So paradox es auf den ersten Blick auch erscheinen mag, aber eine konvexe Wölbung der Riemenscheibe führt dazu, dass ein Flachriemen sich selbst auf der Riemenscheibe zentriert und nicht davon abspringt!

Um dieses paradoxe Verhalten zu verstehen, betrachten wir den Riemen auf einer gekrümmten Riemenscheibe etwas genauer. Die untere Abbildung zeigt hierzu einen flachen Riemen, der auf einer zylinderförmigen Antriebsscheibe und auf einer gewölbten Abtriebsscheibe aufgebracht ist. Die Wölbung ist aufgrund der besseren Veranschaulichung stark übertrieben dargestellt. In der Praxis ist die Wölbung auf Riemenscheiben kaum sichtbar und beträgt oft nur ein Bruchteil eines Millimeters.

Aufgrund der Wölbung wird der Riemen an den beiden Seiten unterschiedlich stark gespannt. Die näher zur Mitte liegende Riemenseite wird stärker gespannt als die andere Seite. Diese unterschiedliche starke Spannung führt dazu, dass sich der Riemen nicht mehr symmetrische um die Scheibe schlingt, sondern sich wölbt. Diesen Effekt kann man relativ einfach mit einem Gummiband oder auch einem elastischen Stofftuch demonstrieren. Zieht man das Gummiband an einer Seite auseinander, so entsteht nicht etwa eine gerade Linie, sondern das Band wölbt sich aufgrund der ungleichen Spannung nach außen!

Dieser Effekt der Auswölbung auf der stärker gespannten Seite, zeigt sich nun auch beim Riemen, wenn dieser die gewölbte Scheibe umschlingt. Der Riemen ist sozusagen überhöht. Dieser Effekt ist umso größer, je stärker die Unterschiede in den Spannungen der beiden Riemenseiten sind und damit je stärker die Riemenscheibe gewölbt ist.

Dadurch, dass die Riemenscheibe und der Riemen selbst gewölbt ist, trifft die Riemenseite mit der Auswölbung zuerst auf die Riemenscheibe.

Dieser Punkt des Riemens, der zuerst auf die die Scheibe aufläuft, steht zudem unter hoher Spannung und haftet somit sehr stark auf der Riemenscheibe. Dieser Punkt ist aber versucht entlang einer kreisförmigen Bahn um die Riemenscheibe zu laufen (weiß eingezeichnete Linie mit rot markierten Kontaktpunkten). Auf diese Weise zieht sich der Riemen somit selbst hoch in Richtung der Mitte der Riemenscheibe.

Solange der Riemen nicht symmetrisch in der Mitte der Riemenscheibe liegt, wird sich die stärker gespannte Seite weiter auswölben und sich somit stets weiter nach oben ziehen. Dieser Effekt verschwindet erst, wenn der Riemen symmetrisch in der Mitte der Riemenscheibe aufliegt und beide Riemenseite gleich stark gespannt sind. In diesem Fall ist keine Auswölbung vorhanden und der Riemen zieht sich in keine Richtung. Dies führt zu dem selbst-zentrierenden Effekt der gewölbten Riemenscheiben und dazu, dass der Riemen nicht von der Scheibe springt.

Beachte, dass ein solche selbst-zentrierender Effekt nur bei flachen Riemen vorhanden ist, solange die Riemenbreite deutlich größer ist als die Riemenhöhe. Bei Rundriemen oder Riemen mit quadratischem Querschnitt funktioniert diese Selbstzentrierung mit gewölbten Riemenscheiben nicht mehr.

Vorteile eines Riementriebs

Im Vergleich zu einem Zahnradgetriebe können mit Riemengetriebe auf einfachere Weise größere Distanzen zwischen zwei Wellen überbrückt werden. Auch Kettengetriebe bieten diesen Vorteil und werden deshalb bei Fahrrädern eingesetzt, bei denen zwischen Pedal und Hinterrad eine relativ große Distanz überwunden werden muss.

Reibschlüssig arbeitende Riemen wie Flach- oder Keilriemen bieten zudem eine natürlich Überlastfunktion. Anders als bei Zahnradgetrieben kommt es bei Überlast einfach zu einem Durchrutschen des Riemens. Die Getrieberäder und Getriebewellen werden somit vor größeren Schäden geschützt. Im schlimmsten Fall muss nur der Riemen neu getauscht werden und nicht die gesamten Zahnräder und Wellen wie im Fall eines beschädigten Zahnradgetriebes.

Ein weiterer Vorteil von Riemengetrieben ist die Elastizität der verwendeten Riemen im Vergleich zu starren Zahnrädern. Dies bietet gerade bei stoßartigen Drehmomentänderungen eine gute Dämpfungseigenschaft. Deshalb werden Riementriebe bspw. bei Mahlwerken oder Steinbrechern verwendet. Auch das Anfahr- und Abschaltverhalten ist entsprechend gedämpft und nicht in diesem Maße ruckartig wie bei Zahnradgetrieben. Beachte, dass eine hohe Elastizität des Riemens jedoch gleichzeitig einen erhöhten Dehnschlupf zur Folge hat. Riemen können folglich nicht beliebig elastisch, aber auch nicht beliebig unelastisch konstruiert werden, da ansonsten die positiven Dämpfungseigenschaften fehlen.

Ein zusätzlicher Vorteil von Riemengetrieben gegenüber Zahnradgetriebe ist die Unempfindlichkeit gegenüber einer Winkelschiefstellung, solange die Getriebeachsen weiterhin in einer parallelen Ebene zueinander verlaufen. Eine solche Schiefstellung ist in vielen Fällen sogar gezielt gewollt. Hiermit kann auf einfache Weise die Drehbewegung umgelenkt werden. Wird die Achse der Abtriebswelle dabei um 180° gedreht und der Riemen damit überkreuz gelegt, so kann auf bequeme Art die ursprüngliche Drehrichtung umgekehrt werden. Man spricht dann auch im Gegensatz zu einem offenen Riementrieb von einem gekreuzten Riementrieb.

Riemengetriebe müssen gegenüber Zahnradgetrieben nicht geschmiert werden. Dies verringert den Wartungsaufwand entsprechend. Auch sind Riementriebe im Allgemeinen geräuschärmer als Zahnradgetriebe, da keine metallischen Zähne ineinandergreifen sondern relativ weiche, elastische Riemen die Getrieberäder antreiben. Dies ermöglicht die Übertragung von großen Drehzahlen.

Des Weiteren handelt es sich bei Riemenscheiben in der Regel nicht um Vollräder wie bei Zahnräder. Riemenscheiben besitzen zur Reduktion des Gewichtes und der Herstellungskosten entsprechende Aussparungen. Damit weisen Riemengetriebe in der Regel ein geringeres Gewicht als vergleichbare Zahnradgetriebe auf.

Nachteile eines Riementriebs

Den oben genannten Vorteilen von Riemengetrieben stehen jedoch auch Nachteile gegenüber. So unterliegen Riemen je nach Umgebungsbedingungen mehr oder weniger starken Alterungserscheinungen, d.h. sie verlieren über die Zeit ihre elastischen Eigenschaften und müssen getauscht werden. Aus diesem Grund sind Riemen auch nur innerhalb eines bestimmten Temperaturbereichs anwendbar. Darüber hinaus kommt es mit der Zeit zu plastischen Dehnungserscheinungen der Riemen, sodass diese in regelmäßigen Abständen nachgespannt werden müssen.

Ein weiterer Nachteil von einigen Riemenarten wie Flach- oder Keilriemen ist der damit verbundene Schlupf, der den Getriebewirkungsgrad entsprechend herabsetzt. Lediglich bei Zahnriemen kann ein Schlupf aufgrund der formschlüssigen Kraftübertragung verhindert werden.

Nachteilig kann sich in manchen Fällen auch der erhöhte Raumbedarf eines Riementriebs gegenüber einem Zahnradgetriebe auswirken. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Riemenscheiben nicht direkt aneinander gesetzt werden können, während die Zahnräder bei Zahnradgetrieben sogar ineinandergreifen und damit platzsparender aufgestellt werden können. Zudem nimmt der Umschlingungswinkel mit geringer werdendem Achsabstand ab, sodass dieser unzulässig klein werden kann. Dies kann zwar durch Umlenkrollen wieder kompensiert werden, erhöht jedoch nicht nur den konstruktiven Aufwand sondern eventuell auch wieder den Raumbedarf.

Warum muss die Riemenspannung aufrechterhalten werden?

Die Notwendigkeit der Riemenspannung zur Kraftübertragung ist im Artikel Wie funktioniert ein Riementrieb? ausführlich erläutert. Trotz Vorspannkraft wird sich die Riemenspannung im Betrieb jedoch durch plastische Dehnvorgänge oder durch Temperatureinflüsse verändern. Deshalb müssen Riementriebe häufig durch bestimmte Vorrichtungen auf Spannung gehalten werden.

Außerdem muss bedacht werden, dass ein Riemen mit der Zeit auch gewartet und von der Riemenscheibe genommen werden muss sowie wieder hierauf aufgezogen wird. Unter Spannung ist dies kaum möglich, sodass bereits aus Montagegründen dem Riemen beim Riemenwechsel die Spannung genommen werden muss und nach dem erneuten Aufziehen wieder durch Spannvorrichtungen (Riemenspanner) gespannt werden muss.

Spannsysteme dienen der Erzeugung und der Aufrechterhaltung der Riemenspannung und gewährleisten somit die sichere Kraftübertragung!

Spannrollen, Umlenkrollen und Führungsrollen

Das Aufrechterhalten der Riemenspannung im Betrieb kann bspw. durch Spannrollen erfolgen. Spannrollen dienen auch dazu starke Lastwechsel abzufedern. Zudem können durch Spannrollen die Umschlingungswinkel vergrößert werden, was dann ebenfalls positive Effekte bzgl. der Reibungskraft zur Folge hat. Darüber hinaus werden Spannrollen bei langen Trumlängen eingesetzt, um eine zu starke Vibration des Riemens zu unterbinden.

Dienen solche Rollen lediglich der Umlenkung des Riemens, dann werden diese Rollen auch Allgemein als Umlenkrollen bezeichnet. Umlenkrollen werden bspw. bei Mehrfachantrieben eingesetzt, bei denen eine Antriebsscheibe mehrere Abtriebsscheiben antreibt. Umlenkrollen können auch bei langen Trumlängen zur Verringerung von Riemenschwingungen eingesetzt werden. Solche Rollen können auch gleichzeitig die Funktion einer Führung übernehmen, damit der Riemen nicht von der Scheibe springt. Man spricht dann von Führungsrollen. Führungsrollen haben oft links und rechts Überstände (Bordscheiben genannt), zwischen denen der Riemen dann in der Spur gehalten wird.

Spannrollen übernehmen an sich noch keine Spannfunktion; hierfür sind bestimmte Vorrichtungen erforderlich (auch Spannsysteme genannt). Spannvorrichtungen gibt es in den verschiedensten Ausführungen. Die oberen Spannsysteme wurden jeweils mit einem einfachen Federmechanismus ausgeführt. Die Federn bieten den Vorteil, dass sich die Riemenspannung dynamisch den Gegebenheiten anpassen kann, z.B. bei starken Lastwechseln wenn die Riemenkraft sich hierdurch ändert.

Exzenterspannrolle

Eine weitere Möglichkeit der Erzeugung der Riemenspannung besteht durch eine extentrische Befestigung der Spannrolle. Durch Drehung kann dann die gewünschte Riemenspannung eingestellt und die Exzenterrolle festgezogen werden. Zusätzlich können Torsionsfedern in der Rolle eingebaut sein, die dann eine dynamische Anpassung der Riemenspannung bei Lastwechsel erlauben.

Spannzange

Eine weitere Möglichkeit der Spannung besteht über einen Hebelarm an dessen einen Ende die Spannrolle befestigt wird und mit einer Feder auf Spannung gehalten wird (Spannzange genannt).

Treten im Betrieb häufige Lastwechsel auf, dann kann das oben beschriebene Spannsystem zu starken Schwingungen/Vibrationen angeregt werden. Hydraulische Dämpfungsysteme, wie sie bspw. auch in Türschließern wiederzufinden sind, schaffen an dieser Stelle Abhilfe. Dabei befindet sich der Kolben in einem Ölbad, welches aufgrund seiner Viskosität für die nötige Dämpfung sorgt.

Motorschlitten

Neben der Verwendung von zusätzlichen Spannrollen, kann die Riemenspannung auch durch ein Verstellen der Riemenscheibe aufgebracht bzw. angepasst werden. Bei der Verwendung von sogenannten Motorspannschlitten (auch Spannschlitten oder Motorschlitten genannt) befindet sich der gesamte Motorantrieb auf einem beweglichen Schlitten der in einer fest montierten Führung läuft.

Durch angebrachte Verstellschrauben kann die Position des Schlittens auf der Führung verändert und somit die Riemenspannung eingestellt werden. Bei Nachlassen der Riemenspannung oder bei starken Lastwechsel passt sich der Motorschlitten jedoch nicht den geänderten Kräfteverhältnissen an sondern muss von Hand nachgestellt werden.

Motorwippe

Eine dynamische Anpassung der Riemenspannung an die vorhandenen Lastverhältnisse bzw. bei plastischen Ausdehnungsvorgängen kann durch die Verwendung einer selbstspannenden Motorwippe erreicht werden. Der Motor ist dabei auf einer drehbar gelagerten Platten aufgeschraubt, wobei der Schwerpunkt des Systems so ausgelegt wird, dass die Platte mit Motor tendenziell nach hinten kippt. In einer Schräglage von etwa 15° bis 20° sorgt die Motorwippe mit seiner Gewichtskraft somit für eine permanente und nahezu konstante Riemenspannung.

Einleitung

Im Artikel Leistung wurde gezeigt, dass ein Körper der durch eine Kraft F mit der Geschwindigkeit v bewegt wird die Leistung P=F⋅v umsetzt. Auf den Riementrieb übertragen bedeutet dies: wird der Riemen durch die effektiv wirksamen Umfangskraft F_U mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann überträgt der Riemen folgende Leistung:

\begin{align}
\label{leistung}
\boxed{P=F_U \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Diese Leistung wird von der Antriebsscheibe auf den Riemen übertragen und dann an die Abtriebsscheibe weitergegeben. Beachte, dass ein Getriebe grundsätzlich nicht die Leistung ändert! Der Riemen dient sozusagen als „Übermittler“ der Leistung zwischen Antrieb und Abtrieb. Dabei zeigt sich jedoch, dass der Riemen aufgrund seiner begrenzten Festigkeit keine beliebig hohen Leistungen übertragen kann und es sogar eine optimale Riemengeschwindigkeit bei der das Leistungsmaximum erreicht wird, wie im Folgenden näher erläutert werden soll.

Einfluss der Umfangskraft und der Riemengeschwindigkeit auf die Leistung

Zunächst bedeutet gemäß Gleichung (\ref{leistung}) eine große Leistung immer auch eine hohe Geschwindigkeit. Hohe Geschwindigkeiten führen aber zur Zunahme der Fliehkräfte. Da die zulässige Riemenspannung im Zugtrum jedoch begrenzt ist, geht die Zunahme der Fliehkräfte auf Kosten der maximal zulässigen Zugtrumskraft. Dies wird auch direkt anhand der im Artikel Maximale Riemenspannung hergeleiteten Spannungsgleichung deutlich, in der die Summe aus Zugtrumsspannung σ_Z, Biegespannung σ_b und geschwindigkeitsabhängiger Fliehkraftspannung σ_F(v) die maximal zulässige Gesamtspannung σ_zul nicht überschreiten darf:

\begin{align}
&\sigma_Z + \sigma_b + \sigma_F(v) \le \sigma_{zul} \\[5px]
\label{zulaessige}
&\boxed{\sigma_{Z,zul} \le \sigma_{zul} -\sigma_b – \sigma_F(v)} ~~~\text{mit}~~~\boxed{\sigma_{F}(v) = \rho \cdot v^2} ~~~\text{und}~~~ \boxed{\sigma_b =E_b \cdot \frac{s}{d + s}}\\[5px]
\end{align}

Die zulässige Zugtrumsspannung σ_Z,zul sinkt also nach Gleichung (\ref{zulaessige}) mit zunehmender Fliehkraftspannung σ_F(v). Damit ist dann aber auch direkt eine Abnahme der maximal übertragbaren Umfangskraft F_U,max verbunden. Denn bei gegebener Zugtrumskraft, die in diesem Fall der maximal zulässigen Kraft F_Z,zul = σ_Z,zul⋅A entspricht, kann über die Ausbeute k nur eine bestimmte Umfangskraft F_U,max übertragen werden:

\begin{align}
&F_{U,max} = F_{Z,zul} \cdot k \\[5px]
\label{nutzkraft}
&\boxed{F_{U,max} = \sigma_{Z,zul} \cdot A \cdot k} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{k= \left(1- \frac{1}{e^{\mu \cdot \varphi}} \right) } ~~~\text{als Ausbeute} \\[5px]
\end{align}

Niedrige Umfangskräfte führen gemäß Gleichung (\ref{leistung}) dann aber wiederum zu einem Absinken der Leistung. Im Extremfall sind bei sehr hohen Geschwindigkeit die Fliehkräfte so groß, dass sogar gar keine Umfangskraft mehr übertragen werden kann (und damit keine Leistung), da ansonsten sofort die zulässige Riemenspannung überschritten werden würde. Zu hohe Riemengeschwindigkeiten verbieten also die Übertragung von großen Leistungen!

Zunehmende Riemengeschwindigkeiten führen zur Abnahme der übertragbaren Umfangskraft, da die Fliehkraft den Riemen sonst unzulässig stark beansprucht! Die übertragene Leistung sinkt!

Umgekehrt können bei geringen Geschwindigkeiten zwar größere Umfangskräfte und damit vordergründig höhere Leistungen erzielt werden; wenn dies aber dazu führt, dass die Riemengeschwindigkeit soweit gedrosselt werden muss (da ansonsten die Fliehkräfte zu groß werden würden), dass sich der Riemen kaum noch bewegt, dann steckt hinter der großen Umfangskraft ohnehin auch keine große Leistung!

Abnehmende Riemengeschwindigkeiten führen zur Zunahme der übertragbaren Umfangskraft, die übertragene Leistung sinkt jedoch!

Tatsächlich gibt es deshalb bei Riementrieben eine wirtschaftlich optimale Riemengeschwindigkeit bei der die maximale Leistung P_max übertragen werden kann, d.h. ein optimales Kraft-Geschwindigkeits-Verhältnis vorliegt. Auf diese optimale Riemengeschwindigkeit wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.

Optimale Riemengeschwindigkeit

Maximal übertragbare Leistung

Um die optimale Riemengeschwindigkeit v_opt zu bestimmen, müssen die Gleichungen (\ref{zulaessige}), (\ref{nutzkraft}) und (\ref{leistung}) miteinander kombiniert werden, um zunächst die maximal übertragbare Leistung P_max in Abhängigkeit der Geschwindigkeit v ausdrücken zu können:

\begin{align}
&P_{max} = F_{U,max} \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \sigma_{Z,zul} \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \left( \sigma_{zul} -\sigma_b – \sigma_F(v) \right) \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
&P_{max} = \left( \sigma_{zul} – \sigma_b – \rho \cdot v^2 \right) \cdot A \cdot k \cdot v \\[5px]
\end{align}

Wird die Querschnittsfläche A des Flachriemens durch dessen Riemendicke s und dessen Riemenbreite b ausgedrückt (A=b⋅s), dann ergibt sich die maximale übertragbare Leistung P_max bei gegebener Geschwindigkeit v schließlich wie folgt:

\begin{align}
\label{abs_leistung}
&\boxed{P_{max}(v) = \left( \sigma_{zul} – \sigma_b – \rho \cdot v^2 \right) \cdot b \cdot s  \cdot k \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass für die Ausbeute k der kleinste auftretende Umschlingungswinkel maßgebend ist! In der Regel trifft dies für die kleinste vorhandene Scheibe zu, zumal dort auch die größten Biegespannungen wirken. Sowohl der Umschlingungswinkel φ (für die Ausbeute relevant) als auch der Scheibendurchmesser d (für die Biegespannung relevant) beziehen sich somit auf die kleinste der Riemenscheiben.

Spezifische Leistung („Leistung pro Millimeter Riemenbreite“)

Häufig wird die Leistung P_max auf die Riemenbreite b bezogen und als sogenannte spezifische Leistung p_max angegeben („Leistung pro Millimeter Riemenbreite“). Dies macht insofern Sinn, da die Riemendicke s zur Berechnung der Biegespannung σ_b ohnehin im Vorfeld als gegeben vorausgesetzt bzw. angenommen werden muss. Somit bleibt die Riemenbreite als einzige unbekannte Geometriegröße b übrig. Es macht deshalb Sinn die Leistung zunächst unabhängig von der Riemenbreite auszudrücken und als spezifische Leistung anzugeben:

\begin{align}
&p_{max} = \frac{P_{max}}{b} \\[5px]
\label{spez_leistung}
&\boxed{p_{max} (v) =\left( \sigma_{zul} – \sigma_b – \rho \cdot v^2 \right) \cdot s \cdot k \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Als spezifische Leistung bezeichnet man die Leistung pro Längeneinheit Riemenbreite!

Anhand dieser maximal übertragbaren spezifischen Leistung p_max wird in der Praxis dann schließlich die zur Übertragung der Nennleistung P_N erforderliche Riemenbreite b_erf ermittelt. Zur Sicherheit werden dabei noch verschiedene Betriebsfaktoren C berücksichtigt, die den Einfluss von stoßartigen Drehmomentbelastungen und verschiedene Umwelteinflüsse die zur Reibungsabnahme führen könnten, beinhalten:

\begin{align}
&\boxed{b_{erf} =\frac{P_N}{p_{max} \cdot C} } \\[5px]
\end{align}

Maximalleistung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit

Die untere Abbildung zeigt für die im Diagramm angegebenen Werte die maximal übertragbare spezifische Leistung p_max in Abhängigkeit der Riemengeschwindigkeit v nach Gleichung (\ref{spez_leistung}). Es wird nun auch graphisch deutlich, dass weder zu geringe noch zu große Riemengeschwindigkeiten zu einer beliebig hohen übertragbaren Leistungen führen. Es existiert ein ausgesprochenes Kurvenmaximum, in dem die größtmögliche Maximalleistung übertragen werden kann.

Um dieses Maximum zu erreichen muss die Riemengeschwindigkeit auf das entsprechende Optimum eingestellt werden. Man bezeichnet dies auch als optimale Riemengeschwindigkeit und liegt im vorliegenden Fall bei etwa 50 m/s und entspricht einer Drehzahl der kleinen Scheibe von 4774 min^-1. Wie dieses Beispiel zeigt liegen die optimalen Riemengeschwindigkeiten häufig sehr hoch und werden in der Praxis meist nicht erreicht.

Es existiert eine optimale Riemengeschwindigkeit bei der die maximale Leistung übertragen werden kann!

Berechnung der optimalen Riemengeschwindigkeit

Um die optimale Riemengeschwindigkeit zu berechnen, muss für die Funktion p_max(v) bzw. P_max(v) der Maximalwert gefunden werden. Mathematisch entspricht dies dem Ableiten und Nullsetzen der entsprechenden Funktion:

\begin{align}
&\frac{\text{d}p_{max}(v)}{\text{d}v} = 0 \\[5px]
&\left( \sigma_{zul} – \sigma_b – 3 \rho \cdot v^2 \right) \cdot s \cdot k = 0 \\[5px]
&\sigma_{zul} – \sigma_b – 3 \rho \cdot v^2 = 0 \\[5px]
\label{v_opt}
&\boxed{v_{opt} = \sqrt{\frac{\sigma_{zul} – \sigma_b  }{3 \rho}}} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + s}}\\[5px]
\end{align}

Bei gegebenem Übersetzungsverhältnis und Drehzahl der Antriebsscheibe kann die Riemengeschwindigkeit durch größere bzw. kleinere Riemenscheiben angepasst werden, um damit die optimale Geschwindigkeit zu erreichen. Um das gewünschte Übersetzungsverhältnis allerdings nicht zu ändern, müssen immer beide Scheiben (d.h. sowohl Antriebs- als auch Abtriebsscheibe) im selben Maße verändert werden. Beachte, dass sich durch Änderung des Scheibendurchmessers wiederum die Biegespannung und damit die optimale Riemengeschwindigkeit ändert!

Die maximale spezifische Leistung p_max,opt bzw. absolute Leistung P_max,opt, die bei der optimalen Riemengeschwindigkeit v_opt übertragen werden kann, ergibt sich dann durch Einsetzen von Gleichung (\ref{v_opt}) in Gleichung (\ref{spez_leistung}) bzw. (\ref{abs_leistung}):

\begin{align}
&\boxed{p_{max, opt} = k \cdot \sqrt{\frac{4 \left(\sigma_{zul} – \sigma_b \right)^3 }{27 \rho}}} \\[5px]
&\boxed{P_{max, opt} = k \cdot b \cdot \sqrt{\frac{4 \left(\sigma_{zul} – \sigma_b \right)^3 }{27 \rho}}} \\[5px]
\end{align}

Berechnung der Lagerkraft

Die wirkenden Kräfte im Riemen pressen diesen auf die Scheibe und hierdurch wiederum auf das entsprechende Lager der Welle. Die Lagerkraft der Welle (auch als Achskraft oder Wellenkraft bezeichnet) steht somit mit den Trumkräften im Gleichgewicht. Über den Kosinussatz lässt sich diese Wellenkraft F_W aus der Zugtrumskraft F_Z und der Leertrumskraft F_L sowie aus dem dazwischenliegenden Umschlingungswinkel φ ermitteln:

\begin{align}
\label{lagerkraft}
F_W=\sqrt{F_Z^2 + F_L^2 – 2 \cdot F_Z \cdot F_L \cdot \cos(\varphi)} \\[5px]
\end{align}

Wie im Artikel Berechnung der Riemenlänge gezeigt, lässt sich der Umschlingungswinkel dabei mit Hilfe des Durchmessers der kleinen bzw. großen Scheibe d_k bzw. d_g sowie des Achsabstandes e bestimmen:

\begin{align}
\label{phi}
&\boxed{\varphi = \pi – 2 \cdot \arcsin\left( \frac{d_g-d_k}{2e}\right)} ~~~\text{Bogenmaß!} \\[5px]
\end{align}

Wird die Zug- bzw. Leertrumskraft über die Vorspannkraft F_V und die zu übertragende Umfangskraft F_U ausgedrückt (siehe Artikel Kraftübertragung am Riementrieb),

\begin{align}
\label{trumkraefte}
&F_Z = F_V + \tfrac{F_U}{2} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~ F_L =F_V – \tfrac{F_U}{2} ~\text{,}  \\[5px]
\end{align}

dann kann die Wellenbelastung F_W auch wie folgt ausgedrückt werden:

\begin{align}
&F_W=\sqrt{\left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right)^2 + \left( F_V – \tfrac{F_U}{2} \right)^2 – 2 \cdot \left(F_V + \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \left( F_V – \tfrac{F_U}{2} \right) \cdot \cos(\varphi)} \\[5px]
\label{F_W}
&\boxed{F_W=\sqrt{2 F_V^2 \cdot \left[1-\cos(\varphi) \right] +  \tfrac{1}{2} F_U^2 \cdot \left[1+\cos(\varphi)\right] }  } \\[5px]
\end{align}

Für den Fall, dass der Umschlingungswinkel 180° (φ=π) beträgt, wird die Wellenbelastung maximal, da die Trumkräfte dann parallel sind und somit in vollem Maße wirken. Mit cos(π)=-1 folgt direkt aus der oberen Gleichung, dass die Wellenbelastung im späteren Lastbetrieb dem zweifachen Wert der dynamischen Vorspannkraft F_V entspricht:

\begin{align}
\label{wellenbelastung}
&F_{W,max}=2 \cdot F_V  \\[5px]
\end{align}

Die Lagerkraft entspricht maximal dem zweifachen Wert der dynamischen Vorspannung!

Einfluss der Fliehkräfte auf die Lagerkraft

Für die Berechnung Lagerkraft im Betriebszustand sind grundsätzlich keine Fliehkräfte zu berücksichtigen! So muss zwar der Riemen im Ruhezustand um den Betrag der zu erwartenden Fliehkraft stärker gespannt werden, diese zusätzliche Riemenfliehkraft wirkt aber im späteren Betrieb nicht auf die Lager, da der Riemen ja mit genau diesem Kraftbetrag versucht ist von der Scheibe abzuheben und damit das Lager im selben Maße wieder entlastet. Die angreifenden Fliehkräfte am Riemen und die zusätzlich im Riemen wirkende Riemenfliehkraft bilden ein geschlossenes Kräftepolygon und löschen sich in ihrer Wirkung somit aus. Relevant für die Lagerbelastung ist im Betriebszustand somit nur die dynamische Vorspannung F_V.

Die im Betrieb vorhandenen Fliehkräfte werden durch die zusätzliche Vorspannung (Riemenfliehkraft) ausgeglichen und beeinflussen somit die Lagerkraft nicht!

Zusammenhang zwischen maximaler Umfangskraft und Lagerkraft (Durchzugsgrad)

Im Artikel Kraftübertragung am Riementrieb konnte gezeigt werden, dass die maximal übertragbare Umfangskraft F_U,max über folgende Formel mit der dynamischen Vorspannkaft F_V zusammenhängt:

\begin{align}
\label{vorspannung}
&F_{V,min} = F_{U} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } ~~~ \text{bzw.} ~~~\underline{F_{V} = F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) }} \\[5px]
\end{align}

Wird nun Gleichung (\ref{vorspannung}) in Gleichung (\ref{wellenbelastung}) eingesetzt, so ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen der vorhandenen Lagerkraft F_W und der damit verbundenen maximal übertragbaren Umfangskraft F_U,max:

\begin{align}
&F_W=2 \cdot F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{2 \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) } \\[5px]
&F_W=F_{U,max} \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}+1}{e^{\mu \cdot \varphi} -1} \\[5px]
\label{durchzugsgrad}
&F_{U,max} = F_W \cdot \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1} \\[5px]
&\boxed{F_{U,max} = F_W \cdot \phi } ~~~~~\text{mit}~~~~~\boxed{\color{red}{\phi = \frac{e^{\mu \cdot \varphi}-1}{e^{\mu \cdot \varphi} +1}}} ~~~\text{als Durchzugsgrad} \\[5px]
\end{align}

Der in der oberen Gleichung rot markierte Term wird auch als Durchzugsgrad ϕ bezeichnet. Ein Durchzugsgrad von 0,8 bedeutet anschaulich, dass maximal 80 % der im Betrieb vorhandenen Lagerkraft für die Nutzkraftübertragung zur Verfügung steht (gilt strenggenommen nur für parallele Trume).

Umso höher der Durchzugsgrad, desto höher die maximale Umfangskraft im Vergleich zur Lagerkraft, d.h. eine hohe „effiziente Kraftübertragung“!

Einstellen der Vorspannkraft über die Lagerkraft

Das Aufbringen der Vorspannkraft im lastfreien kann über das Einstellen der Lagerkraft erfolgen. Denn im lastfreien Stillstand, d.h. wenn keine Umfangskraft übertragen wird (F_U=0), ist die Wellenbelastung nur durch die Gesamtvorspannkraft F_V,ges bestimmt (Beachte, dass in diesem Fall die Gesamtvorspannkraft auch die auszugleichenden Riemenfliehkräfte beinhaltet!):

\begin{align}
&\boxed{F_{W,0}=F_{V,ges} \cdot \sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }  } \\[5px]
\end{align}

Somit kann durch Anpassung bzw. Messung der Lagerkraft im lastfreien Zustand F_W,0 die Gesamtvorspannkraft F_V,ges eingestellt bzw. bestimmt werden:

\begin{align}
&\boxed{F_{V,ges}=F_{W,0} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \left[1-\cos(\varphi) \right] }}  } \\[5px]
\end{align}

Dehnschlupf

Beim Umlauf des Riemens um die Riemenscheiben ist dieser unterschiedlichen Kräften ausgesetzt. Ausgehend der Leertrumskraft steigt die Riemenkraft an der treibenden Scheibe unter Einleitung der Umfangskraft auf die Zugtrumskraft an. Umgekehrt sinkt die Trumkraft an der getriebenen Scheibe unter Abgabe der Umfangskraft wieder von der Zugtrumskraft auf die Leertrumskraft ab (siehe hierzu Artikel Maximale Riemenspannung). Die unterschiedlichen Trumkräfte rufen aufgrund der Elastizität des Riemens auch unterschiedliche Dehnungen hervor.

Werden im lastfreien Zustand in gleichen Abständen Markierungslinien am Riemen angebracht, so werden sich im Betrieb die Linienabstände im Zugtrum aufgrund der zugenommenen Riemenkraft vergrößern und im Leertrum aufgrund der abgenommenen Kraft dementsprechend verkleinern. Um die Riemenscheiben selbst passen sich die Linienabstände allmählich den neuen Gegebenheiten an.

Wird nun ein Riemenabschnitt zwischen zwei Markierungslinien näher betrachtet, so wird dieser Abschnitt beim Umlauf um die getriebene Scheibe auf dieser offensichtlich aufgedehnt. Der sich dehnende Riemenabschnitt wird sozusagen über die Scheibe gezogen, d.h. es kommt zur Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe und somit zu einem Gleiten!

Umgekehrt zieht sich der vom Zugtrum kommende und damit maximal aufgedehnte Riemenabschnitt beim Umlauf um die treibende Scheibe aufgrund der abnehmenden Riemenkraft wieder zusammen. Der Riemen schrumpft sozusagen auf der treibende Scheibe und es kommt somit ebenfalls zu einer Relativbewegung und damit zu einem Gleiten.

Der Riemen wird über Gleitvorgänge auf der getriebenen Scheibe in Richtung Zugtrum aufgedehnt und zieht sich auf der treibenden Scheibe in Richtung Leertrum wieder zusammen!

In der unteren Animation sind zur besseren Orientierung zusätzliche Markierungslinien an den Riemenscheiben angebracht. Vergleicht man diese Scheibenmarkierungen mit den umlaufenden Riemenmarkierungen, so sieht man vor allem am Auslauf aus den Riemenscheiben die Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe sehr deutlich.

Solche Dehn- bzw. Schrumpfvorgänge des Riemens auf den Riemenscheiben, die unweigerlich zu einer Relativbewegung führen, werden auch als Dehnschlupf bezeichnet (der Riemen „schlüpft“ sozusagen über die Scheibe). Der Dehnschlupf sollte aus Sicht des Riemens grundsätzlich so gering wie möglich gehalten werden, da es ansonsten aufgrund der starken Relativbewegung zu einem enormen Riemenverschleiß kommt. Die Oberflächen von Riemenscheiben dürfen deshalb nicht zu rau sein, wie man vielleicht im ersten Moment aufgrund der erhöhten Haftreibung bei rauhen Oberflächen annehmen würde!

Als Dehnschlupf bezeichnet man die aufgrund der Elastizität des Riemens stets vorhandene Relativbewegung auf den Riemenscheiben (partielle Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe)!

Neben dem Dehnschlupf, der der Elastizität des Riemens geschuldet ist, kann der Riemen bei Überlast auch komplett über die gesamte getriebene Riemenscheibe rutschen bzw. die treibende Riemenscheibe unter dem Riemen durchdrehen. Man spricht dann von Gleitschlupf. Beachte, dass letztlich jeder Riemen eine gewisse Elastizität besitzt und damit immer ein Dehnschlupf vorhanden ist, wobei Gleitschlupf grundsätzlich vermieden werden sollte.

Als Gleitschlupf bezeichnet man das vollständige Gleiten des Riemens über die gesamte Riemenscheibe bei Überlast (vollständige Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe)!

Riemengeschwindigkeiten

Mit dem im Abschnitt zuvor erläuterten Gleitschlupf bzw. den unterschiedlich starken Riemendehnung zwischen Zugtrum und Leertrum ist auch eine unterschiedliche Riemengeschwindigkeit verbunden.

So muss aufgrund der Massenerhaltung (Kontinuitätsbedingung) innerhalb einer bestimmten Zeit dieselbe Riemenmasse im Zugtrum wie auch im Leertrum an einem gedachten Punkt vorbeibewegt werden. Ansonsten würde sich auf wundersame Weise Riemenmasse zwischen den beiden gedachten Punkten ansammeln (bzw. vernichtet werden), da mehr (bzw. weniger) Masse über den gedachten Punkt hinein bewegt wird als am anderen Punkt wieder heraus bewegt wird.

Wenn nun aber die Riemenabschnitte im Zugtrum gedehnt und damit länger als im Leertrum sind, dann müssen diese folglich schneller bewegt werden um dieselbe Masse durchsetzen zu können als die geschrumpften Riemenabschnitte im Leertrum.

Der Riemen bewegt sich aufgrund der stärkeren Dehnung im Zugtrum schneller als im weniger stark gedehnten Leertrum!

Die Riemendehnung und die Riemengeschwindigkeit hängen also direkt miteinander zusammen. Im selben Maße wie die Riemendehnung beim Umlauf um die Scheiben zu- bzw. abnimmt, nimmt auch die Riemengeschwindigkeit zu- bzw. ab. Innerhalb der jeweiligen Trume, wo sich die Dehnung aufgrund der konstanten Trumkraft nicht ändert, bleibt auch die Riemengeschwindigkeit konstant. Das Anpassen der unterschiedlichen Riemengeschwindigkeiten zwischen Leertrum und Zugtrum geschieht über die besagten Dehn- bzw. Schrumpfvorgänge auf den Riemenscheiben.

Über den Dehnschlupf auf den Riemenscheiben passt sich der Riemen den unterschiedlichen Trumgeschwindigkeit an!

Umfangsgeschwindigkeit der Riemenscheiben

Wie aus der unteren Animation deutlich wird, eilt der Riemen durch das zunehmende Aufdehnen auf der getriebenen Scheibe dieser mehr und mehr voraus. Damit ist die Geschwindigkeit eines gedachten Riemenpunktes stets etwas höher als die Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe. Dies entspricht der im Abschnitt zuvor beschriebenen Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe.

Beachte, dass die Relativbewegung beim Umlauf um die Scheibe stetig größer wird, da der Riemen seine Geschwindigkeit gemäß der zunehmenden Dehnung mehr und mehr steigert (Kontinuitätsbedingung!), die Scheibe aber eine konstante Umfangsgeschwindigkeit besitzt. Damit sind Riemengeschwindigkeit und Scheibenumfangsgeschwindigkeit lediglich beim Auflauf auf die getriebene Riemenscheibe gleich groß, ansonsten wird die Riemengeschwindigkeit größer sein bzw. die Scheibengeschwindigkeit kleiner.

Die getriebene Riemenscheibe rotiert am Umfang mit geringerer Geschwindigkeit im Vergleich zum Riemen!

Umgekehrt läuft ein gedachter Riemenpunkt aufgrund der Riemenschrumpfung auf der treibenden Scheibe dieser etwas nach (der Riemen wird durch die abnehmende Kraft praktisch zurückgezogen). Damit ist die Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe größer als die Geschwindigkeit des Riemens. Lediglich wieder beim Einlauf auf die treibende Scheibe ist die Riemengeschwindigkeit gleich der Scheibenumfangsgeschwindigkeit. Ansonsten nimmt die Riemengeschwindigkeit aufgrund der Kontinuitätsbedingungen wieder mit sinkender Dehnung nach und nach ab.

Die treibende Riemenscheibe rotiert am Umfang mit höherer Geschwindigkeit im Vergleich zum Riemen!

Die untere Abbildung zeigt schematisch die Verteilung der Geschwindigkeit entlang des Riemens gemäß der oberen Animation.

Wenn sich also die treibende Scheibe im Allgemeinen schneller als der Riemen bewegt und die getriebene Scheibe jedoch langsamer, dann sind die Umfangsgeschwindigkeiten der Scheiben offensichtlich nicht mehr identisch (nur bei einem ideal inelastischen Riemen ohne Dehnungseffekte wäre dies der Fall). Somit tritt letztlich ein Geschwindigkeitsverlust zwischen der schneller als der Riemen rotierenden Antriebsscheibe und der langsamer als der Riemen rotierenden Abtriebsscheibe auf (bezogen auf die Umfangsgeschwindigkeiten, nicht auf die Drehzahlen!).

Die Umfangsgeschwindigkeit der getriebenen Scheibe ist kleiner als die der treibenden Scheibe! Der relative Geschwindigkeitsverlust im Vergleich zur treibenden Scheibe ist ein Maß für den Dehnschlupf!

Umso stärker sich der Riemen dehnt, d.h. umso größer der Dehnschlupf ist, desto stärker werden sich die Trumgeschwindigkeiten und damit auch die Umfangsgeschwindigkeiten der Scheiben unterscheiden. Deshalb lässt sich die Stärke des Dehnschlupfes S über den Geschwindigkeitsverlust am Umfang der treibenden (v_t) und der getriebenen Scheibe (v_g) definieren:

\begin{align}
\label{def_s}
\boxed{S = \frac{\Delta v}{v_t} = \frac{v_t-v_g}{v_t} = 1-\frac{v_g}{v_t}  } \\[5px]
\end{align}

Da die Umfangsgeschwindigkeiten auch über die Drehzahlen und die Durchmesser ausgedrückt werden können (v=π⋅d⋅n), lässt sich der Dehnschlupf auch wie folgt ermitteln:

\begin{align}
&\boxed{S = 1-\frac{n_g \cdot d_g}{n_t \cdot d_t}} \\[5px]
\end{align}

Der Dehnschlupf liegt bei Riemengetrieben (außer Zahnriemen) in der Größenordnung von etwa 1 bis 2 %.

Leistungsminderung

Mit der im Abschnitt zuvor erläuterten Abnahme der Umfangsgeschwindigkeit von treibender zur getriebenen Scheibe aufgrund des Dehnschlupfes ist auch direkt ein Leistungsverlust verbunden. Denn ein Nachlassen der Umfangsgeschwindigkeit v bei einer übertragenden Umfangskraft F_U bedeutet gemäß der Leistungsformel P=F_U⋅v eine direkte Abnahme Leistung.

An der treibenden Scheibe wird zunächst die Leistung P_t=F_U⋅v_t auf den Riemen übertragen. An der getriebenen Scheibe wird die um den Betrag des Dehnschlupfes geminderte Leistung P_g=F_U⋅v_g entnommen. Die Differenz der Leistungen entspricht dem Leistungsverlust ΔP durch die Dehn- und Schrumpfprozesse des Riemens (Wärmeentwicklung!):

\begin{align}
&\Delta P = P_t – P_g = F_U \cdot v_t –  F_U \cdot v_g = F_U \cdot \underbrace{(v_t-v_g)}_{=v_t \cdot S} = F_U \cdot v_t \cdot S = P_t \cdot S   \\[5px]
\end{align}

Somit lässt sich der Dehnschlupf S auch über den Leistungsverlust ΔP bezüglich der Leistung P_t an der treibenden Scheibe bestimmen:

\begin{align}
&\boxed{S = \frac{\Delta P}{P_t}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass der Dehnschlupf keine Auswirkung auf die Umfangskraft hat und damit die Drehmomentwandlung nicht beeinflusst. Denn schließlich ist die Umfangskraft nur von der Differenz der Trumkräfte abhängig (F_U=F_Z-F_L). Diese Trumkräfte gelten für beide Scheiben gleichermaßen, sodass auch die wirkenden Umfangskräfte an beiden Scheiben identisch sind. Die unterschiedlichen Trumkräfte sorgen lediglich für unterschiedliche Dehnungen, aber die wirkenden Trumkräfte werden nach wie vor im selben Maße im Riemen übertragen (schließlich macht es auch kein Unterschied ob eine Gewichtsstück an einem dehnbaren Gummiseil oder an einem starren Drahtseil befestigt wird – die Seilkräfte sind identisch, lediglich das Gummiseil dehnt sich stärker).

Der Dehnschlupf beeinflusst zwar die Riemengeschwindigkeit und damit die Leistung aber nicht die Umfangskraft bzw. das Drehmoment!

Beachte, dass der Leistungsverlust durch den Dehnschupf der Elastizität des Riemens geschuldet ist. Eine solche Elastizität ist nicht nur unvermeidbar sondern auch gezielt gewollt! Schließlich ist der große Vorteil der Riemenelastizität die damit einhergehende Dämpfungseigenschaft des Getriebes bei Lastspitzen!

Gleitbereiche und Haftbereiche

Die bisherigen Ausführungen zum Dehnschlupf zeigen also, dass es zwischen Riemen und Scheibe zu einem Gleiten kommt. In diesem Gleitfall besteht gemäß der Eytelweinschen Seilreibungsgleichung ein direkter Zusammenhang zwischen der Zugtrumskraft F_Z  und Leertrumskraft F_L:

\begin{align}
&F_Z = F_L \cdot e^{\mu_G \cdot \varphi‘} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich an dieser Stelle nicht wie in den bisherigen Ausführungen immer angenommen um den statischen Grenzfall handelt, bei dem der Riemen gerade noch nicht ins Gleiten kommt. Vielmehr liegt durch den Dehnschlupf ja bereits von vorne herein ein Gleiten vor (µ_G als Gleitreibungskoeffizient!).

In diesem Gleitfall lässt sich der obere Zusammenhang zwischen den gegebenen Trumkräften direkt herstellen. Dies bedeutet aber auch, dass der Gleitvorgang im Allgemeinen nicht über den gesamten Umschlingungswinkel stattfindet sondern nur über jenen Gleitwinkel φ‘ erfolgt, der sich durch die vorgegebenen Trumkräfte F_Z und F_L ergibt:

\begin{align}
&\frac{F_Z}{F_L} = e^{\mu_G \cdot \varphi‘} \\[5px]
&\ln\left(\frac{F_Z}{F_L}\right) =\mu_G \cdot \varphi‘ \\[5px]
\label{gleitwinkel}
&\boxed{\varphi‘ = \frac{1}{\mu_G}\cdot \ln\left(\frac{F_Z}{F_L}\right)} \\[5px]
\end{align}

Der gesamte Umschlingungsbereich φ lässt sich somit in zwei Bereiche einteilen. Im Gleitbereich φ‘ findet eine Relativbewegung zwischen Riemen und Scheibe statt. Dieser Bereich sorgt mit seiner Gleitreibung für die Übertragung der Umfangskraft. Im restlichen Umschlingungsbereich liegt der Riemen ohne Relativbewegung und ohne Kraftübertragung lediglich an der Riemenscheibe an (Haftbereich).

Der Riemen läuft stets im Haftbereich auf die Scheibe auf und im Gleitbereich von der Scheibe ab. Das Abfallen der Zugtrumskraft auf die Leertrumskraft – bzw. das Ansteigen der Leertrumskraft auf die Zugtrumskraft – findet lediglich in den Gleitbereichen statt. Dies gilt auch für die Riemengeschwindigkeiten, die sich nur innerhalb der Gleitbereiche ändern.

Der Haftbereich dient sozusagen als Sicherheit gegen Gleitschlupf, da der Gleitbereich noch zu Lasten der Haftbereiche anwachsen und zur Kraftübertragung herangezogen werden kann. Beachte, dass der Gleitwinkel nach Gleichung (\ref{gleitwinkel}) nur vom Verhältnis der Trumkräfte abhängig ist und diese für beide Riemenscheiben gleichermaßen gelten. Damit folgt unweigerlich, dass der Haftbereich und damit die Sicherheit gegen Gleitschlupf zuerst an der weniger stark umschlungenen Scheibe aufgebraucht sein wird (meist die kleinere Antriebsscheibe).

Der Haftbereich dient als Sicherheit gegen Gleitschlupf und wird in der Regel zuerst an der kleineren der Riemenscheibe aufgebraucht sein!

Der für die Kraftübertragung relevante Gleitwinkel φ‘ kann auch über die zu übertragende Umfangskraft F_U ausgedrückt werden. So folgt mit F_U=F_Z-F_L bzw. F_Z=F_U+F_L:

\begin{align}
&\varphi‘ = \frac{1}{\mu_G}\cdot \ln\left(\frac{F_U+F_L}{F_L}\right) \\[5px]
\label{4367}
&\boxed{\varphi‘ = \frac{1}{\mu_G}\cdot \ln\left(1+\frac{F_U}{F_L}\right)} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung bringt unmittelbar zum Ausdruck, dass der Gleitwinkel bei gegebener Umfangskraft mit zunehmender Leertrumskraft verringert werden kann und damit die Sicherheit gegen Gleitschlupf vergrößert wird. Die Anpassung der Leertrumskraft kann bspw. über Spannrollen erfolgen.

Wird umgekehrt die Leertrumskraft verringert bzw. kann nicht im notwendigen Maße bereitgestellt werden, dann nimmt der Gleitwinkel mit zunehmender Umfangskraft zu und erstreckt sich im Grenzfall über den gesamten Umschlingungswinkel. In diesem Fall kann zwar gerade noch die gesamte Umfangskraft übertragen werden, eine weitere Erhöhung der Umfangskraft würde dann allerdings eine Relativbewegung über den gesamten Umschlingungsbogen hinweg bedeuten. In diesem Fall ist die Grenze des Dehnschlupfes überschritten und der Gleitschlupf setzt ein. Der Übergang vom Dehnschlupf zum Gleitschlupf verläuft also stets fließend.

Anmerkung: Wie in den vorherigen Artikeln zum Riementrieb auch geschehen, so wird der Gleitwinkel für Berechnungen meist dem Umschlingungswinkel gleichgesetzt. Die gemachten Aussagen sind dann stets an der Grenze zum Gleitschlupf zu interpretieren!

Berechnung des Dehnschlupfs

Gleichung (\ref{4367}) zeigt auch, dass wenn keine Umfangskraft übertragen wird (F_U=0) auch kein Gleitbereich vorliegt (ln(1)=0) sondern nur eine Haftzone. Mit dem Übertragen einer Umfangskraft hingegen entsteht eine Gleitzone die mit steigender Umfangskraft zunimmt. Demzufolge nimmt auch der Dehnschlupf zu. Der genaue Zusammenhang zwischen Dehnschlupf S und zu übertragender Umfangskraft F_U soll im Folgenden hergeleitet werden.

Wie im oberen Abschnitt Riemengeschwindigkeiten bereits erläutert, hängen die Riemendehnungen ε und die Riemengeschwindigkeiten v direkt miteinander zusammen. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

\begin{align}
& v \text{ ~ } (1+\epsilon) \\[5px]
\end{align}

Mit der Definbition des Dehnschlupfs S als Verhältnis von Geschwindigkeitsverlust Δv zur Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe v_t folgt dann wiederum (v_g: Umfangsgeschwindigkeit der getriebenen Scheibe):

\begin{align}
&S = \frac{\Delta v}{v_t}  = \frac{v_t-v_g}{v_t}  = \frac{v_Z-v_L}{v_Z} = \frac{(1+\epsilon_Z) – (1+\epsilon_L)}{1+\epsilon_Z} = \frac{\epsilon_Z-\epsilon_L}{1+\epsilon_Z}  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Umfangsgeschwindigkeit der getriebenen Scheibe v_g der Riemengeschwindigkeit v_L im Leertrum entspricht und die Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe v_t der Riemengeschwindigkeit im Zugtrum v_Z.

Die Dehnungen ε können mithilfe des Zug-Elastizitätsmoduls E_Z des Riemens (nicht zu verwechseln mit dem Biege-Elastizitätsmodul E_b!) und den wirkenden Trumspannungen σ=F/A wie folgt ermitteln werden (mit A als Querschnittsfläche des Riemens):

\begin{align}
\frac{F}{A} &= \boxed{\sigma = E_Z \cdot \epsilon} ~~~\text{Hooke’sches Gesetz}  \\[5px]
\epsilon &= \frac{F}{E_Z\cdot A}  \\[5px]
\end{align}

Schließlich ergibt sich der Dehnschlupf anhand der Trumkräfte dann wie folgt:

\begin{align}
&S = \frac{\epsilon_Z-\epsilon_L}{1+\epsilon_Z}  = \frac{\frac{F_Z}{E_Z\cdot A}-\frac{F_L}{E_Z\cdot A}}{1+\frac{F_Z}{E_Z\cdot A}} = \frac{F_Z-F_L}{E_Z\cdot A+F_Z} \\[5px]
\end{align}

Die Differenz der Trumkräfte entspricht gerade der zu übertragenden Umfangskraft (F_Z-F_L=F_U). Zudem zeigt sich, dass der Wert des Ausdrucks A⋅E_Z in der Regel wesentlich größer ist als die Zugtrumskraft F_Z. So liegt der E-Modul von Flachriemen in der Größenordnung von rund E_Z = 1000 N/mm² und die zulässige Riemenspannung in der Größenordnung von σ_zul=10 N/mm². Die Zugtrumskraft in der Größenordnung ~σ_zul⋅A wird deshalb deutlich geringer ausfallen als das Produkt A⋅E_Z. Die Zugtrumskraft F_Z kann deshalb gegenüber dem Produkt A⋅E_Z vernachlässigt werden, sodass für den Dehnschlupf in sehr guter Näherung gilt:

\begin{align}
\label{dehnschlupf}
&S = \frac{F_U}{A \cdot E_Z + F_Z} \approx \frac{F_U}{A \cdot E_Z} \\[5px]
&\boxed{S \approx \frac{F_U}{A \cdot E_Z}} \\[5px]
\end{align}

Der Dehnschlupf ist also umso größer, je höhere Umfangskräfte übertragen werden (bedingt durch die stärkere Dehnung) und umso elastischer der Riemen ist (geringerer E-Modul, was ebenfalls die Dehnung begünstigt). Mit dem vergrößerten Dehnschlupf umfasst der Gleitbereich auch einen größeren Anteil am Umschlingungswinkel.

Der Dehnschlupf ist umso größer je höhere die zu übertragenden Umfangskräfte sind und umso elastischer der Riemen ist!

Beachte, dass die Riemengeschwindigkeit im Zugtrum durch die Umfangsgeschwindigkeit der treibenden Scheibe vorgegeben ist und sich somit auch bei einer Vergrößerung der Umfangskraft nicht ändert (sofern die Drehzahl der treibenden Scheibe konstant gehalten wird). Lediglich die Riemengeschwindigkeit im Leertrum verringert sich durch den vergrößerten Dehnschlupf dementsprechend und der Gleitbereich nimmt auf Kosten des Haftbereichs zu.

Für die Konstruktion von Riementrieben ist es notwendig sowohl den Umschlingungswinkel als auch die Riemenlänge bei gegebenen Scheibendurchmessern und Scheibenabständen zu bestimmen. Grundlage hierfür bildet der aufgezogene Zustand des Riemens auf den Riemenscheiben.

Der Riemen setzt sich dann aus den beiden kreisbogenförmigen Abschnitten b_k und b_g an der kleinen und großen Riemenscheibe zusammen und aus den beiden geradlinigen Trumabschnitten l. Die Summe dieser Riemenabschnitte bilden die geometrische Riemenlänge L_i im aufgezogenen Zustand, wobei sich diese Längenangabe dann auf die Innenseite des Riemens bezieht:

\begin{align}
\label{riemenabschnitte}
&L_i = 2 \cdot l + b_g + b_k \\[5px]
\end{align}

Zunächst soll der Umschlingungswinkel anhand der Scheibendurchmesser und des Scheibenabstandes bestimmt werden. Für die Herleitung wird der  Trumneigungswinkel bzw. Trumwinkel \(\alpha\) genutzt, der sich als Winkel zwischen der Verbindungslinie der Scheibenachsen und dem Trum ergibt. Wie aus der Abbildung oben hervorgeht, stehen der Trumwinkel und der Umschlingungswinkel φ der kleinen Scheibe in folgendem Zusammenhang (sofern nicht ausdrücklich anders erwähnt, beziehen sich die gesamten Winkelangaben und -funktionen auf das Bogenmaß!):

\begin{align}
\label{a_p}
&\boxed{\varphi = \pi – 2 \cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Nun verschiebt man in Gedanken den geraden Trumabschnitt l entlang der Winkelhilfslinien bis in das Zentrum der kleinen Riemenscheibe. Man erhält hierdurch ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Achsabstand e als Hypotenuse und der Trumlänge l als Ankathete, sowie der sich über die Scheibendurchmesser ergebenden Gegenkathete. Der Trumneigungswinkel \(\alpha\) lässt sich dann offensichtlich anhand der Sinusfunktion über die Scheibendurchmesser und den Achsabstand bestimmen:

\begin{align}
&\sin(\alpha) =\frac{d_g-d_k}{2e} \\[5px]
\label{trumneigung}
&\boxed{\alpha =\arcsin\left(\frac{d_g-d_k}{2e}\right)} \\[5px]
\end{align}

In Kombination mit Gleichung (\ref{a_p}) kann der Umschlingungswinkel φ schließlich wie folgt über die Scheibendurchmesser d_g bzw. d_k und den Achsabstand e ermittelt werden:

\begin{align}
\label{phi}
&\boxed{\varphi = \pi – 2 \cdot \arcsin\left( \frac{d_g-d_k}{2e}\right)} ~~~\text{Bogenmaß!} \\[5px]
\end{align}

Für die Herleitung der Riemenlänge kann zunächst ebenfalls das sich ergebende Dreieck in der oberen Abbildung genutzt werden. So lässt sich über die Kosinusfunktion des Trumwinkels \(\alpha\) die Trumlänge l in Abhängigkeit des Wellenabstands e bestimmen:

\begin{align}
\label{trumlaenge}
&\underline{l = e \cdot \cos(\alpha) } \\[5px]
\end{align}

Zur Ermittlung des Riemenabschnitts um die große Riemenscheibe b_g wird zunächst die Länge des entsprechenden Halbkreises bestimmt (π/2⋅d_g). Dabei müssen jedoch zusätzlich noch die beiden Bogenabschnitte (d_g/2⋅\(\alpha\)) hinzu addiert werden, welche sich durch die Trumneigung mit dem Winkel \(\alpha\) ergeben (Beachte: Bogenwinkel = Bogenlänge/Bogenradius bzw. Bogenlänge = Bogenradius x Bogenwinkel):

\begin{align}
\label{b_g}
&\underline{b_g =\tfrac{\pi}{2}d_g+2 \cdot \tfrac{d_g}{2}\cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Auf die analoge Weise wird die Bogenlänge des Riemens um die kleine Riemenscheibe b_k bestimmt. Ausgehend der Halbkreislänge π/2⋅d_k müssen aufgrund der Trumneigung dabei jedoch die beiden Bogenlängen d_k/2⋅\(\alpha\) nun subtrahiert werden:

\begin{align}
\label{b_k}
&\underline{b_k =\tfrac{\pi}{2}d_k-2 \cdot \tfrac{d_k}{2}\cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Mit den Gleichungen (\ref{riemenabschnitte}), (\ref{trumlaenge}), (\ref{b_g}) und (\ref{b_k}) kann nun die Länge der Riemeninnenseite L_i anhand des Trumwinkels \(\alpha\) wie folgt ermittelt werden:

\begin{align}
&L_i = 2 \cdot \underbrace{e \cdot \cos(\alpha)}_{l} + \underbrace{\tfrac{\pi}{2}d_g+2 \cdot \tfrac{d_g}{2}\cdot \alpha}_{b_g} + \underbrace{\tfrac{\pi}{2}d_k-2 \cdot \tfrac{d_k}{2}\cdot \alpha}_{b_k} \\[5px]
\label{riemenlaenge}
&\underline{L_i = 2 \cdot e \cdot \cos(\alpha) + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \alpha} \\[5px]
\end{align}

Da der Trumneigungswinkel in der Regel relativ klein ist, können folgende Kleinwinkelnäherungen für das Bogenmaß genutzt werden:

\begin{align}
\label{kleinwinkel}
&\underline{\cos(\alpha) \approx 1 – \frac{\alpha^2}{2}}~~~\text{und} ~~~\sin(\alpha) = \underline{\frac{d_g-d_k}{2e} \approx \alpha} \\[5px]
\end{align}

Damit lässt sich die Riemenlänge in der Praxis mit hinreichender Genauigkeit wie folgt ermitteln:

\begin{align}
&L_i  \approx 2 e \cdot \underbrace{\left(1 – \frac{\alpha^2}{2}\right)}_{\approx \cos(\alpha)} + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \underbrace{\frac{d_g-d_k}{2e}}_{\alpha} ~~~~~\text{mit} ~~~\alpha \approx \frac{d_g-d_k}{2e} ~~~\text{folgt:}\\[5px]
&L_i  \approx 2 e \cdot \left(1 – \frac{(d_g-d_k)^2}{8e^2}\right) + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \left(d_g-d_k \right) \cdot \frac{d_g-d_k}{2e} \\[5px]
&L_i  \approx 2 e – \frac{(d_g-d_k)^2}{4e} + \left(d_g + d_k \right) \tfrac{\pi}{2}+ \frac{(d_g-d_k)^2}{2e} \\[5px]
&\boxed{L_i  \approx 2 e  + \tfrac{\pi}{2} \left(d_g + d_k \right)  + \tfrac{1}{4e} (d_g-d_k)^2} \\[5px]
\end{align}

Diese Formel bietet nicht nur den Vorteil, dass sie relativ übersichtlich ist und ohne Trumwinkel auskommt sondern durch Umstellen kann nun auch bei gegebener Riemenlänge L_i der Wellenabstand e ermitellt werden. Nach mathematischen Umformungen und Anwendung der „p-q-Formel“ folgt:

\begin{align}
& \boxed{e \approx \tfrac{1}{4} L_i – \tfrac{\pi}{8} \cdot (d_g+d_k) + \sqrt{ \left[ \tfrac{1}{4} L_i – \tfrac{\pi}{8} \cdot (d_g+d_k) \right]^2 – \tfrac{1}{8}(d_g-d_k)^2 }}
\end{align}

Für Flachriemen sollte der Wellenabstand nach Norm zwischen folgenden Grenzwerten eingestellt werden:

\begin{align}
& \boxed{0,7 \cdot (d_g+d_k) \le e \le 2 \cdot (d_g+d_k)}
\end{align}

Flachriemen

Die einfachste Riemenart ist der Flachriemen. Er besitzt einen rechteckigen Querschnitt und wurde in den Anfangszeiten häufig aus Leder gefertigt. Heutzutage werden jedoch hochfeste Kunststoffe wie bspw. Polyamid oder Aramid verwendet. Diese werden zu sogenannten Cordfäden verarbeitet und bilden die kraftübertragende Zugschicht. Eingebettet sind die Zugfäden zwischen der Lauf- und der Deckschicht. Die Laufschicht entspricht jener Seite mit der der Riemen im Betrieb über die Riemenscheiben läuft. Diese Schicht ist mit speziellem Gummi überzogen, um die Reibfähigkeit bzw. Verschleißfestigkeit zu erhöhen. Die Deckschicht auf der gegenüberliegenden Seite hat lediglich eine schützende Funktion.

Flachriemen können aufgrund ihrer Bauform prinzipiell auf beiden Seiten um die Riemenscheiben laufen. In diesem Fall sind dann beide Seiten des Riemens als Laufschicht ausgeführt. Auf diese Weise lässt sicht der Riemen für Mehrfachantriebe und für gekreuzte Riementriebe verwenden.

Der Flachriemen erlaubt sehr hohe Umlaufgeschwindigkeiten mit denen große Drehmomente und damit große Leistungen übertragen werden können. Damit dabei der Flachriemen nicht von der Riemenscheibe springt, besitzt der Querschnitt der Scheibenlauffläche eine leichte konvexe Wölbung. Die Wölbhöhe bewegt sich je nach Scheibenbreite meist zwischen 0,3 mm und 1,2 mm. Auf diese Weise wird eine Selbstzentrierung des Riemens erreicht und ein Ablaufen verhindert.

Neben der Übertragung von großen Leistungen weist der Flachriemen als weiteres Merkmal einen relativ geräuscharmen Lauf auf. Dies hat auch positive Auswirkungen auf die Lebensdauer sowie den Wirkungsgrad (ca. 98 %) und damit auf die Wartung des Riemens. Bedingt durch die relativ geringe Riemendicke kann der Riemen sehr stark gekrümmt werden und erlaubt somit den Einsatz bei relativ kleinen Scheiben. Nachteilig ist bei Flachriemen jedoch die relativ hohe Lagerbelastung, bedingt durch die großen Vorspannkräfte.

Flachriemen weisen hohe Wirkungsgrade und Biegsamkeiten auf sowie geringe Verschleißerscheinungen und geringe Geräuschentwicklungen; erfordern jedoch relativ große Vorspannkräfte!

Keilriemen

Die große Lagerbelastung bei der Verwendung von Flachriemen kann durch den Einsatz von Keilriemen deutlich verringert werden. So führt der keilförmige Riemenquerschnitt durch den „Keileffekt“ zu großen Reibungskräften an den Flanken. Um die nötigen Reibungskräfte zur Kraftübertragung zu erzeugen, genügen deshalb bereits geringere Vorspannkräfte. Dementsprechend fällt auch die Lagerbelastung deutlich geringer aus.

Umgekehrt können bei gleichen Vorspannkräften bei Keilriemen wesentlich größere Drehmomente übertragen werden. Zur weiteren Steigerung der Leistungsübertragung können auch zwei oder mehr Keilriemen parallel zueinander angeordnet werden.

Keilriemen können bei gleicher Lagerbelastung deutlich größere Drehmomente übertragen als Flachriemen; der Wirkungsgrad ist jedoch geringer!

Der sogenannte Rillenwinkel \(\alpha\) beträgt je nach Scheibendurchmesser 38° oder 32°, wobei der Riemen nur auf diesen geneigten Flanken an der Riemenscheibe anliegt. Der Keilriemen darf den Rillengrund also nicht berühren, da die Anpresskraft nur über die Flanken zustande kommen muss (Unterlagskraft). Ansonsten wäre keine Keilwirkung vorhanden. Bei gleicher Radialkraft (Lagerbelastung) ist die Gesamtreibungskraft bei Keilriemen deutlich größer.

So wird aus der Abbildung ersichtlich, dass die Radialkraft \(F_L\) mit den beiden resultierenden Unterlagskräften \(F_U\) an den kraftübertragenden Flanken im Gleichgewicht stehen muss. Auf diese Weise lässt sich über den Rillenwinkel \(\alpha\) eine bestimmte Beziehung zwischen der Radialkraft und den Unterlagskräften ableiten:

\begin{align}
\sin\left(\tfrac{\alpha}{2} \right)&= \frac{\tfrac{F_L}{2}}{F_U} = \frac{F_R}{2 \cdot F_U}     \\[5px]
F_U &= \frac{F_L}{2 \cdot \sin\left(\tfrac{\alpha}{2} \right)}      \\[5px]
\end{align}

Da die Reibungskraft \(F_R\) gemäß des Coulomb’schen Reibungsansatzes proportional zur Unterlagskraft \(F_U\) ist, folgt für die wirkenden Reibungskräften an den Flanken:

\begin{align}
F_{R} & \sim F_U  \\[5px]
F_R & \sim \frac{F_L}{2 \cdot \sin\left(\tfrac{\alpha}{2} \right)}    \\[5px]
\end{align}

Beachtet werden muss an dieser Stelle, dass diese Reibungskraft an beiden Flanken gleichermaßen wirkt, sodass insgesamt die 2-fache Reibungskraft vorhanden ist. Damit gilt nun für die Gesamtreibungskraft:

\begin{align}
&F_{R,ges}  = 2 \cdot F_R  \sim F_L \cdot \frac{1}{\sin\left(\tfrac{\alpha}{2} \right)}    \\[5px]
&\boxed {F_{R,ges} \sim F_L \cdot \frac{1}{\sin\left(\tfrac{\alpha}{2} \right)}} ~~~\text{für Keilriemen}    \\[5px]
\end{align}

Im Vergleich hierzu ist die Reibungskraft bei Flachriemen lediglich proportional zur Radialkraft \(F_L\):

\begin{align}
&\boxed {F_{R,ges} \sim F_L } ~~~\text{für Flachriemen} \\[5px]
\end{align}

Keilriemen weisen folglich bei gleicher Lagerbelastung \(F_L\) eine um den Faktor \(\frac{1}{\sin\left(\frac{\alpha}{2} \right)}\) höhere Kraftübertragbarkeit aufgrund der gesteigerten Reibungskraft auf. Dies entspricht für die angegebenen Rillenwinkel von 38° bzw. 32° einem Zahlenwert von 3,1 bzw. 3,6.

Da die Keilriemen nur auf den Flanken aufliegen, sind diese speziell für bestimmte Scheibendurchmesserbereiche ausgelegt. Ansonsten käme es bspw. bei Riemen die für größere Scheiben ausgelegt sind zu einer zu starken Krümmung und die Flanken würden sich verziehen und dann nicht mehr plan aufliegen.

Bedingt durch die im Allgemeinen stärkere Riemendicke bei Keilriemen im Vergleich zu Flachriemen ist die Walkarbeit beim Umlauf um die Riemenscheiben größer. Deshalb weisen Keilriemen einen etwas geringeren Wirkungsgrad als Flachriemen auf (ca. 95 %).

Während bei Flachriemen das Übersetzungsverhältnis über die Außendurchmesser der Riemenscheiben ermittelt wird, muss aufgrund der besonderen Riemengeometrie bei Keilriemen der sogenannte Wirkdurchmesser (auch Richtdurchmesser genannt) zugrunde gelegt werden. Der Wirkdurchmesser \(d\) wird über die sogenannte Wirkbreite \(b_w\) (auch Richtbreite genannt) definiert. Die Wirkbreite entspricht letztlich der Riemenbreite auf Höhe der neutralen Faser. Somit bleibt gemäß der Definition der neutralen Faser die Wirkbreite auch bei unterschiedlich starker Krümmung des Riemens (d.h. beim Umlauf um unterschiedliche Scheibendurchmesser) stets konstant.

Beachtet werden muss bei Keilriemen, dass sich diese nach der Erstmontage erst noch einlaufen müssen, bevor sie in Betrieb genommen werden können. Dies erfordert eine entsprechend um ca. 30 % erhöhte Vorspannung beim Erstlauf.

Im Lauf der Zeit haben sich je nach Einsatzzweck verschiedene Keilriemenarten entwickelt. Auf die wichtigsten wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Klassische Keilriemen

Klassische Keilriemen sind nach DIN 2215 genormt und weisen ein Höhe-Breite-Verhältnis von 1:1,6 auf. In ihrem Inneren sind zur Kraftübertragung auf Höhe der Wirkbreite (neutrale Faser) Zugstrände aus Stahl, Aramid, Polyester oder Glascord eingearbeitet, die zwischen einem Elastomerkern und einer Deckschicht eingebettet sind.

Um die Reibungsfähigkeit oder die Verschleißfestigkeit zu erhöhen und den Riemen vor schädlichen äußeren Einflüssen zu schützen, kann der Keilriemen von einem speziellen Gummigewebe ummantelt werden. Man spricht dann von einem ummantelten Keilriemen. Eingesetzt werden ummantelte Keilriemen bspw. bei Pumpen in der Chemieindustrie zur Förderung aggressiver Medien.

Ummantelte Keilriemen bieten einen zusätzlichen Schutz vor schädlichen Umwelteinflüssen!

Fehlt hingegen eine solche Gummiummantelung dann liegen die Flanken sozusagen offen und man spricht von einem flankenoffenen Keilriemen. Aufgrund dieser fehlenden, relativ steifen Ummantelung, weisen flankenoffene Keilriemen damit eine bessere Biegsamkeit auf. Zudem erfolgt die Kraftübertragung von der Riemenscheibe auf die Zugstrände nicht über den Umweg der Ummantelung sondern wird über den Riemenkern direkt auf die Zugstrände übertragen. Dies hat eine gesteigerte Leistungsübertragung zur Folge. Zur Verbesserung der Querschteifigkeit sind bei flankenoffenen Keilriemen Elastomerfasern quer zur Laufrichtung eingearbeitet.

Vorteil der flankenoffenen Variante ist der geringere Verschleiß aufgrund der fehlenden verschleißbehafteten Ummantelung und der damit verbundene geräuschärmere Lauf. Außerdem können die offenen Flanken im Vergleich zur Ummantelung geschliffen werden, sodass Riemen mit engeren Toleranzen herstellbar sind.

Flankenoffene Keilriemen weisen einen geringeren Verschleiß und höhere Wirkungsgrade auf als ummantelte Keilriemen!

Schmalkeilriemen

Im Vergleich zu klassischen Keilriemen weisen Schmalkeilriemen ein günstigeres Höhe-Breite-Verhältnis von 1:1,2 auf. Die größere Höhe (bei gleicher Breite im Vergleich zu einem klassischen Keilriemen) sorgt dabei für eine größere Kraftübertragung. Umgekehrt kann bei gleicher Kraftübertragung somit die Riemenbreite deutlich geringer ausfallen. Die damit verbundene geringere Riemenmasse des Schmalkeilriemens verringert die im Betrieb auftretenden Fliehkräfte, sodass somit größere Riemengeschwindigkeiten gefahren werden können.

Nachteilig wirkt sich die gesteigerte Riemendicke zunächst jedoch auf die Biegsamkeit aus. Um dies zu kompensieren und Schmalkeilriemen auch bei relativ kleinen Scheibendurchmesser einsetzen zu können, werden diese deshalb gezahnt ausgeführt (formgezahnt). Dies erhöht die Flexibilität auch bei starken Krümmungen. Meist finden sich Schmalkeilriemen deshalb auch in der flankenoffenen Variante wieder.

Die gesteigerte Leistungsübertragung bei gleichzeitig hoher Biegsamkeit der gezahnten Schmalkeilriemen führt zu einer relativ platzsparenden Bauweise von solchen Riementrieben. Zudem ist die Walkarbeit bei formgezahnten Schmalkeilriemen durch die bessere Biegewilligkeit verringert, was den Wirkungsgrad im Vergleich zum klassischen Keilriemen steigert. Aus diesem Grund müssen klassische Keilriemen mehr und mehr den (formgezahnten) Schmalkeilriemen weichen.

Schmalkeilriemen bieten höhere übertragbare Leistungen als klassische Keilriemen!

Breitkeilriemen

Bei sehr großen Leistungen und bei Anwendungen wo starke Geschwindigkeitsänderungen auftreten, werden sogenannte Breitkeilriemen mit einem Höhe-Breite-Verhältnis von über 1:2 eingesetzt. Sie sind in der Regel gezahnt ausgeführt, um die Biegewilligkeit zu verbessern. Eingesetzt werden Breitkeilriemen in stufenlos regelbaren Getrieben, bei denen der Scheibendurchmesser durch eine axiale Verschiebung zur Steuerung des Übersetzungsverhältnisses geändert wird.

Doppelkeilriemen

Bei Doppelkeilriemen handelt es sich im Prinzip um zwei aufeinander liegende Keilriemen, sodass beide Seiten als Laufflächen dienen können. Somit ist der Doppelkeilriemen in der Lage zwei Scheiben mit gegensätzlichem Lauf anzutreiben. Der Doppelkeilriemen kommt auch dann zum Einsatz, wenn auf diese Weise eine Umkehrung der Drehrichtung bewirkt werden soll.

Verbundkeilriemen (Kraftband)

Werden mehrere einzelnen Keilriemen über eine Verbundschicht (Deckplatte) miteinander verbunden, dann spricht man von einem Verbundkeilriemen (auch als Kraftband bezeichnet). Durch einen solchen Verbund von mehreren Keilriemen wird unter anderem erreicht, dass einzelne Keilriemen bei stoßartigen Belastungen nicht von der Scheibe springen. Kraftbänder bestehen meist aus formverzahnten Schmalkeilriemen in der flankenoffenen Variante.

Keilrippenriemen

Der Keilrippenriemen stellt eine Mischung aus einem Flachriemen und einem Keilriemen dar, wobei die Zugstränge im Gegensatz zum Verbundkeilriemen über die gesamte Wirkbreite verlaufen. Der Keilrippenriemen vereint somit im besonderen Maße die Vorteile beider Riemenvarianten, d.h. eine hohe Biegsamkeit bei großer Kraftübertragung und relativ geringer Lagerbelastung. Keilrippenriemen werden bspw. bei Mehrfachantrieben genutzt bei der eine Antriebsscheibe mehrere Nebenaggregate antreibt. Dies ist zum Beispiel in Automobilen der Fall, wo der Motor nicht nur die Lichtmaschine sondern gleichzeitig auch die Pumpe für den Servomotor, den Klimakompressor, den Lüfter und die Wasserpumpe antreiben muss.

Rundriemen

Rundriemen sind spezielle Riemen die fast ausschließlich der Bewegungsübertragung dienen und weniger der Leistungsübertragung. Aufgrund ihres symmetrischen Querschnitts können Rundriemen sehr einfach mit Hilfe von Umlenkrollen in verschiedene Richtungen geführt werden. Die untere Abbildung zeigt die Bewegungsübertragung eines Rundiemens für eine Zentripetalkraftmessung.

Zahnriemen (Synchronriemen)

Bei reibschlüssig arbeitenden Riemenarten wie Flach- und Keilriemen ist grundsätzlich immer ein gewisser Schlupf zu beachten, der den Wirkungsgrad und die Steuergenauigkeit dementsprechend mindert. Durch spezielle Riemen wie Zahnriemen kann dies jedoch verhindert werden, da die auf der Lauffläche angebrachten Zähne die Kraft dann formschlüssig übertragen. Es kann deshalb nicht zu einem Durchrutschen kommen. Zahnriemen können somit auch zur positionsgenauen Steuerung angewendet werden. Aus diesem Grund werden Zahnriemen auch als Synchronriemen bezeichnet.

Die untere Abbildung zeigt die zur Steuerung eines 3D-Druckers verwendeten Zahnriemen.

Einleitung

Grundsätzlich dürfen die im Riemen wirkenden Kräfte bestimmte Grenzwerte nicht überschreiten, da der Riemen sonst Schaden nimmt und sich entweder unzulässig verformt oder gar reißt. Es gelten deshalb bestimmte Spannungsgrenzen, die je nach Riemenwerkstoff einzuhalten sind. Ob diese eingehalten werden, hängt von den Kräften ab die im Betrieb auf den Riemenquerschnitt wirken.

Neben den quasi-statischen Trumkräften (relevant für die Kraftübertragung) wirken die im Artikel zuvor erläuterten Fliehkräfte. Die hieraus resultierenden Spannungen σ erhält man indem man die Kräfte auf die Querschnittsfläche A des Riemens bezieht:

\begin{align}
\sigma_Z &= \frac{F_Z}{A}  &&~~~\text{Zugtrumspannung}  \\[5px]
\sigma_L &= \frac{F_L}{A}  &&~~~\text{Leertrumspannung}  \\[5px]
\sigma_F &= \frac{F_F}{A} &&~~~\text{Fliehkraftspannung} \\[5px]
\end{align}

Fliehkraftspannung

Für die Fliehkraftspannung im Riemen gilt die im Artikel Fliehkräfte hergeleitete Formel, wobei m‘) dem Längengewicht des Riemens entspricht (Kilogramm pro Meter):

\begin{align}
F_F = m‘ \cdot v^2 ~~~~~\text{mit} ~~~~~ m‘ = \frac{m}{L},
\end{align}

Für die im Riemen wirkende Fliehkraftspannung gilt somit:

\begin{align}
&\sigma_F = \frac{F_F}{A} = \frac{m‘ \cdot v^2}{A} = \frac{m\cdot v^2}{\underbrace{L \cdot A}_{\text{Volumen } V}} = \frac{m\cdot v^2}{V} = \underbrace{\frac{m}{V}}_{\text{Dichte } \rho} \cdot v^2 = \rho \cdot v^2  \\[5px]
&\boxed{\sigma_F = \rho \cdot v^2}  \\[5px]
\end{align}

Bei der Herleitung dieser Formel wurde ausgenutzt, dass der Ausdruck L⋅A dem Riemenvolumen V und damit m/V der Dichte ϱ des Riemenmaterials entspricht. Somit hängt die Fliehkraftspannung im Riemen nur von der Riemendichte und der Riemengeschwindigkeit ab.

Biegespannung

Zu den oben genannten Trumspannungen und Fliehkraftspannungen müssen beim Umlauf des Riemens um die Riemenscheiben auch Biegespannungen σ_b berücksichtigt werden. Dabei wird der Riemen in den äußeren Randbereichen gedehnt und in den inneren Bereichen gestaucht, dazwischen verläuft die neutrale Faser die weder eine Dehnung (Einschnürung) noch eine Stauchung (Ausbauchung) erfährt.

Die Dehnungen und Stauchungen führen zu Zugspannungen im äußeren und zu Druckspannungen im inneren Riemenbereich. Maßgebend sind in diesem Fall die Zugspannungen, da diese zusätzlich zu den Trum- und Fliehkräften ebenfalls eine ziehende Wirkung haben und der Riemen damit in diesen Bereichen maximal beansprucht wird.

Die durch Biegung verursachten Zugspannungen nehmen durch die größer werdende Dehnung ausgehend der neutralen Faser nach außen hin zu und sind am äußersten Riemenrand maximal. Diese maximale Randspannung wird dann auch als Biegespannung σ_b bezeichnet.

Es ist davon auszugehen, dass die Biegespannungen umso größer werden je stärker der Riemen gebogen wird (d.h. umso kleiner die Scheibe ist) und je dicker der Riemen ist. Nach der linear-elastischen Biegetheorie kann die Biegespannung σ_b bei gegebenem Biegeradius bzw. Biegedurchmesser d (=Durchmesser der Riemenscheibe) und gegebener Dicke s des Riemens mithilfe des sogenannten Biegemoduls E_b des Riemenwerkstoffes ermittelt werden (der Biegemodul ist nicht mit dem Elastizitätsmodul aus dem Zugversuch zu verwechseln!):

\begin{align}
\boxed{\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + s}} ~~~\text{Biegespannung} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die oberen Zeichnungen nicht maßstabsgetreu sind. Gerade bei Flachriemen ist die Riemendicke wesentlich kleiner als die Riemenbreite. Dies gilt auch für das Verhältnis von Scheibendurchmesser zur Riemendicke, das in der Größenordnung von etwa 50 bis 100 liegt, d.h. der Scheibendurchmesser ist um den Faktor 50 bis 100 größer als die Riemendicke.

Aus diesem Grund kann die Riemendicke s gegenüber dem Durchmesser d der Riemenscheibe häufig vernachlässigt werden. In diesen Fällen können die Biegespannungen dann auch mit nachfolgend angegebener Formel bestimmt werden, wobei durch die konservative Vereinfachung die tatsächlichen Biegespannungen geringer sind als die hierdurch berechneten.

\begin{align}
\sigma_b = E_b \cdot \frac{s}{d + \underbrace{s}_{\ll d}} \approx E_b \cdot \frac{s}{d} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich, dass die Biegespannungen direkt vom Verhältnis Riemendicke zu Scheibendurchmesser abhängig sind und damit umso größer werden je kleiner der Scheiberadius und je größer die Riemendicke ist. Somit tritt die größte Biegespannung beim Umlauf des Riemens um die kleinere der beiden Riemenscheiben auf (meist die Antriebsscheibe)!

Die größten Riemenspannungen treten beim Umlauf des Riemens um die kleinere der beiden Riemenscheiben auf!

Spannungsverteilung im Riemen

Die untere Abbildung zeigt schematisch die Spannungsverteilung im Riemen. Darin bezeichnet die σ_N die Nutzspannung, d.h. die auf den Riemenquerschnitt A bezogene Nutzkraft (Umfangskraft F_U), die effektiv an der Kraftübertragung beteiligt ist. Sie ergibt sich aus der Differenz von Zugtrumsspannung σ_Z und Leertrumsspannung σ_L (siehe Artikel Kraftübertragung):

\begin{align}
\sigma_N = \frac{F_U}{A} = \frac{F_Z – F_L}{A} = \frac{F_Z}{A} – \frac{F_L}{A} = \sigma_Z – \sigma_L \\[5px]
\end{align}

Im Vergleich hierzu zeigt die untere Abbildung die Spannungsverteilung im lastfreien Ruhezustand. Die Gesamtvorspannung ist dabei aufgeteilt in einen Anteil der im späteren Betrieb für die kraftübertragende Anpressung sorgt (dynamische Vorspannung) und einen Anteil der zusätzlich zur Kompensation von Fliehkräften aufzuwenden ist (Fliehkraftvorspannung).

Maximale Riemenspannung

Während im Betrieb die Fliehkraftspannung σ_F im gesamten Riemen gleichermaßen wirkt und die quasistatischen Trumspannungen σ_Z und σ_L in diesem Maße nur in den entsprechenden Trumabschnitten vorhanden sind, wirkt die Biegespannung lediglich beim Umlauf um Riemenscheiben, wobei die größte Biegespannung an der kleinere Antriebsscheibe zu verzeichnen ist (siehe Abbildung oben).

Somit ergibt sich die maximale Riemenspannung im Zugtrum und zwar an jener Stelle an der der Riemen auf die kleinere der beiden Riemenscheiben aufläuft (sofern die kleinere der beiden Scheiben die Antriebsscheibe darstellt, ansonsten wäre die größte Biegespannung beim Ablauf des Riemens vorhanden).

Die maximal auftretende Riemenspannung σ_max ergibt sich schließlich aus der Summe von Zugtrumsspannung σ_Z, Fliehkraftspannung σ_F und Biegespannung σ_b. Nach dieser Maximalspannung richtet sich die Dimensionierung des Riemens. Dabei ist stets darauf zu achten, dass die maximal zulässige Riemenspannung σ_zul nicht überschritten wird.

\begin{align}
\label{zulaessige}
\boxed{\sigma_{max} = \sigma_Z + \sigma_F + \sigma_b} \le \sigma_{zul}\\[5px]
\end{align}

Biegefrequenz

Biegevorgänge finden im Riemen grundsätzlich bei jedem Umlauf um eine Riemenscheibe statt. Unabhängig davon ob es sich um eine Antriebs- oder Abtriebsscheibe oder um Spannrollen, Führungsrollen, Umlenkrollen, etc. handelt. Bei jedem Biegevorgang wird der Riemen durchgewalkt, was mit einer zusätzlich aufzubringenden Walkarbeit verbunden ist. Dabei gilt: Je kleiner der Scheibendurchmesser desto größer die Walkarbeit und umso stärker erwärmt sich auch der Riemen.

Die aufzubringende Walkarbeit setzt nicht nur den Wirkungsgrad herab sondern belastet den Riemen sowohl mechanisch als auch thermisch sehr stark. Je mehr Biegevorgänge pro Zeit ein Riemen durchläuft, d.h. je höher seine Biegefrequenz f_b ist, desto geringer wird grundsätzlich seine Lebensdauer sein.

Deshalb darf der Riemen je nach Art und Hersteller eine bestimmte zulässige Biegefrequenz f_b,zul nicht überschreiten. Die Biegefrequenz f_b selbst bestimmt sich aus der Riemenlänge L, der Riemengeschwindigkeit v und der Anzahl der Scheiben z:

\begin{align}
\boxed{f_b = \frac{z \cdot v }{L} }\le f_{b,zul} ~~~~~[f] = \frac{1}{\text{s}} = \text{Hz}\\[5px]
\end{align}

Erzeugung der Fliehkräfte

Bei antriebslosem Riementrieb wirkt im Ruhezustand nur die Vorspannkraft F_V im Riemen. Sie ist in den gesamten Riemenabschnitten, d.h. in den beiden Trumen gleich groß. Lediglich unter Last wirken unterschiedliche Riemenkräfte und es bildet sich ein Zugtrum mit der Riemenkraft F_Z und ein Leertrum in dem die Kraft F_L wirkt aus (siehe Artikel Kraftübertragung am Riementrieb). Steht der Riementrieb dabei Still oder werden nur geringe Geschwindigkeiten gefahren, dann können die Trumkräfte bei konstantem Drehmoment als nahezu unabhängig von der Riemengeschwindigkeit betrachtet werden.

Bei größeren Riemengeschwindigkeiten wirken jedoch beachtliche Fliehkräfte (Zentrifugalkräfte) auf die entsprechenden Riemenabschnitte welche um die Riemenscheiben laufen. Diese Zentrifugalkärfe sind dabei versucht den Riemen nach außen zu ziehen und diesen praktisch von der Scheibe abzuheben. Dies würde dann jedoch ein Absinken der Anpresskraft und damit eine Abnahme der Reibungskraft zwischen Riemen und Scheibe bedeuten. Bei großen zu übertragenden Umfangskräften könnte es dann zum Gleitschlupf kommen.

Um dies zu vermeiden, müssen die Riemen zusätzlich um den Betrag der im Betrieb wirkenden Fliehkraftwirkung gespannt werden (auch Riemenfliehkraft genannt). Dies kann bspw. über eine größere Vorspannkraft erreicht werden, oder es müssen Spannsysteme verwendet werden. Fakt jedoch ist, dass diese größeren Kräfte letztlich durch den Riemen aufgebracht werden müssen.

Die Fliehkräfte werden beim Umlaufen des Riemens um die Riemenscheibe erzeugt. Sie sind versucht den Riemen von der Riemenscheibe abzuheben. Dem muss mit einer zusätzlichen Vorspannung um den Betrag der Fliehkraft entgegengewirkt werden!

Einfluss der Fliehkraft auf die Trumkräfte

Die Fliehkräfte werden grundsätzlich nur an der Umschlingung erzeugt, d.h. beim Umlauf des Riemens um die Scheiben. Sie sind dort jeweils radial von den Riemenscheiben weg gerichtet. An den geraden Trumabschnitten wirken selbst zwar keine Fliehkräfte, jedoch wird die dortige Riemenspannung durch die Fliehkräfte beeinflusst. Wird die Durchhängung des Riemens im Leertrum vernachlässigt, dann sind die Fliehkräfte symmetrisch zur Verbindungsline der beiden Scheibenachsen gerichtet. Die jeweils an den gekrümmten Riemenabschnitten resultierende Fliehkraftwirkung wirkt damit entlang dieser Verbindungslinie nach außen.

Die Fliehkräfte wirken also so, als würde jemand den Riemen nach außen ziehen. Dies macht sich dann eben auch in den geraden Riemenabschnitten als eine zusätzlich vom Riemen aufzubringende Kraft bemerkbar (ansonsten würde es zum besagten Abfallen der Anpresskraft kommen). Aufgrund der symmetrischen Zugwirkung der Fliehkräfte wird auch deutlich, dass diese auf beide Trume gleichermaßen wirkt! Im selben Maße wie also die Gesamtkraft im Zugtrum ansteigt, nimmt auch die Gesamtkraft im Leertrum zu.

Durch die Fliehkräfte nehmen die Kräfte im Zug- und Leertrum gleichermaßen zu!

Einfluss der Fliehkraft auf die Umfangskraft

Die im quasi-statischen Zustand wirkende Zugtrumskraft F_Z und Leertrumskraft F_L müssen bei hohen Geschwindigkeiten um den Betrag F_F ansteigen, um die Fliehkraftwirkung zu kompensieren. Die zusätzlich wirkenden Fliehkräfte beeinflussen die übertragene Umfangskraft F_U dabei allerdings nicht (zumindest solange die Belastung des Riemens unter der Fliehkraftwirkung nicht zu groß wird und der Riemen Schaden nimmt):

\begin{align}
\label{umfang}
&F_U = \underbrace{\left(F_Z + F_F \right)}_{\text{Gesamtkraft im Zugtrum}} – \underbrace{\left(F_L + F_F \right)}_{\text{Gesamtkraft im Leertrum}} = F_Z + F_F – F_L – F_L = F_Z – F_L \\[5px]
\label{nutzkraft}
&\boxed{F_U = F_Z – F_L} \\[5px]
\end{align}

Die Fliehkräfte haben keinen direkten Einfluss auf die übertragene Umfangskraft!

Beachte, dass mit den Begriffen Zugtrumkraft und Leertrumkraft häufig nur die für die eigentliche Kraftübertragung relevanten Trumkräfte F_Z und F_L nach Gleichung (\ref{nutzkraft}) gemeint sind (d.h. die Kräfte im quasi-statischen Zustand). Fliehkräfte werden aus dem besagten Grund, dass diese keinen Einfluss auf die übertragende Umfangskraft haben, häufig separat aufgezählt, obgleich beide Kräfte („Trumkraft+Fliehkraft“) gemeinsam im Trum wirken und physikalisch auch nicht getrennt werden können, da sie stets als resultierende Kräftesumme wirken.

Berechnung der Riemenfliehkraft

Die durch die Fliehkräfte zusätzlich wirkende Riemenfliehkraft F_F soll im Folgenden bei gegebener Riemengeschwindigkeit v ermittelt werden. Beachte, dass mit dem Begriff der Riemenfliehkraft F_F nicht die Fliehkraft an sich gemeint ist sondern die durch Fliehkräfte zusätzlich im Riemen wirkende Kraft (dies entspricht jener Kraft um die der Riemen im Ruhezustand zusätzlich gespannt werden muss, um die Fliehkraftwirkung vollständig zu kompensieren)!

Für die Herleitung der Riemenfliehkraft genügt es völlig den lastfreien Leerlaufbetrieb näher zu betrachten, d.h. den rotierenden Riemen ohne dass dabei eine Umfangskraft übertragen wird, da nach Gleichung (\ref{umfang}) die Fliehkräfte ohnehin nicht die Umfangskraft und umgekehrt die Umfangskraft nicht die Fliehkräfte beeinflussen.

Wird der Einfachheithalber also nur ein „leer“ laufender Riemen betrachtet, dann ist die einzige Kraft die in diesem Riemen wirkt die gesuchte Riemenfliehkraft. Diese Kraft hält den Riemen letztlich zusammen. Bei konstanter Riemengeschwindigkeit muss aus Gründen des Kräftegleichgewichts die Riemenfliehkraft an jeder Stelle des Riemens gleich groß sein (ansonsten würde ein freigeschnittener Riemenabschnitt in eine Richtung beschleunigt werden). Dies gilt insbesondere auch für die gekrümmten Riemenabschnitte die über die Scheiben laufen.

Wird ein solcher Riemenabschnitt unter dem Winkel dφ näher betrachtet, dann muss als mitbewegter Beobachter die an diesem Abschnitt angreifende Fliehkraft dF mit den Riemenfliehkräften F_F im Gleichgewicht stehen. Die vektorielle Kräfteaddition bildet geometrisch somit ein geschlossene Kräftedreieck. Über den als infinitesimal angenommenen Bogenwinkel dφ kann dann folgender Zusammenhang zwischen der Fliehkraft dF und der Riemenfliehkraft F_F hergestellt werden:

\begin{align}
&\text{d} \varphi = \frac{\text{d}F}{F_F} \\[5px]
\label{FF}
&\underline{F_F = \frac{\text{d}F}{\text{d}\varphi}} \\[5px]
\end{align}

Die am betrachteten Riemenabschnitt der Masse dm wirkende Fliehkraft dF ergibt sich aus dem Scheibenradius r und der Umlaufgeschwindigkeit v wie folgt:

\begin{align}
&\text{d}F = \text{d}m \cdot \frac{v^2}{r} \\[5px]
\end{align}

Die Masse dm des betrachteten Riemenabschnitts hängt vom gewählten Winkelausschnitt dφ ab. Je größer der Winkel, desto größer die Masse dm. Wird die Gesamtmasse m des Riemens auf dessen Gesamtlänge L bezogen („Längengewicht“) und mit m‘ bezeichnet

\begin{align}
&m‘ = \frac{m}{L} ~~~\text{„Kilogramm pro Meter“},
\end{align}

dann kann über den Bogenwinkel dφ die (Bogen-)Länge dL des betrachteten Riemenabschnitts und damit dessen Masse dm=m’⋅dL bestimmt werden:

\begin{align}
\text{d} \varphi  &= \frac{\text{d}L}{r}  \\[5px]
\text{d}L &= r \cdot \text{d} \varphi \\[5px]
\rightarrow \underline{\text{d} m} &= m‘ \cdot \text{d}L = \underline{m‘ \cdot r \cdot \text{d}\varphi}  \\[5px]
\end{align}

Für die Fliehkraft dF des unter dem Winkel dφ betrachteten Riemenabschnitts gilt somit:

\begin{align}
\label{dF}
&\underline{\text{d}F} = \text{d}m \cdot \frac{v^2}{r} = m‘ \cdot r \cdot \text{d}\varphi \cdot \frac{v^2}{r} = \underline{m‘ \cdot \text{d}\varphi \cdot v^2} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung (\ref{dF}) nun in Gleichung (\ref{FF}) eingesetzt, so erhält man die gesuchte Abhängigkeit der Riemenfliehkraft F_F von der Riemengeschwindigkeit v:

\begin{align}
&F_F = \frac{\text{d}F}{\text{d}\varphi} = \frac{m‘ \cdot \text{d}\varphi \cdot v^2}{\text{d}\varphi} = m‘ \cdot v^2  \\[5px]
&\boxed{F_F = m‘ \cdot v^2}  \\[5px]
\end{align}

Die durch die Fliehkraftwirkung hervorgerufene Riemenkraft F_F ist somit nur vom spezifischen Längengewicht m‘ und vom Quadrat der Riemengeschwindigkeit v abhängig. Weder der Scheibendurchmesser noch der Umschlingungswinkel beeinflussen die Riemenfliehkraft! Um die Fliehkraftwirkung im Betrieb also vollständig zu kompensieren muss der Riemen im Ruhezustand um den Betrag dieser Riemenfliehkraft zusätzlich gespannt werden!

Die zusätzlich notwendige Kraft im Riemen zur Kompensation der auftretenden Fliehkräfte (Riemenfliehkraft) ist nur von der Geschwindigkeit und dem Längengewicht des Riemens abhängig! Weder der Scheibendurchmesser noch der Umschlingungswinkel haben hierauf Einfluss!