Willis-Gleichung für Planetengetriebe

Im Artikel Willis-Gleichung angewendet auf Plantengetriebe wurde folgende Grundgleichung hergeleitet, die die Bewegungen von Sonnenrad (S), Hohlrad (H) und Träger (T) eines Planetengetriebes beschreibt:

\begin{align}
\label{pl}
&\boxed{n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

In dieser Gleichung bezeichnet n die Drehzahl und z die Zähnezahl der entsprechenden Zahnräder. Mit dieser Gleichung lassen sich nun die unterschiedlichen Übersetzungsmöglichkeiten von Planetengetriebe zeigen.

Übersetzungsmöglichkeiten

Bei einem klassischen Planetenradgetriebe ergeben sich letztlich drei verschiedene Betriebsmodi, je nachdem welche Komponente (Sonnenrad, Planetenradträger oder Hohlrad) festgestellt wird. Der An- und Abtrieb erfolgt dann über die beiden anderen Komponenten. Welche Übersetzungsverhältnisse sich dabei jeweils ergeben, wird im Folgenden gezeigt.

Festgestelltes Sonnenrad

Für den Fall, dass das Sonnenrad festgestellt wird (n_S=0) und der Antrieb über das Hohlrad und der Abtrieb und den Planetenradträger erfolgt, ergibt sich gemäß Gleichung (\ref{pl}) folgendes Übersetzungsverhältnis i_S=n_H/n_T:

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot \underbrace{n_S}_{=0} \\[5px]
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right)  \\[5px]
&\frac{n_H}{n_T} = i_S = \frac{z_H+z_S}{z_H}     \\[5px]
\label{i_S}
&\boxed{i_S = 1+\frac{z_S}{z_H}} ~~~1<i_S<2 \\[5px]
\end{align}

Anhand von Gleichung (\ref{i_S}) zeigt sich, dass bei antreibendem Hohlrad und abtreibendem Planetenradträger das Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 1 ist, d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Aber auch nach oben hin ist die Übersetzung begrenzt, da die Zähnezahl des Sonnenrades stets kleiner sein muss als die des Hohlrades (ansonsten wäre das Sonnenrad größer als das umschließende Hohlrad). Im theoretischen Grenzfall, wenn das Sonnenrad genauso groß ist wie das Hohlrad und beide somit identische Zähnezahlen aufweisen, ist das Verhältnis der Zähnezahlen z_S/z_H=1 und das Übersetzungsverhältnis damit maximal 2.

Wird An- und Abtrieb bei feststehendem Sonnenrad vertauscht, d.h. erfolgt der Antrieb über den Planetenradträger und der Abtrieb über das Hohlrad, dann liegen die umgekehrten Verhältnisse vor. Es ergibt sich eine Übersetzung ins Schnelle mit einem reziproken Übersetzungsbereich zwischen 1 und 0,5.

Anwendung finden die vorgestellten  Antriebsvarianten unter anderem bei Drei-Gang-Nabenschaltungen.

Festgestelltes Hohlrad

Eine weitere Möglichkeit zur Übersetzung bietet sich bei festgestelltem Hohlrad (n_H=0), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über den Planetenradträger erfolgt. Dabei ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis i_H=n_S/n_T:

\begin{align}
&\underbrace{n_H}_{=0} \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&0 = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_T} = i_H = \frac{z_H+z_S}{z_S} \\[5px]
\label{i_H}
&\boxed{i_H = 1+\frac{z_H}{z_S}} ~~~2<i_H<\infty \\[5px]
\end{align}

Im vorliegenden Fall erhält man also ebenfalls eine Übersetzung ins Langsame, dessen Übersetzungsverhältnis in jedem Fall größer 2 sein wird, da die Zähnezahl des Hohlzahnrades stets größer ist als die des Sonnenrades und deren Zähnezahlverhältnis somit größer 1 ist (z_H/z_S>1), d.h. eine Übersetzung ins Langsame vorliegt. Nach oben hin ist das Übersetzungsverhältnis hingegen nicht beschränkt, da das Hohlrad und damit dessen Zähnezahl prinzipiell beliebig groß gewählt werden kann und dann das Übersetzungsverhältnis gegen unendlich strebt.

Erfolgt im umgekehrten Fall der Antrieb nicht mehr über das Sonnenrad sondern über den Planetenradträger, dann erhält man wieder die reziproken Übersetzungsverhältnisse mit einem Wertebereich zwischen 0 und 0,5.

Festgestellter Steg (Planetenradträger)

Eine letzte Möglichkeit der Übersetzung bei klassischen Planetenradgetrieben zeigt sich bei festgestelltem Planetenradträger (Steg), wenn der Antrieb über das Sonnenrad und der Abtrieb über das Hohlrad erfolgt. In diesem Fall ergibt sich folgendes Übersetzungsverhältnis i₀=n_S/n_H:

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = \underbrace{n_T}_{=0} \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot z_H = – z_S \cdot n_S \\[5px]
&\frac{n_S}{n_H} = i_0 = -\frac{z_H}{z_S} \\[5px]
\label{i_0}
&\boxed{i_0 = -\frac{z_H}{z_S}} ~~~\text{„Standübersetzung“}~~~-\infty<i_0<-1 \\[5px]
\end{align}

Auffällig im Übersetzungsverhältnis von Gleichung (\ref{i_0}) ist zunächst das negative Vorzeichen. Es bringt in diesem Fall zum Ausdruck, dass sich der Drehsinn zwischen Antrieb und Abtrieb ändert, d.h. eine Richtungsumkehrung stattfindet („Rückwärtsgang“). Ein solches Getriebe mit Richtungsumkehrung zwischen An- und Abtrieb wird auch als Minusgetriebe bezeichnet; bei gleichsinniger Drehrichtung entsprechend als Plusgetriebe. Im vorliegenden Fall des Minusgetriebes handelt es sich um eine Übersetzung ins Langsame innerhalb eines Übersetzungsbereichs zwischen-∞ und -1. Im umgekehrten Fall bei vertauschtem An- und Abtrieb erhält man folglich eine Übersetzung ins Schnell im Wertebereich zwischen -1 und 0.

Beachte, dass das Planetengetriebe bei diesen Übersetzungsvarianten nicht mehr nach dem Prinzip eines klassischen Umlaufgetriebes arbeitet, da bei festgestelltem Planetenradträger keine umlaufenden Achsen der Planetenräder mehr existieren. Es handelt sich dem Funktionsprinzip nach somit um ein Standgetriebe. Aus diesem Grund wird das Übersetzungsverhältnis bei festgestelltem Planetenradträger auch als Standübersetzung bzw. Standübersetzungsverhältnis i₀ bezeichnet!

Direktantrieb

Ein Planetengetriebe kann auch als Direktantrieb genutzt werden. Dabei werden Steg und Sonnenrad mit dem Hohlrad fest fixiert. In diesem Fall wird dann die Drehbewegung direkt von der Antriebswelle auf die Abtriebswelle übertragen (Übersetzungsverhältnis 1:1).  Ein solcher Direktantrieb kommt bspw. bei Drei-Gang-Nabenschaltungen als „2. Gang“ zum Einsatz.

Standübersetzung

Betrachtet man die Gleichungen (\ref{i_S}), (\ref{i_H}) und (\ref{i_0}), so lassen sich offensichtlich alle Übersetzungsvarianten mithilfe der Standübersetzung i₀=-z_H/z_S ausdrücken. Für ein festgestelltes Sonnenrad ergibt sich das Übersetzungsverhältnis i_S anhand der Standübersetzung dann wie folgt:

\begin{align}
&\boxed{i_S = 1-\frac{1}{i_0}}  \\[5px]
\end{align}

Für ein festgestelltes Hohlrad lässt sich das entsprechende Übersetzungsverhältnis i_H wie folgt mithilfe der Standübersetzung ausdrücken:

\begin{align}
&\boxed{i_H = 1-i_0}\\[5px]
\end{align}

Auch die allgemeine Gleichung (\ref{pl}) der Planetengetriebe kann durch die Standübersetzung i₀ ausgedrückt werden:

\begin{align}
&n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot \frac{z_H}{z_S} = n_T \cdot \left( \frac{z_H}{z_S} + 1 \right) – n_S \\[5px]
& – n_H \cdot i_0 = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) – n_S \\[5px]
&\boxed{ n_S = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) + n_H \cdot i_0 }~~~\text{mit}~~~\boxed{i_0=-\frac{z_H}{z_S}}~~~\text{Standübersetzung} \\[5px]
\end{align}

Im Artikel Herleitung der Willis-Gleichung wurde die Grundgleichung für Umlaufgetriebe in der folgenden Form hergeleitet:

\begin{align}
\label{g}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right) – n_S \cdot d_S} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet n_P die Drehzahl und d_P den Wälzdurchmesser des Planetenrades. Für das Sonnenrad gilt als Drehzahl entsprechend n_S und als Wälzdurchmesser d_S. Die Drehzahl des Stegs (Träger) ist mit n_T bezeichnet.

Die Willis-Gleichung (\ref{g}) gilt ganz allgemein für alle Umlaufgetriebe, also im Speziellen auch für Planetengetriebe. Zwar werden die Planetenräder (blau dargestellt) bei einem klassischen Planetengetriebe dabei noch von einem Hohlrad (rot abgebildet) umschlossen, dies ändert jedoch prinzipiell nichts an den hergeleiteten Zusammenhänge zwischen Sonnenrad, Planetenrad und Planetenradträger (Steg; grün dargestellt). Es stellt sich lediglich die Frage, wie die Bewegung der Planetenräder auf das Hohlrad übertragen wird. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

Da zwischen Hohlrad und Planetenrad im Idealfall ein reines Wälzen ohne Gleitung stattfindet, muss die Geschwindigkeit am Wälzpunkt beider Räder identisch sein. Kennt man folglich die Geschwindigkeit v_Pa mit der sich der äußerste Punkt auf einem Planetenrad bewegt, dann entspricht dies der gesuchten Bahngeschwindigkeit v_H des Hohlrades. Über den entsprechenden Wälzkreisradius r (bzw. Wälzkreisdurchmesser d) des Hohlrades kann dann auf dessen Drehzahl n geschlossen werden, da zwischen diesen Größen der folgende allgemeine Zusammenhang gilt:

\begin{align}
\label{o}
&v = \omega \cdot r = \omega \cdot \tfrac{d}{2} ~~~ \text{mit} ~~~ \omega = 2 \pi \cdot n ~~~\text{folgt}: \\[5px]
\label{v}
&\underline{v = \pi \cdot n \cdot d} \\[5px]
\end{align}

Analoges gilt auch für die Geschwindigkeitsverhältnisse am Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. An diesem innersten Punkt muss die Geschwindigkeit des Planetenrades v_Pi für einen gleitfreien Abwälzvorgang identisch mit der Geschwindigkeit des Sonnenrades v_S sein. Der Schwerpunkt des Planetenrades bewegt sich dabei mit der Bahngeschwindigkeit v_T des Planetenradträgers. Zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht ein linearer Zusammenhang (siehe schwarz gestrichelte Linie in der oberen Abbildung), sodass bei bekannter Bahngeschwindigkeit des Sonnenrades v_S und bekannter Umfangsgeschwindigkeit des Planetenradträgers v_T die Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades v_H ermittelt werden kann.

Warum ergibt sich ein solcher linearer Zusammenhang?

Wie es zu dieser einfachen, linearen Abhängigkeit zwischen den genannten Bahngeschwindigkeiten kommt, soll im Folgenden gezeigt werden. Der einfacheren Darstellung wegen werden die Zahnräder dabei als Wälzzylinder angenommen.

Die Bewegung eines Punktes auf dem Planetenrad lässt als Überlagerung zweier Bewegungen verstehen. Zum einen rotiert das Planetenrad zunächst um seine eigene Achse. In diesem Fall erhält man die typisch symmetrische und lineare Zunahme der Bahngeschwindigkeit gemäß Gleichung (\ref{o}) ausgehend der Drehachse des Planetenrades. Die maximalen Geschwindigkeitsbeträge v_P erhält man unmittelbar am Wälzkreis des Planetenrades.

Im Drehzentrum ist die Bahngeschwindigkeit null, solange sich die Planetenradachse nicht bewegt. Nun bewegt sich die Drehachse jedoch mit der Bahngeschwindigkeit des Planetenradträgers v_T, d.h. beide Bewegungen können nun zur tatsächlichen Gesamtbewegung überlagert werden.

Die Rotationsgeschwindigkeit des Planetenrades ist im oberen Berührpunkt zum Hohlrad mit der Geschwindigkeit des Planetenradträgers gleichgerichtet und am unteren Berührpunkt zum Sonnenrad entgegengesetzt gerichtet. Aufgrund der symmetrischen Geschwindigkeitsverteilung ist die resultierende Gesamtgeschwindigkeit des Planetenrades im äußersten Berührpunkt zum Hohlrad also im selben Maße größer (v_Pa=v_T+v_P) wie sie im innersten Berührpunkt zum Sonnenrad geringer ist (v_Pi=v_T-v_P).

In anderen Worten ausgedrückt: Die Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Planetenrad nimmt ausgehend des Berührpunktes zum Sonnenrad linear über die Geschwindigkeit des Planetenradträgers bis hin zum Berührpunkt zum Hohlrad zu. Da die Geschwindigkeit des Planetenradträgers v_T als bekannt vorausgesetzt wird, muss lediglich die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Sonnenrad v_S bekannt sein, um die gesuchte Bahngeschwindigkeit am gegenüberliegenden Berührpunkt zum Hohlrad v_H bestimmen zu können.

Wie bereits erläutert, muss für einen gleitfreien Abwälzvorgang ohne Relativbewegung die Geschwindigkeit des Planetenrades am Berührpunkt zum Hohlrad (v_Pa=v_T+v_P) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrades v_H sein:

\begin{align}
&v_H\overset{!}{=}v_{Pa} \\[5px]
\label{v_H}
&\underline{v_H=v_T+v_P} \\[5px]
\end{align}

Analoges gilt auch für den Berührpunkt zwischen Planetenrad und Sonnenrad. Dort muss die Geschwindigkeit des Planetenrades (v_Pi=v_T-v_P) gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Sonnenrades v_S sein, sofern es sich um einen gleitfreien Abwälzvorgang handelt:

\begin{align}
&v_S\overset{!}{=}v_{Pi} \\[5px]
\label{v_S}
&\underline{v_S=v_T-v_P} \\[5px]
\end{align}

Subtrahiert man nun Gleichung (\ref{v_S}) von Gleichung (\ref{v_H}), dann ergibt sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen den Umfangsgeschwindigkeiten des Sonnenrades v_S, des Planetenrades v_P und des Hohlrades v_H:

\begin{align}
&v_H – v_S = v_T+v_P-v_T+v_P \\[5px]
&v_H = 2 \cdot v_P + v_S \\[5px]
\label{vvv}
&\underline{ v_P = \frac{v_H}{2} – \frac{v_S}{2} } \\[5px]
\end{align}

Wird der Zusammenhang aus Gleichung (\ref{v}) in Gleichung (\ref{vvv}) eingesetzt, dann erhält man den Zusammenhang zwischen den entsprechenden Drehzahlen:

\begin{align}
&v_P = \frac{v_H}{2} – \frac{v_S}{2} \\[5px]
&\pi \cdot n_P \cdot d_P = \frac{\pi \cdot n_H \cdot d_H}{2} – \frac{\pi \cdot n_S \cdot d_S}{2} \\[5px]
\label{nn}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_H \cdot \frac{d_H}{2} – n_S \cdot \frac{d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

Der sich aus Gleichung (\ref{nn}) ergebende Zusammenhang kann nun direkt mit der Grundgleichung (\ref{g}) gleichgesetzt werden und man erhält schließlich den folgenden Zusammenhang zwischen den Drehzahlen von Sonnenrad (S), Planetenradträger (T) und Hohlrad (H):

\begin{align}
&n_H \cdot \frac{d_H}{2} – n_S \cdot \frac{d_S}{2} = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – n_S \cdot d_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H – n_S \cdot d_S  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – 2 \cdot n_S \cdot d_S \\[5px]
\label{f}
&\underline{n_H \cdot d_H  = 2 \cdot n_T \cdot \left(d_P + d_S \right)  – d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Zusätzlich kann noch ausgenutzt werden, dass die Durchmesser von Hohlrad, Planetenrad und Sonnenrad nicht unabhängig voneinander sind. Der Hohlraddurchmesser d_H entspricht der Summe aus Sonnenraddurchmesser d_S und dem zweifachen Planetenraddurchmesser d_P:

\begin{align}
&d_H = d_S + 2 \cdot d_P \\[5px]
&\underline{d_P = \frac{d_H-d_S}{2}} \\[5px]
\end{align}

Damit ergibt sich die Planetenradgleichung für klassische einstufige Planetengetriebe, unabhängig von den Eigenschaften der Planetenräder, zu:

\begin{align}
&n_H \cdot d_H = 2 \cdot n_T \cdot \left(\frac{d_H-d_S}{2} + d_S \right) – d_S \cdot n_S \\[5px]
&n_H \cdot d_H =n_T \cdot \left(d_H – d_S + 2 \cdot d_S \right) – d_S \cdot n_S \\[5px]
&\underline{n_H \cdot d_H = n_T \cdot \left(d_H + d_S \right) – d_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Da bei Zahnrädern die Wälzkreisdurchmesser d proportional zu den entsprechenden Zähnezahlen z sind, kann obige Gleichung auch über die Anzahl der Zähne des Hohlrades (z_H) und die des Sonnenrades (z_S) ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{pl}
&\boxed{n_H \cdot z_H = n_T \cdot \left(z_H + z_S \right) – z_S \cdot n_S} \\[5px]
\end{align}

Mit Hilfe dieser Gleichung lassen sich die unterschiedlichen Übersetzungsverhältnisse von Planetengetrieben erklären. Hierauf wird im Artikel Übersetzungsverhältnisse von Plantengetriebe näher eingegangen.

Funktionsweise

Die untere Animation zeigt den Aufbau und das Funktionsprinzip eines Zykloidgetriebes.

Dabei treibt eine Exzenterwelle (Antriebswelle) zunächst eine Kurvenscheibe an. Ringförmig um die Exzenterwelle sind feststehende Bolzen angeordnet, in die die „Vertiefungen“ der Kurvenscheibe passen. Aufgrund der exzentrischen Bewegung wird die Kurvenscheibe um diese Bolzen getrieben, sodass die Kurvenscheibe um ihre Symmetrieachse rotiert. In der Kurvenscheibe sind Löcher angebracht, die im Gegensatz zur Exzenterwelle nun im Uhrzeigersinn rotieren. In diese Löcher greifen die Rollen einer dahinterliegenden Rollenscheibe. Die Kurvenscheibe treibt auf diese Weise die Rollenscheibe an, an der auch die zentrisch gelagerte Abtriebswelle angebracht ist und koaxial zur Antriebswelle sitzt.

Vergleicht man in der oberen Animation die Drehzahl der Antriebswelle mit der Drehzahl Abtriebswelle, so tritt offenbar neben der Drehrichtungsumkehr eine Drehzahlreduzierung ein. In der vorliegenden Animation dreht sich die Rollenscheibe bei einer ganzen Umdrehung der Exzenterwelle (360°) um insgesamt 40° weiter. Erst nach 9 Umdrehungen der Antriebswelle hat die Abtriebswelle somit eine ganze Umdrehung hinter sich gebracht. Das Übersetzungsverhältnis des Getriebes beträgt damit 9:1.

Herzstück des Zykloidgetriebes ist die Kurvenscheibe, dessen Geometrie für den Bewegungsablauf eine zentrale Rolle spielt. Die äußere Kontur der „Nocken“ und „Vertiefungen“ am Umfang der Kurvenscheibe lässt sich auf eine eine Zykloide zurückführen. Deshalb wird die Kurvenscheibe auch als Zykloidenscheibe bezeichnet und das gesamte Getriebe Zykloidgetriebe genannt. Auf die Konstruktion der Geometrie der Kurvenscheibe wird im Artikel „Konstruktion der Zykloidenscheibe“ näher eingegangen.

Aufgrund der symmetrischen Lastverteilung werden in der Praxis häufig zwei Zykloidenscheiben verwendet die dann um 180° versetzt angeordnet sind. Auf diese Weise wird erreicht, dass sich die Unwuchtskräfte bei hohen Drehzahlen gegenseitig ausgleichen, was einen ruhigeren Lauf zur Folge hat. Die doppelte Ausführung der Zykloidenscheiben ermöglicht zudem die Übertragung von sehr großen Drehmomenten. Zudem werden die Zykloidenscheiben häufig mit einer sogenannten verkürzten Zykloide konstruiert, was eine „weichere“ Kontur mit verringerter Exzentrität zur Folge hat und zu kleineren Lochdurchmessern in der Zykloidenscheibe führt (mehr hierzu im Artikel „Konstruktion der Zykloidenscheibe„).

Veranschaulichung der Funktionsweise

Der Bewegungsablauf eines Zykloidgetriebes erscheint auf den ersten Blick sehr komplex. Die Idee dahinter, die zu einer solchen Kinematik führt, ist jedoch recht einfach. Hierzu stelle man sich zunächst einen Ring vor (Wälzring), auf dessen Innenseite eine Scheibe abwälzt (Wälzscheibe). Die Wälzscheibe wird dabei mithilfe einer Exzenterwelle um die Innenseite des Wälzrings getrieben. Der Wälzring rotiert somit um seine Symmetrieachse entgegen dessen Schwerpunktsbewegung.

Ein solches Wälzgetriebe erlaubt bisher noch keine große Kraftübertragung, da die Kraftübertragung lediglich durch Reibschluss zwischen den Wälzkörpern zustande kommt. Ein Formschluss ist an dieser Stelle von deutlichem Vorteil. Dies wird durch eine entsprechende Verzahnung zwischen Wälzring und Wälzscheibe erzielt.

Als Zahnform für die Wälzscheibe wird dabei die Zykloide verwendet. Der Wälzkreis der Wälzscheibe dient als Grundkreis für die Konstruktion der Zykloide. Der Wälzring wiederum dient als Teilkreis auf dem die Bolzen befestigt werden, in die dann die Zykloidenscheibe eingreift.

Übersetzungsverhältnis

Für die Bestimmung des Übersetzungsverhältnisses eines Zykloidgetriebes ist die Anzahl N der ringförmig angeordneten Bolzen und die Anzahl n der „Vertiefungen“ bzw. der „Nocken“ der Kurvenscheibe relevant. Dabei muss die Anzahl der Vertiefungen der Kurvenscheibe stets kleiner als die Anzahl der Bolzen sein, ansonsten wäre die Kurvenscheibe größer als der Teilkreis der feststehenden Bolzen und die Kurvenscheibe würde gar nicht erst zwischen die Bolzen passen. In den meisten Fällen besitzt die Kurvenscheibe eine Vertiefung bzw. einen Nocken weniger als Bolzen vorhanden sind.

Am Beispiel mit N=10 Bolzen und n=9 Vertiefungen, soll die Berechnung des Übersetzungsverhältnisses im Folgenden hergeleitet werden. Bei einer vollen Umdrehung der Exzenterwelle, hat sich die Kurvenscheibe dann offensichtlich um insgesamt \N=10 Bolzen gewälzt. Da die Kurvenscheibe aber nur n=9 Vertiefungen besitzt, muss sie sich bei einem ganzen Umlauf folglich um eine Vertiefung weiterbewegt haben. Dies entspricht einen Neuntel einer vollen Umdrehung.

Folglich muss sich die Antriebswelle (Exzenterwelle) insgesamt 9 mal drehen, damit die Kurvenscheibe und mit ihr die Abtriebswelle (Rollenscheibe) eine volle Umdrehungen ausführt. Das Übersetzungsverhältnis wäre in diesem Fall also 1:9.

Hätte die Kurvenscheibe bspw. nur n=7 Vertiefungen am Umfang, dann würde sie sich bei einem Umlauf um die N=10 Bolzen um 3 Vertiefungen weiterbewegt haben. Bei einer vollen Umdrehung der Antriebswelle hätte sich die Abtriebswelle dann um 3 mal 1/7 Umdrehungen weiterbewegt. Die Antriebswelle müsste sich dann 7 mal drehen, damit die Abtriebswelle 3 ganze Umdrehung ausführt. Das Übersetzungsverhältnis betrüge in diesem Fall 7:3.

Verallgemeinert man dieses Prinzip, dann lässt sich das Übersetzungsverhältnis eines Zykloidgetriebes offensichtlich wie folgt anhand der Anzahl n der Nocken der Kurvenscheibe und der Differenz zur Anzahl N der Bolzen ermitteln:

\begin{align}
&\boxed{i = \frac{n}{N-n} } \\[5px]
\end{align}

Beachte: Dadurch, dass die Kurvenscheibe auf der Innenseite des Bolzenrings abwälzt, ist die Rotationsbewegung der Kurvenscheibe um ihren Schwerpunkt entgegengesetzt zu dessen kreisförmiger Schwerpunktsbewegung. Deshalb macht die Kurvenscheibe keine volle Umdrehung bei ihrem Umlauf um die Bolzen. Dies wäre nur dann der Fall, wenn die Kurvenscheibe auf der Außenseite des Bolzenrings abwälzen würde (Rotationsbewegung und Schwerpunkgsbewegung wären dann identisch).

Zykloidgetriebe vs. Planetengetriebe

Wenn es um große Übersetzungsverhältnisse bei gleichzeitig kompakter Bauweise geht, dann bieten sich zwei Getriebevarianten besonders an: Das Planetengetriebe und das Zykloidgetriebe. Die Ähnlichkeiten zwischen beiden Getriebearten werden besonders deutlich, wenn das Hohlrad des Planetengetriebes fixiert wird und Antrieb über das Sonnenrad erfolgt und der Abtrieb über den Planetenträger. Beide Getriebearten besitzen umlaufende Achsen und zählen somit im Prinzip zu den Umlaufgetrieben.

Im Falle des Planetengetriebes sind die umlaufenden Achsen die Achsen der Planetenräder und im Falle des Zykloidgetriebes die Achsen der Kurvenscheiben (Zykloidenscheiben). Während die Planetenräder von einem Sonnenrad angetrieben werden, bewegen Exzenter die Zykloidenscheiben. Die Planetenräder bewegen sich bei ihrer Rotation um das Innere eines Hohlrades und die Zykloidenscheiben umlaufen die Bolzen eines Bolzenrings. Die Planetenräder treiben somit letztlich den Planetenträger an auf dem sie sitzen und geben ihre Leistung an die damit verbundene Abtriebswelle ab. Auf die analoge Weise treiben die Zykloidenscheiben eine Rollenscheibe an, die ihrerseits die Leistung dann an die damit verbundene Abtriebswelle abgibt. 

Zykloidgetriebe weisen gegenüber Planetengetriebe eine sehr große Robustheit gegenüber stoßartigen Belastungen auf. Darüber hinaus erzielen Zykloidgetriebe durch ihr sehr geringes Spiel und ihre hohe Torsionssteifigkeit eine deutlich bessere Positioniergenauigkeit. Deshalb eignen sich Zykloidgetriebe hervorragend für alle Arten von Antriebstechniken (z.B. Robotik bei Servomotoren) und dies besonders bei großen Lasten.

Vor allem bei großen Übersetzungsverhältnissen sind Zykloidgetriebe im Allgemeinen leichter und kompakter als Planetengetriebe und weisen eine höhere Lebensdauer auf. Bei relativ geringen Übersetzungsverhältnissen von unter 20 bieten je nach Anwendung jedoch Planetengetriebe meist die besseren Vorteile und weisen einen höheren Wirkungsgrad auf.

Form der Kurvenscheibe

Kurvenscheiben mit gewöhnlicher Zykloide

Wie bereits im Artikel „Funktionsweise“ erwähnt, setzt sich die Grundform der Kurvenscheibe eines Zykloidgetriebes aus einer Zykloide zusammen. Eine solche Zykloidenform erhält man, wenn man einen Rollkreis auf einem Grundkreis abrollt (siehe auch Artikel „Geometrie von Zykloidenzahnräder„). Ein Punkt am Umfang des Rollkreises beschreibt als Bahnkurve dabei die Zykloide. Die erhaltene Kurve bildet das sogenannte Bezugsprofil oder auch Nennprofil genannt.

Nun muss jedoch beachtet werden, dass sich die Kurvenscheibe später um die Bolzen wälzen muss. Aus diesem Grund muss bei der Konstruktion der Zykloide der Zeichnungspunkt („Bleistiftspitze“) zu einem Kreis erweitert werden, wobei der Durchmesser dieses Zeichnungskreises dem Bolzendurchmesser entspricht, um die sich die Kurvenscheibe später wälzt! Die einhüllende Kontur die nun beim Abrollen des Rollkreises mit seinem Zeichnungskreis entsteht entspricht dann dem eigentlichen Profil der Kurvenscheibe.

Ein solches Scheibenprofil kann man sich auch wie folgt konstruiert vorstellen. Zunächst wird das Bezugsprofil wie üblich mit einem Zeichnungspunkt hergestellt. Anschließend setzt man nun in Gedanken den Mittelpunkt eines Fräsers (dessen Durchmesser dem späteren Bolzendurchmesser entspricht) auf dieses Bezugsprofil und fräst entlang der Zykloide. Auch auf diese Weise erhält man dann aus dem Bezugsprofil das eigentliche (äquidistante) Scheibenprofil. 

Das Profil der Kurvenscheibe wird aus einer äquidistanten Linie zur Zykloide erhalten!

Kurvenscheiben mit verkürzter Zykloide

Die im Abschnitt zuvor konstruierte Kurvenscheibe besitzt eine relativ große Exzentrizität, was bei großen Drehzahlen zu enormen Unwuchtkräften führt und einen entsprechend unruhigen Lauf zur Folgen hat. Mit dieser relativ großen Exzentrizität hängt es auch zusammen, dass die Löcher der Zykloidenscheibe relativ nahe beieinander liegen. Die geringe Materialstärke zwischen den Löchern könnte bei großen Kräften somit zu einer Verformung der Löcher führen.

Aus diesen Gründen wird die Kurvenscheibe häufig mit einer sogenannten verkürzten Zykloide konstruiert. Dabei wird letztlich der Zeichnungspunkt nicht mehr am Umfang des Rollkreises platziert (Abstand R) sondern befindet sich innerhalb des Rollkreises (Abstand r<R). Im Gegensatz hierzu spricht man von einer verlängerten Zykloide, wenn sich der Zeichnungspunkt außerhalb des Rollkreises befindet (r>R). Letztere hat jedoch im Maschinenbau keine Bedeutung, weshalb lediglich die verkürzte Zykloide zur Anwendung kommt.

Die untere Abbildung zeigt die Auswirkung einer solchen verkürzten Zykloide auf die Form der Kurvenscheibe. Die Kontur der Zykloidenscheibe verläuft im Vergleich zur Konstruktion mit einer gewöhnlichen Zykloide „weicher“. Sowohl die Exzentrizität als auch die späteren Lochdurchmesser in der Kurvenscheibe fallen deutlich geringer aus.

Die untere Animation zeigt hierzu das Getriebeverhalten der Kurvenscheibe mit verkürzter Zykloide.

Das Übersetzungsverhältnis ändert sich durch die Konstruktion mit verkürzter Zykloide im Übrigen nicht; dieses ist nur von der Anzahl der „Nocken“ (n) der Kurvenscheibe und der Anzahl der Bolzen (N) abhängig (mehr hierzu siehe Artikel „Funktionsweise„):

\begin{align}
&\boxed{i = \frac{n}{N-n} } \\[5px]
\end{align}

Das Übersetzungsverhältnis eines Zykloidgetriebes spiegelt sich schließlich im Verhältnis zwischen Grundkreisdurchmesser und Rollkreisdurchmesser wieder, welcher zur Konstruktion der Zykloidenscheibe verwendet wird. Denn aus der Betrachtung der Zykloidenscheibe heraus handelt es sich schließlich um ein Abwälzen der Bolzen auf der Zykloidenscheibe (auch wenn sich die Sicht als außenstehender Beobachter gerade umgekehrt zeigt: die Zykloidenscheibe wälzt auf den Bolzen ab – eben nur eine Frage der Sichtweise).

\begin{align}
\label{2}
&i=\frac{d}{\delta} \\[5px]
\end{align}

Konstruktion des Zykloidgetriebes

Anhand der oben gezeigten Zykloidenscheibe soll die Ermittlung der für die Konstruktion des Zykloidgetriebes erforderlichen Parameter gezeigt werden. Der Wälzkreis bzw. Teilkreis auf dem die Bolzen angeordnet werden ist im vorliegenden Fall mit D = 160 mm gewählt und die Bolzendurchmesser sollen d_B = 20 mm betragen. Insgesamt werden N=10 Bolzen verwendet, die zu einem Übersetzungsverhältnis von i= 9 führen sollen. Die Rollen der Rollenscheibe haben einen gewählten Durchmesser von d_R = 14 mm. Die Rollen selbst sind auf einem Teilkreis mit dem Durchmesser d_S = 88 mm angeordnet. Die Exzentrizität der rotierenden Zykloidenscheibe soll e = 4 mm betragen.

Die oben genannten Parameter sind im Vorfeld prinzipiell frei wählbar, sollten jedoch sinnvoll gewählt werden. Mithilfe der unten nochmals zusammengefassten Größen kann die Kurvenscheibe nun konstruiert werden:

• Teilkreisdurchmesser D der ringförmig angeordneten Bolzen
• Bolzendurchmesser d_B
• Anzahl N der Bolzen
• Übersetzungsverhältnis i
• Durchmesser d_R der Rollen
• Teilkreisdurchmesser d_S der Rollen auf der Rollenscheibe
• Exzentrizität e der Kurvenscheibe

Rollkreisdurchmesser

Der Rollkreisdurchmesser δ zur Konstruktion Zykloidenscheibenform muss zunächst so gewählt werden, dass der Rollkreisumfang gerade der Umfangsteilung der Bolzen auf der Gehäusescheibe entspricht. Nur so ist gewährleistet, dass der mit dem Rollkreis konstruierte Zahnabstand der Zykloidenscheibe den Bolzenabständen entspricht und ein späteres Ineinandergreifen ermöglicht wird. Da Durchmesser und „Zähnezahlen“ (Bolzenanzahl bzw. Anzahl der Nocken) proportional zueinander sind, muss der Rollkreisdurchmesser δ folglich um den Faktor der Bolzenanzahl N kleiner als der Teilkreisdurchmesser Dder Bolzen sein:

\begin{align}
\label{3}
&\boxed{\delta=\frac{D}{N}}~(= 16 \text{ mm})  \\[5px]
\end{align}

Damit ist in Kombination mit Gleichung (\ref{2}) nun auch der Grundkreisdurchmesser d (gleichbedeutend mit dem Wälzkreisdurchmesser) zur Konstruktion der Zykloidenscheibe eindeutig festgelegt:

\begin{align}
&i=\frac{d}{\delta}=\frac{d \cdot N}{D} \notag \\[5px]
\label{4}
&\boxed{d = \frac{i}{N} \cdot D} ~(= 144 \text{ mm})  \\[5px]
\end{align}

Exzentrizität

Der Abstand des Zeichnungspunktes zum Rollkreismittelpunkt während der Konstruktion der Kurvenscheibenform entspricht direkt der späteren Exzentrizität e der Zykloidenscheibe, denn dieser Abstand bestimmt letztlich die „Amplitude“ mit der der Zeichnungskreis während der Konstruktion der Zykloide um den Grundkreis „schwankt“. In der Praxis geht man jedoch den umgekehrten Weg: Die Exzentrizität wird bereits im Vorfeld festgelegt und entscheidet somit über die Form der Zykloidenscheibe. Dabei ist die Exzentrizität stets kleiner oder im Extremfall gleich dem halben Durchmesser des Rollkreises.

\begin{align}
&\boxed{e \le \frac{\delta}{2}}  \\[5px]
\end{align}

Im vorliegenden Beispiel ist die Exzentrizität bei der verkürzten Variante mit e = 4 mm gewählt worden. Zu gering sollte die Exzentrizität jedoch nicht gewählt werden, da die Kontur der Zykloidenscheibe sonst immer „weicher“ wird und im Extremfall bei einer Exzentrizität von e=0 in eine reine Kreisform übergeht. In diesem Fall ist natürlich kein Formschluss mehr möglich und auch bei zu geringen Exzentrizitäten besteht die Gefahr des „Drüberrutschens“ der Zykloidenscheibe über die Bolzen. 

Lochdurchmesser der Kurvenscheibe

Die Exzentrizität e hat wiederum Einfluss auf die Lochdurchmesser d_L der Zykloidenscheibe. Zum einen müssen durch die Löcher die Rollen mit ihrem Durchmesser d_R passen und zum anderen müssen diese das „Schwanken“ der Zykloidenscheibe berücksichtigen, die sich bei einem Umlauf um die Exzentrizität „nach oben“ und „nach unten“ bewegt. Deshalb muss der Lochdurchmesser d_L um den zweifachen Betrag der Exzentrizität e größer sein als der Rollendurchmesser d_R: 

\begin{align}
\label{exzenter}
&\boxed{d_L = d_R + 2 \cdot e} ~~~~(= 22 \text{ mm}) \\[5px]
\end{align}

Der Lochkreisdurchmesser auf dem die Löcher um das Zentrum der Zykloidenscheibe angeordnet werden entspricht dabei exakt dem Teilkreisdurchmesser auf dem die Rollen um das Zentrum der Rollenscheibe angeordnet sind (d_S = 88 mm)! 

Die Geometrie der Zykloidenscheibe bzw. des Zykloidgetriebes ist damit vollständig bestimmt!

Weshalb benötigt man ein Differentialgetriebe?

In Automobilen werden die Räder in der Regel über ein Kegelradgetriebe vom Motor angetrieben. Dies ermöglicht eine Umlenkung der Drehbewegung vom Motor zu den Rädern um 90°. Wären die anzutreibenden Räder dabei jedoch über eine gemeinsame Welle starr miteinander verbunden, so würde dies bei Kurvenfahrten zu Problemen führen. So muss nämlich das äußere Rad bei der Kurvenfahrt eine größere Strecke zurücklegen als das innere Rad. Da beide Räder die Kurvenfahrt jedoch in derselben Zeit durchlaufen müssen, muss sich das äußere Rad in der Kurve folglich schneller drehen als das innere Rad.

Wären die beiden Räder dabei über eine gemeinsame Welle verbunden, dann würde sich aufgrund der unterschiedlichen Rotationsgeschwindigkeiten die Welle in sich verdrehen. Diese Verdrehung gleicht sich früher oder später durch ein Durchrutschen eines der Räder wieder aus (Schlupf). Dieses Rutschen in der Kurve reduziert nicht nur die Fahrsicherheit sondern führt zu großem Reifenverschleiß und auf Dauer auch zum Bruch der Welle.

Bei Kurvenfahrten muss das äußere Rad schneller rotieren können als das innere Rad!

Aus diesem Grund wurde in den Anfangszeiten des Automobils auch nur eines der Räder angetrieben und das andere Rad frei rotierbar auf der Welle montiert, sodass sich an beiden Rädern unterschiedliche Geschwindigkeiten einstellen konnten. Ein solcher einseitiger Antrieb führ aber dazu dass das Fahrzeug versucht eine leichte Kurve zu fahren. Dies reduziert nicht nur den Fahrspaß sondern auch die Fahrsicherheit. Man musste deshalb eine Lösung finden beide Räder gleichzeitig antreiben zu können und dabei jedoch unterschiedliche Geschwindigkeiten zuzulassen. Dies war die Geburtsstunde des Differentialgetriebes (kurz Differential oder Differenzial genannt).

Die untere Abbildung zeigt das Differentialgetriebe eines LKWs. Zu sehen ist das Ritzel (in der Animation oben gelb dargestellt) und das Kegelrad (in der Animation oben orangefarben abgebildet).  Die weiteren Kegelräder sind im Inneren des Gehäuses und nicht von außen zu sehen.

Aufbau eines Differentialgetriebes

Der Aufbau und die Funktionsweise eines Differentialgetriebes ist auf den ersten Blick nicht ganz einfach nachzuvollziehen. Es stellt sich vor allem die Frage wie man auf eine solche Anordnung der Zahnräder überhaupt kommt, die dann den Zweck der unterschiedlichen Rotationsgeschwindigkeiten erfüllt. Um dies zu verstehen ist es sinnvoll zunächst die einzelnen Schritte die hinter der Idee des Differentialgetriebes stecken nachvollziehen zu können.

1. Schritt: Antrieb der getrennten Wellen über Stifte und einen frei rotierbaren Stab

Der Beginn der Idee steckt zunächst darin, dass die gemeinsame Antriebswelle geteilt wird, sodass jedes Rad eine eigene Antriebswelle bekommt. Damit wird sichergestellt, dass es nicht zu einem Verdrehen der Welle kommt, wenn eines der beiden Räder später langsamer bzw. schneller rotieren sollte. An den getrennten Wellen werden nun jeweils zwei Stifte befestigt. Zwischen diesen Stiften treibt ein frei rotierbarer Stab die jeweiligen Radwellen an.

Auf diese Weise wird nun erreicht, dass sich die Räder innerhalb einer gewissen Grenze unterschiedlich stark verdrehen lassen. Wird eines der Räder verlangsamt, so kann das gegenüberliegende Rad durch den drehbaren Stab noch etwas weiter bewegt werden. Zu stark sollte die unterschiedliche Rotation in diesem Schritt jedoch nicht erfolgen, da ansonsten der Stab aus den Stiften gleitet und dann keine Kraft mehr übertragen werden kann.

2. Antrieb der Wellen über mehrere Stifte und frei rotierbare Stäbe

Um die eingeschränkte Beweglichkeit zu vergrößern, können nun ganz einfach mehrere Stifte und drehbare Stäbe verwendet werden, sodass diese jeweils nacheinander ineinander gleiten können. Damit ist der Unabhängigkeit des Radantriebs keine Grenzen mehr gesetzt. Eines der Räder kann nun mit gänzlich unterschiedlicher Geschwindigkeit rotieren und sogar stillstehen, während das gegenüberliegende Rad weiter angetrieben werden kann. Eine solche Anordnung stellt im Prinzip bereits ein voll funktionsfähiges Differentialgetriebe dar!

Bei genauer Betrachtung zeigt sich, dass mit einem solchen Differentialgetriebe das verlangsamte Rad im selben Maße abgebremst wird wie das gegenüberliegende Rad beschleunigt wird. Der Geschwindigkeitsverlust auf der einen Radseite wird durch einen gleich großen Geschwindigkeitsgewinn auf der gegenüberliegenden Radseite wieder kompensiert. Hinter diesem Prinzip steckt letztlich nicht anderes als die Energieerhaltung.

Ein solches kinematisches Verhalten der Räder ist genau das, was in Kurvenfahrten von Nöten ist. Bei einer Kurvenfahrt muss nämlich das innen liegende Rad im selben Maße langsamer rotieren wie das äußere Rad schneller rotieren muss. Diese Funktionsweise macht das Differentialgetriebe perfekt geeignet für den Antrieb in Kurven!

Durch ein Differentialgetriebe rotiert in Kurvenfahrten das innere Rad im selben Maße langsamer wie das äußere Rad schneller rotiert!

3. Schritt – Ersetzen der Stifte und Stäbe durch Zahnräder (Kegelräder)

Die Kraftübertragung durch Stifte und Stäbe ist nicht sehr effektiv. Deshalb werden diese durch Zahnräder ersetzt, genauer gesagt durch Kegelräder. Das blau dargestellte, um die Wellen umlaufende Kegelrad, wird auch als Umlaufkegelrad bezeichnet.

4. Schritt – Antrieb der Wellen über weitere Kegelräder

Der Antrieb des Umlaufkegelrades erfolgt in Automobilen natürlich nicht von Hand sondern durch den Motor. Dieses Kegelrad wird wiederum durch ein Kegelradgetriebe angetrieben (meist ein Hypoidgetriebe), bestehend aus dem gelb dargestellten Ritzel (Motorwelle) und dem orangefarbenen Kegelrad. Auf diesem orangefarbenen Kegelrad befindet sich dann das blau dargestellte Kegelrad, das die Räder antreibt. Das das orangefarbene Kegelrad das Umlaufkegelrad „trägt“, wird dieses auch als Umlaufradträger bezeichnet.

5. Schritt – Symmetrische Anordnung der Kegelräder zur Vermeidung von Biegebeanspruchungen

Damit Biegespannungen in den Antriebswellen der Räder vermieden werden, werden diese in der Regel nicht durch ein Umlaufkegelrad sondern durch zwei Umlaufkegelräder angetrieben. Dieses zweite Umlaufkegelrad ist dabei um 180° versetzt angeordnet.

Aus der unteren Abbildung wird nun direkt ersichtlich, dass sich bei der Verwendung zweier Umlaufkegelräder die Kräfte in horizontaler Richtung gegenseitig kompensieren. Die Antriebswellen der Räder werden dann rein auf Torsion beansprucht, aber nicht auf Biegung!

Kinematik des Differentialgetriebes

Bei Geradeausfahrten wird im Normalfall keines der Räder gezwungen langsamer oder schneller als das andere zu rotieren. In diesem Fall treiben die Umlaufkegelräder ohne Relativbewegung die Radwellen an. Die Räder rotieren dann mit derselben Geschwindigkeit wie der Umlaufradträger.

Fährt man nun jedoch bspw. in eine Rechtskurve ein, dann wird das innen liegende Rad durch die geringere zu fahrende Wegstrecke verlangsamt. Im selben Maße muss jedoch dann das äußere Rad schneller rotieren, da es im Vergleich zur Mittellinie eine im selben Maße größere Wegstrecke zurücklegen muss. Ein Differentialgetriebe durch seinen speziellen Aufbau erzeugt letztlich genau dies! Der genaue mathematische Zusammenhang wird im nachfolgenden Abschnitt „Differentialgetriebe als Sonderform des Planetengetriebes“ näher erläutert.

Am besten kann man die Kinematik dabei verstehen, wenn man sich eine extreme Kurvenfahrt vorstellt, wo das innere praktisch auf der Stelle stehen bleibt und das äußere Rad ein kreisförmige Bahn um das innere Rad ausführt. Der Umlaufradträger treibt in diesem Fall das Umlaufkegelrad um das stillstehende Kegelrad der Radwelle. Die Umlaufkegelräder beginnen sich dann zu drehen und führen nun Relativbewegungen aus. Das gegenüberliegende Kegelrad der linken Antriebswelle wird durch diese Rotation der Umlaufkegelräder nun zusätzlich zur bereits vorhandenen Rotation des Umlaufradträgers angetrieben und rotiert folglich schneller.

Im Vergleich zum Umlaufradträger rotiert das innen liegende Rad bei Kurvenfahrten im selben Maße langsamer wie das äußere Rad schneller rotiert.

Erst wenn die Kurvenfahrt zu Ende ist und sich die Drehzahlen der Räder wieder angeglichen haben führen beide Radwellen keine Relativbewegung zueinander mehr aus und die Drehzahl des Umlaufradträgers entspricht den Drehzahlen der Räder.

Auch wenn sich die Drehzahlen der Räder in Kurvenfahrten unterscheidet, so werden beide Räder jedoch stets mit demselben Drehmoment angetrieben! Denn bei Getrieben ergibt sich die Drehmomentänderung lediglich über das Verhältnis der Zähnezahlen der Zahnräder. Das Differentialgetriebe ist aber symmetrisch aufgebaut und unterscheidet sich zwischen linker und rechter Antriebswelle nicht in den Zähnezahlen. Zwischen Motor und den Antriebswellen ergeben sich somit stets dieselben Drehmomentwandlungen. Beide Räder weisen deshalb dasselbe Drehmoment auf. Man erhält durch das Differential also an keinem der Räder einen Drehmomentvorteil bzw. -nachteil.

Auch wenn sich das jeweilige Drehmoment an den Rädern also nicht unterscheidet, so weisen diese unterschiedliche Leistungen auf, da sich die Leistung aus der Kombination von Drehmoment M und Drehzahl n bestimmt:

\begin{align}
\boxed{P=2 \pi \cdot M \cdot n} \\[5px]
\end{align}

Beachtet werden muss jedoch, dass wenn das Differential in Kurven aktiv ist, Relativbewegungen der Kegelräder vorhanden sind, die zu einer zusätzlichen Minderung des Getriebewirkungsgrades führen.

Eine Differentialgetriebe teilt zwar die Drehzahlen und damit die Motorleistung auf die unterschiedlichen Räder auf, das Drehmoment ist jedoch an beiden Rädern identisch!

Differentialgetriebe als Sonderform des Planetengetriebes

Das Differentialgetriebe gehört zu Gruppe der sogenannten Umlaufgetriebe (Planetengetriebe), da es umlaufende Drehachsen besitzt. In diesem Fall sind es die Drehachsen der Umlaufräder. Die Umlaufräder entsprechen letztlich den Planetenräder in Planetengetrieben. Der Planetenradträger (Steg) wird bei Differentialgetrieben durch den Umlaufradträger gebildet. Eines der Kegelräder kann dabei als Sonnenrad aufgefasst werden. Das gegenüberliegende Kegelrad entspricht dann im übertragenen Sinne dem Hohlzahnrad bei typischen Planetengetrieben.

Da das Differentialgetriebe somit eine Sonderform des Planetengetriebes ist, lassen sich die Zusammenhänge der verschiedenen Drehzahlen auch durch die Grundgleichung für Umlaufgetriebe (Willis-Gleichung) beschreiben:

\begin{align}
&\boxed{ n_S = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) + n_H \cdot i_0} \\[5px]
\end{align}

Für klassische Planetengetriebe bezeichnet dabei n_H die Drehzahl des Hohlzahnrades, n_S die Drehzahl des Sonnenrades und n_T die Drehzahl des Planetenradträgers (Steg), sowie i₀ die sogenannte Standübersetzung, d.h. das Übersetzungsverhältnis bei festgehaltenem Planetenradträger.

Im Falle des Differentialgetriebes entspricht die Standübersetzung dem Übersetzungsverhältnis welches bei stillstehendem Umlaufradträger erhalten wird. Wird in diesem Zustand an einem der Räder gedreht (dem „Hohlzahnrad“), dann rotiert das gegenüberliegende Rad (das „Sonnenrad“) offensichtlich mit derselben Drehzahl, aber in umgekehrter Richtung. Die Standübersetzung des Differentials entspricht damit i₀=-1.

Wird die Standübersetzung eines Differentialgetriebes von i₀=-1 in die obere Grundgleichung eingesetzt, dann gelten folgende Zusammenhänge:

\begin{align}
& n_S = n_T \cdot \left(1-i_0 \right) + n_H \cdot i_0 ~~~\text{mit}~i_0=-1~~~~\text{folgt:}  \\[5px]
&n_S = n_T \cdot \left(1-(-1) \right) + n_H \cdot (-1) \\[5px]
&n_S = n_T \cdot 2 – n_H \\[5px]
&n_H + n_S = 2 \cdot n_T \\[5px]
\end{align}

Da es bei Differentialgetrieben im eigentlichen Sinne kein klassisches Sonnenrad bzw. Hohlrad gibt, werden die entsprechenden Drehzahlen der Räder mit n₁ (=n_H) bzw. n₂ (=n_S) bezeichnet. Die Drehzahl des Umlaufradträgers kann jedoch weiterhin mit n_T bezeichnet werden. Somit gilt dann folgender Zusammenhang zwischen den Drehzahlen der Räder n₁ bzw. n₂ und der Drehzahl des Umlaufradträgers n_T:

\begin{align}
&\boxed{n_1 + n_2 = 2 \cdot n_T} \\[5px]
\end{align}

Nun wird auch auf mathematischem Wege ersichtlich, dass bei konstanter Motordrehzahl bzw. konstanter Drehzahl des Umlaufradträgers, eine Verringerung der Drehzahl an einem der Räder eine im selben Maße vergrößerte Drehzahl am gegenüberliegenden Rad zur Folge hat. So ist die rechte Seite der Gleichung bei konstanter Drehzahl des Umlaufradträgers stets konstant. Dies gilt dann folglich auch für die Summe der Räderdrehzahlen. Oder anders ausgedrückt: Die Drehzahl des Umlaufradträgers entspricht dem Mittelwert der Räderdrehzahlen:

\begin{align}
&\boxed{n_T = \frac{n_1 + n_2}{2}} \\[5px]
\end{align}

Differentialsperre

Der große Vorteil von Differentialgetrieben besteht also bei Kurvenfahrten durch Aufteilen der Drehzahlen bzw. Leistungen auf die jeweiligen Räder entsprechend ihrem Bedarf. In manchen Situationen kann dies jedoch auch ein Nachteil sein. So kann es bspw. beim Anfahren auf glattem oder rutschigem Untergrund dazu kommen, dass eines der Räder die Haftung verliert und durchrutscht. Das andere Rad bleibt dann auf dem Boden stehen. Das Differentialgetriebe gibt nun die gesamte Leistung auf das durchdrehende Rad, während am stehenden Rad keine Leistung ankommt. Das rotierende Rad dreht nun mit doppelter Geschwindigkeit, während das andere Rad weiterhin stillsteht. Man erhält auf diese Weise kaum eine vorwärts treibende Kraft und wenn dann nur einseitig durch die Gleitreibung des durchdrehenden Rades.

Ein solcher Fall, dass eines der Räder eine geringere Haftung hat als das andere und damit versucht ist durchzudrehen, tritt vor allem bei Geländerfahrten auf, bei denen die Räder je nach Fahrzeuglage unterschiedlich stark belastet werden. Aber auch bei schnellen Kurvenfahrten, bei denen das innere Rad durch die nach außen wirkenden Fliehkräfte stark entlastet wird, steigt die Gefahr des durchdrehenden Reifens und die einseitige Leistungsverteilung droht. Kippt das Fahrzeug im schlimmsten Fall etwas nach außen und das Innenrad verliert die Haftung, dann erhält dieses Rad die volle Leistung und rotiert mit doppelter Geschwindigkeit in der Luft. Das gegenüber liegende Rad, welches die Haftung zum Boden noch hat erhält jedoch keine Leistung und somit ist kein Antrieb des Autos mehr möglich.

In den oben genannten Fällen ist ein Differentialgetriebe also hinderlich. Aus diesem Grund werden vor allem Geländefahrzeuge mit sogenannten Differentialsperren ausgerüstet. Eine solche Differentialsperre verbindet dann die beiden Antriebswellen der Räder wieder starr miteinander und setzt damit das Differential außer Kraft. Jedoch kommt es aber dann zu der bereits eingangs erläuterten Verdrehung der Antriebswelle bei Kurvenfahrten. Differentialsperren sollten also nur in Ausnahmen aktiv werden.

Aufbau und Funktion

Die untere Abbildung zeigt schematisch den Aufbau einer 3-Gang-Nabenschaltung wie sie in Fahrrädern wiederzufinden ist.

Herzstück der Drei-Gang-Nabenschaltung bildet das Planetengetriebe. Dabei ist das Sonnenrad fest auf der Nabenachse montiert, welche ihrerseits drehfest mit dem Fahrradrahmen verbunden ist. Die Nabenachse bzw. das Sonnenrad führt während der Fahrt somit keinerlei Bewegung aus. Um das Sonnenrad laufen die Planetenräder, die ihrerseits auf dem Planetenradträger (Steg) befestigt sind und vom Hohlzahnrad umschlossen werden.

Durch die Nabenachse ist die Schaltstange geführt, die an ihrem Ende mit einem Schaltbolzen versehen ist. Der Schaltbolzen wird in einem Langloch geführt und kann somit je nach Gangwahl eine axial verschiebbare Schiebekupplung per Federkraft in verschiedene Positionen bringen. Die Stellung der Schiebekupplung wird über einen Schaltzug (meist ein Drahtseil) gesteuert, an dessen Ende der Schalthebel sitzt.

Über die Fahrradkette wird das Ritzel angetrieben, welches auf dem Mitnehmer sitzt und drehfest mit diesem verbunden ist. Der Mitnehmer nimmt bei seiner Rotation die axial verschiebbare Schiebekupplung formschlüssig mit.

Zur Drehmomentübertragung ist die Schiebekupplung am Umfang mit Keilen versehen („Verzahnung“), die formschlüssig in den Mitnehmer greifen. Je nach Gangwahl wird die Rotation der Schiebekupplung – ebenfalls über Keile – entweder auf das Hohlzahnrad (1. und 2. Gang) oder auf den Steg (3. Gang) übertragen. Auf die verschiedenen Gänge wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.

Schaltvorgänge

In diesem Abschnitt sollen die Schaltvorgänge der 3-Gang-Nabenschaltung näher erläutert werden. In allen Gängen treibt zunächst das Ritzel den Mitnehmer an, welcher das Drehmoment wiederum auf die Schiebekupplung überträgt. Je nach Stellung der Schiebekupplung ergeben sich die insgesamt drei Gänge.

1. Gang

Im ersten und zweiten Gang greift die Schiebekupplung in das Hohlzahnrad des Planetengetriebes. Im ersten Gang treibt dieses Hohlzahnrad die Planetenräder um das feststehende Sonnenrad. Hierdurch wird der Steg angetrieben auf dem die Planetenräder sitzen. Die am Steg angebrachten Sperrklinken greifen dabei in die Aussparungen der Nabenhülse und treiben dieses somit an. Die Nabenhülse dreht sich und mit ihr das daran befestigte Rad.

Der Steg rotiert im ersten Gang mit einer geringeren Drehzahl im Vergleich zum Hohlzahnrad, wobei sich das Hohlzahnrad mit der Frequenz des Ritzels dreht. Man erhält damit eine Übersetzung ins Langsame. Das Drehmoment wird im selben Maße wie sich die Drehzahl verringert gesteigert. Man erhält somit eine relativ große Kraft auf das Hinterrad wie es für einen ersten Gang üblich ist.

2. Gang

Für das Schalten in den zweiten Gang wird der Schalthebel „gelockert“ und der Schaltzug verlängert sich. Sowohl die Schiebekupplung als auch die Überholkupplung (Freilauf) bewegen sich durch die Kraft der Feder schließlich nach vorne. Hierdurch rücken auch die Sperrklinken der Überholkupplung aus und greifen nun in die Aussparungen des Kupplungsgehäuses (im ersten Gang sind die Sperrklinken im Kupplungsgehäuse eingefahren und somit nicht aktiv). Das Kupplungsgehäuse ist direkt in die Nabenhülse eingeschraubt und somit fest mit diesem verbunden.

Das vom Ritzel erzeugte Drehmoment wird somit direkt über Mitnehmer, Schiebekupplung und Kupplungsgehäuse an die Nabenhülse weitergebenen. Es handelt sich praktisch um eine durchgehend „starre“ Verbindung aller kraftübertragender Komponenten. Die Drehzahl bzw. das Drehmoment am Ritzel entspricht somit direkt der Drehzahl bzw. dem Drehmoment am Hinterrad. Das Planetengetriebe wird somit umgangen und man erhält eine 1:1 Übersetzung (Direktantrieb).

Anmerkung: Zwar wird im zweiten Gang über das Hohlzahnrad auch gleichzeitig der Planetenradträger angetrieben, jedoch ermöglicht die entsprechende Überholkupplung, dass die schneller rotierende Nabenhülse den Steg in den Freilauf versetzt und somit gar nicht an der Kraftübertragung aktiv teilnimmt (siehe hierzu Abschnitt Überholkupplung).

3. Gang

Beim Schalten in den dritten Gang wird der Schaltzug durch Betätigen des Schalthebels nochmals „gelockert“. Da jedoch die Überholkupplung des Hohlrades bereits am Anschlag ist, kann dieses diesmal nicht weiter ausrücken. Hierdurch schiebt sich lediglich die Schiebekupplung weiter nach vorne und rückt vom Hohlzahnrad nun in den Steg.

Somit wird im dritten Gang nun direkt der Steg vom Ritzel angetrieben und treibt die Planetenräder um das feststehende Sonnenrad. Dementsprechend setzt sich nun das Hohlzahnrad in Bewegung wobei dieses mit einer höheren Drehzahl als der Planetenradträger rotiert. Man erhält schließlich eine Übersetzung ins Schnelle wie es für einen höheren Gang üblich ist.

Die größer Drehzahl des Hohlzahnrades wird über die mit Stiften angebrachte Überholkupplung auf das Kupplungsgehäuse und dann auf die Nabenhülse übertragen. Wie bereits im zweiten Gang so wird auch im dritten Gang der langsamer als das Hohlzahnrad rotierende Steg über dessen Überholkupplung wieder in den Freilauf versetzt.

Der Dritte Gang verhält sich somit übersetzungstechnisch gerade umgekehrt wie der erste Gang. Im ersten Gang wird über das Hohlzahnrad der Steg angetrieben und im dritten Gang treibt der Steg das Hohlzahnrad an. Somit sind die Übersetzungsverhältnisse gerade reziprok zueinander.

Überholkupplung

Die im vorangegnangenen Abschnitt erwähnten Sperrklinken gehören zur sogenannten Überholkupplung. Diese Überholkupplung hat die Aufgabe die Drehmomentübertragung in eine Drehrichtung zu ermöglichen und in die entgegengesetzte Richtung zu sperren, d.h. keine Drehmomentübertragung zuzulassen.

Die Sperrklinken sind lediglich in die Aussparungen der Überholkupplung eingelegt und mit einem Drahtring gesichert. Dieser Drahtring dient zusätzlich als eine Art „Feder“, die versucht ist die Sperrklinken aufzurichten. Auf diese Weise wird erreicht, dass die Sperrklinken sofort in die vorgesehenen „Rampen“ des Kupplungsgehäuses einrasten.

Aufgrund der „Rampenform“ kann die Nabenhülse auch dann rotieren, wenn das Ritzel (Sonnenradachse) und somit der gesamte Antriebsstrang stillsteht. Dies hat den Vorteil, dass die Pedale während der Fahrt nicht permanent mitrotieren müssen sondern bspw. bei Bergabfahren stillstehen können. Im Falle eines solchen Freilaufs rutschen die Sperrklinken dann einfach über die „Rampen“ des Sägezahn-Profils. Dies erklärt auch das typische „Ratschen“ bei stillstehenden Pedalen und rotierenden Rädern. Wird die Rotationsgeschwindigkeit der Überholkupplung wieder erhöht, dann rastet die Sperrvorrichtung beim Angleichen der Rotationsgeschwindigkeiten über den Federmechanismus wieder in das Kupplungsgehäuse ein.

Im Freilauf kann das Kupplungsgehäuse die Sperrklinken sozusagen „überholen“ aber nicht umgekehrt, was dieser Vorrichtung den Namen Überholkupplung verleiht (auch Sperrvorrichtung, Freilauf, Freilaufsperre oder Freilaufgesperre genannt).

Insgesamt sind in der Drei-Gang-Nabenschaltung zwei Überholkupplungen verbaut. Eine weitere findet ist direkt am Steg angebracht. Diese ist deshalb erforderlich, da bei Planetengetriebe der Steg grundsätzlich langsamer rotiert als das Hohlzahnrad. Gerade im zweiten und dritten Gang erfolgt der Abtrieb nämlich über das Hohlzahnrad und dieses muss schneller rotieren können als der Steg. Für diese Fälle muss also der Steg in einen Freilauf gesetzt werden können (aus Gründen der Übersichtlichkeit ist der Steg in der unteren Animation nicht dargestellt sondern lediglich dessen Sperrklinken und der Drahtring).

Überlagerung von Bewegungen

Die Gesetzmäßigkeiten der Drehzahlwandlung von Umlaufgetrieben sind im Allgemeinen nicht mehr so einfach zu durchschauen wie die von Standgetrieben. Dies liegt daran, dass es sich bei der Bewegung der umlaufenden Planetenräder letztlich um eine Überlagerung dreier Bewegungen handelt. Die Bewegung besteht nicht mehr nur aus einer einfachen Rotationsbewegung um die eigene Achse sondern die Achse selbst vollzieht um die Sonnenradachse eine zusätzlich Kreisbewegung, während das Planetenrad durch die Rotation des Sonnenrades ebenfalls eine zusätzliche Kreisbewegung ausführt.

Somit lässt sich die Bewegung eines umlaufenden Planetenrades auf die Überlagerung dreier getrennt zu betrachtender Bewegungen zurückführen:

1. Rotation des Steges um das Sonnenrad; bei gleichzeitiger
2. Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt; und gleichzeitiger
3. Rotation des Sonnenrades.

1	2	3
Bewegung des Steges	Bewegung des Planetenrades	Gesamtbewegung

Die Bewegungen sind jedoch nicht unabhängig voneinander, da das Planetenrad auf dem Sonnenrad abwälzt. Somit bestimmt das Durchmesserverhältnis von Sonnenrad und Planetenrad darüber wie oft das Planetenrad um die eigene Achse rotiert während es sich relativ zum Sonnenrad einmal um dieses bewegt.

Um die Gesetzmäßigkeiten der Drehzahlen zwischen Sonnenrad, Planetenradträger (Steg) und Planetenrad herzuleiten werden die oben aufgeführten Bewegungen zunächst getrennt voneinander betrachtet und anschließend zusammengesetzt (Superposition). Die Zahnräder werden der besseren Vorstellung halber als (Wälz-)Zylinder angenommen.

Rotation des Steges um das Sonnenrad

Steht das Sonnenrad still und das Planetenrad sitzt drehfest auf dem Planetenradträger, dann entspricht der überstrichene Winkel des Planetenradträgers φ_T der Winkelstellung des Planetenrades φ_P1.

\begin{align}
\label{P1}
&\underline{\varphi_{P1} = \varphi_T}  \\[5px]
\end{align}

Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt

Tatsächlich wird sich das Planetenrad bei einer drehbaren Lagerung auf dem Planetenradträger jedoch auf dem Sonnenrad abwälzen und somit eine Rotationsbewegung um die eigene Achse ausführen. Das Planetenrad wird sich also um einen Winkel φ_P2 zusätzlich weiterdrehen.

Die auf dem Sonnenrad zurückgelegte Bogenstrecke des Planetenradträgers b_T entspricht bei einer reinen abwälzenden Bewegung derjenigen Bogenstrecke um die sich das Planetenrad an dessen Umfang weiterbewegt hat (b_P2). Über das Bogenmaß lässt sich der zusätzliche Winkel φ_P2 wie folgt bestimmen:

\begin{align}
&b_{P2} = b_T \\[5px]
&\tfrac{d_P}{2} \cdot \varphi_{P2} = \tfrac{d_S}{2} \cdot \varphi_{T}  \\[5px]
\label{P2}
&\underline{\varphi_{P2} = \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{T}}  \\[5px]
\end{align}

Rotation des Sonnenrades

In der vorhandenen Position wird der Planetenradträger nun festgehalten und das Sonnenrad um einen zusätzlichen Winkel φ_S im Uhrzeigersinn bewegt. In diesem Fall wird sich das Planetenrad um einen Winkel φ_P3 entgegen des Uhrzeigersinns zurückdrehen. Analog zum Fall zuvor gilt: Die am Umfang des Sonnenrad vollzogene Bogenstrecke b_S entspricht bei einer reinen abwälzenden Bewegung derjenigen Bogenstrecke um die sich das Planetenrad an dessen Umfang in entgegengesetzte Richtung bewegt (b_P3):

\begin{align}
&b_{P3} = – b_S \\[5px]
&\tfrac{d_P}{2} \cdot \varphi_{P3} = – \tfrac{d_S}{2} \cdot \varphi_{S}  \\[5px]
\label{P3}
&\underline{\varphi_{P3} = – \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{S}}  \\[5px]
\end{align}

Das negative Vorzeichen gibt dabei an, dass die Bewegung des Planetenrades in entgegengesetzte Richtung im Vergleich zur Bewegung des Sonnenrades erfolgt.

Superposition der Bewegungen

Die bisher noch getrennt voneinander betrachteten Bewegungen des Planetenrades nach den Gleichungen (\ref{P1}), (\ref{P2}) und (\ref{P3}) können nun zur Gesamtbewegung überlagert werden:

\begin{align}
&\varphi_P = \varphi_{P1} +\varphi_{P2} + \varphi_{P3}\\[5px]
\label{P}
&\underline{\varphi_{P} = \cdot \varphi_{T} + \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{T}     –    \frac{d_S}{d_P} \cdot \varphi_{S}   }  \\[5px]
\end{align}

Die in dieser Gleichung enthaltenen Winkelstellungen φ ergeben sich über die jeweilige Winkelgeschwindigkeit ω und die verstrichene Zeit t (φ=ω⋅t), wobei die Winkelgeschwindigkeit in direktem Zusammenhang zur entsprechenden Drehzahl steht (ω=2π⋅n):

\begin{align}
&\varphi = \omega \cdot t  ~~~ \text{mit} ~~~ \omega = 2 \pi \cdot n ~~~\text{folgt}:  \\[5px]
&\underline{\varphi = 2 \pi \cdot n  \cdot t}  \\[5px]
\end{align}

Wird dieser Zusammenhang nun in Gleichung (\ref{P}) eingesetzt, dann ergibt sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen der Drehzahl des Planetenrades n_P und den Drehzahlen des Sonnenrades n_S bzw. des Planetenradträgers n_T:

\begin{align}
&2 \pi \cdot n_P  \cdot t = 2 \pi \cdot n_T  \cdot t + \frac{d_S}{d_P} \cdot 2 \pi \cdot n_T  \cdot t – \frac{d_S}{d_P} \cdot 2 \pi \cdot n_S  \cdot t \\[5px]
&n_P =n_T + \frac{d_S}{d_P} \cdot n_T – \frac{d_S}{d_P} \cdot n_S ~~~~~~~~\text{|} \cdot d_P \\[5px]
&n_P \cdot d_P =n_T \cdot d_P + d_S \cdot n_T – d_S \cdot n_S  \\[5px]
\label{g}
&\boxed{n_P \cdot d_P = n_T \cdot \left(d_P + d_S \right) – n_S \cdot d_S} \\[5px]
\end{align}

Da bei Zahnrädern die Wälzkreisdurchmesser d direkt proportional zu den entsprechenden Zähnezahlen z sind, kann obige Gleichung auch über die jeweilige Anzahl der Zähne ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{pln}
&\boxed{n_P \cdot z_P = n_T \cdot \left(z_P + z_S \right) – n_S \cdot z_S} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung wird als Grundgleichung der Umlaufgetriebe bezeichnet (auch Willis-Gleichung genannt). Anwendung findet die Grundgleichung unter anderem bei klassischen Planetengetriebe, um je nach Betriebsart die unterschiedlichen Übersetzungsverhältnisse zu ermitteln (siehe Artikel Willis-Gleichung angewendet auf Plantengetriebe).

Standgetriebe

Sogenannte Standgetriebe zeichnen sich dadurch aus, dass die darin befindlichen Zahnräder ortsfeste Drehachsen aufweisen. Die untere Abbildung zeigt hierzu ein 2-stufiges Standgetriebe mit drei Zahnrädern. Ein Antriebsrad treibt dabei über ein Zwischenrad ein Abtriebsrad an.

Das Übersetzungsverhältnis i₁ bzw. i₂ der jeweiligen Getriebestufen ergibt sich über das Verhältnis der entsprechenden Zähnezahlen am Zwischenzahnrad z_Zw und Antriebszahnrad z_An bzw. Abtriebszahnrad z_Ab.

\begin{align}
&\text{1. Getriebestufe:} ~~~i_1 = \frac{z_{Zw}}{z_{An}}  \\[5px]
&\text{2. Getriebestufe:} ~~~i_2 = \frac{z_{Ab}}{z_{Zw}} \\[5px]
\end{align}

Das Gesamtübersetzungsverhältnis i_ges des 2-stufigen Standgetriebes (deshalb auch als Standübersetzung bezeichnet) ergibt sich schließlich über die Multiplikation der einzelnen Übersetzungsstufen i₁ und i₂:

\begin{align}
&i_{ges} =i_1 \cdot i_2 =\frac{z_{Zw}}{z_{An}} \cdot \frac{z_{Ab}}{z_{Zw}}  \\[5px]
\label{i}
&\boxed{i_{ges} = \frac{z_{Ab}}{z_{An}}} ~~~\text{Standübersetzung} \\[5px]
\end{align}

Für das Gesamtübersetzungsverhältnis sind offensichtlich nur die Zähnezahl des Abtriebsrades und die des Antriebsrades relevant!

Vom Standgetriebe zum Planetengetriebe

Hohlrad als Abtriebsrad

Anstelle des außenverzahnten Abtriebsrades kann prinzipiell auch ein Hohlrad mit Innenverzahnung gewählt werden. Solange die Zähnezahl dabei nicht geändert wird, hat dies gemäß Gleichung (\ref{i}) auch keine Auswirkungen auf das Gesamtübersetzungsverhältnis. Lediglich die Drehrichtung des Abtriebsrades wird sich hierdurch ändern.

Im Allgemeinen verlaufen die Drehachsen der Antriebswelle und der Abtriebswelle nicht in einer Flucht, sondern sind parallel zueinander versetzt angeordnet, jedoch lässt sich durch geschickte Wahl des Durchmessers und damit der Zähnezahl des Zwischenzahnrades erreichen, dass sich die Antriebs- und Abtriebswelle auf einer gemeinsamen Drehachse befinden.

Beachte, dass die Zähnezahl des Zwischenrades gemäß Gleichung (\ref{i}) ohnehin keinerlei Auswirkungen auf das Gesamtübersetzungsverhältnis hat und damit im Prinzip frei gewählt werden kann!

Sollen An- und Abtriebswelle koaxial sitzen („koaxial“ = „auf einer gemeinsamen Achse liegend“), dann muss der Teilkreisdurchmesser des Zwischenzahnrades gerade der Differenz der Teilkreisradien von Ab- und Antriebsrad entsprechen. Da die Zähnezahlen direkt zum entsprechenden Teilkreisdurchmesser proportional sind, kann anstelle der Teilkreisdurchmesser die jeweilige Zähnezahl eingesetzt werden. Demzufolge muss die Zähnezahl des Zwischenrades gerade der halben Differenz zwischen Abtriebszähnezahl und Antriebszähnezahl entsprechen.

\begin{align}
&d_{Zw} = r_{Ab}-r_{An}=\frac{d_{Ab}}{2}-\frac{d_{An}}{2}=\frac{d_{Ab}-d_{An}}{2} \\[5px]
&\boxed{z_{Zw} =\frac{z_{Ab}-z_{An}}{2}} \\[5px]
\end{align}

Einfügen von weiteren Zwischenrädern

Ein Nachteil des vorliegenden Getriebes besteht noch darin, dass die Antriebswelle (und auch die Abtriebswelle) durch die einseitige Flankenkraft am Zwischenrad auf Biegung beansprucht wird. In der unteren Abbildung bezeichnet F die Reaktionskraft des Zwischenrades auf die Flanke des Antriebsrades.

Eine Biegebeanspruchung lässt sich jedoch vermeiden, wenn mehrere Zwischenräder symmetrisch angeordnet werden, sodass sich die Flankenkräfte in ihrer biegenden Wirkung gegenseitig kompensieren. Für den dann erhaltenen Fall mit drei Zwischenräder werden die An- und Abtriebswelle nun nicht mehr auf Biegung beansprucht sondern nur auf Torsion.

Montage der Zwischenräder auf einer Trägerplatte

Das vorliegende Getriebe bildet im Prinzip bereits die Vorstufe zum Planetengetriebe. Letzter Schritt besteht nur noch darin, dass die Zwischenräder auf eine Trägerplatte montiert werden. Die Trägerplatte ist ihrerseits mit einer Welle verbunden und wird koaxial durch die als Hohlwelle ausgeführte Abtriebswelle geführt.

Mit dem Einfügen der Trägerplatte ist das Planetengetriebe im Prinzip vollständig. Es weist in diesem Betriebsmodus ein Standübersetzungsverhältnis nach Gleichung (\ref{i}) auf. Der Funktion nach unterscheidet sich das Planetengetriebe in diesem Betriebszustand noch nicht von dem eingangs beschriebenen Standgetriebe.

Dies ändert sich jedoch, wenn das Planetengetriebe auf andere Weise genutzt wird. Denn nicht immer muss an der vorgenannten „Abtriebswelle“ der Abtrieb erfolgen. Es ist nun auch möglich die Trägerplatte als Abtriebswelle zu nutzen, während die Hohlwelle des innenverzahnten Zahnrades fest arretiert wird. In diesem Fall umkreisen nun die Zwischenräder das zentral gelegene Antriebszahnrad wie Planeten eine Sonne; deshalb auch die Bezeichnung Planetengetriebe. Das Übersetzungsverhältnis des Planetengetriebes ist in diesem Zustand nun ein anderes im Vergleich zum Standgetriebe!

Die bisher als „Zwischenräder“ bezeichneten Zahnräder werden auch ganz allgemein Planetenräder oder Umlaufräder genannt und das zentral gelegene außenverzahnte Rad als Sonnenrad bezeichnet. Der Zwischenradträger wird schließlich Planetenradträger genannt (auch als Planetenträger oder Steg bezeichnet) und das innenverzahnte Zahnrad ganz allgemein als Hohlrad bezeichnet.

Planetengetriebe gehören zur Gruppe der Umlaufrädergetriebe (Umlaufgetriebe ), die sich im Gegensatz zu Standgetrieben dadurch auszeichnen, dass diese umlaufende Achsen besitzen (Achsen der Planetenräder).

Auch an dieser Stelle zeigt sich die Notwendigkeit der symmetrischen Anordnung der Planetenträger, da es bei hohen Umlaufgeschwindigkeiten sonst zu enormen Unwuchtkräften kommen würde.

Es ist mit einem Planetengetriebe nicht nur möglich, das Hohlrad festzuhalten und den Abtrieb über den Planetenradträger erfolgen zu lassen. Es sind viele weitere Varianten möglich, bei denen sich jeweils ein anderes Übersetzungsverhältnis ergibt (siehe nächster Abschnitt „Übersetzungsmöglichkeiten“). Dies macht das Planetengetriebe besonders geeignet für Schaltgetriebe wie bspw. in Nabenschaltungen von Fahrrädern oder in Automatikgetrieben von Automobilen.

Vorteil eines Planetengetriebes gegenüber herkömmlichen Standgetrieben ist die kompakte Bauweise und der Vorteil, dass die Wellen alle koaxial liegen. Für sehr große Übersetzungsverhältnisse ist es auch möglich mehrere Planetengetriebe hintereinander zu schalten.

Übersetzungsmöglichkeiten

Mit einem Planetengetriebe lassen sich unterschiedliche Übersetzungsverhältnisse realisieren, je nachdem an welcher Welle der Antrieb bzw. der Abtrieb erfolgt. Auf die genaueren Zusammenhänge wird in diesem Abschnitt eingegangen. Die verschiedenen Übersetzungsmöglichkeiten sollen am Beispiel des unten abgebildeten Planetengetriebes erläutert werden. Das Sonnenrad besitzt dabei z_S= 12 Zähne, die Planetenräder z_P = 18 Zähne und das Hohlrad z_H = 48 Zähne.

Auf die Herleitung der im folgenden gezeigten Übersetzungsverhältnisse selbst wird aufgrund der Komplexität in einem gesonderten Artikel näher eingegangen.

Feststehendes Hohlrad

Das größte Übersetzungsverhältnis von i=5 erzielt man in diesem Fall wenn der Antrieb bei feststehendem Hohlrad über das Sonnenrad erfolgt und der Abtrieb über den Planetenträger (Steg) geschieht. Folglich erzielt man das geringste Übersetzungsverhältnis von i=0,2 (=1/5) wenn An- und Abtrieb bei weiterhin feststehendem Hohlrad gerade vertauscht wird. Der Drehsinn von An- und Abtriebswelle wird in beiden Fällen jeweils beibehalten.

Feststehender Planetenträger (Steg)

Zweitgrößtes Übersetzungsverhältnis von I=4 wird im vorliegenden Fall erzielt wenn der Antrieb zwar weiterhin über das Sonnenrad erfolgt, jedoch diesmal der Planetenträger festgehalten wird und der Abtrieb damit über das Hohlrad geschieht. Folglich erhält man das zweitniedrigste Übersetzungsverhältnis wiederum durch ein Vertauschen von An- und Abtrieb und liegt dann bei i=0,25 (=1/4). Der Drehsinn zwischen An- und Abtriebswelle ist in beiden Fälle jedoch unterschiedlich! Mathematisch wird das Übersetzungsverhältnis in einem solchen Fall dann auch negativ angegeben (siehe Tabelle unten). Auf diese Weise lässt sich dann ein Rückwärtsgang erzeugen.

Feststehendes Sonnenrad

Eine weitere Möglichkeit der Übersetzung besteht im Antrieb über das Hohlrad bei feststehendem Sonnenrad und Abtrieb über den Planetenträger. Das Übersetzungsverhältnis beträgt bei gleichbleibendem Drehsinn in diesem Fall i=1,25 und bei Vertauschen von An- und Abtrieb bei i=0,8 (=1/1,25).

Direktantrieb

Gerade bei Schaltgetrieben darf an dieser Stelle nicht vergessen werden, dass auch noch ein sogenannter Direktantrieb möglich ist. Dabei werden alle Komponenten des Planetengetriebes fest miteinander verbunden. Das Übersetzungsverhältnis beträgt in diesem Fall i=1. Ein solcher Direktantrieb kommt bspw. bei Drei-Gang-Nabenschaltungen als „2. Gang“ zum Einsatz.

Zusammenfassung

In der unteren Tabelle sind die verschiedenen Übersetzungsmöglichkeiten nochmals zusammengefasst. In runden Klammern sind die Übersetzungsverhältnisse bei entsprechend vertauschtem An- und Abtrieb angegeben (reziprokes Übersetzungsverhältnis). Negative Vorzeichen machen dabei an, dass sich der Drehsinn ändert.

Das Schalten von verschiedenen Übersetzungsverhältnissen übernehmen in Schaltgetrieben Kupplungen, die je nach gewünschtem Gang ein Feststellen bestimmter Komponenten ermöglichen. Aus konstruktiven Gründen können mit einem einzigen Planetengetriebe (auch Planetensatz genannt) jedoch nicht alle in der Tabelle gezeigten Übersetzungsvarianten in einem Schaltgetriebe auf einmal realisiert werden. Die Übersetzungsmöglichkeiten können jedoch noch enorm gesteigert werden wenn mehrere einzelne Planetensätze kombiniert werden. In der Praxis üblich sind bis zu drei Planetensätze in einem Getriebe.