So paradox es auf den ersten Blick auch erscheinen mag, aber eine konvexe Wölbung der Riemenscheibe führt dazu, dass ein Flachriemen sich selbst auf der Riemenscheibe zentriert und nicht davon abspringt!

Um dieses paradoxe Verhalten zu verstehen, betrachten wir den Riemen auf einer gekrümmten Riemenscheibe etwas genauer. Die untere Abbildung zeigt hierzu einen flachen Riemen, der auf einer zylinderförmigen Antriebsscheibe und auf einer gewölbten Abtriebsscheibe aufgebracht ist. Die Wölbung ist aufgrund der besseren Veranschaulichung stark übertrieben dargestellt. In der Praxis ist die Wölbung auf Riemenscheiben kaum sichtbar und beträgt oft nur ein Bruchteil eines Millimeters.

Aufgrund der Wölbung wird der Riemen an den beiden Seiten unterschiedlich stark gespannt. Die näher zur Mitte liegende Riemenseite wird stärker gespannt als die andere Seite. Diese unterschiedliche starke Spannung führt dazu, dass sich der Riemen nicht mehr symmetrische um die Scheibe schlingt, sondern sich wölbt. Diesen Effekt kann man relativ einfach mit einem Gummiband oder auch einem elastischen Stofftuch demonstrieren. Zieht man das Gummiband an einer Seite auseinander, so entsteht nicht etwa eine gerade Linie, sondern das Band wölbt sich aufgrund der ungleichen Spannung nach außen!

Dieser Effekt der Auswölbung auf der stärker gespannten Seite, zeigt sich nun auch beim Riemen, wenn dieser die gewölbte Scheibe umschlingt. Der Riemen ist sozusagen überhöht. Dieser Effekt ist umso größer, je stärker die Unterschiede in den Spannungen der beiden Riemenseiten sind und damit je stärker die Riemenscheibe gewölbt ist.

Dadurch, dass die Riemenscheibe und der Riemen selbst gewölbt ist, trifft die Riemenseite mit der Auswölbung zuerst auf die Riemenscheibe.

Dieser Punkt des Riemens, der zuerst auf die die Scheibe aufläuft, steht zudem unter hoher Spannung und haftet somit sehr stark auf der Riemenscheibe. Dieser Punkt ist aber versucht entlang einer kreisförmigen Bahn um die Riemenscheibe zu laufen (weiß eingezeichnete Linie mit rot markierten Kontaktpunkten). Auf diese Weise zieht sich der Riemen somit selbst hoch in Richtung der Mitte der Riemenscheibe.

Solange der Riemen nicht symmetrisch in der Mitte der Riemenscheibe liegt, wird sich die stärker gespannte Seite weiter auswölben und sich somit stets weiter nach oben ziehen. Dieser Effekt verschwindet erst, wenn der Riemen symmetrisch in der Mitte der Riemenscheibe aufliegt und beide Riemenseite gleich stark gespannt sind. In diesem Fall ist keine Auswölbung vorhanden und der Riemen zieht sich in keine Richtung. Dies führt zu dem selbst-zentrierenden Effekt der gewölbten Riemenscheiben und dazu, dass der Riemen nicht von der Scheibe springt.

Beachte, dass ein solche selbst-zentrierender Effekt nur bei flachen Riemen vorhanden ist, solange die Riemenbreite deutlich größer ist als die Riemenhöhe. Bei Rundriemen oder Riemen mit quadratischem Querschnitt funktioniert diese Selbstzentrierung mit gewölbten Riemenscheiben nicht mehr.

Druckänderungsarbeit

Wie im Artikel zur Druckänderungsarbeit ausführlich erläutert, setzt sich die Druckänderungsarbeit W_D aus der Summe von Verschiebearbeit W_S und Volumenänderungsarbeit W_V zusammen:

\begin{align}
\label{5715}
&W_\text{D} = W_\text{V} + W_\text{S} \\[5px]
\label{4461} 
&\boxed{W_D = – \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V + p_2~V_2 – p_1~V_1 }
\end{align}

Am Beispiel einer kontinuierlich arbeitenden Pumpe bzw. eines Kompressors wurde das Zustandekommen der einzelnen Terme näher erläutert. Im Folgenden sollen die einzelnen Terme in Gleichung (\ref{4461}) jedoch anhand eines diskontinuierlich arbeitenden Kolbenverdichters näher diskutiert werden. Der Kolbenverdichter bietet den didaktischen Vorteil, dass die einzelnen thermodynamischen Vorgänge (Einsaugen, Verdichte und Ausstoßen) zeitlich nacheinander ablaufen und anschaulich nachvollzogen werden können.

Funktionsweise eines Kolbenverdichters

Der Kolbenverdichter besteht im Prinzip aus einem Zylinder, der mit einem Einlass- und Auslassventil versehen ist. In dem Zylinder selbst bewegt sich ein elektrisch angetriebener Kolben auf und ab. Zunächst strömt bei sich zurückziehendem Kolben und geöffnetem Einlassventil Luft in den Zylinder. Anschließend wird die Luft bei geschlossenen Ventilen verdichtet. Nach dem Verdichtungsvorgang wird das Auslassventil geöffnet. Dieses Auslassventil verbindet den Zylinder mit einem großen Druckbehälter, in dem die verdichtete Luft gesammelt wird.

Der Druck im Druckbehälter wird dadurch konstant gehalten, dass bei Druckluftentnahme aus dem Sammelbehälter der Kolbenverdichter sofort wieder anspringt und verdichtete Luft nachliefert. Somit kommt es im Idealfall gar nicht erst zu einem Druckabfall im Druckbehälter. Das Auslassventil des Verdichters öffnet genau dann, wenn der Druck im Zylinder genauso groß ist wie der Druck im Druckbehälter, sodass die verdichtete Luft bei konstantem Druck aus dem Zylinder ausgeschoben wird.

Thermodynamische Beschreibung

Das Einsaugen, Verdichten und Ausschieben der Luft untersuchen wir im Folgenden nun etwas genauer. Dabei betrachten wir das Einsaugen und Ausstoßen jedoch nicht aus Sicht der eingesaugten bzw. ausgestoßenen Luft, sondern aus Sicht Umgebung bzw. des Druckbehälters.

Einsaugen

Zunächst saugt der Verdichter Luft aus jenem Raum an, in dem sich der Verdichter befindet – zum Beispiel aus einem Kellerraum, dessen Fenster und Türen geschlossen sind. Die Umgebung bildet somit ein geschlossenes System (im Prinzip ist der Ort, an dem der Kompressor steht, unerheblich, da die gesamte Erde ebenfalls als geschlossene System betrachtet werden könnte). Zieht sich der Kolben des Verdichters nun zurück, so wird das Volumen der geschlossenen Umgebung letztlich um das Volumen des Zylinders V₁ vergrößert.

Dieser Expansionsvorgang der Umgebungsluft kann dabei als isobar angenommen werden, da sich der Druck im Kellerraum währenddessen praktisch nicht ändern wird. Die Umgebungsluft im geschlossenen Kellerraum expandiert also bei konstantem Druck p₁, wobei sich das Volumen der Umgebung um ΔV = V₁ vergrößert. Folglich wird die Volumenänderungsarbeit W₁=-p₁⋅V₁ von der Umgebung verrichtet (dieser Arbeitsumsatz ist negativ, da von der betrachteten Umgebungsluft Arbeit verrichtet wird):

\begin{align}
\label{8780}
W_1= -p_1~V_1
\end{align}

Ausschieben

Nun betrachten wir die Zustandsänderung nach dem Verdichten, d.h. wenn die verdichtete Luftmasse in den Druckluftbehälter ausgeschoben wird. Dabei wird der Druckluftbehälter wiederum als geschlossenes System angesehen. Die bereits im Behälter befindliche Druckluft kann man sich als in einer gedanklichen Blase befindlich vorstellen. Wird das vom Verdichter kommende (komprimierte) Volumen V₂ nun in den Druckluftbehälter eingeschoben, so wird die darin gedachte Druckluftblase um dieses Volumen zusammengeschoben. Das Volumen der Druckluftblase verringert sich folglich um das Volumen V₂.

Auch dabei kann dieser Kompressionsvorgang wieder als isobar angenommen werden, wenn der Sammelbehälter nur groß genug ist. Dann wird nämlich der geringe Zustrom nicht wesentlich den Druck im Sammelbehälter ändern. Die Luft im geschlossenen Druckluftbehälter wird also bei konstantem Druck p₂ komprimiert, wobei sich das Volumen um ΔV = V₂ verringert. Dementsprechend wird die Volumenänderungsarbeit W₂=p₂⋅V₂ an der Luft im Druckbehälter verrichtet (dieser Arbeitsumsatz ist positiv, da am betrachteten Gas im Behälter Arbeit verrichtet wird):

\begin{align}
\label{eq:8844}
W_2 = p_2~V_2
\end{align}

Energieänderung der Luft in der Umgebung und im Druckbehälter

Der Energiegehalt der Luft in der Umgebung ändert sich folglich um die Volumenänderungsarbeit W₁, während sich der Energiegehalt der Luft im Druckluftbehälters um W₂ ändert. Ursache dieser Änderungen ist offensichtlich das offene System, das letztlich die Summe beider Volumenänderungsarbeiten zu verantworten hat. Die Änderung des Energiegehaltes ist auf das Ein- bzw. Ausschieben der Luft zurückzuführen und entspricht somit der Verschiebearbeit W_S des offenen Systems:

\begin{align}
\label{6852}
W_\text{S} = W_2+W_1=p_2~V_2-p_1~V_1
\end{align}

Dieses Beispiel zeigt, dass sich die Verschiebearbeit eines offenen Systems als Volumenänderungsarbeit von äußeren, geschlossenen Systemen interpretieren lässt, die mit dem offenen System gekoppelt sind! Das offene System (Verdichter) überträgt sozusagen Energie von einem geschlossenen System (Umgebung) auf ein anderes geschlossenes System (Druckbehälter).

Energieänderung der Luft im Verdichter

Der Verdichter ändert aber nicht nur den Energiegehalt der beiden äußeren Systeme, sondern auch noch den Energiegehalt der eingesaugten Luftmasse, d.h. jener Luftmasse, die durch das offene System geschoben wird. Deshalb muss der Verdichtungsvorgang der angesaugten Luftmasse von V₁ auf V₂ für eine Energiebilanzierung ebenfalls mitberücksichtigt werden.

Diese Volumenänderung führt zu einem dritten Arbeitsumsatz W_V, welcher allerdings nicht mehr isobar stattfindet. Deshalb muss für diese Volumenänderungsarbeit im offenen System ganz allgemein das Integral -∫p(V)⋅dV ermittelt werden. Die Summe aller drei Arbeitsumsätze ist vom Verdichter zu erbringen und entspricht der insgesamt vom offenen System umgesetzten Druckänderungsarbeit W_D:

\begin{align}
\label{3568}
W_\text{D} = W_\text{V} +W_2+W_1=-\int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V + p_2~V_2-p_1~V_1
\end{align}

Beachte, dass der Kompressionsvorgang der Luft von V₁ auf V₂ im Verdichter bei geschlossenen Ventilen erfolgt. Somit kann auch dieser Arbeitsumsatz als Volumenänderungsarbeit W_V eines geschlossenen Systems betrachtet werden! Es zeigt sich also, dass sich die einzelnen Terme in Gleichung (\ref{4461}) zur Berechnung der Druckänderungsarbeit stets auf Zustandsänderungen von geschlossenen Systemen zurückführen lassen!

Änderung der Temperatur beim Verdichten

Die isobare Zustandsänderung der Umgebung während dem Einschiebevorgang (Arbeitsumsatz W₁) geht prinzipiell mit einer Temperaturänderung einher. Die Temperaturänderung hängt davon ab, wie stark sich das Volumen der Umgebungsluft ändert. Für ideale Gase gilt hierfür das Gesetz von Gay-Lussac. Es besagt, dass sich bei einem isobaren Prozess die Temperatur im selben Maße ändert wie das Volumen. Die Volumenvergrößerung der Umgebung durch den zurückfahrenden Kolben kann allerdings vernachlässigt werden. Nimmt man bspw. ein Umgebungsvolumen von 50000 Liter an (Raum mit den Maßen 5m x 4m x 2,5m), so würde dieses bei einem Zylindervolumen von V₁=1 l gerade einmal auf ein Endvolumen von 50001 Liter expandiert werden. Die Volumenänderung der Umgebung und damit auch die Temperaturänderung betrüge in diesem Fall gerade einmal 0,002%. Der Einschiebevorgang der Luft in den Verdichter verursacht in der Praxis also keine nennenswerte Temperaturänderung.

Auch die Temperaturänderung der Druckluft im Sammelbehälter während des isobaren Ausschiebeprozesses (Arbeitsumsatz W₂), kann aus den oben genannten Gründen in der Praxis vernachlässigt werden. Denn in der Regel ist auch das Zylindervolumen des Verdichters vernachlässigbar klein gegenüber dem Volumen des Sammelbehälters. Der Ausschiebevorgang der verdichteten Luft in den Druckluftbehälter führt in der Praxis also ebenfalls nicht zu einer nennenswerten Temperaturänderung.

Aber dennoch wird man in der Realität eine deutliche Erhöhung der Temperatur zwischen der eingeschobenen und der ausgeschobenen Luft feststellen! Diese Temperaturänderung kommt allerdings nicht durch den Ein- bzw. Ausschiebevorgang zustande, sondern durch den Kompressionsvorgang im Verdichter selbst (Arbeitsumsatz W_V)! Denn in der Regel erhöht sich bei einer Kompression nicht nur der Druck, sondern auch die Temperatur des Gases. Je nach Verdichterart können dabei Temperaturen von über 100 °C entstehen. Aus diesem Grund werden Verdichter in der Regel gekühlt.

Um die Temperaturänderung während des Verdichtens zu ermitteln, kann der Erste Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme angewandt werden. Denn wie bereits erläutert, erfolgt der Kompressionsvorgang bei beidseitig geschlossenen Ventilen und somit in einem geschlossenen System. Selbst wenn der Verdichter ohne klassische Ventile arbeitet (z.B. Schraubenverdichter), so kann dieser Vorgang dennoch immer auf ein geschlossenes System zurückgeführt werden. Zum Beispiel dadurch, dass man sich einfach eine Blase um die eingesaugte Luftmasse vorstellt. Z.B. eine „Plastiktüte“ voller Luft, wobei diese selbst die Systemgrenze bildet. Innerhalb dieser Blase ist die Luftmasse konstant und es handelt sich folglich um ein geschlossenes System. Die eingesaugte „Plastiktüte“ voller Luft wird praktisch nur zusammengepresst, ohne dass dabei Masse entweicht noch einströmt.

Der Erste Hauptsatz für ein geschlossenes System besagt nun ganz allgemein, dass die Zufuhr von Arbeit W_V (Volumenänderungsarbeit) und Wärme Q in einer entsprechenden Änderung der inneren Energie ΔU des Stoffes resultieren:

\begin{align}
\label{7560}
\underbrace{-\int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V}_{=W_\text{V}} + Q = \Delta U
\end{align}

Für ein ideales Gas ist die Änderung der inneren Energie ΔU nur auf die Temperaturänderung ΔT zurückzuführen:

\begin{align}
\label{8373}
\Delta U = c_\text{v}~m~\Delta T
\end{align}

Mit einer solchen Betrachtung als ideales Gas kann schließlich aus der zugeführten Volumenänderungsarbeit W_V>0 und der abgeführten Wärme Q<0 durch Kühlung die resultierende Temperaturänderung ΔT bestimmt werden. Oder umgekehrt, kann anhand der Temperaturänderung dann auf die Volumenänderungsarbeit geschlossen werden.

Technische Arbeit in einem offenen System

Im Artikel Technische Arbeit in offenen Systemen wurde gezeigt, dass sich die technische Arbeit W_t im Allgemeinen aus der Druckänderungsarbeit W_D, der Hubarbeit W_H und der Beschleunigungsarbeit W_B zusammensetzt (sowie im reibungsbehafteten Fall Reibungsarbeit W_Diss, auf die zunächst allerdings verzichtet werden soll):

\begin{align}
\label{8918}
&\boxed{W_\text{t} = W_\text{D}+W_\text{H}+W_\text{B}~~~(+W_\text{Diss})} \\[5px]
&~~~W_\text{D} = W_\text{V} + W_\text{S} \\[5px]
&~~~W_\text{S} = \Delta (pV) \\[5px]
&~~~W_\text{H} = mg \cdot \Delta h \\[5px]
&~~~W_\text{B} = \tfrac{1}{2}m \cdot \Delta c^2 \\[5px]
\end{align}

Die Druckänderungsarbeit W_D wiederum kann als Summe von Verschiebearbeit W_S und Volumenänderungsarbeit W_V dargestellt werden. Somit lässt sich die technische Arbeit W_t für den reibungsfreien Fall (W_Diss=0) auch wie folgt ausdrücken:

\begin{align}
\label{9318}
&W_\text{t} = \underbrace{W_\text{V} + W_\text{S}}_{W_\text{D}} + W_\text{H} + W_\text{B} \\[5px]
\end{align}

Strömendes Fluidelement als geschlossenes System

Die Volumenänderungsarbeit W_V in Gleichung (\ref{9318}) ist dafür verantwortlich, dass sich das Volumen der betrachteten Fluidmasse, welche gerade durch das offene System strömt, von V₁ auf V₂ ändert. Diese Volumenänderung kann dabei als in einem geschlossenen System stattfindend betrachtet werden (siehe hierzu auch den Artikel Druckänderungsarbeit).

Man stelle sich hierzu einfach eine gedankliche Blase um ein Fluidvolumen der Masse m und dem entsprechenden Volumen V₁ vor. Diese Blase wird nun angesaugt und auf das Volumen V₂ komprimiert (bei Pumpen) oder expandiert (in Turbinen). Die Hülle der gedachten Blase stellt dabei die Systemgrenze dar, über diese hinweg keine Masseaustausch mit der Umgebung stattfindet. Durch diese Betrachtung kann die Volumenänderung des Stoffes im offenen System (dann auch Kontrollraum genannt) als in einem geschlossenen System stattfindend betrachtet werden.

Für die Volumenänderungsarbeit W_V können folglich die Gesetzmäßigkeiten von geschlossenen Systemen zugrunde gelegt werden, insbesondere der erste Hauptsatz der Thermodynamik für ein Stoff in einem geschlossenen System. Dieser besagt, dass für den reibungsfreien Fall die Zufuhr von Volumenänderungsarbeit W_V und Wärme Q zu einer entsprechenden Änderung der innere Energie ΔU des Stoffes führt:

\begin{align}
\label{6682}
W_\text{V} + Q = \Delta U \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Prinzipiell müsste bei bewegten geschlossenen Systemen eine Änderung der kinetischen und potentiellen Energie der betrachteten Masse mitberücksichtigt werden. Bei der vorliegenden Betrachtungsweise bewegt man sich aber mit dem Schwerpunkt der Masse mit, während diese durch den Kontrollraum strömt (stofffestes Koordinatensystem). Bezüglich dieser Schwerpunktsbetrachtung ändert sich dann aber weder die potentielle Energie noch die kinetische Energie! Bei der äußeren Betrachtungsweise der strömenden Masse nach Gleichung (\ref{9318}) ist die Änderung der potentiellen und kinetischen Energie ohnehin bereits berücksichtigt (ortsfestes Koordinatensystem).

Gleichung (\ref{6682}) erklärt nun auch weshalb die Luft beim Ausschieben aus einem Kompressor teilweise eine Temperatur von über 100 °C aufweist. Denn während des Kompressionsvorgangs wird dem Gas Volumenänderungsarbeit zugeführt (W_V>0), die ohne Kühlung (Q=0) direkt zur Erhöhung der inneren Energie führt (W_V=ΔU). Da für ideale Gase die innere Energie direkt mit der Temperatur verknüpft ist, steigt die Temperatur folglich an. Um solche, meist unerwünschte Temperaturerhöhungen zu vermeiden, werden Kompressoren in der Regel gekühlt (Q<0)! Aus diesem Grund befinden sich auch in Automobilen häufig sogenannte Ladeluftkühler wieder, sofern die Verbrennungsmotoren mit Kompressoren „aufgeladen“ werden (Motoraufladung).

Erster Hauptsatz der Thermodynamik für offene Systeme

Die Volumenänderungsarbeit W_V kann gemäß Gleichung (\ref{6682}) somit auch anhand der Änderung der inneren Energie ΔU und dem Wärmeumsatz Q ermittelt werden:

\begin{align}
\label{1957}
W_\text{V} = \Delta U – Q \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{1957}) kann nun in Gleichung (\ref{9318}) eingesetzt werden. Anschließend werden die Terme nach Prozessgrößen und Zustandsgrößen geordnet. Man erhält so schließlich den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für einen Stoff, der durch ein offenes System bewegt wird:

\begin{align}
\label{7962}
&W_\text{t} = \overbrace{\Delta U – Q}^{=W_\text{V}} + W_\text{S} + W_\text{H} + W_\text{B} \\[5px]
\label{6700}
&\underbrace{W_\text{t} + Q}_{\text{Prozessgrößen}} = \underbrace{\Delta U + W_\text{S} + W_\text{H} + W_\text{B}}_{\text{Änderung von Zustandsgrößen}} \\[5px]
\label{6671}
&\boxed{W_\text{t} + Q = \Delta U + \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} \\[5px]
&\text{erster Hauptsatz für offene Systeme}\\[5px]
\end{align}

Links des Gleichheitszeichens stehen lediglich Prozessgrößen, die dem durchströmenden Stoff von außen zu- oder abgeführt werden. Dies ist zum einen die technische Arbeit W_t, die dem Fluid meist über Wellen zu- oder abgeführt wird, z.B. über die Pumpenwelle oder die Turbinenwelle (deshalb häufig auch als Wellenarbeit bezeichnet). Zum anderen kann Wärme Q zu- oder abgeführt werden, wie zum Beispiel in Turbinen durch das Verbrennen des Treibstoffes (Wärmezufuhr) oder im Falle von Kompressoren durch Kühlrippen (Wärmeabfuhr). Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens stehen hingegen lediglich Zustandsgrößen, die durch diesen äußeren Energieumsatz entsprechend geändert werden.

Beachte, dass sich auch die Verschiebearbeit W_S als Änderung von Zustandsgrößen interpretieren lässt. Die Verschiebearbeit bringt zum Ausdruck, dass der Stoff mit dem Ausgangszustand p₁ und V₁ auf den Endzustand p₂ und V₂ geändert wurde ⇒ Δ(pV). Die Verschiebearbeit ist im eigentlichen Sinne also keine Prozessgröße wie man anhand des Begriffes Arbeit meinen könnte!

Der erste Hauptsatz lässt sich auch in spezifischer Form (d.h. auf die Fluidmasse m bezogen) angeben und ist somit unabhängig von der tatsächlich durchströmenden Masse:

\begin{align}
&\boxed{w_\text{t} + q = \Delta u + \Delta \left(p~v \right) + g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~\Delta c^2} \\[5px]
\end{align}

Interpretation des ersten Hauptsatzes für offene Systeme

Somit lässt sich der erste Hauptsatz für offene System gemäß Gleichung (\ref{6671}) wie folgt interpretieren: Wird einem Stoff, der durch ein offenes System bewegt wird, von außen die technische Arbeit W_t und die Wärme Q zu- oder abgeführt, so wird der Stoff im Allgemeinen folgenden Änderungen unterliegen:

• ΔU: Zum einen wird sich die innere Energie des Stoffes ändern. Dies resultiert in der Regel in einer entsprechenden Temperaturänderung.
• Δ(pV): Zudem ändert sich die Ausschiebeenergie im Vergleich zur Einschiebeenergie. Dies ist mit einer entsprechenden Änderung im Volumen und im Druck verknüpft.
• Δz: Ebenfalls ändert sich die potentielle Energie der bewegten Masse, wodurch sich die Schwerpunktlage entsprechend ändert.
• Δc²: Außerdem ergeben sich Änderungen in den kinetischen Energien bzw. den damit verbundenen Strömungsgeschwindigkeiten.

In Gleichung (\ref{7962}) wurde der Dissipationsterm W_Diss auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vernachlässigt. Unter Berücksichtigung von Reibung sollte dieser dann zwar prinzipiell auch auf der rechten Seite von Gleichung (\ref{6671}) auftauchen. Jedoch wird die zugeführte Dissipationsenergie früher oder später ohnehin in innere Energie dissipiert, wo sie auch zur Änderung des Drucks p und des Volumens V führt. Eventuell auftretende Dissipationsarbeiten werden also in den Termen ΔU und Δ(pV) bereits berücksichtigt!

Anmerkung: Gleichung (\ref{6671}) wird unter anderem durch die Änderung der inneren Energie ΔU und die Änderung des Drucks bzw. Volumens Δ(pV) ausgedrückt. Es handelt sich dabei um typische thermodynamische Zustandsgrößen. Mit Hilfe der Größe der Enthalpie, lassen sich diese beiden Terme zur sogenannten Enthalpieänderung zusammenfassen.

Exkurs: Bernoulli-Gleichung

Der im vorherigen Abschnitt erläuterte erste Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System lässt sich auch auf reine Strömungsprozesse von inkompressiblen Stoffen wie Flüssigkeiten übertragen. Hierzu wird eine reibungsfreie Wasserströmung durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt betrachtet.

Dem Wasser soll keine Energie in Form von Wärme oder Arbeit zu- oder abgeführt werden. Das Wasser strömt also lediglich durch das Rohr. Somit sind sowohl technische Arbeit W_t als auch Wärmeumsatz Q in Gleichung (\ref{6671}) Null. Auch eine Temperaturänderung kann deshalb vernachlässigt werden, sodass sich die innere Energie nicht ändert ΔU=0. Für diesen Fall ergibt sich der erste Hauptsatz dann wie folgt:

\begin{align}
\label{6570}
\underbrace{W_\text{t}}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} &= \underbrace{\Delta U}_{=0} + \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2 \\[5px]
\label{eq:4700}
0 &= \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2 \\[5px]
\end{align}

Wird der Druck am Eintritt des Rohres mit p₁, das Volumen mit V₁, die Geschwindigkeit mit c₁ und die Eintrittshöhe mit z₁ bezeichnet, sowie die entsprechenden Größen am Austritt mit dem Index „2“ versehen, so gilt:

\begin{align}
\label{7577}
&0 = \underbrace{p_2~V_2-p_1~V_1}_{\Delta \left(p~V \right)} + \underbrace{m~g~z_2-m~g~z_1}_{m~g~\Delta z} + \underbrace{\tfrac{1}{2}~m~ c_2^2-\tfrac{1}{2}~m~ c_1^2}_{\tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass für inkompressible Medien grundsätzlich nicht zwischen V₁ und V₂ unterschieden werden muss, da für solche Fälle beide Volumina identisch sind. Das Volumen wird deshalb lediglich mit V (ohne Index) bezeichnet. Ordnet man die Terme noch nach Größen am Ein- und Austritt so folgt:

\begin{align}
\label{8183}
&V~p_1 + m~g~z_1 + \tfrac{1}{2}~m~c_1^2 = V~p_2 + m~g~z_2 + \tfrac{1}{2}~m~c_2^2 \\[5px]
\end{align}

Teilt man die Gleichung durch das Volumen V, so erhält man die sogenannte Bernoulli-Gleichung für Strömungsprozesse inkompressibler Medien:

\begin{align}
\label{4404}
&\boxed{p_1 + \rho~g~z_1 + \tfrac{1}{2}~\rho~c_1^2 = p_2 + \rho~g~z_2 + \tfrac{1}{2}~\rho~c_2^2} ~~~\text{Bernoulli-Gleichung} \\[5px]
&~~~\text{mit: } \rho = \frac{m}{V} \\[5px]
\end{align}

Druckänderungsarbeit

Im Artikel zur Druckänderungsarbeit beschränkte sich die in offenen System (z.B. in Verdichtern oder Pumpen) umgesetzte Arbeit lediglich auf die Druckänderungsarbeit. Dabei wurde davon ausgegangen, dass das offene System lediglich für das Durchschieben des Fluids (Verschiebearbeit) und für die Volumenänderung des Fluids (Volumenänderungsarbeit) Arbeit aufbringen muss. Diese als Druckänderungsarbeit W_D bezeichnete Arbeit eines offenen Systems kann durch folgendes Integral ermittelt werden:

\begin{align}
\label{7410}
W_\text{D} = \int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~\text{d}p
\end{align}

Darin bezeichnet V(p) der Verlauf des Volumens eines eingeschobenen Fluidelementes in Abhängigkeit des Drucks, wenn dieses durch das offene System strömt.

Neben der Druckänderungsarbeit finden in einem offenen System im Allgemeinen jedoch noch weitere energetische Prozesse statt, die mit einem Aufwand an Arbeit verbunden sind. Am Beispiel einer Wasserpumpe soll dies im Folgenden exemplarisch erläutert werden.

Beschleunigungsarbeit

Wir betrachten eine Pumpe, bei der der Einlassquerschnitt größer ist als der Auslassquerschnitt. Dennoch strömt im stationären Fall innerhalb einer bestimmten Zeit dieselbe Masse durch den kleineren Auslassquerschnitt wie durch den größeren Einlassquerschnitt. Diese Tatsache ist der Erhaltung der Masse geschuldet (Kontinuitätsbedingung), denn im stationären Betrieb kann sich keine Masse auf Dauer in der Pumpe ansammeln oder vernichtet werden. Es wird also dieselbe Menge an Wasser in die Pumpe durch den Einlassquerschnitt eintreten wie im selben Moment am Auslassquerschnitt wieder austritt.

Da der Auslassquerschnitt jedoch kleiner ist, muss die dortige Wassermasse folglich mit höherer Geschwindigkeit hindurchströmen. Nur so kann in derselben Zeit dieselbe Wassermasse wie am Eingang hindurchströmen. Dieses Phänomen kennt man auch aus der Alltagserfahrung: Drückt man einen offenen Gartenschlauch am vorderen Ende etwas zusammen und verringert dadurch den Querschnitt, so strömt das Wasser mit größerer Geschwindigkeit aus.

Demnach muss ein betrachtetes Fluidelement der Masse m beim Hindurchströmen durch die Pumpe von der Einströmgeschwindigkeit c₁ auf die Ausströmgeschwindigkeit c₂ beschleunigt werden. Die Pumpe hat zusätzlich zur Druckänderungsarbeit W_D also auch noch die Beschleunigungsarbeit W_B aufzuwenden:

\begin{align}
\label{6723}
\boxed{W_\text{B} = \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} ~~~\text{mit}~~~ \Delta c^2 = c_2^2 – c_1^2
\end{align}

Anmerkung: Bei identischen Ein- und Ausgangsquerschnitte muss für inkompressible Medien wie Flüssigkeiten keine Beschleunigungsarbeit aufgewandt werden, da sich hierbei die Geschwindigkeiten nicht ändern werden. Bei kompressiblen Medien wie Gasen wird sich die Durchströmgeschwindigkeit jedoch auch bei gleichen Ein- und Ausgangsquerschnitten ändern! Denn schließlich wird hierbei die betrachtete Gasmasse mit deutlich unterschiedlichem Volumen ausgeschoben, was wiederum andere Geschwindigkeiten bedingt, um den Massenstrom konstant zu halten.

Hubarbeit

In den bisherigen Betrachtungen war der Einlass der Pumpe auf derselben Höhe wie der Auslass. Dies muss aber nicht zwangsläufig der Fall sein! Im Allgemeinen sind Ein- und Auslass auf unterschiedlichen Höhen. Bei Kreiselpumpen liegt der Pumpenausgang meist höher als der Pumpeneingang. Diese Höhendifferenz bedingt einen weiteren Arbeitsaufwand der Pumpe.

Das Wasser muss nun nicht mehr einfach nur entgegen des wirkenden Druckunterschieds zwischen Ein- und Auslass durch die Pumpe durchgeschoben werden muss, sondern die hindurchströmende Wassermasse m muss entgegen der Schwerkraft um die Höhendifferenz Δz=z₂-z₁ angehoben werden. Die Pumpe muss folglich auch noch Hubarbeit W_H verrichten:

\begin{align}
\label{2735}
\boxed{W_\text{H} = m~g~\Delta z} ~~~\text{mit}~~~ \Delta z = z_2-z_1
\end{align}

Technische Arbeit

Das Durchströmen der Wassermasse durch die Pumpe wird aufgrund der Viskosität des Fluids in der Realität nicht reibungsfrei ablaufen. Schließlich werden die Wassermassen an der Innenwandung der Pumpe reiben. Und auch die Reibung in den Lagern muss zusätzlich überwunden werden. Folglich muss die Pumpe auch noch diese Reibungsarbeit W_Diss (Dissipationsarbeit) aufbringen.

All die oben genannten Arbeitsumsätze, d.h. die Summe aus

• Druckänderungsarbeit W_D (= Verschiebearbeit + Volumenänderungsarbeit),
• Beschleunigungsarbeit W_B,
• Hubarbeit W_H und
• Dissipationsarbeit W_Diss (Reibungsarbeit),

müssen von der Pumpe aufgewendet werden. Man könnte in diesem Fall zwar von Pumpenarbeit reden, jedoch muss es sich bei einem offenen System nicht immer um eine Pumpe handeln. Deshalb spricht man ganz allgemein von der technischen Arbeit W_t, die das offene System insgesamt aufzuwenden hat (z.B. bei Pumpen) oder abzugeben hat (z.B. bei Turbinen). Die technische Arbeit wird von offenen Systemen in der Regel kontinuierlich umgesetzt. Diese Energieumsetzung geschieht häufig über Wellen. So wird bei Pumpen die technische Arbeit über die Pumpenwelle zugeführt und bei Wasserturbinen über die Turbinenwelle abgeführt. Aus diesem Grund wird die technische Arbeit auch häufig als Wellenarbeit bezeichnet.

\begin{align}
\label{8918}
&W_\text{t} = W_\text{D} +W_\text{B} +W_\text{H} +W_\text{Diss} \\[5px]
\label{e8761}
&\boxed{W_\text{t} = \int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~\text{d}p + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2 + m~g~\Delta z + W_\text{Diss}} ~~~~~\text{technische Arbeit} \\[5px]
\end{align}

bzw. als spezifische technische Arbeit w_t ausgedrückt (technische Arbeit pro Masseneinheit):

\begin{align}
\label{9228}
\boxed{w_\text{t} = \int\limits_{p_1}^{p_2}v(p)~\text{d}p + \tfrac{1}{2}~\Delta c^2 + g~\Delta z + w_\text{Diss}} ~~~~~\text{spezifische technische Arbeit}
\end{align}

Schließlich kann die technische Leistung P_t aus der spezifischen technischen Arbeit w_t multipliziert mit dem Massenstrom m‘, der durch das offene System bewegt wird, berechnet werden (siehe zur Herleitung auch den Abschnitt Verschiebeleistung):

\begin{align}
\label{4794}
\boxed{P_\text{t} = w_\text{t} ~\dot{m}}
\end{align}

Anmerkung: Bisher wurden als offene Systeme lediglich Pumpen bzw. Verdichter betrachtet. Diese werden unter Aufwand von technischer Arbeit betrieben. Das Prinzip kann aber auch umgekehrt werden, d.h. offene Systeme können auch technische Arbeit nach außen abgeben. Eine solche Umsetzung findet sich zum Beispiel in durchströmten Wasserturbinen oder Dampfturbinen wieder. Diese geben über die Turbinenwelle mechanische Arbeit nach außen ab. Die bisher betrachteten Gleichungen können prinzipiell für jedes offene System angewandt werden.

Wahl der Systemgrenzen

Beachte, dass die in den oberen Gleichungen angegebenen Strömungsgeschwindigkeiten c und Höhen z jeweils an den offenen Systemgrenzen definiert sind, wenn die betrachtete Masse in den Kontrollraum ein- bzw. ausströmt. Dies gilt im Übrigen auch für die angegebenen Drücke in der Druckänderungsarbeit. Diese Größen sind immer an den Kontrollraumgrenzen definiert.

Je nach Wahl der Systemgrenze, können sich somit gänzlich unterschiedliche Werte für die jeweiligen Größen ergeben. So wäre es auch möglich, das gesamte Rohrleitungssystem und den Wassertank noch in die Betrachtung als Teil des offenen Systems miteinzubeziehen. Die Systemgrenzen wären dann an der Oberfläche des Wassertanks und am Rohrende. Dieser Betrachtung lägen folglich ganz andere Drücke, Volumina, Strömungsgeschwindigkeiten und Lagehöhen an den beiden offenen Systemgrenzen zugrunde!

Energetische Prozesse an den Grenzen des offenen Systems (Verschiebearbeit)

Im Artikel zur Verschiebearbeit wurde am Beispiel einer Wasserpumpe erläutert, dass beim Strömen von Fluiden durch offene Systeme die Verschiebearbeit anfällt. Dies ist auf den Druckunterschied zwischen Eintritt in das System (z.B. Pumpeneinlass mit geringem Druck) und Austritt aus dem System (z.B. Pumpenauslass mit hohem Druck) zurückzuführen. Bei Pumpen wird das Fluid mit geringerer Energie W₁ von der Umgebung eingeschoben und mit höhere Energie W₂ von der Pumpe wieder ausgeschoben.

Die jeweiligen Ein- und Ausschiebeenergien ergeben sich dabei aus dem Produkt von betrachtetem Fluidvolumen V, welches über die Systemgrenze transportiert wird, und dem dort herrschenden Druck p. Die Differenz dieser Energien entspricht dann schließlich der verrichteten Arbeit des Systems, z.B. der Arbeit der Pumpe, und wird ganz allgemein Verschiebearbeit W_S genannt:

\begin{align}
&W_\text{S} = W_2 – W_1 \\[5px]
&W_\text{S} = p_2 \cdot V_2 – p_1 \cdot V_1 \\[5px]
\end{align}

Die am Beispiel der Wasserpumpe gewonnene Erkenntnis der Verschiebearbeit, kann bisher auf jedes offene System übertragen werden. Denn letztlich wird bei jedem offenen System eine gewisse Stoffmasse m mit einem Volumen V₁ und einem Druck p₁ in das System hineingeschoben und mit einem geänderten Volumen V₂ und geändertem Druck p₂ wieder aus dem System ausgeschoben.

Energetische Prozesse im Inneren des offenen Systems (Volumenänderungsarbeit)

Die Verschiebearbeit ist bei einem offenen System allein auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Stoffmasse entgegen dem Druckunterschied zwischen Systemeingang und Systemausgang verschoben werden muss. Dabei sind offensichtlich lediglich die energetischen Prozesse an den Systemgrenzen relevant. Unberücksichtigt bleiben bei dieser Betrachtung allerdings die inneren Vorgänge im offenen System selbst, wenn das Fluid durch das System strömt. Das offene System wurde bisher also lediglich als „Blackbox“ betrachtet. Deshalb betrachten wir im Folgenden die energetischen Vorgänge im Inneren eines offenen Systems etwas genauer.

Für eine allumfassende Energiebilanz dürfen nicht nur die energetischen Prozesse an der Systemgrenze betrachtet werden (Verschiebearbeit), sondern es müssen auch die Vorgänge im System selbst näher untersucht werden. So bedingt eine im offenen System vonstattengehende Druckänderung im Allgemeinen auch immer auch eine entsprechende Volumenänderung. Dieser innere Prozess der Volumenänderung wurde in der bisherigen Betrachtung nicht näher diskutiert. Diese Volumenänderung musste am Beispiel der Wasserpumpe auch nicht berücksichtigt werden, da es sich bei Wasser um ein (nahezu) inkompressibles Medium handelt. Bei diesen inkompressiblen Fluiden gibt es keine Volumenänderung.

Bei kompressiblen Fluiden wie Gasen ruft eine druckbedingte Volumenänderung im Systeminneren allerdings die Volumenänderungsarbeit auf den Plan, denn schließlich komprimiert sich ein Gasvolumen nicht von selbst, sondern nur unter Arbeitsaufwand! Neben der Verschiebearbeit, die an den Grenzen des offenen Systems auftritt (beim Massendurchtritt), muss vor allem bei Gasen auch noch die im Inneren umgesetzte Volumenänderungsarbeit (während des Durchströmens) berücksichtigt werden.

Kontrollvolumen

Man kann sich die in einem offenen System ablaufenden Vorgänge anschaulicher vorstellen, wenn man die eintretende Stoffmasse als geschlossenes System betrachtet. Man denkt sich also eine gedankliche Blase um den eingesaugten Stoff, z.B. eine „Plastiktüte“. Durch die Blase tritt selbst keine Masse, d.h. diese Betrachtung bildet ein geschlossenes System. Dieses geschlossene System – also die darin befindliche Masse – wird nun beobachtet, wie es durch das offene System strömt und welche Zustandsänderungen es dabei durchläuft. Die Pumpe wird in einer solchen Betrachtung dann häufig nicht mehr als offenes System bezeichnet, sondern als sogenannter Kontrollraum. Man betrachtet also ein geschlossenes System der Masse m, wie es sich durch einen Kontrollraum bewegt.

In einer solchen Betrachtungsweise werden nun nochmals die unterschiedlichen Energieumsätze deutlich. Die Verschiebearbeit bezieht sich lediglich auf das Durchschieben der betrachteten Masse aufgrund des wirkenden Druckunterschieds an den Kontrollraumgrenzen. Die Volumenänderungsarbeit hingegen bezieht sich auf den Arbeitsumsatz im Inneren des Kontrollraums, d.h. auf den Arbeitsumsatz der nötig ist, um die betrachtete Masse beim Durchströmen des Kontrollraumes zu komprimieren.

Beide Energieumsätze – Verschiebearbeit und Volumenänderungsarbeit – sind vom offenen System zu erbringen (z.B. vom Motor eines Verdichters bzw. Kompressors). Da sowohl die Volumenänderungsarbeit W_V als auch die Verschiebearbeit W_S aufgrund der Druckänderung während dem Durchströmen entstehen, wird die Summe beider Energieumsätze auch als Druckänderungsarbeit W_D bezeichnet:

\begin{align}
\label{5715}
&W_\text{D} = W_\text{V} + W_\text{S} \\[5px]
\label{4461}
&\boxed{W_\text{D} =~ – \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V + p_2~V_2 – p_1~V_1 }
\end{align}

bzw. als spezifische Druckänderungsarbeit w_D (Druckänderungsarbeit pro Masseneinheit):

\begin{align}
\label{8858}
&\boxed{w_\text{D} =~ – \int\limits_{v_1}^{v_2}p(v)~\text{d}v + p_2~v_2 – p_1~v_1 }
\end{align}

Dass ein offenes System neben der Verschiebearbeit auch noch Volumenänderungsarbeit umsetzt, kann an einem Verdichter anschaulich nachvollzogen werden. Hält man Ein- und Auslass eines Verdichters für kurze Zeit geschlossen, dann muss für diese Zeit zwar keine Verschiebearbeit mehr vom Verdichter verrichtet werden; das im Inneren befindliche Gas wird aber dennoch komprimiert. Somit fällt weiterhin Volumenänderungsarbeit an. Das offene System wird praktisch zu einem geschlossenen System, in dem lediglich Volumenänderungsarbeit anfällt.

Die Druckänderungsarbeit entspricht der Arbeit eines offenen Systems, um ein Fluid an den Systemgrenzen zu verschieben und das Volumen zu ändern.

Die Druckänderungsarbeit entspricht im einfachsten Fall jenem Arbeitsumsatz, der insgesamt in einem offenen System anfällt. Diese Druckänderungsarbeit muss im Falle einer Pumpe (bei Flüssigkeiten) oder im Falle eines Verdichters (bei Gasen) vom antreibenden Motor bereitgestellt werden. In dieser reibungsfreien Betrachtung sind Änderungen der kinetischen und potentiellen Energie vernachlässigt. Im Abschnitt zur technischen Arbeit wird hierauf näher eingegangen.

Druckänderungsarbeit für inkompressible Stoffe

Beachte, dass in einem offenen System die Verschiebearbeit und die Volumenänderungsarbeit im Prinzip immer gemeinsam auftreten, eben als Druckänderungsarbeit. Schließlich ist eine Druckänderung im Allgemeinen auch immer mit einer Volumenänderung verbunden. Lediglich für den theoretischen Fall eines perfekt inkompressiblen Mediums, würde nur die Verschiebearbeit im offenen System anfallen. Denn ohne Volumenänderung existiert auch kein Volumenänderungsarbeit (dV=0). Somit bliebe als Arbeitsumsatz lediglich die Verschiebearbeit zu verrichten, da der Stoff ja weiterhin in das offene System ein- und bei geändertem Druck wieder ausgeschoben werden muss.

Für diesen inkompressiblen Fall ergibt sich die Druckänderungsarbeit W_D beim Durchströmen des Volumens V=V₁=V₂ durch das offene System lediglich aus Druckänderung Δp, die das offene System erzeugt:

\begin{align}
\label{2394}
&W_\text{D} =~ – \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\underbrace{\text{d}V}_{=0} + p_2~\underbrace{V_2}_{=V} – p_1~\underbrace{V_1}_{=V}=p_2~V-p_1~V = V~(p_2-p_1)= V \cdot \Delta p \\[5px]
\label{9679}
&\boxed{W_\text{D} = V\cdot\Delta p}~~~\text{gilt nur für inkompressible Fluide}
\end{align}

bzw. als spezifische Druckänderungsarbeit \(w_D\):

\begin{align}
\label{3376}
&\boxed{w_\text{D} = v\cdot\Delta p}~~~\text{ gilt nur für inkompressible Fluide }
\end{align}

Auch wenn ein solcher inkompressibler Fall praktisch nicht existiert, so kann er dennoch für Flüssigkeiten in sehr guter Näherung als solcher betrachtet werden, da diese als nahezu inkompressibel gelten. Für alle anderen Fälle, insbesondere bei kompressiblen Medien wie Gasen, ist die Druckänderungsarbeit nach Gleichung (\ref{4461}) bzw. Gleichung (\ref{8858}) zu ermitteln. Diese Gleichung lässt sich jedoch in einer wesentlich einfacheren Form darstellen. Dies wird deutlich, wenn man sich den Prozess eines offenen Systems in einem Volumen-Druck-Diagramm veranschaulicht. Im nächsten Abschnitt wird hierauf näher eingegangen.

Druckänderungsarbeit im Volumen-Druck-Diagramm

Im Folgenden soll eine wesentlich kompaktere Gleichung für die Druckänderungsarbeit gegeben werden. Hierzu wird ein Gas betrachtet, das vom Kompressor zunächst mit dem Volumen V₁ bei einem Druck p₁ angesaugt wird. Anschließend wird das Gas im Inneren bei ansteigendem Druck auf ein Volumen V₂ komprimiert. Die Zustandsänderung soll gemäß der im p(V)-Diagramm abgebildeten Kurve erfolgen. Nach der Kompression wird das Volumen V₂ bei einem Enddruck p₂ aus dem Kompressor geschoben.

Zur Ermittlung der Druckänderungsarbeit ist die Gleichung (\ref{5715}) heranzuziehen. Darin können die einzelnen Terme im p(V)-Diagramm jeweils als Flächen dargestellt werden. Der Term der Volumenänderungsarbeit W_V = -∫p(V)⋅dV lässt sich als Fläche unter der Zustandskurve abbilden (Beachte, dass dem Gas bei der Kompression Volumenänderungsarbeit zugeführt wird und dieser Arbeitsumsatz somit mathematisch positiv ist)! Addiert wird gemäß Gleichung (\ref{5715}) nun der Term p₂⋅V₂, der sich als Rechteckfläche vom Punkt (V₂|p₂) bis zum Koordinatenursprung (0|0) darstellen lässt („Ausschiebeenergie“). Von dieser Gesamtfläche wird laut Gleichung (ref\{5715}) nun jene Rechteckfläche abgezogen, die sich vom Punkt (V₁|p₁) bis zum Koordinatenursprung (0|0) erstreckt („Einschiebeenergie“).

Effektiv übrig bleibt somit lediglich die Fläche links neben der Zustandskurve. Diese seitliche Fläche lässt sich folglich als Druckänderungsarbeit interpretieren!

Mathematisch ermittelt werden kann diese Fläche als Integral W_D=-∫V(p)⋅dp innerhalb der Grenzen zwischen p₁ und p₂. Dies wird deutlich, wenn man sich das Koordinatensystem in Gedanken einfach um 90° gedreht und gleichzeitig gespiegelt vorstellt. Die horizontale Achse entspricht dann dem Druck und die vertikale Achse dem Volumen. In diesem Fall ergibt sich dann eine V(p)-Kurve, deren Fläche unter der Kurve der Druckänderungsarbeit W_D entspricht:

\begin{align}
\label{8449}
&\boxed{W_\text{D} = \int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~dp}~~~\text{gilt allgemein für ein offenes System}
\end{align}

Da offene Systeme i.d.R. durch spezifische Größen beschrieben werden, ist es sinnvoll die Zustandsänderungen auch in spezifischer Diagrammform darzustellen. Deshalb wird anstelle des Volumens meist das spezifische Volumen aufgetragen. Anschaulich bedeutet dies nichts anderes, als dass sich das dargestellte Volumen auf eine Masse von 1 kg bezieht. Dementsprechend ergibt sich die spezifische Druckänderungsarbeit w_D als seitliche Fläche in diesem p(v)-Diagramm:

\begin{align}
\label{1956}
&\boxed{w_\text{D} = \int\limits_{p_1}^{p_2}v(p)~dp}~~~\text{gilt allgemein für ein offenes System}
\end{align}

Diese Gleichungen bringen bereits zum Ausdruck, dass für die Ermittlung der Druckänderungsarbeit der Verlauf des (spezifischen) Volumens in Abhängigkeit des Drucks bekannt sein muss. Im Gegensatz zur Verschiebearbeit ist die Druckänderungsarbeit somit vom Weg, auf dem die Zustandsänderung erfolgt, abhängig und damit eine typische Prozessgröße.

Einleitung

Viele thermodynamische Vorgänge laufen in offenen Systemen ab. Im Gegensatz zu geschlossenen Systemen, findet bei offenen Systemen nicht nur ein Energieumsatz in Form von Wärme oder Arbeit statt sondern auch ein Masseaustausch mit der Umgebung. Dies ist zum Beispiel bei Pumpen, Verdichtern, Flugzeugtriebwerken oder Gasturbinen der Fall. Bei diesen Maschinen tritt von der einen Seite Masse in das System ein und auf der einen Seite wieder aus.

Dieses Durchschieben der Masse durch ein offenes System ist mit einem bestimmten Aufwand an Energie verbunden. Dies soll im Folgenden am Beispiel einer Wasserpumpe verdeutlicht werden. Zunächst betrachten wir den Fall ohne Pumpe, bei dem Wasser aus einem Becken durch eine horizontale Rohrleitung strömt. In diesem Fall tritt das Wasser ohne größeren Druck mit relativ langsamer Geschwindigkeit aus der Rohrleitung aus.

Nun wird eine Pumpe in die Rohrleitung eingebaut. Ähnlich einer Schiffsschraube, sitzt in der Pumpe ein rotierendes Laufrad, Impeller genannt (siehe hierzu auch den Artikel Kreiselpumpen). Dieses Laufrad setzt das Wasser im vorderen Teil der Pumpe bzw. der Rohrleitung unter hohen Druck. Somit strömt das Wasser insgesamt schneller durch die Rohrleitung und erhöht den Massenstrom, sodass mehr Wasser in derselben Zeit gefördert werden kann als ohne Pumpe.

Die Wasserpumpe stellt folglich ein typisch offenes System dar, in das Masse am Pumpeneingang bei relativ geringem Druck einströmt am Pumpenausgang wieder mit erhöhtem Druck ausgeschoben wird. Unter vereinfachten, reibungsfreien Bedingungen soll im Folgenden nun der Fragestellung nachgegangen werden, welche Arbeit die Pumpe aufwenden muss, um eine bestimmte Wassermasse zu fördern. Hierzu werden im Folgenden die energetischen Vorgänge am Eingang und am Ausgang der Pumpe näher betrachtet.

Einschiebearbeit an der Saugseite

Unmittelbar vor dem Eingang in die Pumpe steht das Wasser unter einem bestimmten Druck p₁. Dieser Druck kommt in diesem Fall zum einen durch den hydrostatischen Druck der Wassersäule im Becken zustand und zum anderen durch den auf der Wasseroberfläche lastende Umgebungsdruck der Luft. Beide Einflussgrößen drücken das Wasser an der sogenannten Saugseite in die Pumpe.

Achtung: Nicht die Pumpe saugt das Wasser durch einen Unterdruck an wie, man fälschlicherweise aus dem Begriff Saugseite ableiten könnte, sondern der Umgebungsdruck und hydrostatischer Druck drücken das Wasser in die Pumpe! Denn selbst wenn die Pumpe am Eingang ein Vakuum erzeugen würde, könnte ohne Umgebungsdruck und hydrostatischer Druck kein Wasser in die Pumpe geschoben werden (siehe hierzu auch den Artikel Wie funktioniert das Trinken mit einem Trinkhalm?).

Anhand des wirkenden Drucks p₁ und der Querschnittsfläche A₁ des Pumpeneingangs kann nun die Kraft F₁ bestimmt werden mit der das Wasser von der Umgebung in die Pumpe hineingedrückt wird:

\begin{align}
\label{7481}
&F_1 = p_1 \cdot A_1
\end{align}

Mit dieser Kraft F₁ wird innerhalb einer bestimmten Zeit eine gewisse vor der Öffnung befindliche Wassermasse in die Pumpe geschoben. Man kann sich das Hineinschieben der Wassermasse in die Pumpe auch durch einen Kolben veranschaulicht vorstellen. Dieser drückt mit der Kraft F₁ die davor befindliche Wassermasse m entlang der Strecke s₁ in die Pumpe. Aus dem Produkt von Kraft und Weg, kann schließlich die Energie W₁ bestimmt werden, mit der die Umgebung („Kolben“) die Wassermasse in die Pumpe schiebt. Diese Einschiebeenergie entspricht der Arbeit, die die Umgebung an der Wassermasse verrichtet:

\begin{align}
&W_1 = F_1 \cdot s_1 = p_1 \cdot \underbrace{A_1 \cdot s_1}_{=V_1} = p_1~V_1 \\[5px]
\label{5792}
&\boxed{W_1 = p_1 \cdot V_1} ~~~~~\text{Einschiebeenergie (Einschiebearbeit)}
\end{align}

Das in der oberen Gleichung auftretende Produkt aus Verschiebestrecke s₁ und Querschnittsfläche A₁ entspricht gerade dem hineingeschobenen Wasservolumen V₁ (Einschiebevolumen).

Die Energie, mit der ein Fluid durch einen Querschnitt geschoben wird, ergibt sich aus dem Produkt von Druck und Volumen!

Zahlenbeispiel

Wird der Umgebungsdruck mit 1 bar und die Höhe der Wassersäule mit 1 m angenommen werden, so wirkt zusätzlich zum Umgebungsdruck noch ein (hydrostatischer) Druck von 0,1 bar. Insgesamt wird das Wasser somit mit einem Druck von p₁=1,1 bar in die Pumpe gedrückt. Innerhalb einer Zeit von t = 4 s ströme m = 2 kg Wasser durch den Pumpeneingang. Bei einer Wasserdichte von 999,25 kg/m³ besitzt diese Wassermasse somit ein Volumen von V₁ =2,0015 Liter. Dieses Wasservolumen wird durch die Umgebung folglich mit einer Energie von W₁ = 220 J in die Pumpe eingeschoben:

\begin{align}
&\underline{W_1} = p_1 \cdot V_1 = 1,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} \cdot 2,0015 \cdot 10^{-3} \text{ m³} = \underline{220 \text{ J}}
\end{align}

Ausschiebearbeit an der Druckseite

Nachdem die energetischen Vorgänge am Pumpeneingang geklärt wurden, werden nun im Folgenden die energetischen Prozesse am Pumpenausgang näher betrachtet, der sogenannten Druckseite. Grundsätzlich wird am Pumpenausgang dieselbe Masse an Wasser wieder ausgeschoben wie innerhalb einer bestimmten Zeit am Pumpeneingang hineinströmt, denn schließlich kann sich im stationären Fall kein Wasser in der Pumpe anhäufen oder vernichtet werden. Diese der Massenerhaltung geschuldete Bedingung wird auch Kontinuitätsbedingung genannt. Diese Kontinuitätsbedingung gilt nicht nur für inkompressible Fluide wie Flüssigkeiten, sondern auch für kompressible Stoffe wie Gase.

Im Abschnitt zuvor wurde anhand des Zahlenbeispiels berechnet, dass die Umgebung die Wassermasse mit einer Energie von 220 J in die Pumpe drückt. Wäre die Pumpe ausgeschaltet, so würde das Wasser mit dieser Energie durch die Pumpe geschoben werden und würde die Pumpe auch lediglich mit dieser Energie wieder verlassen (Strömungs- und Reibungsverluste vernachlässigt). Die Pumpe sorgt nun allerdings für eine Druckerhöhung, da die Wassermassen durch das rotierende Pumpenrad „zusammengedrückt“ werden. Das Wasser wird also mit einem höheren Druck aus der Pumpe ausgeschoben als es in die Pumpe eingeschoben wurde.

Das Wasser verlässt die Pumpe somit auch mit einer größeren Kraft, was letztlich eine Erhöhung der Energie zur Folge hat mit der das Wasser ausströmt. Diese Energie am Pumpenausgang kann analog zur Einschiebeenergie nach Gleichung (\ref{5792}) hergeleitet werden. So wird die Wassermasse mit der Kraft F₂=p₂⋅A₂ entlang des Weges s₂ durch den Querschnitt A₂ am Pumpenausgang ausgeschoben. Dies führt entsprechend zur folgender Ausschiebeenergie W₂ (Ausschiebearbeit):

\begin{align}
&W_2 = F_2 \cdot s_2 = p_2 \cdot \underbrace{A_2 \cdot s_2}_{=V_2} = p_2 \cdot V_2 \\[5px]
\label{3018}
&\boxed{W_2 = p_2 \cdot V_2} ~~~~~\text{Ausschiebeenergie (Ausschiebearbeit)}
\end{align}

Zahlenbeispiel

Erzeugt die Pumpe bspw. eine Druckerhöhung um Δp = 20 bar, dann erhöht sich der Wasserdruck von p₁ = 1,1 bar am Pumpeneingang auf insgesamt p₂ = 21,1 bar am Pumpenausgang. Der erhöhte Druck hat wiederum Auswirkungen auf das ausgeschobene Volumen. Aufgrund der Kontinuitätsbedingung sind zwar die innerhalb einer bestimmten Zeit ein- und ausgeschobenen Massen identisch, die jeweiligen Volumina unterscheiden sich aufgrund der unterschiedlichen Drücke jedoch. Die betrachtete Wassermasse von 2 kg weist am Pumpenausgang nicht mehr ein Volumen von V₁ = 2,0015 Liter auf, sondern aufgrund des größeren Drucks ein leicht geringeres Volumen von V₂ = 1,9996 Liter.

Mit einem Druck von p₂=21,1 bar und einem Ausschiebevolumen V₂ =1,9996 Liter ergibt sich für die Wassermasse von 2 Kilogramm somit eine Ausschiebeenergie von rund W₂ = 4220 J:

\begin{align}
&\underline{W_2} = p_2 \cdot V_2 = 21,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} \cdot 1,9996 \cdot 10^{-3} \text{ m³} = \underline{4220 \text{ J}}
\end{align}

Vergleicht man die Einschiebeenergie von W₁ = 220 J mit der Ausschiebeenergie von W₂ = 4220 J so wird deutlich, dass die Pumpe offensichtlich dafür sorgt, dass die eintretende Wassermasse mit größerer Energie ausgeschoben wird als sie durch die Umgebung hineingeschoben wurde. Dementsprechend strömt das Wasser mit größerer Wucht aus dem Ende der Rohrleitung im Vergleich zum Fall ohne Pumpe.

Anmerkung: Aufgrund der Inkompressibilität von Flüssigkeiten können die geringen hervorgerufenen Volumenänderungen zwischen Ein- und Ausgang des offenen Systems häufig vernachlässigt werden. Für kompressible Fluide wie Gase, können die Volumenänderungen allerdings sehr groß und damit bedeutsam werden, denn für das Komprimieren eines Volumens ist ein weiterer energetische Aufwand erforderlich (Volumenänderungsarbeit muss dann zusätzlich am Gas verrichtet werden). Hierauf wird im Artikel Druckänderungsarbeit in offenen Systemen näher eingegangen wird.

Verschiebearbeit (Arbeit der Pumpe)

Die um 4000 J höhere Energie, mit der das Wasser ausströmt im Vergleich zur Energie am Eingang der Pumpe kann natürlich nur auf die Pumpe selbst zurückzuführen sein. Dieser Energiebetrag von 4000 J entspricht der Arbeit der Pumpe, die in Form von elektrischer Energie geliefert wird und das Pumpenrad antreibt. Diese Betrachtung ist stark vereinfacht und wird im Artikel zur Druckänderungsarbeit bzw. zur technischen Arbeit noch näher diskutiert.

In dieser vereinfachten Betrachtung zeigt sich allerdings, dass sich die Arbeit der Pumpe aus der Differenz zwischen Ausschiebeenergie W₂ und Einschiebeenergie W₁ berechnet. Diese Arbeit wird bei einem offenen System ganz allgemein als Verschiebearbeit W_S bezeichnet (engl. flow work):

\begin{align}
\label{9372}
&W_\text{S} = W_2 – W_1 \\[5px]
\label{7076}
&\boxed{W_\text{S} = p_2~V_2 – p_1~V_1 } = \Delta \left(p~V \right) ~~~~~\text{Verschiebearbeit}
\end{align}

Die Arbeit, die zur Aufrechterhaltung der Strömung entgegen der unterschiedlichen statischen Drücke zwischen Ein- und Ausgang eines offenen Systems erforderlich ist, wird als Verschiebearbeit bezeichnet!

Gleichung (\ref{7076}) macht deutlich, dass sich die Verschiebearbeit eines offenen Systems nur dadurch bestimmt, welchen Zustand eine strömende Masse unmittelbar vor dem System (p₁, V₁) und nach dem System (p₂, V₂) aufweist. Dabei spielt es keine Rolle wie die einströmende Masse nun genau vom Ausgangszustand 1 in den Endzustand 2 gelangt. Der thermodynamische Prozess im Inneren des offenen Systems ist also für die Ermittlung der Verschiebearbeit völlig irrelevant. Es handelt sich bei der Verschiebearbeit folglich nicht um eine Prozessgröße wie man anhand des Begriffes Arbeit fälschlicherweise meinen könnte, sondern um eine Zustandsgröße!

Anmerkung: Häufig werden auch lediglich die einzelnen Produkte aus Druck und Volumen als Verschiebearbeit bezeichnet. Denn letztlich ist das Produkt p₁⋅V₁ auf das Hineinschieben in das offene Systeme und das Produkt p₂⋅V₂ auf das Hinausschieben aus dem offenen System zurückzuführen. Aus didaktischen Gründen soll im Folgenden mit dem Begriff Verschiebearbeit allerdings immer die Differenz beider Produkte nach Gleichung (\ref{7076}) gemeint sein, d.h. jener Arbeitsumsatz der effektiv für das Durchschieben der Masse durch das offene System verantwortlich ist. Aus diesem Grund wäre der Begriff „Durchschiebearbeit“ wohl besser geeignet, jedoch wie dieser in der Literatur kaum verwendet.

Spezifische Verschiebearbeit

Das in den Abschnitten zuvor erläuterte Pumpenbeispiel zeigte, dass die betrachtete Pumpe für das Fördern einer Wassermasse von 2 kg eine (Verschiebe-)Arbeit von 4000 J aufbringen muss. Soll die Pumpe hingegen die 10-fache Wassermasse von 20 kg fördern, dann muss die Pumpe auch eine entsprechend 10-fache Arbeit von insgesamt 40.000 J verrichten.

Je nach durchströmender Masse ändert sich folglich auch immer die Verschiebearbeit. Deshalb ist es bei offenen Systemen sinnvoller die umgesetzte Energiemenge nicht auf eine willkürliche Masse von 2 kg oder 20 kg zu beziehen, sondern immer auf 1 kg bezogen anzugeben. Demzufolge muss die betrachtete Wasserpumpe pro Kilogramm durchströmenden Wassers eine Energiemenge von 2000 J aufwenden. Man bezeichnet eine solche, auf die Masse bezogene Größe auch als spezifische Größe. In diesem Fall wird sie spezifische Verschiebearbeit genannt und beträgt 2000 J/kg (sprich: 2000 Joule pro Kilogramm). 

Die spezifische Verschiebearbeit w_S ermittelt sich ganz allgemein als Quotient aus Verschiebearbeit W_S und zugehöriger Masse m:

\begin{align}
\label{3475}
&\boxed{w_\text{S} = {W_\text{S} \over m}} ~~~[w_\text{S}] = \frac{\text{J}}{\text{kg}} ~~~~~\text{spezifische Verschiebearbeit} \\[5px]
\end{align}

Mit der Definition der Verschiebearbeit als Differenz der Produkte von Druck p und Volumen V zeigt sich, dass die spezifische Verschiebearbeit auch über die spezifischen Volumina v berechnet werden kann:

\begin{align}
&w_\text{S} =\frac{W_\text{S}}{m} = \frac{p_2 \cdot V_2 – p_1 \cdot V_1}{m} = {p_2 \cdot \underbrace{\frac{V_2}{m}}_{=v_2} – p_1 \cdot \underbrace{\frac{V_1}{m}}_{=v_1}} = p_1 \cdot v_1 – p_2 \cdot v_2 \\[10px]
\label{2070}
&\boxed{w_\text{S} = p_1 \cdot v_1 – p_2 \cdot v_2} ~~~ \text{mit}~~~ \boxed{v={V \over m}} ~~~ [v]=\frac{\text{m³} }{\text{kg}} ~~~\text{spezifisches Volumen} \\[10px]
\end{align}

Das spezifische Volumen gibt anschaulich an, welches Volumen ein Stoff mit einer Masse von 1 kg einnimmt. Das spezifische Volumen v entspricht somit gerade dem Kehrwert der Stoffdichte ρ. So liefert die Stoffdichte genau die umgekehrte Aussage, nämlich welche Masse ein Stoff mit einem Volumen von 1 m³ besitzt. Spezifisches Volumen v und Stoffdichte ρ stehen folglich in umgekehrtem Verhältnis zueinander:

\begin{align}
\label{9579}
&\boxed{v = {1 \over \rho}} \\[5px]
\end{align}

Somit kann die spezifische Verschiebearbeit wie folgt auch anhand der Stoffdichten ermittelt werden:

\begin{align}
\label{2791}
 &\boxed{w_\text{S} = \frac{p_2}{\rho_2} – \frac{p_1}{\rho_1} }~~~\text{mit}~~~ \boxed{\rho= {m \over V}} ~~~ [\rho]={\text{kg} \over \text{m³}} ~~~ \text{Dichte} \\[5px]
\end{align}

Der Vorteil der Ermittlung der spezifischen Verschiebearbeit nach Gleichung (\ref{2791}) bzw. (\ref{2070}) ist, dass diese unabhängig der tatsächlich durchströmenden Masse angewendet werden können. Es ist also völlig egal, ob bei der beschriebenen Pumpe nun 2 kg oder 20 kg Wasser hindurchströmen. Die spezifische Verschiebearbeit von 2000 J/kg wird sich hierdurch nicht ändern!

Zahlenbeispiel

Im vorliegenden Beispiel beträgt die Wasserdichte am Pumpeneingang ρ₁ = 999,25 kg/m³ (bei p₁ = 1,1 bar) bzw. am Pumpenaustritt ρ₂ = 1000,19 kg/m³ (bei p₂ = 21,1 bar). Aus diesen Größen lässt sich nun die spezifische Verschiebearbeit ermitteln, ohne dass im Vorfeld bekannt sein muss, wie viel Masse tatsächlich durch die Pumpe strömen wird:

\begin{align}
& \underline{w_\text{S} } = \frac{p_2}{\rho_2} – \frac{p_1}{\rho_1} = \frac{12,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} }{1000,19 \frac{\text{kg}}{\text{m³}}} – \frac{1,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} }{999,25 \frac{\text{kg}}{\text{m³}}} = \underline{2000 \frac{\text{J}}{\text{kg}}} \\[5px]
\end{align}

Verschiebeleistung (Leistung der Pumpe)

Besonders bei offenen Systemen ermöglicht die Verwendung von spezifischen Energieangaben die relativ einfache Berechnung von Leistungen. Am Beispiel der bereits betrachteten Wasserpumpe soll davon ausgegangen werden, dass diese auf maximaler Stufe eine Wassermasse von m = 2 kg innerhalb einer Zeit von t = 4 s fördert. Auf eine Sekunde gerechnet, entspricht dies einer Wassermasse von 0,5 kg. Man bezeichnet diese pro Zeiteinheit angegebene Durchflussmenge auch als Massenstrom. In diesem Fall beträgt der Massenstrom folglich 0,5 kg/s (sprich: 0,5 Kilogramm pro Sekunde). Der Massenstrom wird häufig mit einem Punkt über dem Formelsymbol symbolisiert (\(\dot{m}\)) und ermittelt sich ganz allgemein als Quotient aus geförderter Masse m und der hierfür benötigten Zeit t:

\begin{align}
\label{7914}
\boxed{\dot{m} = \frac{m}{t}} ~~~[\dot{m}]=\frac{\text{kg}}{\text{s}} ~~~~~\text{Massenstrom} \\[5px]
\end{align}

Mit diesem Massenstrom kann die Leistung der Pumpe (Verschiebeleistung) relativ einfach ermittelt werden, wie im Folgenden gezeigt wird. So soll die Pumpe laut Beispiel eine Wassermasse von m = 2 kg innerhalb von t = 4 s fördern. Mit einer spezifischen Verschiebearbeit der Pumpe von w_S = 2000 J/kg verrichtet diese dann insgesamt eine Verschiebearbeit W_S = 4000 J an der Wassermasse; und dies innerhalb einer Zeit von t = 4 s. Aus dem Quotienten von Energie W_S und Zeit t ergibt sich schließlich eine Verschiebeleistung der Pumpe von 1000 J/s (1000 W). Im Idealfall entspräche dies der elektrischen Leistung, die der Pumpe von außen zugeführt wird (von Verlusten abgesehen und Inkompressibilität des Wassers vorausgesetzt). Eine solche Verschiebeleistung P_S lässt sich also ganz allgemein über den Massenstrom und der spezifischen Verschiebearbeit ermitteln:

\begin{align}
&P_\text{S}=\dot{W_\text{S}}= \frac{W_\text{S}}{t} = \frac{w_\text{S} \cdot m} {t} = w_\text{S}~\underbrace{\frac{m}{t}}_{=\dot{m}} \\[5px]
\label{6526}
&\boxed{P_\text{S} = w_\text{S} \cdot \dot m}
\end{align}

Die prinzipielle Aussage von Gleichung (\ref{6526}) bleibt nicht auf die Verschiebeleistung beschränkt. So gilt auch für andere Formen der Leistung – wie bspw. der Wärmeleistung – ganz allgemein:

\begin{align}
\label{3679}
&\boxed{\text{Leistung = spezifische Energie x Massenstrom}}
\end{align}

Ausblick

Wie in den vorangegangenen Abschnitten bereits mehrfach angedeutet ist die Verschiebearbeit (bzw. Verschiebeleistung) bei inkompressiblen Medien die hauptsächliche Arbeit, die von einem offenen System zu entrichten ist. Handelt es sich jedoch um kompressible Stoffe wie Gase, dann findet sich in einem offenen System noch ein weiterer Energieumsatz statt, da das Volumen unter Energieaufwand zusätzlich zum reinen „Durchschieben“ auch noch komprimiert werden muss (Volumenänderungsarbeit). Hierauf wird im Artikel Druckänderungsarbeit in offenen Systemen näher eingegangen.

Einleitung

Die freie adiabate Expansion eines idealen Gases in einem Vakuum zeigte, dass sich dieser Prozess nicht mit den Isentropengleichungen beschreiben lässt, obwohl diese Gleichungen für ein adiabates System hergleitet wurden. Vielmehr handelt es sich bei dieser Expansion um einen isothermen Prozess, bei dem die Temperatur konstant bleibt. Es stellt sich deshalb die Frage, welche Bedingung einem adiabaten System zugrunde liegen muss, damit die darin ablaufenden thermodynamischen Prozesse tatsächlich mit den isentropen Zustandsgleichungen beschrieben werden können.

Umkehrbarkeit thermodynamischer Prozesse

Hierzu betrachten wir ausgewählte thermodynamische Prozesse etwas genauer. Dabei wird man feststellen, dass all diese Prozesse aus energetischer Sicht sowohl in die eine als auch prinzipiell in die andere Richtung ablaufen können. So wurde im Artikel Volumenänderungsarbeit jener thermodynamische Vorgang betrachtet, bei dem ein Gas in einem Zylinder unter Wärmezufuhr expandiert und über eine am Kolben befindliche Zahnstange mit Zahnrad schließlich ein Gewicht anhebt. Aus energetischer Sicht lässt sich dieser Prozess prinzipiell umkehren.

Hierzu kann man sich den ursprünglichen Prozess als mit einer Videokamera aufgenommen vorstellen, die anschließend rückwärts abgespielt wird. In einem solchen umgekehrten Fall senkt sich das Gewicht unter Wärmeabfuhr (Kühlung) wieder. Dabei wird nicht mehr Arbeit vom Gas am Gewicht verrichtet, sondern es wird umgekehrt Arbeit am Gas vom Gewicht verrichtet – das Gas wird sozusagen durch das Gewicht komprimiert. Gleichzeitig sinkt durch die Kühlung die Temperatur und mit ihr die innere Energie. Die Energieflüsse kehren sich bei einem solchen Umkehrvorgang also gerade um, ohne dass man dabei aus der Erfahrung heraus auf einen Widerspruch stoßen würde.

Isochorer Prozess

Auch bei einem isochoren Aufheizprozess einer Gasflasche, lässt sich ein solcher Umkehrprozess finden. Dabei findet aufgrund der zugeführten Wärme eine Erhöhung innere Energie statt, d.h. die Temperatur steigt an. Wird dieser Vorgang energetisch umgekehrt betrachtet, so erhielte man einen isochoren Abkühlprozess. In einem solchen Umkehrfall würde sich die innere Energie durch die abgeführte Wärme erniedrigen und sich die Temperatur folglich erniedrigen.

Isobarer Prozess

Auch der im Artikel zum isobaren Prozess erläuterte Prozess, bei dem unter Wärmezufuhr ein Gewicht angehoben wird, lässt sich energetisch umkehren. Dabei verrichtet das Gas zunächst unter Zufuhr von Wärme Arbeit, während sich die innere Energie erhöht und die Temperatur folglich ansteigt. Im umgekehrten Fall erhielte man einen isobaren Abkühlprozess, bei dem das Gas unter Zufuhr von Arbeit komprimiert wird, während gleichzeitig Wärme abgeführt wird. Insgesamt verringert sich dabei die innere Energie und somit auch die Temperatur wieder.

Isothermer Prozess

Auch die im Artikel zum isothermen Prozess erläuterte Kompression der Luft in einer Luftpumpe zeigt eine solche energetische Umkehrbarkeit. Wird das Gas in einer Luftpumpe bei verschlossenem Ventil sehr langsam komprimiert, so erhält man durch die gleichzeitig stattfindende Wärmeabfuhr auf die Umgebung eine (nahezu) gleichbleibende Temperatur. Umgekehrt kann das Gas aus diesem komprimierten Zustand auch wieder isotherm expandieren. Hierzu muss die Zustandsänderung wieder sehr langsam erfolgen, sodass die Umgebung dem expandierenden Gas ausreichend Wärme zufuhren kann, um eine Temperaturverringerung während der Expansion zu verhindern.

Isentroper Prozess

Ebenfalls kann die im Artikel zum isentropen Prozess vorgestellte schnelle Kompression der Luft in einer Luftpumpe aus energetischer Sicht umgekehrt werden. Dabei wird ein Gas zunächst unter Aufwendung von Arbeit rasch komprimiert, was zu einer entsprechenden Erhöhung der inneren Energie führt und die Temperatur ansteigen lässt. Im umgekehrten Fall würde dies bedeuten, dass das Gas ausgehend des komprimierten Zustandes sehr rasch wieder expandiert. Bei diesem isentropen Umkehrprozess wird dann Arbeit auf Kosten der inneren Energie nach außen abgegeben und die Temperatur sinkt folglich.

Reversibilität

Die in den Abschnitten zuvor betrachteten Prozesse machen deutlich, dass diese aus energetischer Sicht alle umkehrbar sind. In der Fachsprache bezeichnet man solche (energetisch) umkehrbaren Vorgänge als reversible Prozesse (engl. reverse = umkehren). Die Reversibilität von Vorgängen setzt unter anderem die Annahme voraus, dass die Zustandsänderungen allesamt reibungsfrei ablaufen bzw. es sich nicht um dissipative Prozesse handelt (z.B. wenn ein Kolben in einem Zylinder gleitet).

In der Thermodynamik sind reversible Prozesse Vorgänge, die aus energetischer Sicht umkehrbar sind, ohne dabei die Alltagserfahrung zu verletzen!

Darüber hinaus muss es sich bei den Gaszuständen stets um Gleichgewichtszustände handeln, sodass es nicht zu einem Temperaturunterschied innerhalb des Gases kommt. Sowohl die Annahme der Reibungsfreiheit als auch die Annahme des stets vorhandenen Gleichgewichtszustandes ist natürlich nur idealisiert. Somit existieren reversible Prozesse auch nur in idealisierten Vorstellungen. Diese Idealbedingungen wurden bisher bei allen betrachteten Vorgängen angenommen.

Adiabate Expansion gegen ein Vakuum als nicht-umkehrbarer Prozess

Was die Reversibilität angeht, sieht die Situation bei der adiabaten Expansion gegen ein Vakuum jedoch anders aus. Dieser thermodynamische Prozess ist aus der Erfahrung heraus nicht umkehrbar. So expandierte das Gas bei gleichbleibender Temperatur ohne Zu- oder Abfuhr von Arbeit bzw. Wärme. Umgekehrt müsste dies bedeuten, dass das Gas wieder ohne Arbeits- und Wärmeumsatz von selbst komprimiert. Das Gas müsste sich praktisch ohne äußeres Zutun bei gleichbleibender Temperatur wieder von selbst wieder zusammenziehen.

Dies widerspricht jeglicher Erfahrung, denn um ein Gas in einem Zylinder zu komprimieren, muss von außen Arbeit aufgebracht werden – ein Gas wird dies nicht von selbst tun. Dabei würde die Temperatur dann auch nicht mehr konstant bleiben, sondern sie würde sich aufgrund der zugeführten Arbeit erhöhen. Eine adiabate Expansion gegen ein Vakuum ist aus energetischer Sicht folglich ein nicht-umkehrbarer Prozess. Solche nicht umkehrbaren Vorgänge werden auch als irreversible Prozesse bezeichnet.

Grundsätzlich gelten alle in den entsprechenden Artikeln vorgestellten Gleichungen – insbesondere die des isochoren, isobaren, isothermen und isentropen Prozesses – nur für reversible Prozesse, also für Zustandsänderungen die prinzipiell umkehrbar sind! Dies erklärt nun auch weshalb die Gleichungen des isentropen Prozesses im Expansionsbeispiel gegen das Vakuum nicht angewendet werden können. So handelt es sich zwar um ein adiabates System, der Prozess selbst ist aber irreversibel! Die Gleichungen des isentropen Prozesses dürfen nur verwendet werden, wenn es sich um eine reversible Zustandsänderung eines adiabaten Systems handelt. Somit lässt sich eine isentrope Zustandsänderung wie folgt definieren:

Als isentroper Prozess bezeichnet man eine reversible Zustandsänderung eines adiabaten Systems!

Die Umkehrbarkeit von Vorgängen wird in der Thermodynamik durch den Entropiebegriff beschrieben. Für die reversible Zustandsänderung des adiabaten Systems bleibt die Entropie konstant, wovon sich der Begriff isentroper Prozess ableiten lässt (=“ gleichbleibende Entropie“).

Im Artikel Freie Expansion eines idealen Gases im Vakuum wurde erläutert, dass die in einem (idealen) adiabaten System stattfindende freie Expansion eines Gases gegen ein Vakuum ein isothermer Prozess darstellt. Hierzu wurde ein gasgefüllter Zylinder betrachtet, der mit einem masselosen und reibungsfrei gleitenden Kolben verschlossen ist.

Die Temperatur des als ideal betrachteten Gases bleibt bei einer solchen adiabaten Expansion konstant. Dies gilt jedoch nur für die Annahme des Gases als ideales Gas. Führt man ein solches Experiment hingegen mit einem realen Gas durch, dann würde man in der Realität eine leichte Verringerung der Temperatur feststellen (auch wenn der Kolben weiterhin als masselos betrachtet werden kann). Zurückzuführen ist dieses Phänomen auf die zwischen den Gasteilchen wirkenden Anziehungskräfte, die bei idealen Gasen vernachlässigt werden.

Expandiert nämlich das reale Gas, so nehmen die Teilchenabstände aufgrund des größer werdenden Volumens zu. Das Gas muss somit entgegen den wirkenden Anziehungskräften zwischen den Gasteilchen sein Volumen vergrößern. Dies ist mit einem entsprechenden Energieaufwand verbunden ist. Diese Energie muss das Gas selbst aufbringen, und geht letztlich nur auf Kosten der Bewegungsenergie der Gasteilchen. Dies bedeutet folglich eine Abnahme der Temperatur. Dieses Phänomen tritt nicht nur bei der Expansion gegen ein Vakuum auf, sondern letztlich immer dann wenn ein reales Gas entgegen eines geringeren Drucks expandiert. Diesen Effekt der Temperaturabnahme wird auch Joule-Thomson-Effekt genannt.

Als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet man das Phänomen der zusätzlichen Abnahme der Temperatur bei realen Gasen, wenn diese gegen einen geringeren Druck expandieren!

Beachte, dass sich die Gastemperatur in vielen Fällen bei einer Expansion verringert. Dies hat im Allgemeinen nichts mit dem Joule-Thomson-Effekt zu tun. Der Joule-Thomson-Effekt beschreibt lediglich die stärkere Abnahme der Temperatur von realen Gasen als dies für ideale Gase der Fall wäre, da für reale Gase eben Bindungsenergien mitberücksichtigt werden müssen. Und wie bereits erläutert, sorgen diese bei einer Expansion für einen zusätzlichen Arbeitsaufwand, der zur Lasten der Bewegungsenergien geht, was die Temperatur zusätzlich verringert. Lediglich diese zusätzliche Temperaturabnahme wird als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet.

Beachte zudem, dass auch bei der adiabatischen (!) Expansion des realen Gases entgegen ein Vakuum die innere Energie des realen Gases in der Summe konstant bleibt. Bei einem realen Gas setzt sich die innere Energie ja nicht nur aus der Bewegungsenergie der Teilchen zusammen wie bei einem idealen Gas. Zudem sind in einem realen Gas Bindungsenergien zu berücksichtigen. Es findet bei realen Gasen lediglich eine „interne“ Umverteilung der inneren Energien statt, nämlich zu Lasten der Bewegungsenergie und zu Gunsten der Bindungsenergien. Bei dem Arbeitsumsatz, den das Gas zur Vergrößerung seines Teilchenabstandes aufwenden muss, handelt es sich nicht um einen Arbeitsumsatz, der über die Systemgrenze hinweg erfolgt!

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik bilanziert grundsätzlich nur Arbeitsumsätze über die Systemgrenze hinweg, welche in diesem Fall jedoch nicht erfolgen (W=0)! Zudem ist das System adiabat und erlaubt keine Wärmeumsätze (Q=0). Somit gibt es auch bei realen Gase keine Änderung in der inneren Energie ΔU:

\begin{align}
\underbrace{W}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U = 0
\end{align}

Im Artikel zum isentropen Prozess wurde bereits angedeutet, dass die oft gleichgesetzte Bezeichnung „adiabatischer Prozess“ an mancher Stelle irreführend sein kann und im allgemeinen nicht korrekt ist. Um dies zu verdeutlichen wird im Folgenden die Expansion eines idealen Gases gegen ein Vakuum betrachtet.

Man stelle sich hierzu ein Gas in einem Zylinder vor, das mit einem beweglichen (masselosen) Kolben reibungsfrei verschlossen ist. Der Kolben wird zunächst mit einer Kraft in Stellung gehalten. Der Zylinder selbst befinde sich in einer evakuierten Kammer, sodass um ihn herum ein Vakuum herrscht. Zylinder und Kolben sollen perfekt wärmeisoliert sein. Es handelt sich demzufolge um ein adiabates System. Nun wird der Kolben losgelassen und das Gas expandiert folglich gegen das Vakuum.

Nur weil der vorliegende Zylinder ein adiabates System bildet, bedeutet dies in diesem Fall allerdings nicht, dass die hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten des vermeintlich „adiabaten Prozesses“ angewendet werden können! So sollte nach diesen Gesetzmäßigkeiten die Temperatur bei einer Expansion mit größer werdendem Volumen sinken (T⋅V^κ-1=konstant). Dies wird man bei der vorliegenden Expansion gegen das Vakuum allerdings nicht beobachten! Das überraschende Ergebnis dieser Expansion zeigt sich, wenn man den ersten Hauptsatz der Thermodynamik zur Hilfe nimmt:

\begin{align}
\underbrace{W}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U = 0
\end{align}

Da es sich um ein adiabates System handelt, wird dem Gas per Definition keine Energie in Form von Wärme zu- oder abgeführt (Q=0). Zudem verrichtet das Gas keine Arbeit (W=0), denn schließlich expandiert das Gas gegen ein Vakuum. Das Gas muss folglich keinerlei Kraft aufwenden, um den (masselosen) Kolben gegen den nicht vorhandenen Umgebungsdruck zu verschieben. Es existiert sozusagen kein Gegendruck, gegen den das Gas „ankämpfen“ muss. Folglich muss das Gas für die Expansion des Volumens keine Arbeit verrichten. Wird jedoch keine Energie in Form von Wärme oder Arbeit am System umgesetzt, so bleibt die innere Energie folglich konstant (ΔU=0).

Da die innere Energie für ein ideales Gas direkt mit der Temperatur verknüpft ist (und diese sich nicht ändert), handelt es sich bei der vorliegenden freien Expansion gegen das Vakuum also um eine isotherme Zustandsänderung! Überraschenderweise bleibt die Temperatur bei diesem Prozess folglich konstant und nimmt nicht ab.

Bei der Expansion eines idealen Gases in einem adiabaten System entgegen eines Vakuums bleibt die Temperatur konstant (isothermer Prozess)!

Anmerkung: Dass die Temperatur bei der Expansion gegen das Vakuum konstant bleibt, gilt lediglich für ideale Gase. Für reale Gase wird man hingegen eine leichte Verringerung der Temperatur feststellen. Dies bezeichnet man dann auch als Joule-Thomson-Effekt.

Man kann sich diesen isothermen Expansionsvorgang auch ganz anschaulich erklären. Man stelle sich hierzu vor man befände sich in einem Vakuum und hielte wild umherfliegende Teilchen in der Hand. Öffnet man nun die Hand, dann fliegen die Teilchen in das Vakuum und werden letztlich durch keine weiteren Teilchen abgebremst (da der Kolben im oberen Beispiel als masselos betrachtet wird, kann man diesen ohnehin weggedacht vorstellen und die Teilchen frei in das Vakuum strömen lassen – dies ist dieselbe Situation). Die Teilchen behalten also ihre kinetische Energie bei. Da die kinetische Energie der Teilchen direkt mit der Temperatur verknüpft ist, bedeutet dies letztlich eine unveränderte Temperatur.

Das adiabatische Expandieren eines idealen Gases in ein Vakuum stellt ein isothermer Prozess dar!

Dieses Beispiel macht deutlich, dass sich Zustandsänderungen von adiabaten Systemen nicht notwendigerweise nach den Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses beschreiben lassen. Deshalb sollte im Zusammenhang mit den dafür hergeleiteten Isentropengleichungen auch nicht unbedingt von adiabatischen Prozessen gesprochen werden. Denn dies suggeriert fälschlicherweise, dass bei allen adiabaten Systemen diese Gleichungen verwendet werden könnten. Das soeben beschriebene Expansionsbeispiel widerlegt jedoch genau dies.

Es schließt sich natürlich die Frage an, unter welcher Bedingung sich die Zustandsänderung eines adiabates Systems dann tatsächlich durch die hergeleiteten Gleichungen beschreiben lässt bzw. wann eben nicht. Die Antwort hierauf wird findet sich im Artikel Reversibilität von thermodynamischen Prozessen (Entropie).

Verrichtete Arbeit in adiabaten Systemen

Viele technische Prozesse laufen in sehr kurzen Zeiten ab, wie bspw. die Expansionsvorgänge in Verbrennungsmotoren (ca. 10 ms) oder die Expansion der heißen Verbrennungsgase in Turbinen. Innerhalb solch kurzer Zeiten kann ein nennenswerter Wärmeaustausch zwischen Gas und Umgebung in erster Näherung vernachlässigt werden (Q=0). Die Zustandsänderungen der Gase werden dann als in einem adiabaten System ablaufend betrachtet. Gemäß des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik ergibt sich somit die nach außen abgegebene Arbeit W direkt über die Änderung der inneren Energie ΔU:

\begin{align}
&\boxed{W+Q=\Delta U} &&~\text{Erster Hauptsatz der Thermodynamik} \\[5px]
&W = \Delta U &&~\text{gilt nur für adiabate Systeme (}Q=0 \text{)}\\[5px]
\end{align}

Da sich für ideale Gase die Änderung der inneren Energie ΔU unabhängig des thermodynamischen Prozesses lediglich anhand der Temperaturänderung ergibt …

\begin{align}
&\Delta U = c_\text{v} \cdot m \cdot \Delta T ~~~~~\text{mit}~~~~~\Delta T = T_2-T_1\\[5px]
\end{align}

… lässt sich die vom/am adiabaten System verrichtete Arbeit wie folgt ermitteln:

\begin{align}
\label{9067}
&\boxed{W = c_\text{v}~m~\Delta T} ~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme (}Q=0 \text{)} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Beachte, dass die mit W bezeichnete Arbeit nicht zwangsweise der Volumenänderungsarbeit W_V des Gases entspricht. Dies wäre nur für einen reibungsfreien Prozess der Fall. Die hier mit W bezeichnete Arbeit beschreibt ganz allgemein die vom/am System über die Systemgrenze transportierte Arbeit und schließt somit auch reibungsbehaftete (dissipative) Vorgänge mit ein! Mehr Informationen hierzu finden sich im Artikel Dissipation von Energie in geschlossenen Systemen.

Gleichung (\ref{9067}) macht offensichtlich, dass bei einer Expansion in einem adiabatischen System umso mehr Arbeit vom System nach außen abgegeben, umso größer dabei die Differenz zwischen Anfangs- und Endtemperatur ist. Beim Arbeitstakt innerhalb eines Dieselmotors beispielsweise sinkt die Temperatur im Zylinder während der Expansion von ungefähr 2000 °C auf rund 500 °C. Bei gegebener Anfangstemperatur T₁ führen reibungsbehaftete Prozesse aufgrund von Dissipationsvorgängen allerdings jedoch stets auf höhere Endtemperaturen T₂ im Vergleich zu reibungsfreien Vorgängen. Die Temperatur sinkt während des Expansionsvorgangs offensichtlich nicht so stark. Reibungsbehaftete Expansionsvorgänge geben somit stets geringere Arbeitsumsätze nach außen ab! 

Dissipative Prozesse im Volumen-Druck-Diagramm

Das untere Volumen-Druck-Diagramm zeigt eine Expansion eines Gases in einem Zylinder, der mit einem beweglichen Kolben reibungsfrei verschlossen wurde (blaue Kurve). Im Vergleich hierzu ist die Expansion gezeigt, bei der eine konstante Reibungskraft zwischen Zylinder und Kolben über die Dauer der Expansion angenommen wurde (rote Kurve). Dabei wurde angenommen, dass die gesamte Reibungsarbeit in innere Energie dissipiert wird.

Aufgrund der größeren Temperaturdifferenzen liefern reibungsfreie Expansionsvorgänge gemäß Gleichung (\ref{9067}) folglich den größtmöglichen Arbeitsumsatz. Für solche reversiblen Prozesse gelten in adiabaten Systemen die Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses (n=κ). Reibungsbehaftete Prozesse hingegen verlaufen aufgrund der höheren Temperaturen auf einem höheren Druckniveau. Solche Prozesse können dann durch einen polytropen Prozess angenähert werden, wobei der Polytropenexponent n für den Fall einer Expansion einen geringeren Wert als der Isentropenexponent κ aufweist (n<κ):

\begin{align}
\label{3475}
&\boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{2070}
&\boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{9579}
&\boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Expansionsprozesse} \nonumber \\
&n > \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Kompressionsprozesse} \nonumber \\
\end{align}

Mit Hilfe dieser Polytropengleichungen kann die vom System abgegebene Arbeit W bei gegebener Anfangstemperatur T₁ nun auch über das Druck- bzw. Volumenverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}
\label{1}
&W=c_\text{v}~m~\left[T_2-T_1 \right] = c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&\boxed{W=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\label{3}
&\boxed{W=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Prozesse} \nonumber \\
\end{align}

An dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich erwähnt, dass man stets auf den Begriff „adiabatische“ Zustandsänderung verzichten sollte. Denn sowohl der isentrope Prozess (n=κ) als auch der polytrope Prozess (n<κ) laufen in einem adiabaten System ab. Insofern sind all diese Vorgänge „adiabatisch“. Die jeweiligen Zustandsänderungen bzw. die Druckverläufe unterscheiden sich aber offensichtlich aufgrund der unterschiedlichen Exponenten (siehe hierzu auch den Artikel Freie Ausdehnung eines idealen Gases im Vakuum)! 

Berechnung des Polytropenexponenten für dissipative Prozesse

Welcher Polytropenexponent n einen gegebenen dissipativen Prozess am besten beschreibt, kann anhand des Anfangs- und Endzustandes ermittelt werden. Dies setzt in der Praxis natürlich eine experimentelle Bestimmung der entsprechenden Werte voraus. Anschließend ist entweder Gleichung (\ref{3475}), Gleichung (\ref{2070}) oder Gleichung (\ref{9579}) nach dem gesuchten Polytropenexponent n aufzulösen:

\begin{align}
\label{6526}
\boxed{n
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}}
={\frac{\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}} +1}
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)} + \ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)} }
} \\[5px]
\end{align}

Anhand der gegebenen Anfangs- und Endwerte scheint für den im Diagramm abgebildeten Fall ein Polytropenexponent von n=1,1689 die mit konstanter Reibungskraft beeinflusste Zustandsänderung am besten wiederzugeben (grüne Kurve). Der Vergleich im Diagramm zwischen der entsprechenden Polytropen und dem tatsächlichen Zustandsverlauf zeigt zu Beginn und gegen Ende der Zustandsänderung eine sehr gute Übereinstimmung; im dazwischen liegenden Bereich gibt es jedoch kleinere Abweichungen.

Berechnung der dissipierten Energie

Im Artikel Dissipation von Energie in geschlossenen Systemen wurde bereits ausführlich erläutert, dass sich die über die Systemgrenze transportierte Arbeit W aus der Summe von Volumenänderungsarbeit W_V des Gases und Reibungsarbeit W_Diss (Dissipationsarbeit) ergibt:

\begin{align}
\label{ums}
&\boxed{W = W_\text{V} + W_\text{Diss}} ~~~\text{über die Systemgrenze transportierte Arbeit}
\end{align}

Im Artikel Polytroper Prozess in einem geschlossenen System wurde gezeigt, dass sich die Volumenänderungsarbeit W_V für einen polytropen Prozess wie folgt ermittelt:

\begin{align}
\label{wv}
&\boxed{W_\text{V} = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}
\end{align}

Nach Umstellen von Gleichung (\ref{ums}) und Einsetzen der Gleichungen (\ref{9067}) bzw. (\ref{wv}) gilt für die dissipierte Arbeit W_Diss somit folgende Formel:

\begin{alignat}{2}
\label{3440}
&W_\text{Diss}= W – W_\text{V} = \underbrace{c_\text{v}~m~(T_2-T_1)}_{W} – \underbrace{\left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~(T_2-T_1)}_{W_\text{V}} \\[5px]
\label{5715}
&\boxed{W_\text{Diss}= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~(T_2-T_1)} = \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
\label{4461}
&\boxed{W_\text{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]} \\[5px]
\label{2394}
&\boxed{W_\text{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]} \\[5px]
\end{alignat}

Bei den Gleichungen für die Dissipationsarbeit handelt es sich um dieselben Gleichungen, die bei (reibungsfreien) polytropen Prozessen den Wärmeumsatz beschreiben (siehe Artikel Polytroper Prozess in einem geschlossenen System). Sie können im vorliegenden Fall allerdings nicht mehr als Wärmeumsatz interpretiert werden, da es sich um ein adiabates System handelt. Die identischen Gleichungen lassen sich aber aus der Anschauung heraus dennoch erklären. Denn aus energetischer Sicht des Gases hat die Dissipationsarbeit denselben Effekt wie eine Wärmezufuhr, nämlich eine Erhöhung der inneren Energie!

Anmerkung

Beachte, dass die vom/am geschlossenen System verrichtete Arbeit W gemäß den Gleichungen (\ref{1}) bis (\ref{3}) nur vom Anfangs- und Endzustand abhängig ist. Diese Gleichungen geben deshalb den tatsächlichen Arbeitsumsatz wieder, auch wenn die Polytropengleichungen den tatsächlichen Prozess nicht exakt beschreiben (siehe Diagramm unten). Dies liegt darin begründet, dass Anfangs- und Endwert mit der Realität übereinstimmt, sofern der Polytropenexponent nach Gleichung (\ref{6526}) gewählt wurde!

Anders sieht die Situation für die Dissipationsarbeit W_Diss aus. Für deren Ermittlung ist gemäß Gleichung (\ref{3440}) die Volumenarbeit W_V relevant, die sich als Fläche unter der Zustandskurve im Volumen-Druck-Diagramm ergibt. Wie im Diagramm zu sehen ist, gibt es allerdings Abweichungen zwischen der polytropen Zustandsänderung und dem tatsächlichen Prozess. Deshalb werden die Gleichungen (\ref{5715}) bis (\ref{2394}) die tatsächliche Dissipationsarbeit im Allgemeinen nicht exakt wiedergeben können. Im vorliegenden Fall ist die Fläche unter der Polytropen größer als tatsächlich und suggeriert somit auch eine etwas größere Dissipationsarbeit als dies in der Realität der Fall sein wird.