Änderung des Grundkreisdurchmesser beeinflusst werden. Durch eine sogenannte Profilverschiebung wird bei Zahnrädern erreicht, dass sich die Zahnflanken aus dem weiter außen liegenden Teil der Evolvente zusammensetzen, während der Grundkreisdurchmesser derselbe bleibt. Die Zahnflanke ist somit weniger stark gekrümmt und damit „flacher“. Im Kontakt mit einem anderen Zahnrad können sich die Anpresskräfte somit besser verteilen. Dies reduziert die Zahnbelastung und damit den Zahnverschleiß.

Profilverschobene Zahnräder nutzen den weniger stark gekrümmten Teil der Evolvente zur Kraftübertragung!

Nomenklatur

Damit es im Eingriff nicht zur Berührung zwischen Zahnkopf und Zahnfuß zweier Zahnräder kommt, wird der Zahngrund ausgerundet. Der sich hierdurch am Zahnfuß ergebende Durchmesser wird Fußkreisdurchmesser genannt. Analog zum Fußkreisdurchmesser, lässt sich dem Kopf des Zahnrad ein Kopfkreisdurchmesser zuordnen.

Innerhalb des Grundkreises findet keine Berührung und damit keine Kraftübertragung zwischen den Zahnflanken zweier in Kontakt stehender Zahnräder statt! Mehr hierzu im Artikel Eingriff.

Innerhalb des Grundkreis findet keine Berührung der Zahnflanken statt (keine Kraftübertragung)!

Die Größe eines Zahnrades wird durch den sogenannten Teilkreisdurchmesser beschrieben. Stark vereinfacht, entspricht dieser Durchmesser den Durchmessern von gedachten Zylindern die aufeinander abwälzen. Auf diesen Durchmesser wird die Zahnteilung bezogen und als Umfangsteilung bezeichnet. Die Umfangsteilung bezeichnet den Abstand zweier gleichgerichteter Flanken auf dem Teilkreis. Diese Umfangsteilung muss für alle Zahnräder identisch sein, damit die Zähne ohne Überschneidung ineinander greifen können.

Die Teilung der Zähne kann grundsätzlich auch auf den Grundkreis bezogen werden. In diesem Fall wird die Teilung dann als Grundkreisteilung oder auch als Eingriffsteilung bezeichnet. Nähere Informationen hierzu finden sich in einem späteren Abschnitt wieder.

Die Zahngröße: der Modul

Um Zahnräder zu charakterisieren und vor allem sicherzustellen, dass die Zähne zweier Zahnräder ineinander greifen können, nutzt man als einer der wichtigsten Kenngrößen den sogenannten Modul m. Der Modul ist ein Maß für die Zahngröße eins Zahnrades und wird in Millimeter angegeben, wobei gewöhnlich die Einheit weggelassen wird. Nur wenn die Zähne von Zahnrädern gleich groß sind und damit denselben Modul aufweisen, können sie miteinander gepaart werden!

Der Modul entspricht direkt der Zähnkopfhöhe h_k des Zahnes. Ebenso ergibt sich die Zahnfußhöhe h_f anhand des Moduls, wobei dabei noch zusätzlich das Zahnkopfspiel c berücksichtigt wird. Das Zahnkopfspiel entspricht dem Betrag, um den der Zahnfuß zusätzlich vertieft wird, damit es aufgrund von Fertigungsungenauigkeiten nicht zu einer Berührung zwischen dem Zahnkopf des einen Zahnrades mit dem Zahngrund des anderen Zahnrades kommt. Das Zahnkopfspiel beträgt je nach Anwendungsfall typischerweise 10% bis 30% des Moduls (häufig 0,167⋅m). Die gesamte Zahnhöhe h ergibt sich somit aus dem zweifachen Wert des Moduls, plus das Zahnkopfspiel c.

\begin{align}
&\boxed{h_k = m} ~~~\text{Zahnkopfhöhe} \\[5px]
&\boxed{h_f = m + c} ~~~\text{Zahnfußhöhe} \\[5px]
&\boxed{c = 0,167 \cdot m} ~~~\text{Zahnkopfspiel} \\[5px]
&\boxed{h = h_k + h_f = 2 \cdot m + c} ~~~\text{Zahnhöhe} \\[5px]
\end{align}

Der Modul ist ein Maß für die Zahngröße: Je größer der Modul, desto größer der Zahn! Nur Zahnräder mit gleichem Modul können miteinander gepaart werden!

Die untere Abbildung zeigt drei gleich große Zahnräder (d.h. identische Teilkreise), die jedoch mit unterschiedlichen Moduln gefertigt wurden. Im nächsten Abschnitt wird auf den Begriff Teilkreis näher eingegangen.

Die Zahnradgröße: der Teilkreisdurchmesser

Wird vom Zahnkopfspiel einmal abgesehen, dann wird der Zahn vom Teilkreisdurchmesser sozusagen auf halber Höhe „geteilt“. Der Teilkreisdurchmesser d₀ ergibt sich aus dem Produkt von Modul m und Zähnezahl z und ist ein Maß für die Größe des Zahnrades:

\begin{align}
&\boxed{d_0 = m \cdot z} ~~~\text{Teilkreisdurchmesser} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass der Teilkreisdurchmesser im Gegensatz zum sogenannten Wälzkreisdurchmesser damit eine fest definierte Größe eines Zahnrades ist, die sich lediglich durch das Produkt von Modul und Zähnezahl bestimmt.

Der Teilkreisdurchmesser dient lediglich als Referenzkreis für die Angabe der Umfangsteilung p₀, d.h. dem Zahnabstand, welcher für alle Zahnräder identisch sein muss, wenn diese ineinander greifen sollen. Dieser Zahnabstand p₀ kann letztlich aus dem Quotienten von Teilkreisumfang u₀=π⋅d₀ und Zähnezahl bestimmt werden:

\begin{align}
&p_0 = \frac{u_0}{z} = \frac{\pi \cdot d_0}{z} = \frac{\pi \cdot m \cdot z}{z} = m \cdot \pi \\[5px]
&\boxed{p_0 = m \cdot \pi} ~~~\text{Umfangsteilung} \\[5px]
\end{align}

An dieser Stelle wird nochmals deutlich, dass nur Zahnräder mit identischem Modul miteinander gepaart werden können, da offensichtlich nur dann die Zahnabstände p₀ für alle Zahnräder identisch sind und die Zähne entsprechend ineinander greifen können.

Der Teilkreisdurchmesser beschreibt die Größe eines Zahnrades. Auf diesen Durchmesser wird die Umfangsteilung der Zähne bezogen. Alle Zahnräder die miteinander gepaart werden sollen, müssen identische Umfangsteilungen auf ihren Teilkreisen und damit identische Moduln aufweisen!

Mithilfe des Teilkreisdurchmesser d₀ lassen sich nun auch Kopfkreisdurchmesser d_k und Fußkreisdurchmesser d_f bestimmen:

\begin{align}
&d_k =d_0 + 2 \cdot h_k = m \cdot z + 2 \cdot m   \\[5px]
&\boxed{d_k =m \cdot (z+2)}  ~~~\text{Kopfkreisdurchmesser} \\[5px]
&d_f = d_0 – 2 \cdot h_f = m \cdot z – 2 \cdot (m+c)   \\[5px]
&\boxed{d_f = m \cdot (z-2) – 2 \cdot c}  ~~~\text{Fußkreisdurchmesser} \\[5px]
\end{align}

Für nicht-profilverschobene Zahnräder sind die Zahndicke s₀ und die Zahnlücke e₀ auf dem Teilkreis gleich groß und entsprechen somit der halben Umfangsteilung p₀. Zwei Zahnräder können somit ohne Flankenspiel miteinander gepaart werden. Damit tritt kein „Klappern“ während der Änderung des Drehsinns auf.

\begin{align}
&\boxed{s_0 = e_0 = \frac{p_0}{2} = \frac{m}{2} \cdot \pi} ~~~\text{Zahndicke, Zahnlücke} \\[5px]
\end{align}

Der Achsabstand zweier nicht-profilverschobener Zahnräder wird bei der spielfreien Paarung auch als Null-Achsabstand a₀ oder Normachsabstand bezeichnet. Der Null-Achsabstand ergibt sich aus der Summe der beiden Teilkreisradien bzw. aus der Hälfte der Durchmessersumme:

\begin{align}
&\boxed{a_0 = \frac{d_{0,1}+ d_{0,2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot (z_1+z_2)} ~~~\text{Null-Achsabstand} \\[5px]
\end{align}

Die Zahnform: der Eingriffswinkel

Sollen die Zähne von Zahnrädern optimal ineinander greifen, dann müssen nicht nur die Zahngrößen übereinstimmen (beschrieben durch den Modul), sondern auch Zahnflankenform müssen zueinander passen. Diese Flankenform wird durch den sogenannten Normaleingriffswinkel beschrieben. Auf diese Größe wird in diesem Abschnitt näher eingegangen.

Zunächst ist festzuhalten, dass die Form einer Evolvente und damit die Zahnflankenform lediglich vom Grundkreisdurchmesser abhängig ist. Zu jedem Grundkreis gehört somit immer eine bestimmte Evolvente. Alle Evolventen sind dabei grundsätzlich geometrisch ähnlich, d.h. sie lassen sich durch „skalieren“ (vergrößern oder verkleinern) auf dieselbe Form bringen.

Die Flankenform eines Zahnrades wird durch den Grundkreisdurchmesser bestimmt, wobei alle Evolventen von beliebigen Grundkreisen geometrisch ähnlich zueinander sind!

Werden für eine bestimmte Zahnradgröße (d.h. für identische Teilkreisdurchmesser) größere Grundkreisdurchmesser zur Konstruktion der Zahnflanken genutzt, dann sehen die Zähne eher „stumpf“ aus. Bei kleineren Grundkreisdurchmessern gestalten sich die Zähne hingegen eher „spitz“. Die untere Abbildung zeigt hierzu die Zahnformen verschiedener Grundkreisdurchmesser bei jeweils identischen Teilkreisen. Die Zahngröße, d.h. der Modul, wurde für alle Zahnräder gleich gewählt!

Grundsätzlich können zwei Zahnräder nur dann optimal ineinander greifen, wenn diese dieselbe Zahnform aufweisen. Dies ist nur dann gegeben, wenn für alle Zahnräder das Verhältnis von Grundkreisdurchmesser zu Teilkreisdurchmesser identisch ist. Bei einer Vergrößerung der Zähnezahl und damit des Teilkreisdurchmessers muss der Grundkreisdurchmesser somit im selben Maße steigen, damit die Zahnform identisch bleibt (dies entspricht dem bereits oben erwähnten „Skalieren“ der Evolventen).

Neben dem Modul muss man deshalb eine weitere Kenngröße festlegen, die das Verhältnis von Grundkreisdurchmesser zu Teilkreisdurchmesser und damit die Zahnform beschreibt. Der Zusammenhang zwischen Grundkreis und Teilkreis zeigt sich, wenn man zwei nicht-profilverschobene Zahnräder ohne Flankenspiel miteinander paart. Der Achsabstand entspricht in diesem Fall dem Null-Achsabstand a₀ und die Teilkreise beider Zahnräder berühren sich gerade im sogenannten Wälzpunkt C.

Legt man nun eine Tangente an die beiden Grundkreise der Zahnräder an, dann schließt diese sogenannte Eingriffslinie einen bestimmten Winkel mit der Normalen der Mittellinie ein. Dieser Winkel wird Normaleingriffswinkel α₀ genannt. Wie die gelb bzw. blau markierten Dreiecke in der oberen Abbildung zeigen, stehen die Grundkreisradien r_b und die Teilkreisradien r₀ über diesen Normaleingriffswinkel α₀ in Zusammenhang:

\begin{align}
&\cos(\alpha_0) = \frac{r_b}{r_0}  \\[5px]
&\boxed{\cos(\alpha_0) = \frac{d_b}{d_0}} ~~~\alpha_0 \text{ : Normaleingriffswinkel} \\[5px]
\end{align}

In der Praxis legt man nun das Durchmesserverhältnis von Grundkreis und Teilkreis und damit die Flankenform über diesen Normaleingriffswinkel fest. Unabhängig des Moduls verwendet man für alle Zahnräder in der Regel einen Normaleingriffswinkel von α₀ = 20° festgelegt. Es gibt aber auch Zahnräder mit Normaleingriffswinkeln von 14,5° oder 25°.

In der Abbildung „Zahnflankenform für verschiedene Grundkreisdurchmesser“ wurde für das linke Zahnrad zum Beispiel ein Normaleingriffswinkel von 8° gewählt und für das mittlere Zahnrad ein Winkel von 20°, sowie für das rechte Zahnrad ein Normaleingriffswinkel von 32°.

Dass der Normaleingriffswinkel direkt die Flankenform eines Zahnrades bestimmt wird auch aus fertigungstechnischen Gründen sofort offensichtlich. In der Regel werden Zahnräder nämlich durch Wälzfräsen hergestellt. In diesem Fall bestimmt sich die Flankenform des Zahnrades durch die Neigung der Schneiden des zahnstangenförmigen Werkzeugprofils. Dieser Werkzeugwinkel entspricht direkt dem Normaleingriffswinkel α₀!

Merke:
– der Modul ist ein Maß für die Zahngröße!
– der Teilkreisdurchmesser ist ein Maß für die Zahnradgröße!
– der Eingriffswinkel ist ein Maß für die Zahnflankenform!

Eingriffsteilung

Aufgrund der besonderen Konstruktion von Evolventen, sind alle Evolventen eines Zahnrades äquidistant zueinander, d.h. die rechtwinkligen Abstände zweier benachbarter Evolventen sind in allen Punkten identisch. Dieser rechtwinklige Abstand entspricht auch dem Bogenabschnitt auf dem Grundkreis, da die Evolventen ja durch ein gleitfreies Abrollen einer Rollgeraden auf dem Grundkreis konstruiert werden. Dieser Abstand der evolventenförmigen Zahnflanken auf dem Grundkreis wird deshalb auch als Grundkreisteilung p_b bezeichnet.

Die Grundkreisteilung auf dem Grundkreis ist grundsätzlich nicht zu verwechseln mit der Umfangsteilung p₀ auf dem Teilkreis. Beide sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Denn so wie Grundkreisdurchmesser und Teilkreisdurchmesser über den Normaleingriffswinkel α₀ im Verhältnis stehen (siehe Abschnitt zuvor), gilt dasselbe Verhältnis auch für die entsprechenden Zahnteilungen auf dem Grundkreis bzw. Teilkreis:

\begin{align}
&\boxed{\cos(\alpha_0) = \frac{p_b}{p_0}} \\[5px]
\end{align}

Der rechtwinklige Abstand zweier Evolventen entspricht zudem auch dem Abstand zweier sich berührender Zahnflanken während des Eingriffs mit einem Gegenrad. Aus diesem Grund wird die Grundkreisteilung auch Eingriffsteilung genannt.

Die Eingriffsteilung entspricht dem Abstand zweier in Kontakt stehender Zahnflanken und ergibt sich aus dem rechtwinkligen Abstand zweier benachbarter Evolventen!

Mehr Informationen zu den Besonderheiten beim Eingriff zweier Evolventenzahnräder finden sich im Artikel Eingriff von Evolventenzahnräder.