Kochen auf dem Mount Everest

Mit zunehmender Höhe über dem Meeresspiegel nimmt der Luftdruck mehr und mehr ab (siehe hierzu auch den Artikel barometrische Höhenformel). Dabei zeigt sich das Phänomen, dass Wasser bereits bei deutlich geringeren Temperaturen als man es in geringeren Höhen gewohnt ist zu kochen beginnt. Auf Meereshöhe bei einem Druck von 1,013 bar beginnt Wasser bei einer Temperatur von 100 °C zu kochen.

Auf dem Mount Everest in einer Höhe von 8849 m herrscht allerdings nur ein Luftdruck von rund 0,325 bar. Aufgrund dieses deutlich verminderten Drucks beginnt das Wasser bereits bei einer Temperatur von rund 71 °C zu kochen. Da die Temperatur während des Koches jedoch nicht weiter ansteigt, dauert das Zubereiten von Speisen wie Kartoffeln oder Pasta somit deutlich länger (siehe hierzu auch den Artikel Warum bleibt die Temperatur bei einer Änderung des Aggregatzustandes konstant?).

Erklärung mit dem Teilchenmodell

Dass der Siedepunkt vom äußeren Umgebungsdruck abhängig ist, gilt nicht nur für Wasser, sondern letztlich für alle Flüssigkeiten. Insbesondere gilt auch dabei, dass sich bei vermindertem Druck eine Abnahme des Siedepunktes zeigt. Dieses Phänomen kann qualitativ mit dem Teilchenmodell erklärt werden.

Beim Sieden (ugs. auch als kochen bezeichnet) verdampft die Flüssigkeit und wird gasförmig. Bei diesem Verdampfungsvorgang wird den Molekülen so viel Energie zugeführt, dass diese den molekularen Bindungskräften der Flüssigkeit entkommen können und in die Gasphase übergehen. Bei einem umgebenden Luftdruck von 1 bar vollzieht sich dieser Verdampfungsvorgang im Falle von Wasser bei einer Temperatur 100 °C.

Wird nun aber der äußere Luftdruck erhöht, so prallen die Luftteilchen verstärkt auf die Flüssigkeitsoberfläche. Dabei drücken die Luftteilchen die Flüssigkeitsmoleküle sozusagen verstärkt wieder zurück in Flüssigkeit. Für die Moleküle in der Flüssigkeit wird es somit schwerer in die Gasphase überzugehen. Die Wasserteilchen benötigen folglich eine größere Energie und damit eine höhere Temperatur, um der flüssigen Phase entkommen zu können. Aus diesem Grund wird bei erhöhtem umgebendem Luftdruck eine höhere Siedetemperatur benötigt, um eine Flüssigkeit zu verdampfen bzw. sie zum Kochen zu bringen.

Die Siedetemperatur einer Flüssigkeit steigt mit zunehmendem äußeren Umgebungsdruck!

Erhöhung der Siedetemperatur bei erhöhtem Druck (Schnellkochtopf)

Unter hohem Druck siedet auch Wasser folglich erst bei höheren Temperaturen. Dies wird zum Beispiel in sogenannten Schnellkochtöpfen genutzt, um das Wasser auf über 100 °C zu erhitzen. Ein Schnellkochtopf schließt den Topf mit Wasser gasdicht ab. Beim Verdampfen dehnt sich Wasser normalerweise um das 1700-fache aus. Da dies bei fest verschlossenem Topf jedoch nicht möglich ist, erhöht sich folglich der Druck. Ein Überdruckventil begrenzt den Druck dabei meist auf maximal 2 bar. Die Siedetemperatur steigt bei diesem erhöhten Druck auf rund 120 °C an. Im Topf zubereitete Speisen werden folglich nicht mehr nur bei 100 °C gekocht, sondern bei 120 °C!

Verringerung der Siedetemperatur bei verringertem Druck

Wenn eine Erhöhung des Umgebungsdruck zu einer Erhöhung der Siedetemperatur führt, dann bedeutet dies im umgekehrten Fall, dass eine Erniedrigung des äußeren Luftdruckes eine Verringerung der Siedetemperatur zur Folge hat. Und genau dies erklärt, weshalb Wasser auf dem Mount Everest aufgrund des niedrigen Drucks bei bereits 71 °C kocht. Speisen zuzubereiten, die in Wasser normalerweise eine Temperatur von 100 °C erfordern, ist also in großen Höhen gar nicht so einfach. An dieser Stelle müsste man zu den bereits erläuterten Schnellkochtöpfen greifen, um einen erhöhten Druck zu erhalten und die Siedetemperatur zu erhöhen.

Mit folgendem Experiment kann man die Abnahme der Siedetemperatur bei geringer werdendem Druck eindrucksvoll demonstrieren. Hierzu wird ein Glas mit Wasser unter einer Vakuumglocke platziert. Im Glas befindet sich ein Thermometer, um die Temperatur zu beobachten. Das Thermometer zeigt zu Beginn eine Temperatur von 20 °C an. Nun schält man die Vakuumpumpe an und verringert so den Druck allmählich. Unterhalb eines Drucks von etwa 0,023 bar beobachtet man dann im Wasser kleine Blasen aufsteigen und das Wasser beginnt zu sprudeln. Es handelt sich dabei um die typische Erscheinung, wenn Wasser kocht, wobei die Temperatur nach wie vor 20 °C beträgt. Und tatsächlich beginnt das Wasser bei einem Druck von 0,023 bar bereits bei 20 °C zu sieden.

Konstante Temperatur beim Verdampfen und Schmelzen

Wird Wasser mit einem Tauchsieder erhitzt, so beobachtet man zunächst einen Temperaturanstieg. Dies ändert sich jedoch, wenn das Wasser zu Sieden beginnt. Während des Verdampfens erhöht sich die Temperatur nicht weiter. Das Thermometer verharrt bei einer Siedetemperatur von 100 °C, und dies obwohl durch den Tauchsieder offensichtlich weiter Wärme zugeführt wird.

Ein Ähnliches Verhalten kann beim Schmelzen von Eis beobachtet werden. Um dies zu demonstrieren, gibt man Eiswürfel aus dem Kühlfach in eine Schüssel und erwärmt diese zum Beispiel mit einer Wärmelampe. Durch die Wärmezufuhr steigt die Temperatur der Eiswürfel wie gewohnt an. Fängt das Eis bei einer Temperatur von 0 °C allerdings an zu Schmelzen, dann erhöht sich die Temperatur des Wasser-Eis-Gemisches nicht weiter. Das Thermometer verharrt bei einer Schmelztemperatur von 0 °C, und dies obwohl durch die Wärmelampe offensichtlich weiter Wärme zugeführt wird. Erst wenn sich alles Eis verflüssigt hat, erhöht sich die Temperatur wieder.

Nicht nur beim Schmelzen oder Verdampfen von Wasser bleiben die Temperaturen konstant, sondern auch in den umgekehrten Fällen, d.h. beim Erstarren bzw. Kondensieren. Offensichtlich zeigt sich dieses Phänomen der konstanten Temperatur im Allgemeinen bei Aggregatzustandsänderungen (auch als Phasenübergang oder Phasenänderung bezeichnet). Dies gilt dabei nicht nur für Wasser, sondern kann bei allen Reinstoffen beobachtet werden.

Es stellt sich die Frage, warum sich die Temperatur trotzt Energiezufuhr bzw. Energieabfuhr bei einer Aggregatzustandsänderung nicht ändert. Und ist dies auch bei Stoffgemischen der Fall?

Ursache der Temperaturerhöhung bei Wärmezufuhr

Wird einem Stoff Energie in Form von Wärme zugeführt, dann für dies dazu, dass sich die darin enthaltenen Teilchen heftiger bewegen. In Festkörper nimmt zum Beispiel durch eine Wärmezufuhr die Schwingung der Atome zur. In Flüssigkeiten und Gasen erhöht sich durch Wärmezufuhr die Bewegungsenergie und somit die Geschwindigkeit der Teilchen. Da die Temperatur eines Stoffes ein Maß für die Bewegungsenergie der darin enthaltenen Teilchen ist, lässt sich auf diese Weise die im Allgemeinen beobachtbare Zunahme der Temperatur bei einer Wärmezufuhr erklären (siehe hierzu auch Artikel Temperatur und Teilchenbewegung).

Da bei Aggregatzustandsänderungen hingegen die Temperatur konstant bleibt, kann die zugeführte Energie offensichtlich nicht mehr der Bewegungsenergie der Teilchen zugutekommen. Am Beispiel eines Verdampfungsvorgangs werden die atomaren Vorgänge im Folgenden exemplarisch näher erläutert.

Atomare Vorgänge beim Verdampfen

Im flüssigen Zustand sind die einzelnen Moleküle durch zwischenmolekulare Kräfte miteinander verbunden (Van-der-Waals-Kräfte). Diese Kräfte sorgen dafür, dass sich die Moleküle in der Flüssigkeit nicht wie bei Gasen frei im gesamten Raum verteilen, sondern eine zusammenhängende Masse bilden. Man kann sich die intermolekularen Bindungskräfte wie Gummibänder vorstellen, die die Moleküle der Flüssigkeit zusammenhalten.

Wird die Flüssigkeit nun erwärmt, so werden die Bindungskräfte durch die stärker werdenden Teilchenbewegungen mehr und mehr gelockert. Im übertragenen Sinne entspräche dies einem Überdehnen der Gummibänder aufgrund der zunehmenden Bewegung (größerer Abstand). Irgendwann wird die Bewegung so stark sein, dass Gummibänder regelrecht ausleiern und damit an Elastizität verlieren. Der Siedepunkt der Flüssigkeit ist in diesem Zustand erreicht und die Moleküle sind kaum noch elastisch miteinander verbunden.

In diesem Siedepunkt sind die Bewegungsenergien einzelner Moleküle größer als die Bindungsenergien zwischen den Molekülen. Die Bewegung der Moleküle ist sozusagen stärker als die Bindung zwischen den Molekülen. Dies entspräche in der Modellvorstellung jenem Punkt, in dem die Teilchen genügend Energie besitzen, um die Gummibänder zu zerreißen, die sie normalerweise zusammenhalten. Jene Moleküle, die sich von den Bindungen losgerissen haben, können sich nun frei bewegen und sind nicht mehr an die Flüssigkeit gebunden – sie sind gasförmig geworden. Die Flüssigkeit geht allmählich in den gasförmigen Zustand über und wird geringer.

Beachte, dass im Allgemeinen auch im gasförmigen Zustand zwischenmolekulare Bindungskräfte wirken, dies sind jedoch im Vergleich zu den Bindungskräften im flüssigen oder festen Zustand deutlich geringer!

Die zugeführte Wärmeenergie während des Verdampfens kommt also deshalb nicht der Erhöhung der Bewegungsenergie und damit der Erhöhung der Temperatur zugute, weil die zugeführte Wärmeenergie für das Losreißen der Moleküle von den intermolekularen Bindungskräften genutzt wird (Änderung der Inneren Energie). Deshalb bleibt die Temperatur während einer Verdampfung solange konstant, bis die Aggregatzustandsänderung vollständig abgeschlossen ist. Erst anschließend kann die Bewegungsenergie bzw. die Temperatur des nun vollständig gasförmigen Stoffes durch weitere Wärmezufuhr weiter erhöht werden.

Während der Änderung des Aggregatzustandes wird die zugeführte Energie nicht zur Erhöhung der Bewegungsenergie der Teilchen genutzt, sondern zur Änderung der Bindungsenergien (Erhöhung der Inneren Energie)!

Die zur vollständigen Verdampfung einer Flüssigkeit notwendige Wärmeenergie wird Verdampfungswärme genannt. Mehr Informationen speziell hierzu finden sich im Artikel Spezifische Verdampfungswärme und Kondensationswärme (latente Wärme).

Atomare Vorgänge beim Kondensieren

Kondensiert ein flüssiger Stoff, so gibt dieser die zuvor aufgenommene Verdampfungswärme wieder als Kondensationswärme ab. Diesen Vorgang kann man sich ebenfalls mit Gummibändern veranschaulichen. Während die Teilchen in der Gasphase relativ frei beweglich sind, werden die Teilchen im flüssigen Zustand von intermolekularen Kräften zusammengehalten. Der Kondensationsvorgang entspricht somit dem Einfangen der Moleküle mithilfe von Gummibändern. Die wild umherfliegenden Moleküle schlagen dabei mit voller Wucht auf das dichtere Netzwerk der bereits eingefangenen Moleküle der Flüssigkeitsphase.

Beim Aufprall wird ein Teil der ursprünglichen Bewegungsenergie auf die Moleküle der Flüssigkeit übertragen. Damit dabei allerdings nicht wieder bereits eingefangene Moleküle herausgeschlagen werden, muss diesen zusätzlich Energie entzogen werden. Dies entspräche im übertragenen Sinne dem Abführen der Kondensationsenergie, damit der kondensierte Stoff auch dauerhaft flüssig bleibt und sich die darin befindlichen Teilchen nicht wieder von der Flüssigkeitsphase losreißen können.

Einerseits findet also ein Energieübertrag während des Aufpralls von den Teilchen der Gasphase auf die Teilchen der Flüssigkeitsphase statt, andererseits wird jedoch Energie in Form von (Kondensations-)Wärme abgeführt, um die Teilchen dauerhaft aneinander binden zu können. Die im Inneren freiwerdende Aufprallenergie wird durch die von außen abgeführte Kondensationswärme schließlich vollständig kompensiert. Obwohl von außen also Kondensationswärme abgeführt wird, kommt es aufgrund der gleichzeitigen inneren Wärmefreisetzung deshalb nicht zu einer Temperaturerniedrigung.

Erst wenn der Kondensationsvorgang vollständig abgeschlossen und alle Teilchen wieder aneinander gebunden sind und somit keine innere Aufprallenergie mehr freigesetzt wird, führt eine äußere Wärmeabfuhr wieder zu einer Temperaturerniedrigung.

Atomare Vorgänge beim Schmelzen und Erstarren

Nicht nur beim Übergang von der flüssigen in die gasförmige Phase (oder umgekehrt) ändern sich die Bindungsenergien zwischen den Molekülen sprunghaft. Auch beim Übergang vom festen in den flüssigen Zustand, tritt eine sprunghafte Änderung der Bindungsenergie auf. Während die Moleküle im festen Zustand aufgrund der hohen Bindungskräfte fest ein einen bestimmten Ort gebunden sind, können sich die Moleküle in der Flüssigkeit aufgrund der nur schwach ausgeprägten Bindungskräfte relativ frei bewegen.

Um die Moleküle während des Schmelzens von den starken Bindungskräften loszureißen ist folglich ebenfalls Energie notwendig. Diese wird durch die Wärmezufuhr beim Schmelzen aufgebracht und führt solange nicht zu einer weiteren Erhöhung der Temperatur, bis alle intermolekularen Bindungen aufgebrochen sind und der Stoff geschmolzen ist. Erst dann steht die zugeführte Wärmeenergie wieder für die Erhöhung der Bewegungsenergie zur Verfügung – die Temperatur der Flüssigkeit steigt.

Die zum vollständigen Schmelzen eines Stoffes notwendige Wärmeenergie wird Schmelzwärme genannt. Mehr Informationen speziell hierzu finden sich im Artikel Spezifische Schmelzwärme und Erstarrungswärme (latente Wärme).

Im umgekehrten Fall, d.h. bei einem Erstarrungsvorgang, muss die zuvor zugeführte Schmelzwärme wieder in Form von Erstarrungswärme abgeführt werden, um den flüssigen Stoff vollständig zu erstarren. Auch dabei bleibt die Temperatur wieder solange konstant, bis die Flüssigkeit vollständig erstarrt ist.

Aggregatzustandsänderungen bei nicht konstantem Druck

Im Artikel Warum kocht Wasser in großen Höhen früher? wurde bereits ausführlich erläutert, dass sich die Siedetemperatur mit dem Umgebungsdruck ändert. Eine solche Druckabhängigkeit gilt nicht nur für das Verdampfen bzw. Kondensieren, sondern für jede Art der Aggregatzustandsänderung, d.h. auch die Schmelztemperaturen bzw. Erstarrungstemperaturen sind druckabhängig. Deshalb bleibt die Temperatur bei Aggregatzustandsänderung auch nur dann konstant, wenn gleichzeitig der Druck konstant bleit.

Würde man zum Beispiel Wasser in einem Schnellkochtopf zum Kochen bringen, dann bleibe die Temperatur beim Sieden nicht mehr konstant. Ein Schnellkochtopf schließt den Topf mit Wasser nämlich gasdicht ab. Im Vergleich zu flüssigem Wasser nimmt gasförmiges Wasser jedoch ein größeres Volumen ein. In einem Schnellkochtopf kann sich das gasförmige Wasser jedoch nicht ausdehnen. Der Druck steigt deshalb mit zunehmender Verdampfung des Wassers kontinuierlich an (ein Überdruckventil begrenzt den Druck in Schnellkochtöpfen meist auf maximal 2 bar). Mit der kontinuierlichen Erhöhung des Drucks steigt auch die Siedetemperatur während der Verdampfung permanent an. Die Temperatur bleibt in diesem Fall folglich nicht konstant.

Bei Aggregatzustandsänderungen von Reinstoffen bleibt die Temperatur nur dann konstant, wenn gleichzeitig der Druck konstant gehalten wird (isobarer Prozess)!

Aggregatzustandsänderungen von Stoffgemischen

Während bei Aggregatzustandsänderungen von Reinstoffen die Temperatur tatsächlich konstant bleibt, findet bei Stoffgemischen meist lediglich eine Verlangsamung der Temperaturänderung statt. In diesem Fall wird nur ein Teil der Wärmeenergie für die Änderung der Bindungsenergien genutzt, während die restliche Wärme gleichzeitig für eine Temperaturänderung sorgt. Es ist also keineswegs so, dass bei allen Stoffen die Temperatur während Phasenübergängen konstant bleibt.

Bei Stoffgemischen bleibt die Temperatur bei Aggregatzustandsänderungen im Allgemeinen nicht mehr konstant, sondern die Temperaturänderung verlangsamt sich dabei lediglich!

Adiabater Mischungsvorgang

Werden zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt miteinander gebracht, so werden sich die Temperaturen zunächst immer mehr angleichen. Schließlich wird sich irgendwann ein thermodynamisches Gleichgewicht einstellen. Die Temperaturen haben sich dann vollständig angeglichen und weisen eine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur auf, die auch als Mischtemperatur oder Endtemperatur bezeichnet wird.

Man kann ein solches Angleichen der Temperaturen zum Beispiel beim Eingießen von heißem Wasser in ein Glas beobachten. Während sich das Glas durch das heiße Wasser erwärmt, kühlt das Wasser an dem relativ kalten Glas ab. Nach einiger Zeit haben sich die unterschiedlichen Ausgangstemperaturen angeglichen und das Glas hat dieselbe Temperatur wie das darin befindliche Wasser. Die Gleichgewichtstemperatur liegt dabei zwischen diesen beiden Ausgangstemperaturen.

Je nachdem wie viel oder wie wenig Wasser in das Glas gegossen wird, wird die sich einstellende Endtemperatur zu höheren oder niedrigeren Werten hin verschoben. Bei einer größeren Wassermenge ist davon auszugehen, dass sich höhere Gleichgewichtstemperaturen ergeben, da mehr heiße Wassermasse vorhanden ist und eine stärkere Erwärmung des kalten Glases hervorruft. Das Angleichen der Temperaturen kann mithilfe des Teilchenmodells erklärt werden. Im Artikel Wärme und thermodynamisches Gleichgewicht wird hierauf detailliert eingegangen.

Im Folgenden soll gezeigt werden, wie die Mischtemperatur ermittelt werden kann, wenn zwei Körper im thermischen Kontakt miteinander sind. Dabei wird davon ausgegangen, dass Wärme nur zwischen den beiden betrachteten Stoffen übertragen wird. Eine Wärmeübertragung auf die Umgebung wird somit vernachlässigt. Man bezeichnet einen solchen thermischen Mischungsvorgang unter Vernachlässigung einer ungewollten Wärmeübertragung auf die Umgebung auch als adiabater Mischungsvorgang (siehe hierzu auch den Begriff des adiabaten Systems im Artikel Thermodynamische Systeme).

Herleitung der Formel zur Berechnung der Endtemperatur

Der grundsätzliche Zusammenhang zwischen übertragener Wärme Q und Temperaturänderung ΔT eines Körpers ergibt sich über die Wärmekapazität C des betrachteten des Gegenstandes

\begin{align}
\label{q}
\boxed{Q = C \cdot \Delta T}~\text{,} \\[5px]
\end{align}

wobei sich die Wärmekapazität C für einen homogenen Gegenstand aus der spezifische Wärmekapazität c des Stoffes und dessen Masse m bestimmen lässt:

\begin{align}
\label{c}
&\boxed{C = c \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Im Folgenden betrachten wir exemplarisch das Beispiel des heißen Wassers in einem kühlen Glas. Wird das heiße Wasser in das kühle Glas gegossen, dann wird Wärme vom heißen Wasser auf das kühle Glas übertragen. Dies führt dazu, dass sich das Glas durch die Wärmeaufnahme erwärmt. Gleichzeitig kühlt das Wasser aufgrund der Wärmeabgabe ab. Jene Wärmeenergie, die das Wasser dabei abgibt (Q_w), entspricht betragsmäßig jener Wärmemenge, die das Glas aufnimmt (Q_g):

\begin{align}
\label{e}
Q_\text{g} = Q_\text{w} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass eine Wärmeübertragung auf die Umgebung ausgeschlossen wurde und aus Gründen der Energieerhaltung somit die abgegebene Wärmeenergie des Wassers vollständig vom Glas aufgenommen werden muss.

Die abgegebene Wärmeenergie Q_w des Wasser lässt die Temperatur des Wassers gemäß Gleichung (\ref{q}) um einen bestimmten Betrag ΔT_w sinken. Bei gegebener Anfangstemperatur T_w lässt sich die abgegebene Wärme wie folgt bestimmen, wenn sich im thermischen Gleichgewicht eine gemeinsame Endtemperatur T_W eingestellt hat:

\begin{align}
Q_\text{w} = C_\text{w} \cdot \underbrace{\left( T_\text{w}-T_\text{E}\right)}_{\Delta T_\text{w}>0} \\[5px]
\end{align}

Auf die analoge Weise lässt sich die aufgenommene Wärme Q_g des Glases anhand der Anfangstemperatur T_g und der gemeinsamen Endtemperatur T_E bestimmen:

\begin{align}
Q_\text{g} = C_\text{g} \cdot \underbrace{\left( T_\text{E}-T_\text{g}\right)}_{\Delta T_\text{g}>0} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Anfangstemperatur des Wassers größer ist als die sich einstellende Endtemperatur, während die Anfangstemperatur des Glases kleiner ist als die Endtemperatur (T_w>T_E>T_g). Die Temperaturdifferenzen in den beiden oberen Gleichungen wurden deshalb so gewählt, dass sich jeweils positive Werte für die Wärmemengen ergeben. Auf diese Weise können die Wärmemengen gemäß Gleichung (\ref{e}) nun gleichgesetzt werden und nach der gesuchten Mischtemperatur aufgelöst werden:

\begin{align}
Q_\text{g} &= Q_\text{w} \\[5px]
C_\text{g} \cdot (T_\text{E} – T_\text{g})&= C_\text{w} \cdot (T_\text{w} – T_\text{E})  \\[5px]
C_\text{g} \cdot T_\text{E} – C_\text{g} \cdot T_\text{g} &= C_\text{w} \cdot T_\text{w} – C_\text{w} \cdot T_\text{E}\\[5px]
C_\text{g} \cdot T_\text{E} +C_\text{w} \cdot T_\text{E}  &= C_\text{w} \cdot T_\text{w} + C_\text{g} \cdot T_\text{g} \\[5px]
T_\text{E} \cdot (C_\text{w} +C_\text{g})   &= C_\text{w} \cdot T_\text{w} + C_\text{g} \cdot T_\text{g} \\[5px]
T_\text{E}  &= \frac{C_\text{w} \cdot T_\text{w} + C_\text{g} \cdot T_\text{g}}{C_\text{w} +C_\text{g}} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{tm}
\boxed{T_\text{E}  = \frac{C_\text{w} \cdot T_\text{w} + C_\text{g} \cdot T_\text{g}}{C_\text{w} +C_\text{g}}} \\[5px]
\end{align}

Mit Gleichung (\ref{c}) kann die Endtemperatur für homogene Stoffe auch durch die spezifischen Wärmekapazitäten c und die Massen m der beteiligten Stoffe ermittelt werden:

\begin{align}
\boxed{T_\text{E}  = \frac{c_\text{w} \cdot m_\text{w} \cdot T_\text{w} + c_\text{g} \cdot m_\text{g} \cdot T_\text{g}}{c_\text{w} \cdot m_\text{w} + c_\text{g} \cdot m_\text{g}}} \\[5px]
\end{align}

Zahlenbeispiel

Im Folgenden soll die Endtemperatur anhand konkreter Werte ermittelt werden. Wir gehen von einem Glas mit einer Masse von m_g = 100 g aus. Die spezifische Wärmekapazität von Glas kann mit c_g = 0,72 kJ/(kg⋅K) angenommen werden. Die Anfangstemperatur des Glases beträgt Raumtemperatur mit T_g = 293 K (20 °C). In das Glas werden nun 200 ml Wasser mit einer Masse von dementsprechend m_w = 200 g eingegossen. Die Anfangstemperatur des Wassers betrage dabei T_w = 333 K (60 °C). Die spezifische Wärmekapazität von Wasser kann mit c_w = 4,2 kJ/(kg⋅K) angenommen werden.

Tatsächlich mach es an dieser Stelle keinen Unterschied, ob die Temperaturen in der Einheit Grad Celsius oder in der Einheit Kelvin in die obere Formel für die Endtemperatur eingesetzt werden. Beides ist möglich. Bei Einsetzen der Temperaturen in der Einheit Grad Celsius, erhält man die Endtemperatur ebenfalls in der Einheit Grad Celsius. Werden die Temperaturen hingegen in der Einheit Kelvin eingesetzt, so erhält man die Endtemperatur ebenfalls in der Einheit Kelvin.

An dieser Stelle setzen wir die Temperaturen in der Einheit Grad Celsius ein und erhalten auf dies Weise eine Endtemperatur von T_E = 56,8 °C:

\begin{align}
\underline{T_\text{E}}  = \frac{4,2 \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \cdot 100 \text{ g} \cdot 60 \text{ °C} + 0,72 \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \cdot 200 \text{ g} \cdot 20 \text{ °C}}{4,2 \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \cdot 200 \text{ g} + 0,72 \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \cdot 100 \text{ g}} = \underline{56,8 \text{ °C}}\\[5px]
\end{align}

Das Wasser kühlt beim Eingießen offensichtlich nur um 3,2 °C ab, während sich das Glas um 36,8 °C erwärmt. Dies liegt an der deutlich größeren Wärmekapazität des Wassers, die zum einen durch die größere Masse und zum anderen durch die deutlich höhere spezifische Wärmekapazität bedingt ist. Würde man lediglich eine Wassermenge 20 ml hinzugießen, so erhielte man rechnerisch eine Endtemperatur von 41,5 °C. In diesem Fall sind die Wärmekapazitäten des Wassers und des Glases etwa gleich und die Endtemperatur liegt in der Mitte zwischen beiden Anfangstemperaturen (siehe hierzu den Abschnitt Spezialfälle der Richmannschen Mischungsregel).

Erweiterung auf beliebige Körper in thermischem Kontakt

Die Formel zur Berechnung der Endtemperatur wurde anhand des Beispiels von Wasser und Glas hergeleitet. Diese Formel kann aber auf zwei beliebige Stoffe übertragen werden. Dabei spielt es auch keine Rolle, ob es sich um einen Festkörper und eine Flüssigkeit handelt oder um zwei Festkörper, die in thermischen Kontakt gebracht werden. Auch bei einem Mischvorgang zweier Flüssigkeiten, gilt dieser Zusammenhang!

Ganz allgemein gilt deshalb: Für zwei beliebige Körper 1 und 2 mit unterschiedlichen Ausgangstemperaturen T₁ und T₂ sowie unterschiedlichen Wärmekapazitäten C₁ und C₂ ergibt sich die Endtemperatur T_E im thermodynamischen Gleichgewicht wie folgt:

\begin{align}
\label{rr}
&\boxed{T_\text{E}  = \frac{C_{1} \cdot T_{1} + C_{2} \cdot T_{2}}{C_{1} +C_{2}}} \\[5px]
\end{align}

Für Körper, die aus homogenen Stoffen bestehen, können die Wärmekapazitäten aus den spezifischen Wärmekapazitäten c und den Massen m ermittelt werden:

\begin{align}
&\boxed{T_\text{E}  = \frac{c_1 \cdot m_1 \cdot T_{1} + c_2 \cdot m_2 \cdot T_{2}}{c_1 \cdot m_1 +c_2 \cdot m_2}} \\[5px]
\end{align}

Diese beiden Gleichungen werden auch als Richmannsche Mischungsregel bezeichnet! Für die Anwendung dieser Gleichung ist es egal, welcher der beiden Körper (1 oder 2) der wärmere und welcher der kältere ist. Ebenfalls sei nochmals erwähnt, dass die Temperaturen nicht zwingend in der Einheit Kelvin eingesetzt werden müssen, sondern auch in der Einheit Grad Celsius verwendet werden können.

Eingeschränkt werden muss die Gültigkeit der Richmannschen Mischungsregel für den Fall, dass eine Aggregatzustandsänderung während der Angleichung der Temperaturen eintritt. Dies wäre zum Beispiel beim Eingießen von Eiswürfel in ein warmes Getränk der Fall. In diesen Fällen treten aufgrund der Aggregatzustandsänderung weitere (latente) Wärmemengen auf (Schmelzwärme), die berücksichtigt werden müssen.

Die Richmannsche Mischungsregel beschreibt die sich einstellende Endtemperatur, wenn zwei Körper mit unterschiedlichen Anfangstemperaturen in thermischen Kontakt gebracht werden, sofern keine Aggregatzustandsänderung eintritt und davon ausgegangen wird, dass Wärme nur zwischen diesen beiden Körpern übertragen wird!

Es zeigt sich bei genauer Betrachtung von Gleichung (\ref{rr}), dass sich die Endtemperatur letztlich aus dem gewichteten arithmetischen Mittelwert der Anfangstemperaturen ergibt, wobei die Gewichtung durch die entsprechenden Wärmekapazitäten vorgenommen wird! Je nach Wärmekapazität verschiebt sich die Endtemperatur deshalb zu höheren oder niedrigeren Werten.

Beachte, dass bei realen Mischungsvorgängen, die vom heißeren Körper übertragene Wärmeenergie nicht vollständig dem kühleren Körper zugutekommt. Ein gewisser Teil der abgegebenen Wärmeenergie wird auch auf die Umgebung übertragen. Bei Mischungsvorgängen zweier Flüssigkeiten in einem Gefäß, wird zudem ein nicht unerheblicher Teil der Wärme auch auf das Gefäß übertragen. Die sich einstellende Endtemperatur zweier Körper wird aufgrund dieser (ungewollten) Wärmeverluste deshalb geringer sein als die theoretisch berechneten Endtemperaturen.

Spezialfälle der Richmannschen Mischungsregel

Bei der Mischung zweier identischer Stoffe (zum Beispiel beim Eingießen von heißem Wasser in ein kaltes Wasserbad), sind die spezifischen Wärmekapazitäten identisch (c₁=c₂=c), sodass die sich einstellende Endtemperatur T_E letztlich unabhängig dieser spezifischen Wärmekapazitäten ist. D.h. egal welche Stoffe gemeinsam in thermischen Kontakt miteinander gebracht werden, solange sie identisch sind wird sich in allen Fällen dieselbe Endtemperatur einstellen!

\begin{align}
\require{cancel}
&T_\text{E} = \frac{\bcancel{c} \cdot m_1 \cdot T_{1} +\bcancel{c} \cdot m_2 \cdot T_{2}}{\bcancel{c} \cdot m_1 + \bcancel{c} \cdot m_2} \\[5px]
&\boxed{T_\text{E} = \frac{m_1 \cdot T_{1} + m_2 \cdot T_{2}}{m_1 + m_2}} ~~~\text{gilt nur für identische Stoffe}\\[5px]
\end{align}

Sind ferner die Massen der beiden Stoffe gleich (m₁=m₂=m), so entspricht die sich einstellende Endtemperatur T_E letztlich dem Mittelwert der Ausgangstemperaturen:

\begin{align}
&T_\text{E} = \frac{m \cdot T_{1} + m \cdot T_{2}}{m + m} \\[5px]
&\boxed{T_\text{E} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2}} ~~~\text{gilt nur für identische Stoffe mit gleicher Masse} \\[5px]
\end{align}

Die Dichteanomalie des Wassers hat eine existenzielle Bedeutung für das Leben auf der Erde. Genauer gesagt: für das Leben unter Wasser. Aufgrund der Dichteanomalie bilden sich in stillen Gewässern jeweils Wasserschichten mit unterschiedlichen Temperaturen. Diese Temperaturschichtung kommt aufgrund der unterschiedlichen Wasserdichte zustande, die durch die entsprechende Temperatur bedingt sind. Dabei sinkt das schwere Wasser nach unten und leichteres Wasser steigt nach oben auf. Hierbei sind die Übergänge zwischen den einzelnen Temperaturschichten natürlich fließend. Da Wasser bei 4 °C die größte Dichte aufweist und damit am schwersten ist, wird sich dieses zunächst auch am Gewässergrund ansammeln (Grundschicht).

Im Sommer werden sich die wärmeren Wasserschichten aufgrund der geringeren Dichte über der 4 °C kalten Grundschicht anordnen. Durch die abnehmende Dichte mit steigender Temperatur wird die Wassertemperatur folglich zur Wasseroberfläche hin stetig zunehmen. Während bei tiefen Gewässern im Sommer also die Wasseroberfläche je nach Sonnenintensität relativ stark erwärmt sein kann, wird sich das Wasser am Gewässergrund in der Regel nicht über 4 °C erwärmen.

Dies ist insbesondere in sehr tiefen oder stillen Gewässern der Fall, in denen kaum Strömungen auftreten, die zu einem Durchmischen der Schichten führen. Sollte bei geringen Wassertiefen oder längeren Hitzeperioden die Temperatur der Grundschicht über 4 °C steigen, dann wird sich jene Wasserschicht mit der niedrigsten Temperatur am Boden ansammeln und wärmere Wasserschichten sich auf dieser befinden.

Im Herbst wird sich das Gewässer schließlich allmählich abkühlen. Dabei wird die Temperatur der relativ warmen Oberflächenschicht nach und nach sinken. Somit wird das Temperaturgefälle zur Wassergrundschicht hin immer geringer. Schließlich haben sich die Temperaturen der unterschiedlichen Wasserschichten irgendwann angeglichen. Es stellt sich früher oder später für kurze Zeit ein einheitliches Temperaturniveau von 4 °C über das gesamte Gewässer hinweg ein.

Dies wird auch dann der Fall sein, wenn sich das Gewässer im Sommer durchweg auf bspw. 5 °C erwärmt haben sollte. Dabei wird sich bei Abkühlung zunächst ein einheitliches Temperaturniveau von 5 °C bilden. Bei weiterer Abkühlung an der kühlen Umgebungsluft kann sich zwar kurzfristig an der Oberfläche eine 4 °C Schicht ergeben. Diese wird sich dann allerdings aufgrund ihrer größeren Dichte im Vergleich zu den darunter befindlichen Wasserschichten absenken. Die wärmeren Schichten werden damit an die Wasseroberfläche gedrängt und kühlen ebenfalls ab. Schließlich ergibt sich auch in einem solchen Fall über kurz oder lang ein einheitliches Temperaturniveau von 4 °C über das gesamte Gewässer hinweg.

Kühlt im Winter das 4 °C kalte Wasser nun weiter aus, so werden sich diese kälteren Schichten allerdings nicht mehr absenken bzw. am Gewässergrund ansammeln. Denn aufgrund der Dichteanomalie sind jene Wasserschichten die kälter als 4 °C wiederum leichter bzw. besitzen eine geringere Dichte. Dabei gilt in diesem Temperaturbereich zwischen 4 °C und 0°C: Umso kälter die Wasserschicht, desto leichter wird diese im Vergleich zu den wärmeren Schichten sein. Dies ist die eigentliche Dichteanomalie des Wassers, da es sich beim Abkühlen nun nicht mehr weiter zusammenzieht, sondern plötzlich wieder ausdehnt.

Folglich werden sich im Winter nun nicht mehr wie im Sommer die wärmeren Wasserschichten an der Oberfläche ansammeln, sondern die kälteren Wasserschichten! Schließlich wird auch an der Oberfläche als erstes die Erstarrungstemperatur von 0°C erreicht bzw. unterschritten. Damit gefriert das Gewässer stets von der Wasseroberfläche her zu.

Ist das Gewässer tief genug, so wird die Kälte in der Regel nicht bis in die tiefen Schichten eindringen und das Gewässer somit auch nicht vollständig gefrieren (Beachte, dass Wasser ein sehr schlechter Wärmeleiter ist!). In den tieferen Schichten bleibt das Wasser in der Regel also flüssig bei rund 4 °C. Dass ein Gewässer aufgrund der Dichteanomalie also von oben zufriert und somit in der Regel nicht vollständig gefriert, sichert schließlich den darin befindlichen Tieren das Überleben.

Ohne Dichteanomalie würden die kalten Wasserschichten im Winter stets absinken und die wärmeren Schichten an die Oberfläche verdrängen. Es käme zur raschen Abkühlung des Gewässers bis hin zur vollständigen Erstarrung. Die Fische in solchen Gewässern würden nicht überleben.

Einleitung

Für die Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes müssen zunächst grundlegende Zusammenhänge geklärt werden. Auf diese wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Zusammenhang zwischen Energiedichte und Druck

Kinetische Gastheorie mit klassischen Teilchen

Mithilfe der kinetischen Gastheorie wurde im Artikel Druck und Temperatur folgender Zusammenhang zwischen dem Druck eines Gases p und der Geschwindigkeit v der darin enthaltenen Teilchen hergeleitet werden:

\begin{align}
\label{p}
&\boxed{p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\cdot \overline{v^2}} \\[5px]
\end{align}

Dabei bezeichnet N die Anzahl der Gasteilchen in einem Volumen V und m die Teilchenmasse. Die Geschwindigkeit bezieht sich dabei auf die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit.

Bei einer klassischen Betrachtung von idealen Gasen, bei der die Teilchengeschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen, kann die mittlere kinetische Energie der Teilchen in sehr guter Näherung mit ½⋅m⋅v² beschrieben werden (Beachte, dass diese Formel tatsächlich nur für die klassische, nicht-relativistische Mechanik gilt!) Dabei wird dann folgender Zusammenhang zwischen dem Druck und der mittlere Energie eines Teilchens offensichtlich:

\begin{align}
p &= \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \overbrace{\frac{1}{2} m \overline{v^2}}^{\overline{W_{kin}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \overline{W_{kin}} \\[5px]
&= \frac{2}{3} \cdot \frac{\overbrace{N \cdot \overline{W_{kin}}}^{\text{innere Energie } U}}{V}
= \frac{2}{3}\cdot \overbrace{\frac{U}{V}}^{\text{Energiedichte } u_v}
= \frac{2}{3}\cdot u_v \\[5px]
&\boxed{p = \frac{2}{3} u_v} ~~~~~\text{gilt nur für ein klassisches Gas}
\end{align}

Bei der oberen Herleitung wurde ausgenutzt, dass das Produkt von Teilchenanzahl N und mittlerer kinetischer Energie eines Teilchens, der im Gas enthaltenen Gesamtenergie entspricht; d.h. der sogenannten inneren Energie U. Der Quotient von innerer Energie U und Volumen V kann deshalb als (volumetrische) Energiedichte u_v aufgefasst werden (um Missverständnisse mit der spezifischen inneren Energie u als massebezogene Größe zu vermeiden, ist bei der Energiedichte im Index ein „v“ hinzugefügt).

Aufgrund der Tatsache, dass für die Herleitung die klassische Mechanik unter der Annahme der Gültigkeit von W_kin=½⋅m⋅v² genutzt wurde, gilt der beschriebene Zusammenhang zwischen Druck und Energiedichte nur bei klassischen idealen Gasen.

Kinetische Gastheorie mit relativistischen Teilchen (Photonen)

Aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus von elektromagnetischer Strahlung, kann man sich diese auch als ein Strahl von Photonen vorstellen, so wie bei der Herleitung des Strahlungsdrucks bereits geschehen. Auf diese Weise kann man nun auch die Strahlung eines schwarzen Körpers mathematisch beschreiben. Im Artikel Schwarzkörperstrahlung wurde die Realisierung eines solchen Schwarzen Körpers bereits ausführlich erläutert. Hierzu wird einfach ein kleines Loch in einen Gegenstand gebohrt, der in einen Hohlkörper führt.

Alle einfallende Strahlung wird vom Hohlraum absorbiert, wobei der Hohlraum auch selbst Strahlung emittiert. Im thermodynamischen Gleichgewicht, ist die emittierte und absorbierte Strahlungsenergie gleich, sodass sich im Hohlraum im Prinzip ein Gas von Photonen bildet. Anstelle von massebehafteten Teilchen, hat man es in diesem also Fall mit masselosen, relativistischen Photonen zu tun. Auch dabei wird man im Hohlraumvolumen V einen Druck p durch die Strahlung bzw. aufgrund der Photonen feststellen können, der sogenannte Strahlungsdruck.

Gleichung (\ref{p}) kann nun auch an dieser Stelle wieder verwendet werden, sie muss lediglich vor dem Hintergrund der Relativitätstheorie interpretiert werden. Die Geschwindigkeit der Teilchen v entspricht bei Photonen offensichtlich der Lichtgeschwindigkeit c und die Masse m muss als relativistische Masse m_rel betrachtet werden. An dieser Stelle muss nicht zwischen dem Mittelwert der Geschwindigkeitsquadrate \(\overline{c^2}\) und dem Geschwindigkeitsquadrat c² unterschieden werden, da es in diesem Fall keine klassische Geschwindigkeitsverteilung gibt sondern alle Photonen mit derselben Lichtgeschwindigkeit unterwegs sind. Beide Werte sind deshalb identisch.

\begin{align}
\label{pp}
&p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot m_{rel} \cdot c^2 \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass Photonen zwar keine Ruhemasse besitzen, aber dennoch eine relativistische Masse. So zeigte Einstein mit seiner berühmten Energie-Masse-Äquivalenz-Gleichung, dass jedem mit Energie behafteten Teilchen eine entsprechende (relativistische) Masse m_rel zugeordnet werden kann:

\begin{align}
\label{e}
&\boxed{E =mc^2} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~ \boxed{W=m_{rel}\cdot c^2} \\[5px]
\end{align}

Gemäß der Quantenmechanik ergibt sich die Energie eines Photons aus dem Produkt von Frequenz f und Planckschem Wirkungsquantum h, sodass hieraus die relativistische Masse ermittelt werden kann:

\begin{align}
&W = h\cdot f \\[5px]
\end{align}

Das in Gleichung (\ref{pp}) enthaltene Produkt aus (relativistischer) Masse m (=m_rel) und Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c² entspricht nach der Einsteingleichung (\ref{e}) gerade der Energie eines Photons W. Somit gilt zwischen dem Strahlungsdruck p des Photonengases und dessen Energiedichte u_v folgender Zusammenhang:

\begin{align}
&p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot \overbrace{ m_{rel}\cdot c^2}^{W}=\frac{1}{3}\frac{N}{V}\cdot W =\frac{1}{3}\frac{\overbrace{N\cdot W}^{\text{„innere“ Energie } U}}{V} =\frac{1}{3} \cdot \overbrace{\frac{U}{V}}^{\text{Energiedichte }u_v} = \frac{1}{3} u_v \\[5px]
\label{h}
&\boxed{p = \frac{1}{3} u_v } ~~~~~\text{gilt nur für ein Photonengas (homogene Strahlung)}
\end{align}

Bei der Herleitung wurde wiederum ausgenutzt, dass das Produkt von Photonenenergie und Photonenanzahl der im Photonengas insgesamt enthaltenen (inneren) Energie entspricht, d.h. der Strahlungsenergie (Photonengasenergie). Der Quotient von Strahlungsenergie und Hohlraumvolumen lässt sich wiederum als Energiedichte des Photonengases bzw. als Energiedichte der Strahlung auffassen.

Der Zusammenhang zwischen Druck und Energiedichte eines klassischen Gases unterscheidet sich also um den Faktor 2 von dem eines relativistischen Photonengases.

Herleitung aus dem Strahlungsdruck

Den Zusammenhang zwischen Strahlungsdruck und Energiedichte für ein homogenes Photonengas kann man auch aus dem Strahlungsdruck einer gerichteten Strahlung herleiten. Im Artikel Strahlungsdruck wurde gezeigt, dass der Strahlungsdruck p_St, den eine gerichtete Strahlung auf einen Gegenstand bei vollständiger Reflexion ausübt, dem doppelten Wert der Energiedichte entspricht:

\begin{align}
\label{s}
&\boxed{p_{St} =2 \cdot u_v} ~~~~~\text{gilt nur bei vollständiger Reflexion einer gerichteten Strahlung} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung steht nicht im Widerspruch zu Gleichung (\ref{h})! Denn Gleichung (\ref{s}) gilt nur bei gerichteter Strahlung, d.h. wenn sich alle Photonen in dieselbe Richtung bewegen und auf eine Grenzfläche treffen. Im Falle der Hohlraumstrahlung, handelt es sich aber um eine Strahlung, die im Inneren permanent reflektiert, absorbiert und emittiert wird, d.h. die Photonen bewegen sich alle in völlig zufällige Richtungen; es handelt sich eben um ein Photonengas.

Um aus einer gerichteten Strahlung eine völlig zufällige Photonenbewegung zu machen, müssten sich alle darin enthaltenen Photonen plötzlich in unterschiedliche Richtungen bewegen. Bei der Annahme einer homogenen statistischen Verteilung, würden sich demnach insgesamt ein Sechstel der Photonen nach oben bewegen, ein Sechstel nach unten, wiederum ein Sechstel nach links und ein Sechstel nach rechts sowie ein Sechstel nach hinten und schließlich würden sich ein Sechstel der Photonen nach vorne auf die betrachtete Grenzfläche zubewegen, auf die ein Druck ausgeübt wird.

Bei gleicher Energiedichte (Photonendichte) ist der Druck bei einem homogenen Photonengas somit um ein Sechstel geringer im Vergleich zu einem gerichteten Photonenstrahl, da eben nur ein Sechstel der Photonen effektiv auf die Grenzfläche prallen. Somit kommt man für ein homogenes Photonengas wieder zum identischen Zusammenhang:

\begin{align}
& p = \frac{1}{6} \cdot p_{St} = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot u_v= \frac{1}{3} \cdot u_v \\[5px]
\end{align}

Man könnte an dieser Stelle nun argumentieren, dass der Hohlraumstrahlung doch keine vollständige Reflexion zugrunde liegt und damit Gleichung (\ref{s}) gar nicht gültig ist. Vielmehr handelt es sich bei einem Schwarzen Körper bzw. einer Hohlraumstrahlung doch um eine vollständige Absorption der Strahlung. Dies ist zwar richtig, jedoch werden im thermodynamischen Gleichgewicht genau dieselbe Anzahl an Photonen absorbiert wie emittiert. Hieraus stellt sich ja schließlich das thermodynamische Gleichgewicht ein.

Kinematisch betrachtet, ist eine Reflexion aber nichts anderes als eine Absorption („Aufprall“) mit unmittelbarer Emission („Rückprall“). Nur weil Absorption und Emission im Falle der Hohlraumstrahlung nicht zu identischen Zeiten stattfinden, bleiben sie vom Wesen her identisch wie die Reflexion, bei der beide Vorgänge im Prinzip unmittelbar nacheinander stattfinden. Deshalb muss bei der Hohlraumstrahlung im thermodynamischen Gleichgewicht von einem vollständig reflektierenden Verhalten ausgegangen werden!

Zusammenhang zwischen einer Volumenänderung und der Änderung der Photonengasenergie

Wie bereits die experimentelle Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung ergeben hat, hängt die Energie der abgegebenen Strahlung nur von der Temperatur hab. Die Energiedichte ist somit nur eine Funktion der Temperatur. Bei konstanter Temperatur und damit konstanter Energiedichte u_v, bedeutet eine Vergrößerung des Hohlraumvolumens um dV somit eine entsprechende Vergrößerung der Photonengasenergie dU:

\begin{align}
& U(T,V) = u_v(T) \cdot V \\[5px]
& \frac{\text{d}U(T,V)}{\text{d}V} =\frac{\text{d}(u_v(T) \cdot V )}{\text{d}V} = \overbrace{\underbrace{\frac{\partial{u_v(T)}}{\partial{V}}}_{=0} \cdot V +\underbrace{\frac{\partial{V} }{\partial{V}}}_{=1} \cdot u_v(T)}^{\text{Produktregel}} = u_v(T) = u_v \\[5px]
\label{t}
&\boxed{\left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = u_v = 3p} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die (partielle) Ableitung der Energiedichte nach dem Volumen Null ergibt, da die Energiedichte keine Funktion des Volumens ist. Bezüglich der Variablen V handelt sich also um die Ableitung einer Konstanten. Zudem wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass der Strahlungsdruck einem Drittel der Energiedichte entspricht bzw. die Energiedichte u_v dem dreifachen Wert des Drucks p [siehe Gleichung (\ref{h})].

Dass die Photonengasenergie bei konstanter Energiedichte im selben Maße steigt wie das Volumen wird auch anschaulich klar, denn eine konstante Energiedichte bedeutet schließlich auch eine konstante Photonendichte. Vergrößert man das Volumen des Hohlraumes, dann befinden sich bei gleichbleibender Photonendichte nun insgesamt mehr Photonen darin (der Hohlraum emittiert dann verstärkt Photonen bis sich wieder ein thermodynamische Gleichgewicht einstellt). Da jedes Photon mit einer bestimmten Energie verbunden ist, ist somit also auch die im Volumen enthaltene Gesamtenergie gestiegen.

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Da das Photonengas analog zu einem klassischen idealen Gas betrachtet wird, kann an dieser Stelle auch der erste Hauptsatz der Thermodynamik zur Anwendung kommen. In differentieller Form stellt sich dieser wie folgt dar (darin bezeichnet S die Entropie):

\begin{align}
&\boxed{\text{d}U = T \cdot \text{d}S – p \cdot \text{d}V } ~~~~~\text{Erster Hauptsatz der Thermodynamik} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung durch dV geteilt erhält man bei konstanter Temperatur folgende Beziehung:

\begin{align}
\label{ss}
& \left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = T \left(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\right)_T – p \\[5px]
\end{align}

Ohne tiefer auf die Herleitung der sogenannten Maxwell-Beziehungen der Thermodynamik einzugehen, liefern diese an dieser Stelle einen weiteren wichtigen Zusammenhang. So steht eine Entropieänderung und eine Volumenänderung bei konstanter Temperatur im selben Zusammenhang wie eine Druckänderung und eine Temperaturänderung bei konstantem Volumen. Mathematisch wird dies wie folgt ausgedrückt:

\begin{align}
&\boxed{\left(\frac{\partial{S}}{\partial{V}}\right)_T = \left(\frac{\partial{p}}{\partial{T}}\right)_V} ~~~~~\text{Maxwell-Relation} \\[5px]
\end{align}

Diese Maxwell-Beziehung kann nun in Gleichung (\ref{ss}) eingesetzt werden, sodass gilt:

\begin{align}
\label{x}
& \left(\frac{\partial{U}}{\partial{V}}\right)_T = T \left(\frac{\partial{p}}{\partial{T}}\right)_V – p \\[5px]
\end{align}

Gemäß Gleichung (\ref{t}) kann der Ausdruck (∂U/∂V)_T durch die Energiedichte u_v ersetzt werden. Zudem entspricht der Druck p nach Gleichung (\ref{h}) gerade einem Drittel der Energiedichte, sodass insgesamt gilt:

\begin{align}
u_v &= T \left(\frac{\partial{\frac{1}{3}u_v}}{\partial{T}}\right)_V – \frac{1}{3} u_v \\[5px]
u_v &= \frac{1}{3} T \left(\frac{\partial{u_v}}{\partial{T}}\right)_V – \frac{1}{3} u_v \\[5px]
3 u_v &= T \left(\frac{\partial{u_v}}{\partial{T}}\right)_V – u_v \\[5px]
\end{align}

Da die Energiedichte nur eine Funktion der Temperatur ist, kann die partielle Ableitung der Energiedichte nach der Temperatur als gewöhnliches Differential ausgedrückt werden. Nach anschließender Trennung der Variablen folgt schließlich:

\begin{align}
3 u_v &= T \frac{\text{d}u_v}{\text{d}T} – u_v \\[5px]
4 u_v &= T \frac{\text{d}u_v}{\text{d}T} \\[5px]
\frac{\text{d}u_v}{u_v} &=4 \frac{\text{d}T}{T} \\[5px]
\end{align}

Beide Seiten der Gleichung können nun unbestimmt integriert werden, wobei bei der Bildung der Stammfunktionen jeweils eine Integrationskonstante zu berücksichtigen ist, die in der Konstanten a zusammengefasst werden (a steht in diesem Fall allgemein für eine Konstante, nicht für einen speziellen Wert!):

\begin{align}
\int \frac{\text{d}u_v}{u_v} &= \int 4 \frac{\text{d}T}{T} \\[5px]
\ln{u_v} &= 4 \cdot \ln{T} + a\\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= e^{4 \cdot \ln{T}+a} \\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= e^{4 \cdot \ln{T}} \cdot e^{a} \\[5px]
e^{\ln{u_v}} &= \left(e^{\ln{T}}\right)^4 \cdot a \\[5px]
&\underline{u_v = a \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Die Energiedichte u_v ist also proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T. Ein mit Photonen gefülltes Volumen V (z.B. das Volumen des betrachteten Hohlraumes), welche von einem Schwarzen Körper bei der Temperatur T emittiert werden, enthält also folgende Gesamtenergie U:

\begin{align}
&U = u_v \cdot V = a \cdot T^4 \cdot V \\[5px]
\label{st}
&\boxed{U = a \cdot T^4 \cdot V} \\[5px]
\end{align}

Die Konstante a könnte nun experimentell bestimmt werden. In der Regel interessiert aber nicht die Energie eines Photonengases sondern die Leistung mit der ein Strahler die Photonen emittiert.

Strahlungsleistung

Im Folgenden wird nun ein Schwarzer Körper mit der Oberfläche A betrachtet, der sich im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur T befindet. Dieser Schwarze Körper emittiert Photonen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit c von der Oberfläche entfernen (bei einem Hohlkörper in den Hohlraum hinein und dann durch das Loch in die Umgebung, oder bei einem Vollkörper direkt in die Umgebung). Innerhalb der infinitesimalen Zeit dt legen diese Photonen dabei eine bestimmte Strecke ds zurück:

\begin{align}
& \text{d}s = c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Da die Photonen aus der Oberfläche A des Schwarzen Körpers austreten, nehmen diese innerhalb der Zeit dt ein bestimmtes Schalenvolumen um den Schwarzen Körper herum ein. Aufgrund der infinitesimalen Strecke, ergibt sich das Volumen dV dieser emittierten Photonenschale aus dem Produkt von Grundfläche A und Höhe ds:

\begin{align}
& \text{d}V = A \cdot \text{d}s = A \cdot c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Bei gegebener Temperatur T ist die im ausgestoßenen Photonenvolumen dV enthaltene Energie dU durch Gleichung (\ref{st}) gegeben.

\begin{align}
&\text{d}U = a \cdot T^4 \cdot \text{d}V= a \cdot T^4 \cdot A \cdot c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Innerhalb der Zeit dt strahlt der Schwarze Körper also die Energie dU ab. Hieraus lässt sich dann die Strahlungsleistung Φ als abgegebene Strahlungsenergie pro Zeit ermitteln:

\begin{align}
\require{cancel}
&\Phi =\frac{\text{d}U}{\text{d}t} = \frac{a \cdot T^4 \cdot A \cdot c \cdot \bcancel{\text{d}t} }{\bcancel{\text{d}t}} =\underbrace{a\cdot c}_{\sigma} \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Die Konstante a und die ebenfalls konstante Lichtgeschwindigkeit c können zu einer neuen Konstanten zusammengefasst werden, der sogenannten Stefan-Boltzmann-Konstanten σ (nicht zu verwechseln mit der Boltzmann-Konstanten k_B). Damit ergibt sich die im thermodynamischen Gleichgewicht abgegeben Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers bei gegebener Temperatur T wie folgt:

\begin{align}
\label{bb}
&\boxed{\Phi = \sigma \cdot A \cdot T^4} ~~~~~ \sigma = 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Dieses Gesetzmäßigkeit wurde durch den Physiker Josef Stefan experimentell hergeleitet und später durch Ludwig Boltzmann mathematisch bewiesen. Dieses Gesetz wird deshalb als Stefan-Boltzmann-Gesetz bezeichnet.

Wird die Strahlungsleistung Φ an dieser Stelle auf die Fläche A des Schwarzen Körpers bezogen, dann erhält man die Strahlungsintensität I:

\begin{align}
&I=\frac{\Phi}{A} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T^4}{A} = \sigma \cdot T^4\\[5px]
&\boxed{I = \sigma \cdot T^4 } \\[5px]
\end{align}

Bei der zunächst empirisch durch Experimente bestimmten Stefan-Boltzmann-Konstante σ, handelt es sich um eine Naturkonstante, die tatsächlich erst durch die Quantenmechanik aus anderen Naturkonstanten hergeleitet werden konnte:

\begin{align}
&\boxed{\sigma = \frac{2 \pi^5k_B^4}{15h^3c^2} } \\[5px]
\end{align}

Wie bereits zu Beginn des Artikels erläutert, gibt es Schwarze Körper nur in der Idealvorstellung. In der Realität strahlen Körper deshalb nicht mit der Intensität eines Schwarzen Körpers sondern mit geringerer Leistung. Dies wird durch den Emissionsgrad ε<1 erfasst:

\begin{align}
&I=\varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4\\[5px]
\end{align}

Einleitung

Mithilfe des Planck’schen Strahlungsgesetzes lässt sich die von schwarzen Körper ausgesendete Strahlung mathematisch beschreiben. Dabei gibt es jedoch unterschiedliche Darstellungsformen, auf die im Folgenden näher eingegangen werden soll. Hauptsächlich sind diese Unterschiede auf die verschiedenen Größen zurückzuführen, die betrachtet werden: z.B. Intensität pro Wellenlänge oder die Intensität pro Raumwinkel oder die Energiedichte. Des weiteren können diese Größe entweder in Abhängigkeit der Wellenlänge der Strahlung oder der Frequenz betrachtet werden.

Verteilung der spektralen Intensität in Abhängigkeit der Wellenlänge

Die untere Abbildung zeigt die sogenannte spektrale Intensität der ausgesendeten Strahlung eines schwarzen Körpers in Abhängigkeit der Wellenlänge für verschiedene Temperaturen. Auf die mathematische Beschreibung dieser Kurven wurde bereits im Artikel zum Planck’sches Strahlungsgesetz etwas detaillierter eingegangen:

\begin{align}
\label{planck}
&\boxed{I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} } ~~~\text{spektrale Intensität (Wellenlängenform)} \\[5px]
\end{align}

In dieser Darstellungsform handelt es sich bei dem Begriff der Intensität um eine Flächenleistungsdichte. Die Intensität gibt somit die Strahlungsleistung des schwarzen Körpers an, die dieser pro Flächeneinheit aussendet. Am illustrativen Beispiel einer Glühbirne betrachtet, würde dies bedeuten, dass man für die Berechnung deren Intensität, die Strahlungsleistung durch die Oberfläche der Glühbirne teilt. Bei einer Strahlungsleistung von 50-Watt und einer Oberfläche von 100 cm² käme man so auf eine Strahlungsintensität der Glühbirnenoberfläche von 0,5 W/cm² („0,5 Watt pro Quadratzentimeter“).

Eine solche pauschale Angabe der Intensität lässt aber noch keine Aussage zu, ob in der ausgesendeten Strahlung eher kurzwellige oder eher langwellige Strahlungsanteile vorhanden sind. Auf das Beispiel der Glühbirne bezogen würde dies bedeuten, dass anhand der Intensität noch keine Aussage gemacht werden kann, ob die Glühbirne ihre Leistung eher im kurzwelligen Bereich abgibt und somit bläulich erscheint oder verstärkt im langwelligeren Bereich und damit rötlich leuchtet.

Um auch dies darstellen zu können, müsste man bei der experimentellen Untersuchung der Strahlung das gesamte Wellenlängenspektrum zunächst in viele kleine Intervalle aufteilen. Diese Wellenlängenbereiche müsste man nun jeweils getrennt voneinander auf ihre beinhaltende Leistung untersuchen. Mit Hilfe von Filtern könnte man solche Wellenlängenbereiche gezielt von anderen Wellenlängen abgrenzen und untersuchen. Die Intensität mit dem das betrachtete Wellenlängenintervall in der ausgesendeten Strahlung vorhanden ist würde man dann dadurch bestimmen, dass man die gemessene Leistung im betrachteten Wellenlängenbereich durch die Größe der Oberfläche des strahlenden Körpers teilt.

Die gemessene Leistung bzw. Intensität hängt in diesem Fall aber noch entscheidend von der Größe des zugelassenen Wellenlängenintervalls ab. Salopp formuliert bedeutet dies: Lässt man ein doppelt so großes Wellennlängenintervall zu, dann passieren auch doppelt so viele Wellenlängen den Filter und man misst folglich auch eine doppelte so hohe Leistung (zumindest wenn die Intervalle sehr klein gewählt werden). Deshalb bezieht man die gemessene Leistung bzw. die Intensität auf das gewählte Wellenlängenintervall selbst! Man erhält somit unabhängig von der Intervallbreite eine konstante Intensität, die dann als spektrale Intensität bezeichnet wird.

Diese spektrale Intensität wird schlussendlich in Abhängigkeit der Wellenlänge im Diagramm dargestellt. In dieser Darstellungsform entspricht dann die Fläche unter der Kurve der abgestrahlten Intensität im betrachteten Wellenlängenbereich.

Um die Gesamtintensität I zu bestimmen mit der der schwarze Körper strahlt, muss die spektrale Intensität I(λ) folglich über das gesamte Wellenlängenspektrum von null bis unendlich integriert werden (Gesamtfläche unter der Kurve):

\begin{align}
&\boxed{I=\int \limits_{\lambda=0}^\infty I_s(\lambda) ~\text{d}\lambda } ~~~\text{Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers} \\[5px]
\end{align}

Weiterhin bezieht sich die Intensität auf die Leistung pro Flächeneinheit. Die gesamte Strahlungsleistung des schwarzen Körpers P erhält man schließlich durch Integration der Intensität über die Körperoberfläche A. Mathematisch bedeutet dies die Integration der Intensität über die einzelnen Flächenelemente dA:

\begin{align}
&\boxed{P=\int\limits_{(A)} I ~\text{d}A = \int\limits_{(A)} \int \limits_{\lambda=0}^\infty I_s(\lambda) ~\text{d}\lambda ~\text{d}A} ~~~\text{Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers} \\[5px]
\end{align}

Sendet der schwarze Körper gleichmäßig über seine Oberfläche verteilt Strahlung aus (isotroper schwarzer Körper), dann ist die Intensität in jedem Punkt der Oberfläche identisch. In diesem Fall ergibt sich die abgestrahlte Gesamtleistung ganz einfach aus dem Produkt von Intensität I und Oberfläche A:

\begin{align}
&\boxed{P=I \cdot A} ~~~\text{Strahlungsleistung eines isotropen schwarzen Körpers} \\[5px]
\end{align}

Die Lösung der oben genannten Integrale führt schließlich Stefan-Boltzmann Gesetz, welches die Strahlungsleistung eines Körpers in Abhängigkeit seiner Temperatur wiedergibt. Im verlinkten Artikel finden Sie speziell zu diesem Thema mehr Informationen.

Verteilung der spektralen Intensität in Abhängigkeit der Frequenz

Da Wellenlänge λ und Frequenz f über die Ausbreitungsgeschwindigkeit c in Zusammenhang stehen (λ=c/f), kann die spektrale Intensität auch in Abhängigkeit der Frequenz ausgedrückt werden. Dabei darf allerdings die Wellenlänge λ nicht einfach nur durch den Ausdruck c/f ersetzt werden. Dies hat damit zu tun, dass es sich bei der spektralen Intensität um eine auf die Wellenlänge bezogene Größe handelt. Man muss also auch die Wellenlängenintervalle dλ in entsprechende Frequenzintervalle df umrechnen!

Wirklich vergleichbar sind nur die abgestrahlten Intensitäten, nicht aber die spektralen Intensitäten. Die abgegebene Intensität dI(λ) in einem Wellenlängenbereich zwischen λ und λ+dλ ergibt sich durch Multiplikation der spektralen Intensität dI(λ) mit dem Wellenlängenintervall dλ („Fläche unter der Kurve“):

\begin{align}
\label{c}
&\text{d} I(\lambda) =I_s(\lambda) \cdot \text{d}\lambda= \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} \cdot \text{d}\lambda \\[5px]
\end{align}

Dem Wellenlängenintervall dλ muss man also ein entsprechendes Frequenzintervall df zuordnen. Dies gescheit über die Ableitung der Funktion f=c/λ nach der Variablen λ:

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{f = \frac{c}{\lambda}} ~~~\text{bzw.}~~~\boxed{\color{red}{\lambda=\frac{c}{f}}}\\[5px]
&\frac{\text{d}f}{\text{d}\lambda} = \frac{c}{-\lambda^2} \\[5px]
\label{z}
&\text{d}\lambda = – \frac{\lambda^2}{c} \cdot \text{d}f \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen in Gleichung (\ref{z}) drückt lediglich aus, dass eine Erhöhung der Frequenz um df>0, eine Verringerung der Wellenlänge um dλ<0 zur Folge hat. An dieser Stelle sind allerdings nur die Beträge der Intervalle relevant, sodass auf das negative Vorzeichen verzichtet werden kann. Unter Berücksichtigung von Gleichung (\ref{a}) gilt somit:

\begin{align}
&\text{d}\lambda = \frac{\lambda^2}{c} \cdot \text{d}f = \frac{\left( \color{red}{\frac{c}{f}}\right)^2}{c} \cdot \text{d}f = \frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f \\[5px]
\label{b}
&\boxed{\color{blue}{\text{d}\lambda = \frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f}} \\[5px]
\end{align}

Werden nun die Gleichungen (\ref{a}) und (\ref{b}) in Gleichung (\ref{c}) eingesetzt, dann folgt für die spektrale Intensität I_s(f) in der Frequenzdarstellung folgender Zusammenhang:

\begin{align}
\text{d} I(f) &= \frac{2\pi h c^2}{\color{red}{\left(\frac{c}{f}\right)}^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\color{red}{\frac{c}{f}} k_B T}\right)-1} \cdot \color{blue}{\frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f} \\[5px]
&= \frac{2\pi h c^2 f^5}{c^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{ k_B T}\right)-1} \cdot \color{blue}{\frac{c}{f^2} \cdot \text{d}f} \\[5px]
&= \underbrace{\frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{ k_B T}\right)-1}}_{I_s(f)} \cdot \text{d}f \\[5px]
\label{freq}
&\boxed{I_s(f) = \frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} } \\[5px]
\end{align}

Für die Umrechnung von der Wellenlängenform in die Frequenzform der spektralen Verteilung gilt also:

\begin{align}
&\boxed{I_s(f) =\frac{\lambda^2}{c} \cdot I_s(\lambda)} \\[5px]
\end{align}

Beachte also, dass bei der spektralen Intensität nicht mehr einfach nur die Wellenlänge gemäß der Formel f=c/λ in eine Frequenz umgerechnet werden darf. Dies liegt daran, dass Wellenlänge und Frequenz sich reziprok zueinander verhalten. Beiden Größen liegen somit unterschiedliche Intervallbreiten zugrunde! Beim Wien’schen Verschiebungsgesetz spielt dies ebenfalls eine Rolle.

Verteilung der spezifischen spektralen Intensität

Um die abgestrahlte spektrale Intensität eines Flächenelementes in einem Experiment zu ermitteln, müsste man die gesamte emittierte Strahlung innerhalb des betrachteten Wellenlängenintervalls mit einem Detektor erfassen. Im Artikel Schwarzkörperstrahlung wurde auf die Realisierung eines schwarzen Körpers mithilfe eines Lochs, das in einen Hohlraum führt bereits ausführlich eingegangen (Hohlraumstrahler). In diesem Fall entspräche das zu untersuchende Flächenelement der Fläche des Lochs, welches auftreffende Strahlung vollständig absorbiert und hierdurch selbst Schwarzkörperstrahlung aussendet. Die Strahlung breitet sich dabei kugelförmig in den freien Halbraum hinein aus (siehe Abbildung unten).

Einfluss auf die gemessene Strahlungsleistung: Die „Blickrichtung“

Für die Messung der emittierten Strahlungsleistung genügt es nun allerdings nicht, den Detektor irgendwo einer fixen Stelle zu platzieren, wo nur ein Teil der Strahlung erfasst wird. Man muss die Strahlung über den Halbraum erfassen, um auch tatsächlich die gesamte Strahlungsleistung zu messen. Die Strahlungsleistung des Flächenelementes (hier: Fläche der Öffnung) ist nämlich nicht in alle Richtungen gleich groß ist! Man kann also nicht davon ausgehen, dass die an einer Stelle mit dem Detektor gemessene Leistung an einer anderen Stelle genauso groß ist.

Dass die Strahlungsleistung eines (ebenen) Flächenelementes richtungsabhängig ist, zeigt auch bereits die alltägliche Erfahrung. Man stelle sich hierzu eine große glühende Metallplatte vor. Schaut man frontal auf diese Platte, so wird man eine relativ starke Wärmestrahlung wahrnehmen (diese Wärmestrahlung ist im Übrigen Teil der Schwarzkörperstrahlung!). Die Strahlungsleistung ist mit frontaler Blickrichtung somit relativ hoch. Betrachtet man die glühende Platte allerdings von der Seite, so erscheint die Wärmestrahlung weniger intensiv. Die Strahlungsleistung ist entsprechend geringer. Dies lässt sich damit erklären, dass die Platte von der Seite betrachtet auch deutlich kleiner erscheint und somit weniger effektive Strahlungsfläche besitzt. Offensichtlich hat also die in Blickrichtung erscheinende Fläche, die sogenannte projizierte Fläche, Einfluss auf die wahrgenommene bzw. gemessene Strahlungsleistung.

Man kann sich die projizierte Fläche anschaulich verdeutlichen, indem man sich den Detektor als „Taschenlampe“ vorstellt. Den Schatten, den das angestrahlten Flächenelement dann auf einen dahinter aufgestellten Schirm erzeugt, entspricht der projizierten Fläche.

Einfluss auf die gemessene Strahlungsleistung: Der Raumwinkel

Zum einen ist also die „Blickrichtung“ des Detektors für die gemessene Strahlungsleistung relevant und zum anderen natürlich welche Fläche der Detektor von der gesamten Strahlungshalbkugel einnimmt (sein „Sichtfeld“ sozusagen). Letztere wird durch den sogenannten Raumwinkel ausgedrückt. Ein Raumwinkel Ω gibt ganz allgemein das Verhältnis einer Fläche auf einer Kugel A zum Quadrat des Radius der Kugel r² an:

\begin{align}
\label{r}
&\boxed{\Omega =\frac{A}{r^2}} ~~~\text{Raumwinkel} \\[5px]
\end{align}

Man kann den Raumwinkel analog zum Bogenwinkel („Bogenmaß“) auffassen. Im zweidimensionalen Raum gibt das Bogenmaß das Verhältnis von Bogenabschnitt zum Radius des Kreises an. Im dreidimensionalen Raum gibt der Raumwinkel das Verhältnis von Kugelabschnitt zum Radiusquadrat der Kugel an.

Umfasst der betrachtete Kugelabschnitt die gesamte Kugeloberfläche mit 4π⋅r², so erhält man folglich einen Raumwinkel von 4π. Der Winkel nimmt sozusagen den gesamten Raum der Kugeln ein. Umfasst die Fläche nur die Hälfte der Kugeloberfläche, dann beträgt der Raumwinkel 2π. Bei diesem Raumwinkel würde der Detektor gerade den gesamten Halbraum umfassen und die gesamte Strahlungsleistung des Flächenelements detektieren. Der Detektor müsste hierzu auch halbkugelförmig gebaut sein.

Beachte: Solange eine betrachtete Fläche Teil einer Kugeloberfläche ist, lässt sich für jede beliebig geformte Fläche gemäß Gleichung (\ref{r}) einen Raumwinkel angeben. Der Umriss der Fläche muss also nicht zwangsläufig einen Kreis bilden wie häufig suggeriert, damit man einen Raumwinkel angeben kann! In anderen Worten: Unser Detektor benötigt keinen kreisförmigen Sensor, er kann auch rechteckig oder sonstig beliebig geformt sein. Er muss lediglich Teil einer Kugeloberfläche sein. Für große Radien und kleine Flächenabschnitte ist die Krümmung der Fläche allerdings so gering, dass man in sehr guter Näherung auch ebene Flächen verwenden kann.

Spektrale Intensität pro Raumwinkel

Untersucht man nun für den oben beschriebenen Fall die emittierte Strahlungsleistung des Hohlraumstrahlers mit einem Detektor, dann stellt man zwei Dinge fest:

1. die gemessene Strahlungsleistung dP ist proportional zur projizierten Fläche in die der Detektor zeigt dA_p),
2. die gemessene Strahlungsleistung dP ist proportional zum Raumwinkel dΩ den der Detektor umfasst (solange kleine Raumwinkel betrachtet werden).

Punkt (1) wurde bereits anschaulich erläutert: Je größer nämlich die Strahlungsfläche ist, die dem Detektor zugewandt ist, desto größer die Leistung. Punkt (2) lässt sich ebenfalls anschaulich nachvollziehen. Stellt man zwei sehr kleine Detektoren direkt nebeneinander auf, dann registrieren beide dieselbe Leistung. Nimmt man beide Detektoren in Gedanken zusammen, die dann den doppelten Raumwinkel einnehmen, dann erhält man auch offensichtlich die doppelte Leistung. Dies gilt strenggenommen nur solange die beiden Raumwinkel sehr klein und dicht beieinander sind, sodass sie sich in der Blickrichtung (fast) nicht unterscheiden. Ansonsten erhielte man gemäß Punkt (1) leicht unterschiedliche Leistungen der beiden Detektoren.

Weiterhin ist natürlich die gemessene Strahlungsleistung von der Größe des Wellenlängenintervalls dλ abhängig, welches der Filter des Detektors passieren lässt. Ein doppelt so großes Wellenlängenintervall bedeutet, dass doppelt so viel Strahlung durch den Filter gelangt. Die gemessene Leistung ist somit doppelt so groß. Diese Proportionalität zwischen Leistung und Wellenlängenintervall gilt nur für sehr kleine Wellenlängenintervalle. Für einen gegeben Wellenlängenbereich zwischen λ und λ+dλ lassen sich die genannten Zusammenhänge mathematisch somit wie folgt darstellen:

\begin{align}
& \text{d}P \sim \text{d}\Omega \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\lambda \\[5px]
\label{p}
&\frac{ \text{d}P}{\text{d}\Omega \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\lambda} =\text{konstant} = B_s \\[5px]
\end{align}

Bezieht man also die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers nicht mehr nur auf das Wellenlängenintervall und auf ein bloßes Flächenelement wie bei der spektralen Intensität I_s, sondern neben dem Wellenlängenbereich dλ auf den Raumwinkel dΩ und auf die in „Blickrichtung des Raumwinkels“ projizierte Fläche dA_p dann erhält man für den betrachteten Wellenlängenbereich ebenfalls eine konstante Größe. Diese Größe wird spezifische spektrale Intensität B_s genannt. Die spezifische spektrale Intensität gibt also die ausgesendete Strahlungsleistung pro Einheit Wellenlängenintervall und pro Raumwinkeleinheit sowie pro Flächeneinheit wieder (wobei mit Fläche die projizierte Fläche in Richtung des betrachteten Raumwinkels gemeint ist!).

Als spezifische spektrale Intensität bezeichnet man die Strahlungsleistung eines in Blickrichtung projizierten Flächenelementes pro Raumwinkeleinheit und pro Einheit Wellenlängenintervall!

Auf unser Beispiel übertragen bedeutet dies: Egal in welchem Abstand und unter welcher Blickrichtung der Detektor auf das Flächenelement des schwarzen Körpers blickt, man misst für einen bestimmten Wellenlängenbereich überall dieselbe Größe B_s. Man kann die Strahlung eines schwarzen Körpers somit eben auch durch genau diese Größe B_s charakterisieren. Diese Größe hat in der Praxis den Vorteil, dass man nicht die gesamte emittierte Strahlung eines Flächenelementes zur Charakterisierung der Schwarzkörperstrahlung benötigt, wie dies bei der spektralen Intensität der Fall ist. Bei der spezifischen spektralen Intensität muss nämlich nur nur einen Teil der Strahlung innerhalb eines bestimmten Raumwinkels betrachtet werden.

Für die spezifische spektrale Intensität B_s gilt folgende Formel in Abhängigkeit der Wellenlänge bzw. der Frequenz:

\begin{align}
\label{bs}
&\boxed{B_s(\lambda) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Wellenlängenform} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
&\boxed{B_s(f) = \frac{2 h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Frequenzform} \\[5px]
\end{align}

Zusammenhang zwischen spektraler Intensität und spezifischer spektraler Intensität

Betrachtet man die Formeln (\ref{planck}) und (\ref{bs}), so unterscheiden diese sich offensichtlich nur um den Faktor π. Wie es zu diesem Zusammenhang kommt, soll im Folgenden erklärt werden. Zunächst sei nochmals darauf verwiesen, dass die spezifische spektrale Intensität B_s die Strahlungsintensität pro Raumwinkel angibt, während die spektrale Intensität I_s die gesamte abgestrahlte Intensität eines Flächenelementes umfasst. Da ein (infinitesimales) Flächenelement kugelförmig in den Halbraum abstrahlt, muss zur Berechnung der spektralen Intensität I_s die spezifische spektrale Intensität B_s sozusagen über den gesamten Halbraum aufsummiert werden. Für den kugelförmigen Halbraum beträgt der Raumwinkel 2π. Sollten sich demnach nicht beide Größen um 2π unterscheiden anstatt nur um π?

Beim Aufsummieren über den Halbraum muss beachtet werden, dass sich die spezifische spektrale Intensität nicht auf die volle Fläche des Flächenelementes bezieht, sondern immer nur auf die projizierte Fläche. Beide Flächen sind aber nur für einen speziellen Fall identisch, nämlich dann, wenn frontal auf das Flächenelement geschaut wird. Ansonsten ist die projizierte Fläche stets kleiner. Im Mittel über alle Raumwinkel hinweg ist die projizierte Fläche um die Hälfte kleiner als die Fläche an sich. Dies macht im Ergebnis dann eben nicht 2π, sondern nur π. Im Folgenden soll dies auch mathematisch gezeigt werden.

Mathematisch entspricht das Aufsummieren der Integration der spezifischen spektralen Intensität über die Strahlungs-Halbkugel:

\begin{align}
\text{d}P &= \text{d}P \\[5px]
I_s \cdot \text{d}A \cdot \text{d}\lambda &= \int\limits_{(A)} B_s \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\Omega \cdot \text{d}\lambda \\[5px]
\label{l}
I_s \cdot \text{d}A &= \int\limits_{(A)} B_s \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\Omega \\[5px]
\end{align}

Zunächst muss man einem Raumwinkel dΩ eine entsprechende Richtung zuweisen, damit auch die projizierte Fläche dA_p in diese Richtung ermittelt werden kann. Hierzu beschreibt man die für den Raumwinkel benötigte Fläche dσ am besten durch Kugelkoordinaten. Ein Punkt auf der Oberfläche einer Kugel ist in Kugelkoordinaten durch die Angabe zweier Winkel vollständig definiert. Darin beschreibt der Winkel φ den Winkel in der x-y-Ebene und der Winkel θ den Winkel zur z-Achse.

Lässt man nun beide Winkel innerhalb eines Bereichs dφ bzw. dθ variieren, so ergibt sich ein Flächenelement dσ. Der Flächeninhalt dieses Elementes lässt sich anhand geometrischer Überlegungen wie folgt bestimmen:

\begin{align}
& \text{d}\sigma = r^2 \cdot \sin(\theta) ~ \text{d}\theta \cdot \text{d}\varphi \ \\[5px]
\end{align}

Gemäß der Definition des Raumwinkels dΩ als Verhältnis der Fläche dσ zum Quadrat des Radius r² gilt also:

\begin{align}
\label{x}
& \text{d}\Omega = \frac{\text{d}\sigma}{r^2}= \sin(\theta) ~ \text{d}\theta \cdot \text{d}\varphi \ \\[5px]
\end{align}

Die in Richtung des Ortsvektors projizierte Fläche dA_p ergibt sich über den Kosinus des Winkels θ:

\begin{align}
\label{y}
& \text{d}A_p = \text{d}A \cdot \cos(\theta) \ \\[5px]
\end{align}

Werden die Gleichungen (\ref{x}) und (\ref{y}) in Gleichung (\ref{l}) eingesetzt, dann zeigt sich folgender Zusammenhang:

\begin{align}
\require{cancel}
I_s \cdot \text{d}A &= \int \limits_{(A)} B_s \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\Omega \\[5px]
I_s \cdot \bcancel{\text{d}A} &= \int \limits_{(A)} B_s \cdot \bcancel{\text{d}A} \cdot \underbrace{\cos(\theta) \cdot \sin(\theta)}_{=\tfrac{1}{2}\cdot \sin(2\theta)} ~ \text{d}\theta \cdot \text{d}\varphi \\[5px]
I_s &= B_s \cdot \tfrac{1}{2} \int \limits_{(A)} \sin(2\theta) ~ \text{d}\theta \cdot \text{d}\varphi \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass wie bereits erläutert B_s überall auf der Kugeloberfläche konstant ist und somit bei der Integration über die Halbkugeloberfläche als Konstante zu betrachten ist. Diese konstante Größe kann deshalb vor das Integral geschrieben werden. Nun muss nur noch über die Halbkugel integriert werden, d.h. innerhalb der Grenzen von φ=0…2π und θ=0…π/2:

\begin{align}
I_s &= B_s \cdot \tfrac{1}{2} \int \limits_{\varphi=0}^{2\pi} \int \limits_{\theta=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin(2\theta) ~ \text{d}\theta \cdot \text{d}\varphi \\[5px]
&= B_s \cdot \tfrac{1}{2} \int \limits_{\varphi=0}^{2\pi} \underbrace{\left[ -\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_{\theta=0}^{\tfrac{\pi}{2}}}_{=1} \text{d}\varphi \\[5px]
&= B_s \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \int \limits_{\varphi=0}^{2\pi} \text{d}\varphi \\[5px]
&= B_s\cdot \tfrac{1}{2} \cdot \left[\varphi \right]_{\varphi=0}^{2\pi} \\[5px]
&= B_s\cdot \tfrac{1}{2} \cdot 2\pi \\[5px]
&= B_s \cdot \pi \\[5px]
\end{align}

Spektrale Intensität I_s und spezifische spektrale Intensität B_s unterscheiden sich also formal nur um den Faktor π. Dies gilt sowohl für die Wellenlängendarstellung als auch für die Frequenzdarstellung:

\begin{align}
\label{gg}
\boxed{I_s = B_s \cdot \pi} \\[5px]
\end{align}

Verteilung der spektralen Energiedichte einer Hohlraumstrahlung

Mithilfe der spezifischen spektralen Intensität lässt auch auf die sogenannte spektrale Energiedichte u_s einer Hohlraumstrahlung schließen. Hierunter versteht man die pro Einheit Wellenlängenintervall im Volumen des Hohlraums enthaltene Strahlungsenergie.

Hierzu betrachten wir wieder einen hohlen Gegenstand mit einem winzigen Loch. Alle Strahlung, die durch die Öffnung einfällt wird bei jeder Reflexion an den Innenwänden absorbiert, bis nach wenigen Reflexionen die gesamte Strahlung absorbiert ist. Das Loch ist definitionsgemäß als schwarzer Körper zu betrachten, dass alle einfallende Strahlung absorbiert. Je nach Temperatur des Hohlraums strahlen die Innenwände aber selbst Strahlung ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht absorbieren die Wände genauso viel Strahlungsenergie wie sie emittieren, sodass weder eine weitere Aufheizung noch Abkühlung des Hohlraums bzw. des Körpers erfolgt.

Im Inneren des Hohlraums bildet sich somit eine Art Gas aus Photonen (die Herleitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes basiert genau auf dieser Vorstellung des Photonengases). Die Strahlungsenergie bzw. Energiedichte, die in einem solchen Hohlraum vorhanden ist, lässt sich anhand der austretenden Schwarzkörperstrahlung durch das Loch ermitteln.

Hierzu betrachten wir ein Flächenelement dA in der Öffnung zum Hohlraum. Das Flächenelement ist somit Teil des Photonengases. Wie bei Gasen üblich, so bewegen sich auch die Photonen im Photonengas in unterschiedliche Richtungen. Die Strahlung tritt somit zur Hälfte nach außen in den freien Raum, wo sie detektiert werden kann. Die andere Hälfte der Photonen bewegt sich wieder in Hohlraum hinein.

Unter einem beliebigen Raumwinkel dΩ tritt von der entsprechend projizierten Fläche dA_p Strahlung aus. Die sich mit Lichtgeschwindigkeit c bewegenden Photonen legen dabei innerhalb der Zeit dt die Strecke dl zurück:

\begin{align}
&\text{d}l = c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Die Photonen nehmen innerhalb der Zeit dt somit das folgende Raumvolumen dV ein:

\begin{align}
&\text{d}V = \text{d}A_p \cdot \text{d}l = \text{d}A_p \cdot c \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Die Strahlungsenergie dU im Wellenlängenbereich dλ, die sich in der ausgesendeten Strahlung befindet, lässt sich über die spezifische spektrale Intensität B_s und die Zeitdauer dt ermitteln [vgl. Gleichung (\ref{p})].

\begin{align}
\require{cancel}
&\text{d}U = \overbrace{B_s \cdot \text{d}A_p \cdot \text{d}\lambda \cdot \text{d}\Omega}^{\text{d}P} \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Für die Energiedichte u als Verhältnis von Energie dU und Volumen dV gilt somit:

\begin{align}
\require{cancel}
&u = \frac{\text{d}U}{\text{d}V} = \frac{B_s \cdot \cancel{\text{d}A_p} \cdot \text{d}\lambda \cdot \text{d}\Omega \cdot \cancel{\text{d}t}}{ \cancel{\text{d}A_p} \cdot c \cdot \cancel{\text{d}t} } \\[5px]
&u = \frac{\text{d}U}{\text{d}V} = \frac{B_s \cdot \text{d}\lambda \cdot \text{d}\Omega}{c} \\[5px]
\end{align}

Die Energiedichte hängt in dieser Form noch vom Wellenlängenintervall und vom Raumwinkel ab. Deshalb wird die Energiedichte meist als spektrale Energiedichte u_s angegeben, d.h. als Energiedichte pro Einheit Wellenlängenintervall. Ferner ist es bei einem Volumenelement nicht sinnvoll die Energiedichte auf einen bestimmten Raumwinkel zu beziehen. Denn schließlich wird stets das gesamte Volumenelement mit seiner entsprechenden Energiedichte betrachtet. Deshalb wird die Energiedichte über den gesamten „Raum“ angegeben, d.h. die über eine volle Kugeloberfläche (Raumwinkel dΩ=4π):

\begin{align}
&u_s = \frac{u}{\text{d}\lambda} = \frac{B_s}{c} \cdot \text{d}\Omega = \frac{B_s}{c} \cdot 4\pi \\[5px]
&\boxed{u_s = \frac{4\pi}{c} \cdot B_s} \\[5px]
\end{align}

Zwischen der spektralen Energiedichte und der spektralen Intensität existiert schließlich der folgende Zusammenhang [vgl. Gleichung (\ref{gg})]:

\begin{align}
&\boxed{u_s = \frac{4}{c} \cdot I_s} \\[5px]
\end{align}

Diese Beziehung zwischen der spektralen Energiedichte und der (spezifischen) spektralen Intensität gilt nicht nur für die Wellenlängendarstellung, sondern auch für die Frequenzdarstellung. In diesem Fall meint die spektrale Energiedichte dann die Energiedichte pro Einheit Frequenzintervall. In ausgeschriebener Form lässt sich die spektrale Energiedichte für beide Fälle wie folgt bestimmen:

\begin{align}
&\boxed{u_s(\lambda) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Wellenlängenform} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
&\boxed{u_s(f) = \frac{8 \pi h f^3}{c^3} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Frequenzform} \\[5px]
\end{align}

Die gesamte Energiedichte im Hohlraum eines schwarzen Strahlers würde man schließlich durch Integration dieser Gleichungen über den gesamten Wellenlängenbereich bzw. Frequenzbereich erhalten. Diese Gesamtenergiedichte ist offensichtlich nur von der Temperatur abhängig und im gesamten Hohlraum räumlich konstant. Würde sich die Energiedichte in zwei Punkten unterscheiden, dann wäre in einem Volumenelement offensichtlich mehr Energie enthalten als im anderen. Das Volumenelement mit der höheren Energiedichte würde schließlich „stärker“ strahlen als das andere. Das Photonengas bzw. der gesamte Hohlraum befände sich dann aber nicht im thermodynamischen Gleichgewicht.

Ferner ist die Energiedichte nicht vom Volumen des Hohlraumes abhängig. Die spektrale Verteilung der Energiedichte ist alleinig durch die Temperatur bestimmt. Ob der Hohlraum also klein oder groß ist, spielt für die darin enthaltene (spektrale) Energiedichte keine Rolle!

Die Energiedichte im Hohlraum eines schwarzen Hohlkörpers ist nur von der Temperatur abhängig!

Anmerkung: Planck leitet zuerst die Formel für Energiedichte im Inneren eines Hohlraumstrahlers her. Erst anschließend beschrieb er ausgehend hiervon die austretende Strahlung; also im Prinzip genau die umgekehrte Vorgehensweise wie wir sie in diesem Artikel dargelegt haben.

Planck’sches Strahlungsgesetz

Das ausgesendete Wellenlängenspektrum der Schwarzkörperstrahlung wie es die untere Abbildung zeigt konnte lange Zeit nicht erklärt werden. Bis dahin ging man nämlich immer von einer kontinuierlichen Verteilung der Energie aus. Erst durch Einführung diskreter Energiezustände gelang es dem Physiker Max Planck die Schwarzkörperstrahlung mathematisch zu beschreiben. Obwohl er die Einführung diskreter Energien physikalisch zunächst nicht zu deuten wusste, legte er damit den Grundstein der Quantenmechanik.

Max Planck konnte die unten angegebene Formel herleiten, die die spektrale Intensität I_s in Abhängigkeit der Wellenlänge λ wiedergibt. Diese Formel ist auch als Planck’sches Strahlungsgesetz bekannt.

\begin{align}
\label{planck}
&\boxed{I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Planck’sches Strahlungsgesetz} \\[5px]
\end{align}

Die Intensität meint darin die pro Flächeneinheit abgegebene Strahlungsleistung des schwarzen Körpers (Flächenleistungsdichte). Wird die Intensität wie in diesem Fall zusätzlich noch auf das Wellenlängeintervall bezogen innerhalb dessen die Leistung emittiert wird, so spricht man von der spektralen Intensität. Wird die spektrale Intensität über die Wellenlänge aufgetragen, so entspricht in einem solchen Diagramm die Fläche unter der Kurve der abgestrahlten Intensität im betrachteten Wellenlängenbereich.

Zwischen der Wellenlänge λ einer Strahlung und dessen Frequenz f besteht ein fester Zusammenhang. Dieser ergibt sich über die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Strahlung, die in diesem Fall der Lichtgeschwindigkeit c entspricht (c=λ⋅f). Deshalb lässt sich die spektrale Verteilung der Intensität I_s auch in Abhängigkeit der Frequenz ausdrücken:

\begin{align}
\label{freq}
&\boxed{I_s(f) = \frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} } ~~~\text{Planck’sches Strahlungsgesetz} \\[5px]
\end{align}

Im Artikel Unterschiedliche Formen des Planck’schen Strahlungsgesetzes wird auf die Herleitung dieser Frequenzdarstellung aus der Wellenlängendarstellung und auf weitere Formen des Planck’schen Strahlungsgesetzes näher eingegangen.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Wie bereits erwähnt, ergibt sich die abgestrahlte Intensität als Fläche unter der spektralen Intensitätsverteilung. Hierzu ist das Planck’schen Strahlungsgesetz folglich über den gesamten Wellenlängenbereich bzw. Frequenzbereich hinweg zu integrieren. An dieser Stelle soll die Integration anhand der Frequenzdarstellung nach Gleichung (\ref{freq}) erfolgen:

\begin{align}
&I= \int_{0}^{\infty} I_s(f) ~ \text{d}f\\[5px]
&I= \int_{0}^{\infty} \frac{2\pi h f^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h f}{k_B T}\right)-1} ~ \text{d}f\\[5px]
\label{her}
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{f^3}{\exp\left(\dfrac{hf }{k_B T}\right)-1} ~ \text{d}f\\[5px]
\end{align}

Diese Integral kann man dadurch lösen, dass man zunächst das Argument der Exponentialfunktion h⋅f/(k_B⋅T) durch x ersetzt (Integration durch Substitution). Somit gelten folgende Beziehungen zwischen der neu definierten Variablen x und der bisherigen Variablen f:

\begin{align}
&x := \frac{hf}{k_B T} ~~~\Rightarrow \boxed{\color{red}{f = \frac{x k_B T}{h}}} \\[5px]
&\frac{\text{d}x}{\text{d}f} = \frac{h}{k_B T} ~~~\Rightarrow \boxed{\color{blue}{\text{d}f = \frac{k_B T}{h}\text{d}x} } \\[5px]
\end{align}

Werden diese Beziehungen in Gleichung (\ref{her}) eingesetzt, dann gilt:

\begin{align}
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\left(\color{red}{\frac{x k_B T}{h} }\right)^3}{\exp\left(\color{red}{x} \right)-1} ~ \color{blue}{\frac{k_B T}{h}\text{d}x }\\[5px]
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{k_B^3 T^3}{h^3} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~ \frac{k_B T}{h}\text{d}x\\[5px]
&I= \frac{2\pi h}{c^2} \cdot \frac{k_B^3 T^3}{h^3} \cdot \frac{k_B T}{h} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~\text{d}x\\[5px]
&I= \frac{2\pi k_B^4}{h^3 c^2} T^4 \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{\exp\left(x \right)-1} ~\text{d}x\\[5px]
\end{align}

Das Integral ∫₀^∞ x³/(exp(x)-1) dx lässt sich auf herkömmliche Weise nicht so einfach lösen. Ein Blick in die Formelsammlung der Mathematik liefert aber als Ergebnis den Wert π⁴/15. Somit gilt für die abgestrahlte Intensität eines Schwarzen Körpers:

\begin{align}
&I= \frac{2\pi k_B^4}{h^3 c^2} T^4 \cdot \frac{\pi^4}{15}\\[5px]
&I= \underbrace{\frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}}_{\sigma} \cdot T^4 \\[5px]
&\boxed{I= \sigma \cdot T^4}~~~~~\text{mit}~~~~~\boxed{\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}}= 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Die konstanten Größen in der oberen Gleichung können zu einer neuen Konstante zusammengefasst werden. Diese neue Konstante wird Stefan-Boltzmann-Konstante σ genannt (nicht zu verwechseln mit der Boltzmann-Konstanten k_B!). Die abgestrahlte Intensität eines Schwarzen Körpers ist also nur von der Temperatur abhängig. Sie nimmt mit der vierten Potenz der Temperatur zu. Diese Gesetzmäßigkeit wird auch als Stefan-Boltzmann-Gesetz bezeichnet.

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die Strahlungsintensität eines Schwarzen Körpers im thermischen Gleichgewicht proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist!

Mithilfe der Intensität I kann nun auch die Strahlungsleistung Φ eines Schwarzen Körpers ermittelt werden, d.h. die insgesamt pro Zeiteinheit abgegebene Strahlungsenergie. Hierzu ist die Intensität I (als Flächenleistungsdichte) lediglich mit der Oberfläche A des Schwarzen Körpers zu multiplizieren:

\begin{align}
&\boxed{\Phi(T,A) = \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Mehr Informationen zum Stefan-Boltzmann-Gesetz und zur Herleitung aus der Thermodynamik finden sich im Hauptartikel Stefan-Boltzmann-Gesetz wieder.

Reale Körper: Der Emissionsgrad

In der Praxis strahlen reale Gegenstände nicht mit der Intensität eines Schwarzen Körpers sondern haben eine geringere Strahlungsleistung. Dies wird durch den einheitenlosen Emissionsgrad ε<1 ausgedrückt. Der Emissionsgrad gibt die Strahlungsleistung eines realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper wieder:

\begin{align}
&\boxed{I_{real}=\varepsilon \cdot \sigma \cdot T^4}\\[5px]
&\boxed{\Phi_{real} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Für nicht-metallische Oberflächen liegt der Emissionsgrad in vielen Fällen über 0,9. Diese Gegenstände können im Hinblick auf die emittierte Strahlung somit in sehr guter Näherung als Schwarze Körper betrachtet werden. Dies macht die Temperaturbestimmung von realen Gegenständen mit Hilfe einer Wärmebildkamera oder einem Pyrometer relativ einfach, da Oberflächeneigenschaften einen eher untergeordneten Einfluss haben (sofern die Oberflächen nicht extrem reflektierend sind).

Wiensches Verschiebungsgesetz

Die spektrale Intensitätsverteilung in Abhängigkeit der Temperatur soll nun genauer betrachtet werden. Es zeigt sich, dass sich das Maximum der Kurve mit zunehmender Temperatur zu immer geringeren Wellenlängen verschiebt. Die Abhängigkeit dieser Wellenlänge λ_max von der Temperatur ist durch nachfolgende Gleichung gegeben. Diese Gleichung ist auch als Wiensches Verschiebungsgesetz bekannt.

\begin{align}
&\boxed{\lambda_{max}=\frac{2897,8 \text{ µm K}}{T}}~~~\text{Wiensches Verschiebungsgesetz} \\[5px]
\end{align}

Man kann das Wiensche Verschiebungsgestz durch Bestimmung des Hochpunktes der Planckschen Strahlungsfunktion (\ref{planck}) ermitteln. Hierfür muss die Funktion unter Zuhilfenahme der Produktregel lediglich nach der Wellenlänge λ abgeleitet und Null gesetzt werden:

\begin{align}
\label{abl}
&\frac{\text{d}I_s(\lambda)}{\text{d}\lambda} \overset{!}{=} 0 ~~~~~\text{mit}~~~~~ I_s(\lambda) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left(\dfrac{h c}{\lambda k_B T}\right)-1} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\frac{\text{d}I_s(\lambda)}{\text{d}\lambda} &= 2 \pi c^2 \left(\frac{hc}{k_B T \lambda^7} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda}\right)}{\left[\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1\right]^2} – \frac{1}{\lambda^6} \cdot \frac{5}{\exp\left(\frac{hc}{k_B T \lambda}\right)-1} \right) \\[5px]
&= \underbrace{\frac{2 \pi c^2}{\lambda^6 \cdot \left[ \exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1 \right] }}_{>0} \underbrace{\left(\frac{hc}{k_B T \lambda} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda}\right)}{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1} – 5 \right)}_{=0} =0
\end{align}

Diese Gleichung wird nur dann null sein, wenn der Ausdruck in der runden Klammer null wird. Somit folgt:

\begin{align}
&\frac{hc}{k_B T \lambda} \cdot \frac{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right)}{\exp\left( \frac{hc}{k_B T \lambda} \right) -1} – 5 = 0 \\[5px]
\end{align}

Mit der nachfolgend angegebenen Substitution, vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:

\begin{align}
\label{max}
&\boxed{x := \frac{hc}{\lambda k_B T}} ~~~\Rightarrow~~~ x \cdot \frac{\exp\left(x\right)}{\exp\left(x\right) -1} – 5 = 0 \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden, z.B. mit dem Newton-Verfahren. Als Lösung erhält man x = 4,9651. Mit dieser Lösung kann die Wellenlänge λ_max nun bestimmt werden. Hierzu muss Gleichung (\ref{max}) lediglich nach der gesuchten Variablen λ_max umgestellt werden:

\begin{align}
& \lambda_{max}= \frac{hc}{x k_B T} = \frac{\tfrac{hc}{x k_B}}{T}= \frac{0,0028978 \text{ m K}}{T}= \frac{2897,8 \text{ µm K}}{T} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
&\boxed{\lambda_{max}=\frac{2897,8 \text{ µm K}}{T}}\\[5px]
\end{align}

Das Maximum der spektralen Intensität kann auch für die Frequenzdarstellung I_s(f) ermittelt werden. Hierfür ist die Funktion I_s(f) nach der Frequenz f abzuleiten und anschließend Null zu setzen:

\begin{align}
&\frac{\text{d}I_s(f)}{\text{d}\lambda} \overset{!}{=} 0 ~~~\Rightarrow~~~ \boxed{f_{max} = 5,879 \cdot 10^{10} \tfrac{\text{Hz}}{\text{K}} \cdot T}
\end{align}

Anmerkung

Beachte, dass das Wiensche Verschiebungsgesetz die Wellenlänge λ_max angibt bei der die spektrale Intensität ein Maximum aufweist. Dieses Maximum ist nicht gleichzusetzen mit dem Maximum der Intensität an sich bzw. mit dem Maximum der Strahlungsleistung! Dies führt zum Beispiel dazu, dass zwar der allgemeine Zusammenhang f=c/λ gilt, jedoch in diesem speziellen Fall nicht f_max=c/λ_max!

Dies hat damit zu tun, dass es sich bei der spektralen Intensität um eine auf die Wellenlänge bezogene Größe handelt. Man misst sozusagen die Strahlungsleistung in einem bestimmten Wellenlängenbereich dλ und bezieht hierauf die Strahlungsleistung. Ein Vergleich unterschiedlicher Strahlungsleistungen ist also nur dann gegeben wenn auch immer dieselben Wellenlängenintervalle betrachtet werden. Da die Frequenz nun nicht proportional zur Wellenlänge ist sondern umgekehrt proportional, bedeuten äquidistante Wellenlängenintervalle nicht auch äquidistante Frequenzintervalle.

Als einfaches Beispiel soll der Wellenlängenbereich zwischen 1 und 10 µm dienen, der in Intervallen von jeweils 1 µm unterteilt wird. Es ergibt sich somit die folgende äquidistante Reihe:

\begin{align}
&1-2-3-4-5-6-7-8-9-10 \\[5px]
\end{align}

Die reziproken Werte hiervon, die im übertragenen Sinne die Bedeutung der Frequenz als reziproker Wert der Wellenlänge haben, ergeben aber keine äquidistante Reihe mehr:

\begin{align}
&\frac{1}{1}-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} -\frac{1}{4} -\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} -\frac{1}{8} -\frac{1}{9} -\frac{1}{10} \\[5px]
&1-0,5-0,333-0,25-0,2-0,167-0,143-0,125-0,111-0,1 \\[5px]
\end{align}

Man kann also äquidistante Wellenlängenintervalle nicht mit äquidistanten Frequenzintervallen vergleichen kann. Deshalb gilt in der Frequenzdarstellung der spektralen Intensität eine andere Frequenz f_max als man durch die Formel f_max=c/λ_max erwarten könnte.

Einleitung

Im Artikel Schwarzkörperstrahlung wurde bereits ausführlich erläutert, warum jeder Körper oberhalb des absoluten Nullpunktes Strahlung emittiert. Diese Strahlung wird auch als Wärmestrahlung, Temperaturstrahlung oder thermische Strahlung bezeichnet. Die Temperaturstrahlung kommt aufgrund der Schwingungen der Atome zustande, die dabei elektromagnetische Wellen aussenden, also Strahlung.

Die Wärmestrahlung lässt sich nicht nur durch dadurch nachweisen, dass sie in der Lage ist andere Gegenstände zu erwärmen, wie man aus dem Begriff der Wärmestrahlung ableiten könnte. Bei ausreichend hohen Temperaturen verschiebt sich das abgestrahlte Wellenlängenspektrum in den sichtbaren Bereich und kann hierdurch direkt beobachtet werden. Das rötliche Glühen eines erhitzten Stahls beim Schmieden ist bspw. die Folge einer solchen sichtbar gewordenen Temperaturstrahlung.

Auch das sichtbare Leuchten der Glühwendel einer Glühbirne bei über 3000 °C ist ebenfalls ein typisches Beispiel welches auf das Phänomen der Temperaturstrahlung zurückzuführen ist. Über 90 % der Strahlungsenergie wird dabei im nicht-sichtbaren Infrarotbereich abgestrahlt und ist somit tatsächlich nur als Wärme wahrzunehmen. Der restliche Anteil entfällt aber auf das sichtbare Wellenlängenspektrum und ist als gelbliches Glühen direkt beobachtbar (ein geringer Teil wird auch im ultravioletten Wellenlängenbereich abgestrahlt).

Strahlungsleistung

Wie eine Wärmelampe oder ein glühender Stahlblock deutlich zeigt, ist das Emittieren von Strahlung offensichtlich mit einem Aussenden von Energie verbunden. Wie viel Strahlungsenergie ΔQ pro Zeit Δt ein Gegenstand dabei aussendet, d.h. wie hoch seine Strahlungsleistung Φ ist, hängt hauptsächlich von der Temperatur T ab, aber auch von der Größe der Oberfläche A sowie von der Strahlungseigenschaft des Körpers (dem sogenannten Emissionsgrad ε).

\begin{align}
&\boxed{\Phi = \frac{\Delta Q}{\Delta t}}=\Phi(T,A,\varepsilon) \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass sich die Strahlungsleistung nicht nur auf die Wärmeenergie im Infrarotbereich bezieht oder auf die abgestrahlte Energie im sichtbaren Wellenlängenbereich, sondern auf die Energie im gesamten Wellenlängenspektrum, also auf die gesamte energetische Strahlung!

Wird zum Beispiel eine Glühlampe bei geringem elektrischem Strom betrieben, so ist die Temperatur der Glühwendel entsprechend gering. Die Lampe leuchtet hierdurch nicht nur schwächer sondern sie erwärmt sich auch nicht so stark. Insgesamt ist bei niedrigen Temperaturen die Strahlungsleistung also relativ gering. Bei großem Strom hingegen erwärmt sich die Glühwendel stark und die Temperatur ist entsprechend hoch. Sie leuchtet dann nicht nur intensiv gelb sondern strahlt auch im hohen Maße Infrarotstrahlung ab, die deutlich als Wärme spürbar ist. Je höher die Temperatur eines Körpers also ist, desto höher ist offensichtlich die abgegebene Strahlungsleistung!

Anmerkung: Dass die Glühwendel bei geringer Temperatur schwach rötlich strahlt und bei hoher Temperatur in einem intensiven Gelb, ist dem abgestrahlten Wellenlängenspektrum geschuldet, das sich mit zunehmender Temperatur in den gelblichen Bereich verschiebt (mehr Informationen hierzu im Artikel Schwarzkörperstrahlung).

Neben der Temperatur beeinflusst aber auch die Größe der Oberfläche des strahlenden Körpers die abgegebene Strahlungsleistung. Denn je größer die Oberfläche, desto mehr Atome können dort schwingen und Strahlung nach außen abgeben. Beachte, dass Strahlung, die die Atome im Inneren des Körpers abgeben, von den umgebenden Atomen direkt wieder absorbiert wird und deshalb nicht nach außen tritt. Somit sind nur die Atome an der Oberfläche für die Abstrahlung der elektromagnetischen Wellen relevant. Bei doppelter Oberflächengröße sollte deshalb auch die Strahlungsleistung doppelt so hoch sein.

Genauere Untersuchungen der Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann Ende des 19. Jahrhunderts zeigten, dass die Strahlungsleistung tatsächlich direkt proportional zur Oberfläche des Körpers ist. Der Einfluss der Temperatur auf die Strahlungsleistung ist hingegen weitaus größer. Sie nimmt mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur zu. Eine Verdopplung der Temperatur von bspw. 1000 K auf 2000 K erhöht die Strahlungsleistung somit um das 16-fache! Für einen idealen Temperaturstrahler, einem sogenannten Schwarzen Körper, ergibt sich die Strahlungsleistung Φ_ideal in Abhängigkeit der Temperatur T und der Fläche A somit wie folgt:

\begin{align}
&\Phi_{ideal} \sim A \cdot T^4 \\[5px]
&\boxed{\Phi_{ideal} = \sigma \cdot A \cdot T^4} ~~~~~ \sigma = 5,670 \cdot 10^{-8} \frac{\text{W}}{\text{m²K}^4} \\[5px]
\end{align}

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die Strahlungsleistung eines Gegenstandes im thermischen Gleichgewicht proportional zur vierten Potenz der Temperatur und direkt proportional zu dessen Oberfläche ist!

Der Proportionalitätsfaktor σ wird Stefan-Boltzmann-Konstante genannt und ist eine Naturkonstante, d.h. insbesondere nicht vom Material des strahlenden Gegenstandes abhängig, solange der Körper alle auftreffende Strahlung absorbiert und deshalb als Schwarzer Körper betrachtet werden kann.

Als Schwarzer Körper wird ein idealer Temperaturstrahler bezeichnet, der alle auftreffende Strahlung absorbiert und deshalb mit maximaler Leistung strahlt!

Weshalb ein Schwarzer Körper nicht nur ein perfekter Absorber von Strahlung sondern immer auch ein perfekter Emitter von Strahlung ist, wird im Abschnitt Reale Körper näher erläutert.

Wird die Strahlungsleistung Φ des Schwarzen Körpers auf dessen Fläche A bezogen, dann spricht man auch von der sogenannten Strahlungsintensität I (Flächenleistungsdichte). Die Intensität gibt die Stärke der Strahlungsleistung pro Flächeneinheit an. Die Intensität der Wärmestrahlung ist bei einem Schwarzer Körper nur von Temperatur abhängig:

\begin{align}
&I=\frac{\Phi}{A} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T^4}{A} = \sigma \cdot T^4\\[5px]
&\boxed{I = \sigma \cdot T^4 } \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Das Stefan-Boltzmann-Gesetz kann aus dem Planck’sch Strahlungsgesetz oder aus einer thermodynamischen Betrachtungsweise hergeleitet werden. In den entsprechenden Artikeln erfahren Sie mehr darüber.

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

Im Folgenden wird ein Schwarzer Körper betrachtet, der von einem Strahler bestrahlt wird. Definitionsgemäß wird der Schwarze Körper alle einfallende Strahlung absorbieren. Die absorbierte Energie führt zur Erhöhung der Temperatur und der Schwarze Körper beginnt verstärkt Strahlung abzugeben. Schließlich wird sich mit der Zeit ein thermisches Gleichgewicht einstellen, in dem die Temperatur nicht mehr weiter ansteigt. Im thermodynamischen Gleichgewicht muss somit die innerhalb einer gewissen Zeit emittiert Strahlungsenergie (Emissionsleistung Φ_e) gleich groß sein wie die absorbierte Strahlungsenergie (Absorptionsleistung Φ_a):

\begin{align}
\label{kirch}
&\boxed{\Phi_a \overset{!}{=} \Phi_e} \\[5px]
\end{align}

Dieses Strahlungsgleichgewicht zwischen emittierter Strahlung und absorbierter Strahlung gilt grundsätzlich für jeden Körper im thermischen Gleichgewicht, also auch für nicht-ideale Schwarze Körper, welche nicht mit maximaler Leistung strahlen. Denn schließlich wird sich bei jedem Körper nach einer gewissen Zeit eine konstante Temperatur und somit ein thermodynamisches Gleichgewicht einstellen, in dem Emission und Absorption im selben Maße ablaufen müssen. Diese Gesetzmäßigkeit wird auch als Kirchhoffsches Strahlungsgesetz bezeichnet.

Als Kirchhoffsches Strahlungsgesetz bezeichnet man die Tatsache, dass im thermischen Gleichgewicht eines strahlenden Körpers, die Emissionsleistung gleich der Absorptionsleistung ist!

Auf dieselbe Weise wie die Emissionsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur steigt, muss somit auch die Absorptionsleistung mit der vierten Potenz der Temperatur steigen. Ansonsten gäbe es kein thermisches Gleichgewicht. Die Gesetzmäßigkeit mit der ein idealer Schwarzer Körper gemäß des Stefan-Boltzmann-Gesetztes Strahlung emittiert, muss im thermischen Gleichgewicht also auch für die absorbierte Strahlung gelten!

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{a,ideal} = \Phi_{e,ideal} = \sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
\end{align}

Reale Körper

Man kann diese Situation nun auch auf reale Körper übertragen, die eben keine perfekte Schwarze Körper sind. Bei realen Gegenständen wird immer ein gewisser Teil der Strahlung reflektiert und nicht wie bei Schwarzen Körpern vollständig absorbiert. Die absorbierte Strahlungsleistung eines realen Körpers wird also um einen Faktor α<1 geringer sein als die eines idealen Schwarzen Körpers. Dieser Faktor α, der den absorbierten Anteil der auftreffenden Strahlung beschreibt und somit die Absorptionsleistung im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper angibt, wird auch als Absorptionsgrad α bezeichnet.

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{a,real} = \alpha \cdot \Phi_{a,ideal} } ~~~~~\alpha<1 \\[5px]
&\Phi_{a,real} = \alpha \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Als Absorptionsgrad α bezeichnet man den absorbierten Strahlungsanteil einer auftreffenden Strahlung, d.h. die Absorptionsleistung des Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper!

Gemäß des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes ist im thermischen Gleichgewicht die Emissionsleistung genauso groß wie die Absorptionsleistung. Ein realer Körper der eine geringere Absorptionsleistung als ein idealer Schwarzer Körper hat, wird somit auch eine im selben Maße geringere Emissionsleistung haben!

Die Emissionsleistung eines realen Körpers ist im thermischen Gleichgewicht im selben Maße geringer wie die Absorptionsleistung!

Dies bedeutet aber auch: Ein Körper der maximal absorbiert, emittiert auch maximal. Ein Schwarzer Körper ist also nicht nur ein idealer Absorber von Strahlung sondern eben auch ein perfekter Emitter von Strahlung!

Ein Schwarzer Körper ist ein idealer Wärmestrahler mit der maximal möglichen Strahlungsleistung!

Rein formal kann man die Emissionsleistung eines realen Körpers ebenfalls mit einem Faktor versehen, der dann das Verhältnis der emittierten Strahlung des realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Strahler angibt! Dieser Faktor wird dann Emissionsgrad ε genannt.

\begin{align}
&\boxed{\Phi_{e,real} = \varepsilon \cdot \Phi_{e,ideal} } ~~~~~\varepsilon<1 \\[5px]
&\Phi_{e,real} = \varepsilon \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4 \\[5px]
\end{align}

Ein Emissionsgrad von bspw. ε=0,9 bedeutet anschaulich, dass der betrachtete Gegenstand 90 % der Strahlungsleistung eines idealen Temperaturstrahlers besitzt. Viele nicht-metallische Gegenstände besitzen einen Emissionsgrad über 90 % und können bezüglich ihrer abgegebenen Strahlung daher in sehr guter Näherung als Schwarze Körper betrachtet werden. Für einen perfekten Schwarzen Körper gilt ε=1.

Der Emissionsgrad gibt das Verhältnis der tatsächlich abgegebenen Strahlung eines realen Körpers im Vergleich zu einem idealen Wärmestrahler wieder, einem Schwarzen Körper!

Zwar wird der Absorptionsgrad und der Emissionsgrad formal unterschieden, im thermischen Gleichgewicht ist diese Unterscheidung aber hinfällig, da beide Werte gemäß des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes (\ref{kirch}) identisch sind:

\begin{align}
\require{cancel}
&\Phi_{e,real} \overset{!}{=} \Phi_{e,real} \\[5px]
&\alpha \cdot \bcancel{\sigma \cdot A \cdot T^4} = \varepsilon \cdot \bcancel{\sigma \cdot A \cdot T^4} \\[5px]
&\boxed{\alpha = \varepsilon} \\[5px]
\end{align}

Im thermischen Gleichgewicht ist der Absorptionsgrad gleich dem Emissionsgrad!

Anmerkung

Reale Körper die im gesamten abgestrahlten Wellenlängenspektrum eine konstant geringere (spektrale) Emissionsleistung aufweisen im Vergleich zu einem idealen Schwarzen Körper, werden auch als graue Körper bzw. graue Strahler bezeichnet. Graue Körper haben also einen Absorptionsgrad bzw. Emissionsgrad, der nicht von der Wellenlänge abhängig ist.

In machen Fällen wird ein Körper aber auch je nach Wellenlänge unterschiedlich stark Strahlung absorbieren bzw. emittieren. Der Absorptionsgrad bzw. der Emissionsgrad ist dann von der Wellenlänge abhängig. Solche Körper werden als selektive Absorber bzw. als selektive Strahler bezeichnet.

Auf demselben Prinzip wie das Pyrometer beruhen auch Wärmebildkameras. Sie nehmen das Strahlungsspektrum eines Gegenstandes auf, welches dann Rückschlüsse auf die Temperatur zulässt (siehe Artikel Schwarzkörperstrahlung). Im Vergleich zu einem Infrarot-Thermometer erfasst die Wärmebildkamera jedoch nicht nur punktuell die Temperatur sondern in einem weiten optischen Bereich und stellt diese graphisch dar.

Da die von Objekten ausgesendete Infrarotstrahlung für das menschliche Auge nicht sichtbar ist, wird die Strahlung in ein für uns sichtbares Spektrum umgewandelt und angezeigt. Da also das von der Kamera angezeigte Bild nicht der tatsächlich ausgesendeten Strahlung entspricht, spricht man in diesem Zusammenhang auch von Falschfarben.

Die untere Abbildung zeigt das Wärmebild eines gefahrenen Autos aufgenommen von einer Wärmebildkamera. Zu sehen sind die heißen Stellen in weiß und die kalten Stellen in dunkelblau.

Wärmebildkameras bieten sich immer dann an, wenn die Verteilung der Temperatur ermittelt werden soll. Sie kommen bspw. bei der Feuerwehr zum Einsatz, um potentielle Wärme- bzw. Feuerquellen rasch zu identifizieren.

Bei in den Artikeln zuvor vorgestellten Thermometern handelt es sich um sogenannte berührende Sensoren. Dies bedeutet, dass diese direkt den Gegenstand berühren müssen, von dem die Temperatur ermittelt werden soll. Dies kann in vielen Fällen ein Nachteil sein, zum Beispiel bei sehr heißen Stoffen wie bspw. Metallschmelzen oder auch bei ätzenden Flüssigkeiten. In solchen Fällen kommen berührungslose Messverfahren zur Anwendung.

Das sogenannte Pyrometer (IR-Thermometer) erfasst die Wärmestrahlung (Infrarotstrahlung) von Gegenständen, die jeder Körper aufgrund seiner Temperatur aussendet (siehe Artikel Schwarzkörperstrahlung). Das vom Messgerät aufgenommen Strahlungsspektrum lässt somit Rückschlüsse auf die Temperatur des Körpers zu. Mit Hilfe eines solchen Strahlungmessgerätes muss der Messgegenstand somit nicht mehr direkt berührt werden, um die Temperatur zu erfassen.

Pyrometer (Infrarot-Thermometer) nutzen die für das menschliche Auge unsichtbare Wärmestrahlung von Gegenständen um hieraus die Temperatur zu bestimmen!

Häufig sind Infrarot-Thermometern mit einem Laser ausgestattet. Dieser Laser dient jedoch nicht der Messung direkt sondern hat lediglich eine zielende Funktion. Auf diese Weise kann besser festgestellt von welcher Stelle die Temperatur nun genau gemessen wird.