Einleitung

Die freie adiabate Expansion eines idealen Gases in einem Vakuum zeigte, dass sich dieser Prozess nicht mit den Isentropengleichungen beschreiben lässt, obwohl diese Gleichungen für ein adiabates System hergleitet wurden. Vielmehr handelt es sich bei dieser Expansion um einen isothermen Prozess, bei dem die Temperatur konstant bleibt. Es stellt sich deshalb die Frage, welche Bedingung einem adiabaten System zugrunde liegen muss, damit die darin ablaufenden thermodynamischen Prozesse tatsächlich mit den isentropen Zustandsgleichungen beschrieben werden können.

Umkehrbarkeit thermodynamischer Prozesse

Hierzu betrachten wir ausgewählte thermodynamische Prozesse etwas genauer. Dabei wird man feststellen, dass all diese Prozesse aus energetischer Sicht sowohl in die eine als auch prinzipiell in die andere Richtung ablaufen können. So wurde im Artikel Volumenänderungsarbeit jener thermodynamische Vorgang betrachtet, bei dem ein Gas in einem Zylinder unter Wärmezufuhr expandiert und über eine am Kolben befindliche Zahnstange mit Zahnrad schließlich ein Gewicht anhebt. Aus energetischer Sicht lässt sich dieser Prozess prinzipiell umkehren.

Hierzu kann man sich den ursprünglichen Prozess als mit einer Videokamera aufgenommen vorstellen, die anschließend rückwärts abgespielt wird. In einem solchen umgekehrten Fall senkt sich das Gewicht unter Wärmeabfuhr (Kühlung) wieder. Dabei wird nicht mehr Arbeit vom Gas am Gewicht verrichtet, sondern es wird umgekehrt Arbeit am Gas vom Gewicht verrichtet – das Gas wird sozusagen durch das Gewicht komprimiert. Gleichzeitig sinkt durch die Kühlung die Temperatur und mit ihr die innere Energie. Die Energieflüsse kehren sich bei einem solchen Umkehrvorgang also gerade um, ohne dass man dabei aus der Erfahrung heraus auf einen Widerspruch stoßen würde.

Isochorer Prozess

Auch bei einem isochoren Aufheizprozess einer Gasflasche, lässt sich ein solcher Umkehrprozess finden. Dabei findet aufgrund der zugeführten Wärme eine Erhöhung innere Energie statt, d.h. die Temperatur steigt an. Wird dieser Vorgang energetisch umgekehrt betrachtet, so erhielte man einen isochoren Abkühlprozess. In einem solchen Umkehrfall würde sich die innere Energie durch die abgeführte Wärme erniedrigen und sich die Temperatur folglich erniedrigen.

Isobarer Prozess

Auch der im Artikel zum isobaren Prozess erläuterte Prozess, bei dem unter Wärmezufuhr ein Gewicht angehoben wird, lässt sich energetisch umkehren. Dabei verrichtet das Gas zunächst unter Zufuhr von Wärme Arbeit, während sich die innere Energie erhöht und die Temperatur folglich ansteigt. Im umgekehrten Fall erhielte man einen isobaren Abkühlprozess, bei dem das Gas unter Zufuhr von Arbeit komprimiert wird, während gleichzeitig Wärme abgeführt wird. Insgesamt verringert sich dabei die innere Energie und somit auch die Temperatur wieder.

Isothermer Prozess

Auch die im Artikel zum isothermen Prozess erläuterte Kompression der Luft in einer Luftpumpe zeigt eine solche energetische Umkehrbarkeit. Wird das Gas in einer Luftpumpe bei verschlossenem Ventil sehr langsam komprimiert, so erhält man durch die gleichzeitig stattfindende Wärmeabfuhr auf die Umgebung eine (nahezu) gleichbleibende Temperatur. Umgekehrt kann das Gas aus diesem komprimierten Zustand auch wieder isotherm expandieren. Hierzu muss die Zustandsänderung wieder sehr langsam erfolgen, sodass die Umgebung dem expandierenden Gas ausreichend Wärme zufuhren kann, um eine Temperaturverringerung während der Expansion zu verhindern.

Isentroper Prozess

Ebenfalls kann die im Artikel zum isentropen Prozess vorgestellte schnelle Kompression der Luft in einer Luftpumpe aus energetischer Sicht umgekehrt werden. Dabei wird ein Gas zunächst unter Aufwendung von Arbeit rasch komprimiert, was zu einer entsprechenden Erhöhung der inneren Energie führt und die Temperatur ansteigen lässt. Im umgekehrten Fall würde dies bedeuten, dass das Gas ausgehend des komprimierten Zustandes sehr rasch wieder expandiert. Bei diesem isentropen Umkehrprozess wird dann Arbeit auf Kosten der inneren Energie nach außen abgegeben und die Temperatur sinkt folglich.

Reversibilität

Die in den Abschnitten zuvor betrachteten Prozesse machen deutlich, dass diese aus energetischer Sicht alle umkehrbar sind. In der Fachsprache bezeichnet man solche (energetisch) umkehrbaren Vorgänge als reversible Prozesse (engl. reverse = umkehren). Die Reversibilität von Vorgängen setzt unter anderem die Annahme voraus, dass die Zustandsänderungen allesamt reibungsfrei ablaufen bzw. es sich nicht um dissipative Prozesse handelt (z.B. wenn ein Kolben in einem Zylinder gleitet).

In der Thermodynamik sind reversible Prozesse Vorgänge, die aus energetischer Sicht umkehrbar sind, ohne dabei die Alltagserfahrung zu verletzen!

Darüber hinaus muss es sich bei den Gaszuständen stets um Gleichgewichtszustände handeln, sodass es nicht zu einem Temperaturunterschied innerhalb des Gases kommt. Sowohl die Annahme der Reibungsfreiheit als auch die Annahme des stets vorhandenen Gleichgewichtszustandes ist natürlich nur idealisiert. Somit existieren reversible Prozesse auch nur in idealisierten Vorstellungen. Diese Idealbedingungen wurden bisher bei allen betrachteten Vorgängen angenommen.

Adiabate Expansion gegen ein Vakuum als nicht-umkehrbarer Prozess

Was die Reversibilität angeht, sieht die Situation bei der adiabaten Expansion gegen ein Vakuum jedoch anders aus. Dieser thermodynamische Prozess ist aus der Erfahrung heraus nicht umkehrbar. So expandierte das Gas bei gleichbleibender Temperatur ohne Zu- oder Abfuhr von Arbeit bzw. Wärme. Umgekehrt müsste dies bedeuten, dass das Gas wieder ohne Arbeits- und Wärmeumsatz von selbst komprimiert. Das Gas müsste sich praktisch ohne äußeres Zutun bei gleichbleibender Temperatur wieder von selbst wieder zusammenziehen.

Dies widerspricht jeglicher Erfahrung, denn um ein Gas in einem Zylinder zu komprimieren, muss von außen Arbeit aufgebracht werden – ein Gas wird dies nicht von selbst tun. Dabei würde die Temperatur dann auch nicht mehr konstant bleiben, sondern sie würde sich aufgrund der zugeführten Arbeit erhöhen. Eine adiabate Expansion gegen ein Vakuum ist aus energetischer Sicht folglich ein nicht-umkehrbarer Prozess. Solche nicht umkehrbaren Vorgänge werden auch als irreversible Prozesse bezeichnet.

Grundsätzlich gelten alle in den entsprechenden Artikeln vorgestellten Gleichungen – insbesondere die des isochoren, isobaren, isothermen und isentropen Prozesses – nur für reversible Prozesse, also für Zustandsänderungen die prinzipiell umkehrbar sind! Dies erklärt nun auch weshalb die Gleichungen des isentropen Prozesses im Expansionsbeispiel gegen das Vakuum nicht angewendet werden können. So handelt es sich zwar um ein adiabates System, der Prozess selbst ist aber irreversibel! Die Gleichungen des isentropen Prozesses dürfen nur verwendet werden, wenn es sich um eine reversible Zustandsänderung eines adiabaten Systems handelt. Somit lässt sich eine isentrope Zustandsänderung wie folgt definieren:

Als isentroper Prozess bezeichnet man eine reversible Zustandsänderung eines adiabaten Systems!

Die Umkehrbarkeit von Vorgängen wird in der Thermodynamik durch den Entropiebegriff beschrieben. Für die reversible Zustandsänderung des adiabaten Systems bleibt die Entropie konstant, wovon sich der Begriff isentroper Prozess ableiten lässt (=“ gleichbleibende Entropie“).

Im Artikel Freie Expansion eines idealen Gases im Vakuum wurde erläutert, dass die in einem (idealen) adiabaten System stattfindende freie Expansion eines Gases gegen ein Vakuum ein isothermer Prozess darstellt. Hierzu wurde ein gasgefüllter Zylinder betrachtet, der mit einem masselosen und reibungsfrei gleitenden Kolben verschlossen ist.

Die Temperatur des als ideal betrachteten Gases bleibt bei einer solchen adiabaten Expansion konstant. Dies gilt jedoch nur für die Annahme des Gases als ideales Gas. Führt man ein solches Experiment hingegen mit einem realen Gas durch, dann würde man in der Realität eine leichte Verringerung der Temperatur feststellen (auch wenn der Kolben weiterhin als masselos betrachtet werden kann). Zurückzuführen ist dieses Phänomen auf die zwischen den Gasteilchen wirkenden Anziehungskräfte, die bei idealen Gasen vernachlässigt werden.

Expandiert nämlich das reale Gas, so nehmen die Teilchenabstände aufgrund des größer werdenden Volumens zu. Das Gas muss somit entgegen den wirkenden Anziehungskräften zwischen den Gasteilchen sein Volumen vergrößern. Dies ist mit einem entsprechenden Energieaufwand verbunden ist. Diese Energie muss das Gas selbst aufbringen, und geht letztlich nur auf Kosten der Bewegungsenergie der Gasteilchen. Dies bedeutet folglich eine Abnahme der Temperatur. Dieses Phänomen tritt nicht nur bei der Expansion gegen ein Vakuum auf, sondern letztlich immer dann wenn ein reales Gas entgegen eines geringeren Drucks expandiert. Diesen Effekt der Temperaturabnahme wird auch Joule-Thomson-Effekt genannt.

Als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet man das Phänomen der zusätzlichen Abnahme der Temperatur bei realen Gasen, wenn diese gegen einen geringeren Druck expandieren!

Beachte, dass sich die Gastemperatur in vielen Fällen bei einer Expansion verringert. Dies hat im Allgemeinen nichts mit dem Joule-Thomson-Effekt zu tun. Der Joule-Thomson-Effekt beschreibt lediglich die stärkere Abnahme der Temperatur von realen Gasen als dies für ideale Gase der Fall wäre, da für reale Gase eben Bindungsenergien mitberücksichtigt werden müssen. Und wie bereits erläutert, sorgen diese bei einer Expansion für einen zusätzlichen Arbeitsaufwand, der zur Lasten der Bewegungsenergien geht, was die Temperatur zusätzlich verringert. Lediglich diese zusätzliche Temperaturabnahme wird als Joule-Thomson-Effekt bezeichnet.

Beachte zudem, dass auch bei der adiabatischen (!) Expansion des realen Gases entgegen ein Vakuum die innere Energie des realen Gases in der Summe konstant bleibt. Bei einem realen Gas setzt sich die innere Energie ja nicht nur aus der Bewegungsenergie der Teilchen zusammen wie bei einem idealen Gas. Zudem sind in einem realen Gas Bindungsenergien zu berücksichtigen. Es findet bei realen Gasen lediglich eine „interne“ Umverteilung der inneren Energien statt, nämlich zu Lasten der Bewegungsenergie und zu Gunsten der Bindungsenergien. Bei dem Arbeitsumsatz, den das Gas zur Vergrößerung seines Teilchenabstandes aufwenden muss, handelt es sich nicht um einen Arbeitsumsatz, der über die Systemgrenze hinweg erfolgt!

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik bilanziert grundsätzlich nur Arbeitsumsätze über die Systemgrenze hinweg, welche in diesem Fall jedoch nicht erfolgen (W=0)! Zudem ist das System adiabat und erlaubt keine Wärmeumsätze (Q=0). Somit gibt es auch bei realen Gase keine Änderung in der inneren Energie ΔU:

\begin{align}
\underbrace{W}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U = 0
\end{align}

Im Artikel zum isentropen Prozess wurde bereits angedeutet, dass die oft gleichgesetzte Bezeichnung „adiabatischer Prozess“ an mancher Stelle irreführend sein kann und im allgemeinen nicht korrekt ist. Um dies zu verdeutlichen wird im Folgenden die Expansion eines idealen Gases gegen ein Vakuum betrachtet.

Man stelle sich hierzu ein Gas in einem Zylinder vor, das mit einem beweglichen (masselosen) Kolben reibungsfrei verschlossen ist. Der Kolben wird zunächst mit einer Kraft in Stellung gehalten. Der Zylinder selbst befinde sich in einer evakuierten Kammer, sodass um ihn herum ein Vakuum herrscht. Zylinder und Kolben sollen perfekt wärmeisoliert sein. Es handelt sich demzufolge um ein adiabates System. Nun wird der Kolben losgelassen und das Gas expandiert folglich gegen das Vakuum.

Nur weil der vorliegende Zylinder ein adiabates System bildet, bedeutet dies in diesem Fall allerdings nicht, dass die hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten des vermeintlich „adiabaten Prozesses“ angewendet werden können! So sollte nach diesen Gesetzmäßigkeiten die Temperatur bei einer Expansion mit größer werdendem Volumen sinken (T⋅V^κ-1=konstant). Dies wird man bei der vorliegenden Expansion gegen das Vakuum allerdings nicht beobachten! Das überraschende Ergebnis dieser Expansion zeigt sich, wenn man den ersten Hauptsatz der Thermodynamik zur Hilfe nimmt:

\begin{align}
\underbrace{W}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U = 0
\end{align}

Da es sich um ein adiabates System handelt, wird dem Gas per Definition keine Energie in Form von Wärme zu- oder abgeführt (Q=0). Zudem verrichtet das Gas keine Arbeit (W=0), denn schließlich expandiert das Gas gegen ein Vakuum. Das Gas muss folglich keinerlei Kraft aufwenden, um den (masselosen) Kolben gegen den nicht vorhandenen Umgebungsdruck zu verschieben. Es existiert sozusagen kein Gegendruck, gegen den das Gas „ankämpfen“ muss. Folglich muss das Gas für die Expansion des Volumens keine Arbeit verrichten. Wird jedoch keine Energie in Form von Wärme oder Arbeit am System umgesetzt, so bleibt die innere Energie folglich konstant (ΔU=0).

Da die innere Energie für ein ideales Gas direkt mit der Temperatur verknüpft ist (und diese sich nicht ändert), handelt es sich bei der vorliegenden freien Expansion gegen das Vakuum also um eine isotherme Zustandsänderung! Überraschenderweise bleibt die Temperatur bei diesem Prozess folglich konstant und nimmt nicht ab.

Bei der Expansion eines idealen Gases in einem adiabaten System entgegen eines Vakuums bleibt die Temperatur konstant (isothermer Prozess)!

Anmerkung: Dass die Temperatur bei der Expansion gegen das Vakuum konstant bleibt, gilt lediglich für ideale Gase. Für reale Gase wird man hingegen eine leichte Verringerung der Temperatur feststellen. Dies bezeichnet man dann auch als Joule-Thomson-Effekt.

Man kann sich diesen isothermen Expansionsvorgang auch ganz anschaulich erklären. Man stelle sich hierzu vor man befände sich in einem Vakuum und hielte wild umherfliegende Teilchen in der Hand. Öffnet man nun die Hand, dann fliegen die Teilchen in das Vakuum und werden letztlich durch keine weiteren Teilchen abgebremst (da der Kolben im oberen Beispiel als masselos betrachtet wird, kann man diesen ohnehin weggedacht vorstellen und die Teilchen frei in das Vakuum strömen lassen – dies ist dieselbe Situation). Die Teilchen behalten also ihre kinetische Energie bei. Da die kinetische Energie der Teilchen direkt mit der Temperatur verknüpft ist, bedeutet dies letztlich eine unveränderte Temperatur.

Das adiabatische Expandieren eines idealen Gases in ein Vakuum stellt ein isothermer Prozess dar!

Dieses Beispiel macht deutlich, dass sich Zustandsänderungen von adiabaten Systemen nicht notwendigerweise nach den Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses beschreiben lassen. Deshalb sollte im Zusammenhang mit den dafür hergeleiteten Isentropengleichungen auch nicht unbedingt von adiabatischen Prozessen gesprochen werden. Denn dies suggeriert fälschlicherweise, dass bei allen adiabaten Systemen diese Gleichungen verwendet werden könnten. Das soeben beschriebene Expansionsbeispiel widerlegt jedoch genau dies.

Es schließt sich natürlich die Frage an, unter welcher Bedingung sich die Zustandsänderung eines adiabates Systems dann tatsächlich durch die hergeleiteten Gleichungen beschreiben lässt bzw. wann eben nicht. Die Antwort hierauf wird findet sich im Artikel Reversibilität von thermodynamischen Prozessen (Entropie).

Verrichtete Arbeit in adiabaten Systemen

Viele technische Prozesse laufen in sehr kurzen Zeiten ab, wie bspw. die Expansionsvorgänge in Verbrennungsmotoren (ca. 10 ms) oder die Expansion der heißen Verbrennungsgase in Turbinen. Innerhalb solch kurzer Zeiten kann ein nennenswerter Wärmeaustausch zwischen Gas und Umgebung in erster Näherung vernachlässigt werden (Q=0). Die Zustandsänderungen der Gase werden dann als in einem adiabaten System ablaufend betrachtet. Gemäß des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik ergibt sich somit die nach außen abgegebene Arbeit W direkt über die Änderung der inneren Energie ΔU:

\begin{align}
&\boxed{W+Q=\Delta U} &&~\text{Erster Hauptsatz der Thermodynamik} \\[5px]
&W = \Delta U &&~\text{gilt nur für adiabate Systeme (}Q=0 \text{)}\\[5px]
\end{align}

Da sich für ideale Gase die Änderung der inneren Energie ΔU unabhängig des thermodynamischen Prozesses lediglich anhand der Temperaturänderung ergibt …

\begin{align}
&\Delta U = c_\text{v} \cdot m \cdot \Delta T ~~~~~\text{mit}~~~~~\Delta T = T_2-T_1\\[5px]
\end{align}

… lässt sich die vom/am adiabaten System verrichtete Arbeit wie folgt ermitteln:

\begin{align}
\label{9067}
&\boxed{W = c_\text{v}~m~\Delta T} ~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme (}Q=0 \text{)} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Beachte, dass die mit W bezeichnete Arbeit nicht zwangsweise der Volumenänderungsarbeit W_V des Gases entspricht. Dies wäre nur für einen reibungsfreien Prozess der Fall. Die hier mit W bezeichnete Arbeit beschreibt ganz allgemein die vom/am System über die Systemgrenze transportierte Arbeit und schließt somit auch reibungsbehaftete (dissipative) Vorgänge mit ein! Mehr Informationen hierzu finden sich im Artikel Dissipation von Energie in geschlossenen Systemen.

Gleichung (\ref{9067}) macht offensichtlich, dass bei einer Expansion in einem adiabatischen System umso mehr Arbeit vom System nach außen abgegeben, umso größer dabei die Differenz zwischen Anfangs- und Endtemperatur ist. Beim Arbeitstakt innerhalb eines Dieselmotors beispielsweise sinkt die Temperatur im Zylinder während der Expansion von ungefähr 2000 °C auf rund 500 °C. Bei gegebener Anfangstemperatur T₁ führen reibungsbehaftete Prozesse aufgrund von Dissipationsvorgängen allerdings jedoch stets auf höhere Endtemperaturen T₂ im Vergleich zu reibungsfreien Vorgängen. Die Temperatur sinkt während des Expansionsvorgangs offensichtlich nicht so stark. Reibungsbehaftete Expansionsvorgänge geben somit stets geringere Arbeitsumsätze nach außen ab! 

Dissipative Prozesse im Volumen-Druck-Diagramm

Das untere Volumen-Druck-Diagramm zeigt eine Expansion eines Gases in einem Zylinder, der mit einem beweglichen Kolben reibungsfrei verschlossen wurde (blaue Kurve). Im Vergleich hierzu ist die Expansion gezeigt, bei der eine konstante Reibungskraft zwischen Zylinder und Kolben über die Dauer der Expansion angenommen wurde (rote Kurve). Dabei wurde angenommen, dass die gesamte Reibungsarbeit in innere Energie dissipiert wird.

Aufgrund der größeren Temperaturdifferenzen liefern reibungsfreie Expansionsvorgänge gemäß Gleichung (\ref{9067}) folglich den größtmöglichen Arbeitsumsatz. Für solche reversiblen Prozesse gelten in adiabaten Systemen die Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses (n=κ). Reibungsbehaftete Prozesse hingegen verlaufen aufgrund der höheren Temperaturen auf einem höheren Druckniveau. Solche Prozesse können dann durch einen polytropen Prozess angenähert werden, wobei der Polytropenexponent n für den Fall einer Expansion einen geringeren Wert als der Isentropenexponent κ aufweist (n<κ):

\begin{align}
\label{3475}
&\boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{2070}
&\boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{9579}
&\boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Expansionsprozesse} \nonumber \\
&n > \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Kompressionsprozesse} \nonumber \\
\end{align}

Mit Hilfe dieser Polytropengleichungen kann die vom System abgegebene Arbeit W bei gegebener Anfangstemperatur T₁ nun auch über das Druck- bzw. Volumenverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}
\label{1}
&W=c_\text{v}~m~\left[T_2-T_1 \right] = c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&\boxed{W=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\label{3}
&\boxed{W=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Prozesse} \nonumber \\
\end{align}

An dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich erwähnt, dass man stets auf den Begriff „adiabatische“ Zustandsänderung verzichten sollte. Denn sowohl der isentrope Prozess (n=κ) als auch der polytrope Prozess (n<κ) laufen in einem adiabaten System ab. Insofern sind all diese Vorgänge „adiabatisch“. Die jeweiligen Zustandsänderungen bzw. die Druckverläufe unterscheiden sich aber offensichtlich aufgrund der unterschiedlichen Exponenten (siehe hierzu auch den Artikel Freie Ausdehnung eines idealen Gases im Vakuum)! 

Berechnung des Polytropenexponenten für dissipative Prozesse

Welcher Polytropenexponent n einen gegebenen dissipativen Prozess am besten beschreibt, kann anhand des Anfangs- und Endzustandes ermittelt werden. Dies setzt in der Praxis natürlich eine experimentelle Bestimmung der entsprechenden Werte voraus. Anschließend ist entweder Gleichung (\ref{3475}), Gleichung (\ref{2070}) oder Gleichung (\ref{9579}) nach dem gesuchten Polytropenexponent n aufzulösen:

\begin{align}
\label{6526}
\boxed{n
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}}
={\frac{\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}} +1}
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)} + \ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)} }
} \\[5px]
\end{align}

Anhand der gegebenen Anfangs- und Endwerte scheint für den im Diagramm abgebildeten Fall ein Polytropenexponent von n=1,1689 die mit konstanter Reibungskraft beeinflusste Zustandsänderung am besten wiederzugeben (grüne Kurve). Der Vergleich im Diagramm zwischen der entsprechenden Polytropen und dem tatsächlichen Zustandsverlauf zeigt zu Beginn und gegen Ende der Zustandsänderung eine sehr gute Übereinstimmung; im dazwischen liegenden Bereich gibt es jedoch kleinere Abweichungen.

Berechnung der dissipierten Energie

Im Artikel Dissipation von Energie in geschlossenen Systemen wurde bereits ausführlich erläutert, dass sich die über die Systemgrenze transportierte Arbeit W aus der Summe von Volumenänderungsarbeit W_V des Gases und Reibungsarbeit W_Diss (Dissipationsarbeit) ergibt:

\begin{align}
\label{ums}
&\boxed{W = W_\text{V} + W_\text{Diss}} ~~~\text{über die Systemgrenze transportierte Arbeit}
\end{align}

Im Artikel Polytroper Prozess in einem geschlossenen System wurde gezeigt, dass sich die Volumenänderungsarbeit W_V für einen polytropen Prozess wie folgt ermittelt:

\begin{align}
\label{wv}
&\boxed{W_\text{V} = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}
\end{align}

Nach Umstellen von Gleichung (\ref{ums}) und Einsetzen der Gleichungen (\ref{9067}) bzw. (\ref{wv}) gilt für die dissipierte Arbeit W_Diss somit folgende Formel:

\begin{alignat}{2}
\label{3440}
&W_\text{Diss}= W – W_\text{V} = \underbrace{c_\text{v}~m~(T_2-T_1)}_{W} – \underbrace{\left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~(T_2-T_1)}_{W_\text{V}} \\[5px]
\label{5715}
&\boxed{W_\text{Diss}= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~(T_2-T_1)} = \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
\label{4461}
&\boxed{W_\text{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]} \\[5px]
\label{2394}
&\boxed{W_\text{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]} \\[5px]
\end{alignat}

Bei den Gleichungen für die Dissipationsarbeit handelt es sich um dieselben Gleichungen, die bei (reibungsfreien) polytropen Prozessen den Wärmeumsatz beschreiben (siehe Artikel Polytroper Prozess in einem geschlossenen System). Sie können im vorliegenden Fall allerdings nicht mehr als Wärmeumsatz interpretiert werden, da es sich um ein adiabates System handelt. Die identischen Gleichungen lassen sich aber aus der Anschauung heraus dennoch erklären. Denn aus energetischer Sicht des Gases hat die Dissipationsarbeit denselben Effekt wie eine Wärmezufuhr, nämlich eine Erhöhung der inneren Energie!

Anmerkung

Beachte, dass die vom/am geschlossenen System verrichtete Arbeit W gemäß den Gleichungen (\ref{1}) bis (\ref{3}) nur vom Anfangs- und Endzustand abhängig ist. Diese Gleichungen geben deshalb den tatsächlichen Arbeitsumsatz wieder, auch wenn die Polytropengleichungen den tatsächlichen Prozess nicht exakt beschreiben (siehe Diagramm unten). Dies liegt darin begründet, dass Anfangs- und Endwert mit der Realität übereinstimmt, sofern der Polytropenexponent nach Gleichung (\ref{6526}) gewählt wurde!

Anders sieht die Situation für die Dissipationsarbeit W_Diss aus. Für deren Ermittlung ist gemäß Gleichung (\ref{3440}) die Volumenarbeit W_V relevant, die sich als Fläche unter der Zustandskurve im Volumen-Druck-Diagramm ergibt. Wie im Diagramm zu sehen ist, gibt es allerdings Abweichungen zwischen der polytropen Zustandsänderung und dem tatsächlichen Prozess. Deshalb werden die Gleichungen (\ref{5715}) bis (\ref{2394}) die tatsächliche Dissipationsarbeit im Allgemeinen nicht exakt wiedergeben können. Im vorliegenden Fall ist die Fläche unter der Polytropen größer als tatsächlich und suggeriert somit auch eine etwas größere Dissipationsarbeit als dies in der Realität der Fall sein wird.

Ausgewählte Prozesse im Volumen-Druck-Diagramm

Die untere Abbildung zeigt den Verlauf des Drucks in Abhängigkeit des Volumens für einen isobaren, isochoren, isothermen und isentropen Prozess. Alle Prozesse finden dabei ausgehend des Anfangsvolumens V₁ statt. Die Druckverläufe zeigen sowohl einen Expansionsvorgang als auch einen Kompressionsvorgang. Für die isentrope Zustandsänderung wurde der Isentropenexponent von Luft mit κ=1,4 gewählt.

Obwohl sich die unterschiedlichen thermodynamischen Prozesse auf den ersten Blick stark voneinander unterscheiden, so stellt man bei näherer Untersuchung Gemeinsamkeiten fest. Diese werden deutlich, wenn man die qualitativen Verläufe des Druckes in Abhängigkeit des Volumens näher betrachtet:

\begin{alignat}{3}
\text{isobarer Prozess: } ~~~ &p=\text{konstant} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^0 =\text{konstant}} \\[5px]
\text{isothermer Prozess: } ~~~ &p\sim {1\over V} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^1 =\text{konstant}} \\[5px]
\text{isentroper Prozess: } ~~~ &p\sim {1\over V^{\kappa}} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^{\kappa} =\text{konstant}} \\[5px]
\text{isochorer Prozess: } ~~~ &V=\text{konstant} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^{\infty} =\text{konstant}} \\[5px]
\label{8858}
\end{alignat}

Aus der Gegenüberstellung wird deutlich, dass sich die gesamten dargestellten Prozesse auf den Zusammenhang p⋅Vⁿ=konstant verallgemeinern lassen, wobei sich für jeden Prozess ein ganz spezieller Exponent n finden lässt:

\begin{align}
\label{3445}
\text{Verallgemeinerung: } ~~~ & \boxed{p~V^{n} =\text{konstant}} ~~~\text{ bzw. }~~~ {p_1~V_1^n}={p_2~V_2^n} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Weshalb für den isochoren Prozess n=∞ gilt, wird rasch deutlich, wenn man Gleichung (\ref{3445}) nach dem Volumen V umstellt und anschließend n=∞ setzt:

\begin{align}
p~V^n=\text{konst.} ~~~\Rightarrow ~~~
V ={\left(\text{konst.} \over p \right)^{1 \over n}}
={\text{konst.} \over p^{1 \over n}}
\overset{n=\infty}={\text{konst.} \over \underbrace{p^0}_{=1}}
=\text{konstant!} \nonumber \\[5px]
\end{align}

Verallgemeinerung der Zustandsgleichungen

Sowohl für den Zusammenhang zwischen Temperatur und Volumen als auch zwischen Temperatur und Druck zeigen sich die analogen Gemeinsamkeiten der Prozesse. Diese Gemeinsamkeiten können durch Verknüpfung der idealen Gasgleichung mit der Grundgleichung (\ref{3445}) hergeleitet werden. Somit lassen sich alle bisher behandelten Prozesse auf folgende (gemeinsame) Gesetzmäßigkeiten reduzieren:

\begin{align}
\label{2716}
\boxed{p~V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{4375}
\boxed{T~V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{7991}
\boxed{T^n~p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=0 ~~~\text{für isobraren Prozess} \nonumber \\
&n=1 ~~~\text{für isothermen Prozess} \nonumber \\
&n=\kappa ~~~\text{für isentropen Prozess} \nonumber \\
&n=\infty ~~~\text{für isochoren Prozess} \nonumber \\
\end{align}

Der Exponent n bleibt jedoch nicht auf die Spezialfälle (isobar, isotherm, isentrop und isotherm) beschränkt. Grundsätzlich kann der Exponent beliebig gewählt werden! Die Wahl hängt im entscheidenden Maße davon ab, durch welchen Wert des Exponenten die in der Realität ablaufende Zustandsänderung am besten beschrieben werden kann. Schließlich laufen die meisten thermodynamischen Prozesse in der Realität nie exakt isobar, isotherm, isentrop oder isochor ab. Das unten abgebildete Diagramm zeigt für beliebige Werte von n die zugehörigen Druckverläufe. Je nachdem welche Kurve dem tatsächlichen Prozess am nächsten kommt, wäre dann der entsprechende Exponent zu wählen. Prinzipiell sind auch negative Exponenten denkbar!

Beachte, dass letztlich die gesamten abgebildeten Kurven alle zur selben Kurvenschar gehören, die durch die Gleichung (\ref{2716}) beschrieben werden.

Da mit den Gleichung (\ref{2716}) bis (\ref{7991}) eine Vielzahl an thermodynamischen Vorgängen beschrieben werden können (die Spezialfälle eingeschlossen), bezeichnet man die dahinterstehenden Prozesse auch ganz allgemein als polytrope Prozesse („poly“=viel). Der Exponent n wird deshalb auch Polytropenexponent genannt. Die isobaren, isothermen, isentropen und isochoren Prozesse sind demnach lediglich als Spezialfälle eines im Allgemeinen polytropen Prozesses anzusehen!

Volumenänderungsarbeit und Wärmeumsatz

Neben der Beschreibung der Zustandsgrößen durch die Gleichungen (\ref{2716}) bis (\ref{7991}), lassen sich für polytrope Prozesse auch allgemeingültige Formeln zu den Prozessgrößen wie Volumenänderungsarbeit W_V und Wärmeumsatz Q finden, sowie zur Änderung der inneren Energie ΔU. Auf die Herleitung der nachfolgend angegebenen Formeln wird aufgrund der Komplexität im verlinkten Artikel näher eingegangen. In diesem Artikel sollen die Formeln lediglich vorgestellt und diskutiert werden.

\begin{alignat}{2}
\label{4862}
&\boxed{W_\text{V} = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{5451}
&\boxed{Q = \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{9277}
&\boxed{\Delta U = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Beachte, dass der Isentropenexponent κ in den oberen Gleichungen lediglich als Quotient der Wärmekapazitäten aufzufassen ist (κ=c_p/c_v). Man sollte also nicht dem Trugschluss verfallen, dass die oberen Gleichungen lediglich für den isentropen Prozess gelten, nur weil sich der Isentropenexponent κ verbirgt! Grundsätzlich können diese Gleichungen für jeden beliebigen, polytropen Prozess angewendet werden, die Spezialfälle natürlich eingeschlossen!

Aufgepasst werden muss an dieser Stelle jedoch für den Spezialfall des isothermen Prozesses mit einem Polytropenexponenten von n=1, da hierbei der Nenner in den Gleichungen null werden würde. Mathematisch betrachtet, ergibt sich hierfür dann keine Lösung. Für diesen Fall müssen die speziellen Gleichungen für den isothermen Prozess benutzt werden. Mit hinreichender Genauigkeit kann als Alternative jedoch ein Polytropenexponent nahe Eins gewählt werden, zum Beispiel n=0,999.

Zusammenhang zwischen Änderung der inneren Energie und Volumenarbeit bzw. Wärme

Betrachtet man die Gleichungen (\ref{4862}) und (\ref{5451}) genauer, so fällt auf, dass der darin enthaltene Term c_v⋅m⋅(T₂-T₁) letztlich der Änderung der inneren Energie ΔU entspricht. Somit kann die Volumenänderungsarbeit W_V und der Wärmeumsatz Q auch in Abhängigkeit der Änderung der inneren Energie ΔU angegeben werden:

\begin{align}
\label{6763}
&\boxed{W_V= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
&\boxed{Q= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
\end{align}

Es wird nun offensichtlich, dass der Arbeit- und Wärmeumsatz für einen gegebenen polytropen Prozess stets in einem konstanten Verhältnis stehen:

\begin{align}
\require{cancel}
\label{3657}
{W_V \over Q} = {{\left[{{\kappa-1} \over \bcancel{n-1}}\right]~\bcancel{\Delta U}} \over {\left[{{n-\kappa} \over \bcancel{n-1}}\right]~\bcancel{\Delta U}}}
= { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{3285}
\boxed{{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} }} \\[5px]
\end{align}

Das untere Diagramm zeigt für Luft (κ=1,4) den Betrag des Verhältnisses von Volumenänderungsarbeit zu Wärmeumsatz in Abhängigkeit des Polytropenexponenten.

Isobarer Prozess

Für jeden isobaren Prozess mit n=0 und κ=1,4 (für Luft), beträgt das Verhältnis von Arbeit zur Wärme (-)0,286. Für eine isobare Expansion wird folglich immer 28,6% der zugeführten Wärme in Volumenänderungsarbeit umgewandelt. Die restlichen 71,4% verbleiben im Gas und führen zur Erhöhung der inneren Energie. Dieses Ergebnis ist unabhängig davon mit welchem Druck, Volumen oder mit welcher Temperatur die isobare Zustandsänderung abläuft! Lediglich die Gasart hat je nach Wert des Isentropenexponenten Einfluss auf die Effektivität, mit der die zugeführte Wärme in Arbeit umgewandelt wird. So lässt sich bspw. der Anteil der Volumenänderungsarbeit auf 40,1% steigern, wenn für die isobare Expansion anstelle der Luft hingegen Helium mit einem Wert von κ=1,67 als Gas genutzt wird!

Isentroper Prozess

Für einen thermodynamischen Prozess der mit einem Polytropenexponent n<κ beschrieben wird, wird die Gleichung (\ref{3285}) negativ. Dies bedeutet, dass Volumenänderungsarbeit und Wärmeumsatz offensichtlich entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. Somit muss dem Gas während einer Expansion (W_V<0) Wärme zugeführt werden (Q>0). Umgekehrt muss bei solchen Prozessen Wärme abgeführt werden (Q<0), wenn das Gas komprimiert wird (W_V>0).

Für eine Zustandsänderung, die hingegen mit einem Polytropenexponent n>κ beschrieben wird, ist das Verhältnis von Arbeit und Wärme positiv. Beide Energieumsätze haben demzufolge identische Vorzeichen. Dies bedeutet, dass das Gas während einer Expansion (W_V<0) Wärme abgibt (Q<0). Umgekehrt findet bei solchen Zustandsänderungen eine Wärmezufuhr statt (Q>0), wenn sich das Gasvolumen unter Zufuhr von Arbeit verringert (W_V>0).

Für den Sonderfall eines Prozesses mit einem Isentropenexponenten n→κ nähert sich der Nenner in der Gleichung (\ref{3285}) immer mehr dem Wert null. Folglich nimmt der Wärmeumsatz (bezogen auf die Volumenänderungsarbeit) ab und ist bei n=κ schließlich null. Man erhält für diesen Spezialfall den isentropen Prozess, der sich ja gerade dadurch auszeichnet, dass kein Wärmeumsatz stattfindet.

\begin{align}
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow\kappa}= \infty
~~~\Rightarrow~~~Q= {W_V\over \infty} = 0
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Isochorer Prozess

Umgekehrt nähert sich für einen Prozess mit einem Isentropenexponenten n→∞ der Nenner in der Gleichung (\ref{3285}) mehr und mehr dem Wert Unendlich. Bezogen auf den Wärmeumsatz wird dann offensichtlich immer weniger Arbeit verrichtet. Schließlich erhält man für den Sonderfall n=∞ keinen Arbeitsumsatz mehr. Dies entspricht dem isochoren Prozess, der sich genau dadurch auszeichnet, dass keine Arbeit verrichtet wird.

\begin{align}
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow\infty}= 0
~~~\Rightarrow~~~W_V= {Q \cdot 0} = 0
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Isothermer Prozess

Noch ein weiterer Sonderfall zeigt sich anhand der Gleichung (\ref{3285}) für n=1. In diesem Fall ist nämlich der Arbeitsumsatz genauso groß wie der Wärmeumsatz (mit umgekehrten Vorzeichen). Die Energie, die in Form von Wärme am Gas umgesetzt wird, wird also vollständig in Arbeit umgewandelt und umgekehrt. Somit wird die innere Energie des Gases weder verringert noch vergrößert, d.h. sie bleibt konstant. Dies bedeutet in letzter Konsequenz auch eine konstante Temperatur. Der Spezialfall n=1 entspricht also dem isothermen Prozess, der genau dieses charakteristische Merkmal der konstanten Temperatur aufweist.

\begin{align}
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow 1}= -1
~~~\Rightarrow~~~W_V= -Q
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Wichtiger Anwendungsbereich des polytropen Prozesses

Wie bereits ausführlich erläutert können die Polytropengleichungen (\ref{2716}) bis (\ref{7991}) je nach Polytropenexponent n alle bisher betrachteten Spezialfälle wie der isobare (n=0), isotherme (n=1), isentrope (n=κ) und isochore Prozess (n=∞) beschreiben. Auch sind eine Vielzahl anderer thermodynamische Prozesse je nach gewähltem Polytropenexponent beschreibbar. Dennoch gehorchen allerdings nicht alle Zustandsänderungen diesen Polytropengleichungen (z.B. der hier beschriebene Expansionsvorgang, bei dem über eine Zahnstange und ein Zahnrad ein Gewicht mit Hilfe eines Hebels angehoben wird).

Dennoch besitzen polytrope Prozesse vor allem im Exponentenbereich zwischen n=1 (isothermer Prozess) und n=κ (isentroper Prozess) große technische Bedeutung. Denn sehr viele thermodynamische Vorgänge laufen zwischen diesen Grenzfällen ab. Dies wird deutlich, wenn man sich den Ablauf dieser thermodynamischen Prozesse genauer anschaut.

Als Beispiel wird die Kompression einer Luftpumpe bei geschlossen gehaltenem Auslassventil betrachtet. Wird die Kompression (unendlich) langsam durchgeführt, so wird eine Temperaturerhöhung sofort wieder durch Wärmeabgabe an die Umgebung kompensiert. Die Temperatur des Gases wird sich bei diesem Vorgang nicht erhöhen. Die (unendlich) langsame Zustandsänderung stellt folglich ein isothermer Prozess dar – zumindest der beschrieben Prozess zum Komprimieren von Luft mit Hilfe einer Luftpumpe.

Wird die Kompression der Luft hingegen (unendlich) schnell vollzogen, so kann die Temperaturerhöhung nicht kompensiert werden, da dem System keine Zeit bleibt Wärme an die Umgebung abzuführen. Es findet während dieses Vorgangs also keine Wärmeabfuhr statt. Demzufolge handelt es sich bei der (unendlich) schnellen Zustandsänderung um einen isentropen Prozess.

In der Realität kann ein thermodynamischer Prozess jedoch weder unendlich langsam noch unendlich schnell erfolgen, sodass der tatsächliche Prozess zwischen diesen beiden Grenzfällen verlaufen wird. Der Polytropenexponent wird folglich einen Wert zwischen 1 (isothermer Prozess) und κ (isentroper Prozess) aufweisen. Häufig beschränkt sich die Bezeichnung polytroper Prozess auf genau solche Prozesse, deren Polytropenexponenten im Bereich zwischen n=1 und n=κ liegen. Vor allem bei reibungsbehafteten Vorgängen wird die Zustandsänderung häufig mit einer Polytropen angenähert. Mehr Informationen hierzu finden sich auch im Artikel Dissipative thermodynamische Prozesse in adiabaten Systemen.

Polytrope Zustandsgleichungen

Im Artikel Polytroper Prozess in einem geschlossenen System wurden die folgenden Zustandsgleichungen zur Beschreibung von polytropen Prozessen hergeleitet und näher diskutiert:

\begin{align}
\label{2716}
\boxed{p \cdot V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1 \cdot V_1^n=p_2 \cdot V_2^n} \\[5px]
\label{4375}
\boxed{T \cdot V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1 \cdot V_1^{n-1}=T_2 \cdot V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{7991}
\boxed{T^n \cdot p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n \cdot p_1^{1-n}=T_2^n \cdot p_2^{1-n}} \\[5px]
\end{align}

In diesem Artikel sollen die Formeln zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit und der übertragenen Wärme bei polytropen Prozessen hergeleitet werden.

Herleitung der Formel für die Volumenänderungsarbeit

Die Volumenänderungsarbeit W_V erhält man ganz allgemein durch Integration der p(V)-Funktion des polytropen Prozesses:

\begin{align}
\label{www}
&\boxed{W_\text{V} = – \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V}\\[5px]
\end{align}

Für die Ermittlung der Volumenänderungsarbeit muss also die Funktion p(V) bekannt sein. Wird eine polytrope Zustandsänderung ausgehend eines Anfangszustandes 1 mit den Größen (p₁ und V₁) beschrieben, so kann dann durch Gleichung (\ref{2716}) eine allgemeine Beziehung zu einem beliebig weiteren Zustand 2 (p, V) hergestellt werden. Somit ergibt sich der Druckverlauf p(V) wie folgt:

\begin{align}
\label{9891}
&p_1~V_1^n=p~V^n \\[5px]
\label{1227}
&p = \underbrace{p_1~V_1^n}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V^n} \\[5px]
\label{9377}
&\boxed{p(V)=p_1~V_1^n \cdot {1 \over V^n}} \\[5px]
\end{align}

Um die Volumenänderungsarbeit W_V zu berechnen kann nun die Druckfunktion (\ref{9377}) innerhalb der Grenzen V₁ bis V₂ integriert werden:

\begin{align}
\label{9445}
W_\text{V} &= – \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V \\[5px]
&= – \int\limits_{V_1}^{V_2} \underbrace{p_1~V_1^n}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V^n} ~ \text{d}V \\[5px]
&= – p_1~V_1^n~\int\limits_{V_1}^{V_2} {V^{-n}} ~ \text{d}V \\[5px]
&= – p_1~V_1^n~ \left[{1 \over {1-n}}~V^{1-n} \right]_{V_1}^{V_2} \\[5px]
&= – {{p_1~V_1^n} \over {1-n}} ~ \left[V_2^{1-n}-V_1^{1-n} \right] \\[5px]
&= {{p_1~V_1^n} \over {n-1}} ~ \left[V_2^{1-n}-V_1^{1-n} \right] ~~~ \text{nach ausklammern von } V_1^{1-n} \text{ folgt:} \\[5px]
&= {{p_1~V_1^n~V_1^{1-n}} \over {n-1}} ~ \left[{V_2^{1-n} \over V_1^{1-n}} -1 \right] \\[5px]
\end{align}

\begin{align}
\label{8254}
\boxed{W_\text{V}= {{p_1~V_1} \over {n-1}} ~ \left[\left(V_2 \over V_1 \right)^{1-n} -1 \right]}
\end{align}

Die Volumenänderungsarbeit kann vor allem anhand der Temperaturen relativ einfach ermittelt werden. Hierzu wird Gleichung (\ref{4375}) mit Gleichung (\ref{8254}) kombiniert und zusätzlich der Zusammenhang aus der idealen Gasgleichung mit p⋅V=m⋅R_S⋅T genutzt:

\begin{align}
W_\text{V} &= {\overbrace{p_1~V_1}^{=m~R_\text{S}~T_1}\over {n-1}} ~ \left[\left(V_2 \over V_1 \right)^{1-n} -1 \right] \text{mit: } ~{V_2 \over V_1} = \left(T_1 \over T_2 \right)^{1 \over {n-1}}=\left(T_2 \over T_1 \right)^{1 \over {1-n}}~ \text{ folgt : } \\[5px]
&= {{m~R_\text{S}~T_1} \over {n-1}} ~ \left[{T_2 \over T_1} -1 \right] \\[5px]
\label{m}
&= {{R_\text{S} \over {n-1}}} ~m~ \left(T_2 – T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{R_\text{S}=c_\text{p}-c_\text{v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&= {{{c_\text{p}-c_\text{v}} \over {n-1}}} ~m~ \left(T_2 – T_1 \right) \\[5px]
&= {{{{c_\text{p}\over c_\text{v}}-1} \over {n-1}}} ~c_\text{v}~m~ \left(T_2 – T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{\kappa={c_\text{p} \over c_\text{v}}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{eq:9418}
\end{align}

\begin{align}
\boxed{W_\text{V}=\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~ \left(T_2 – T_1 \right)}
\label{2604}
\end{align}

Herleitung der Formel für die übertragene Wärme

Zuletzt bleibt noch die Ermittlung der übertragenen Q während eines polytropen Prozesses. Diese ergibt sich gemäß des ersten Hauptsatzes über die Differenz von innerer Energieänderung ΔU und Volumenänderungsarbeit W_V:

\begin{align}\
&\boxed{ Q + W_\text{V} = \Delta U} ~~~~\text{erster Hauptsatz}\\[5px]
\label{put}
&Q = \Delta U – W_\text{V}\\[5px]
\end{align}

Für ideale Gase ergibt sich die Änderung der inneren Energie ΔU unabhängig des thermodynamischen Prozesses lediglich anhand der Temperaturänderung ΔT=T₂-T₁:

\begin{align}\
\label{9719}
&\boxed{ \Delta U = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)} \\[5px]
\end{align}

Wird die Änderung der inneren Energie nach Gleichung (\ref{9719}) und die Volumenänderungsarbeit nach Gleichung (\ref{m}) in die Gleichung (\ref{put}) eingesetzt, so ergibt sich für die übertragene Wärme Q eines polytropen Prozesses folgende Formel:

\begin{align}
Q &= \Delta U – W_\text{V} \\[5px]
&= c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right) – {R_\text{S} \over {n-1}} ~m~ \left(T_2 – T_1 \right) \\[5px]
&= \left[c_\text{v}-{R_\text{S} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{R_\text{S}=c_\text{p}-c_\text{v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&= \left[c_\text{v}-{{c_\text{p}-c_\text{v}} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_\text{v}~(n-1)}\over {n-1}}-{{c_\text{p}-c_\text{v}} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_\text{v}~n-c_\text{v}-c_\text{p}+c_\text{v}} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_\text{v}~n-c_\text{p}} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{n-{c_\text{p} \over c_\text{v}}} \over {n-1}}\right]~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{\kappa={c_\text{p} \over c_\text{v}}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{eq:7090}
\end{align}

\begin{align}
\boxed{Q= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right]~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}
\label{eq:8691}
\end{align}

Zusammenfassung

Die gesamten hergeleiteten Formeln zur Berechnung von Wärme, Arbeit und Änderung der inneren Energie, können in Kombination mit Gleichung (\ref{4375}) bzw. Gleichung (\ref{7991}) auch über das Volumen- bzw. Druckverhältnis ausgedrückt werden. Somit ergeben sich für die Berechnung der Arbeit, der Wärme und der Änderung der inneren Energie folgende Formeln für einen polytropen Prozess:

\begin{alignat}{2}
\label{6005}
&{W_\text{V} = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{1733}
&{Q = \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
&{\Delta U = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Betrachtet man die Gleichungen (\ref{6005}) und (\ref{1733}) genauer, so fällt auf, dass der darin enthaltene Term c_v⋅m⋅(T₂-T₁) letztlich der Änderung der inneren Energie ΔU entspricht. Somit kann die Volumenänderungsarbeit W_V und der Wärmeumsatz Q auch in Abhängigkeit der Änderung der inneren Energie ΔU berechnet werden:

\begin{align}
\label{6763}
&\boxed{W_\text{V}= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
&\boxed{Q= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
\end{align}

Grundgleichungen

Für die Herleitung der Zustandsgleichungen des isentropen Prozesses wird zunächst der erste Hauptsatz der Thermodynamik benötigt. Unter der Bedingung, dass bei einem isentropen Prozess per Definition keine Wärme übertragen wird (Q=0), stellt sich der erste Hauptsatz wie folgt dar:

\begin{align}
&\boxed{W_\text{V} + Q = \Delta U} ~~~~~&&\text{erster Hauptsatz der Thermodynamik}\\[5px]
\label{wv}
&W_\text{V} = \Delta U ~~~~&&\text{gilt für den isentropen Prozess mit }Q=0\\[5px]
\end{align}

Während sich die Volumenänderungsarbeit W_V aus dem Integral des Drucks nach dem Volumen bestimmt (W_V=-∫p⋅dV), ermittelt sich die Änderung der inneren Energie ΔU aus der Temperaturdifferenz (ΔU=c_v⋅m⋅ΔT). Folglich gilt zwischen der Volumenänderung und der Temperaturänderung bei einem isentropen Prozess folgende Beziehung:

\begin{align}
&W_\text{V} = \Delta U \\[5px]
\label{eq:5561}
&\boxed{- \int p~\text{d}V =c_\text{v}~m~\Delta T} ~~~~~\text{integrale Form des 1. HS für isentrope Prozesse}\\[5px]
\end{align}

Werden an dieser Stelle lediglich infinitesimale Änderungen des Volumens und der Temperatur betrachtet (innerhalb dessen der Druck als konstant angesehen werden kann), so kann die Volumenänderungsarbeit und die Änderung der inneren Energie durch die entsprechenden Differentiale ausgedrückt werden (Δ→d):

\begin{align}
\label{eq:9887}
&\text{d}W_\text{V} = \text{d}U \\[5px]
\label{pv}
&\boxed{-p~\text{d}V = c_\text{v}~m~\text{d}T} ~~~~~\text{differentielle Form des 1. HS für isentrope Prozesse}\\[5px]
\end{align}

Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur

Gleichung (\ref{pv}) verknüpft für den isentropen Prozess den Zusammenhang zwischen einer infinitesimalen Volumenänderung dV und der hieraus resultierenden Temperaturänderung dT. Dabei ist der Druck p allerdings nicht unabhängig des Volumens V bzw. der Temperatur T, wie aus der idealen Gasgleichung hervorgeht:

\begin{align}
\label{0}
&p~V=R_\text{s}~m~T ~~~~~\text{ideale Gasgleichung} \\[5px]
\label{p}
&\boxed{p=R_\text{s}~m~{T \over V}} \\[5px]
\end{align}

Wird für den Druck p in Gleichung (\ref{pv}) die Gleichung (\ref{p}) verwendet, so können anschließend die zum Differential gehörenden Variablen getrennt werden (Trennung der Variablen genannt). Konkret bedeutet dies lediglich, dass die Temperatur T von der „linken Seite“ auf die „rechte Seite“ des Gleichheitszeichens gebracht wird:

\begin{align}
\require{cancel}
– \overbrace{R_\text{s}~\bcancel{m}~{T \over V}}^{=p}~\text{d}V &= c_\text{v}~\bcancel{m}~\text{d}T \\[5px]
\label{tv}
– R_\text{s}~{1 \over V}~\text{d}V &= c_\text{v}~{1 \over T}~\text{d}T \\[5px]
\end{align}

Nachdem die Variablen nun getrennt sind, kann diese Gleichung nun innerhalb der entsprechenden Grenzen V₁ bis V₂ bzw. T₁ bis T₂ integriert werden. Dabei können die Konstanten R_s und c_v vor die jeweiligen Integrale gezogen werden:

\begin{align}
\label{eq:9552}
– R_\text{s}~\int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over V}~\text{d}V &= c_\text{v}~\int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over T}~\text{d}T \\[5px]
 R_\text{s}~\left[ \ln{(V)} \right]^{V_2}_{V_1} &= c_\text{v}~\left[ \ln{(T)} \right]^{T_2}_{T_1} \\[5px]
– R_\text{s}~\ln \left(V_2 – V_1 \right) &= c_\text{v}~\ln \left(T_2 – T_1 \right) \\[5px]
R_\text{s}~\ln \left(V_1 – V_2 \right) &= c_\text{v}~\ln \left(T_2 – T_1 \right) ~~~\text{mit}~~~ \underline{\ln(a)-\ln(b)=\ln \left(a \over b \right)} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
R_\text{s}~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= c_\text{v}~\ln \left(T_2 \over T_1 \right) ~~~\text{mit}~~~ \underline{R_\text{s}=c_\text{p}-c_\text{v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
(c_\text{p}-c_\text{v})~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= c_\text{v}~\ln \left(T_2 \over T_1 \right) \\[5px]
\label{fre}
\left(\frac{c_\text{p}}{c_\text{v}}-1\right)~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= \ln \left(T_2 \over T_1 \right) \\[5px]
\end{align}

An dieser Stelle kann der Quotient aus den spezifischen Wärmekapazitäten c_p/c_v zu einer neuen Konstanten zusammengefasst, dem sogenannten Isentropenexponenten κ (Adiabatenexponent). Dies dient an dieser Stelle lediglich der einfacheren Schreibweise!

\begin{align}
&\boxed{\kappa:=\frac{c_\text{p}}{c_\text{v}}} ~~~\text{Isentropenexponent (Adiabatenexponent)}\\[5px]
\end{align}

Mit dieser Definition stellt sich Gleichung (\ref{fre}) somit wie folgt dar:

\begin{align}
\label{k}
&(\kappa – 1)~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) = \ln \left(T_2 \over T_1 \right) \\[5px]
\end{align}

Mit Gleichung (\ref{k}) ist für den isentropen Prozess bereits eine eindeutige Verknüpfung zwischen einem beliebigen Anfangszustand 1 (V₁, T₁) und einem beliebigen Endzustand 2 (V₂, T₂) gegeben. Unter Zuhilfenahme von verschiedenen Logarithmengesetzen kann diese Gleichung allerdings noch wesentlich vereinfacht werden:

\begin{align}
\label{eq:3049}
e^{(\kappa-1)\ln \left(V_1 \over V_2 \right)} &= e^{\ln \left(T_2 \over T_1 \right)} \\[5px]
\left[e^{\ln \left(V_1 \over V_2 \right)}\right]^{\kappa-1} &= e^{\ln \left(T_2 \over T_1 \right)} \\[5px]
\label{w}
\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} &= {T_2 \over T_1} \\[5px]
\end{align}

\begin{equation}
\boxed{T_1 \cdot V_1^{\kappa-1}= T_2 \cdot V_2^{\kappa-1}} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{T \cdot V^{\kappa-1}=\text{konstant}}
\label{eq:5377}
\end{equation}

Schließlich zeigt sich, dass bei einem isentropen Prozess das Produkt aus Temperatur und das mit κ-1 potenzierte Volumen konstant ist.

Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck

Wird an dieser Stelle die allgemeine Verknüpfung zweier Zustände durch die ideal Gasgleichung genutzt, so lässt sich auch eine eindeutige Beziehung zwischen den Temperaturen und den Drücken herstellen:

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }\\[5px]
&{V_1 \over V_2} = {p_2 \over p_1}~{T_1 \over T_2} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Verhältnis der Volumina in Gleichung (\ref{w}) eingesetzt, so ergibt sich zwischen den Temperaturen und den Drücken folgender Zusammenhang:

\begin{align}
&{\underbrace{\left({p_2 \over p_1}~{T_1 \over T_2}\right)}_{\frac{V_1}{V_2}}}^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} \\[5px]
&\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1}~\left(T_1 \over T_2 \right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} \\[5px]
&\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1}~\left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa-1} \\[5px]
&\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1} = \left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa} \\[5px]
&\left(p_1 \over p_2\right)^{1-\kappa} = \left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa} \\[5px]
& \boxed{T_1^\kappa \cdot p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa \cdot p_2^{1-\kappa}} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{T^\kappa \cdot p^{1-\kappa}=\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

Zusammenhang zwischen Volumen und Druck

Auf die analoge Weise kann eine Beziehung zwischen den Volumina und den Drücken hergeleitet werden, wenn die allgemeingültige Gleichung (\ref{a}) zunächst nach dem Verhältnis der Temperaturen umgestellt wird:

\begin{align}
&\boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }\\[5px]
&\frac{T_2}{T_1} = {p_2 \over p_1}~{V_2 \over V_1} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Verhältnis der Temperaturen in Gleichung (\ref{w}) eingesetzt, so ergibt sich zwischen den Temperaturen und den Volumina folgender Zusammenhang:

\begin{align}
&\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = \underbrace{{p_2 \over p_1}~{V_2 \over V_1}}_{\frac{T_2}{T_1}} \\[5px]
&\left(V_1 \over V_2 \right)~\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = {p_2 \over p_1} \\[5px]
&\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa} = {p_2 \over p_1} \\[5px]
&\boxed{p_1 \cdot V_1^\kappa = p_2 \cdot V_2^\kappa} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{p \cdot V^\kappa=\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

Zusammenfassung der Gleichungen

Damit sind für eine isentrope Zustandsänderung nun alle Beziehungen zwischen den unterschiedlichen Zustandsgrößen hergeleitet und unten nochmals zusammengefasst:

\begin{alignat}{3}
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} \\[5px]
\label{3}
&T \cdot V^{\kappa-1} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1~V_1^{\kappa-1} = T_2~V_2^{\kappa-1}} \\[5px]
\label{4}
&T^\kappa \cdot p^{1-\kappa} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} \\[5px]
\label{1}
&&&&&\text{ mit } \boxed{\kappa = {c_\text{p} \over c_\text{v}}}>1 \\[5px]
\end{alignat} 

Definition

Während bei einem isochoren Prozess keine Volumenänderungsarbeit umgesetzt wird (W_V=0) und sich beim isothermen Prozess keine Änderung der inneren Energie ergibt (ΔU=0), findet bei einem sogenannten isentropen Prozess per Definition kein Wärmeumsatz über die Systemgrenze hinweg statt (Q=0). Eine isentrope Zustandsänderung muss unter der Bedingung, dass keine Wärme übertragen wird, folglich in einem adiabaten System stattfinden. Aus diesem Grund wird die isentrope Zustandsänderung auch als häufig als adiabatischer Prozess bzw. adiabater Prozess bezeichnet.

Realisierung einer näherungsweisen isentropen Zustandsänderung

Grundsätzlich ist kein System perfekt wärmeisoliert, sodass eine isentrope Zustandsänderung nur näherungsweise erfolgen kann. Aber auch wenn Systeme nicht besonders gut wärmegedämmt sind, kann man thermodynamische Prozesse unter bestimmten Voraussetzungen dennoch als näherungsweise isentrop ansehen. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn Zustandsänderungen so schnell ablaufen, dass dem System praktisch keine Zeit bleibt, um mit der Umgebung in nennenswertem Maße Wärme auszutauschen. Aus diesem Grund werden beispielsweise die innerhalb weniger Millisekunden ablaufenden Kompressions- und Expansionsvorgänge in Verbrennungsmotoren häufig als isentrop betrachtet.

Ein geschlossenes adiabates System als Voraussetzung für den isentropen Prozess lässt sich näherungsweise mit einem gasgefüllten Zylinder realisieren, der mit einem beweglichen Kolben verschlossen. Wird das Gas nun sehr schnell komprimiert, so kann eine Wärmeübertragung auf die Umgebung vernachlässigt werden und man erhält für die Zeitdauer der Zustandsänderung ein näherungsweises adiabates System. Im Idealfall sind die Wände des Zylinders noch aus einem wärmedämmenden bzw. schlecht wärmeleitendem Material.

In der Praxis stellt das schlagartige Zusammenpressen der Luft in einer Luftpumpe näherungsweise ein isentroper Prozess dar, wenn dabei das Auslassventil verschlossen wird. Nach dem Verdichten, wird man jedoch rasch einen Druckabfall beobachten, da anschließend Wärme von der eingeschlossenen Luft auf die Innenwände der Luftpumpe übertragen wird. Die Temperatur und damit der Druck sinken wieder. Die Luftpumpe stellt dann kein adiabates System mehr dar.

Darstellung im Volumen-Druck-Diagramm

Wird ein Gas in einem adiabaten System schlagartig komprimiert, so findet aufgrund der Volumenverkleinerung zunächst eine Druckerhöhung statt. Damit verbunden ist allerdings auch eine Erhöhung der Temperatur. Dies lässt sich anschaulich damit erklären, dass die Gasteilchen durch die schlagartige Bewegung des Kolbens einen zusätzlichen Impuls beim Aufprall auf die Kolbenfläche erhalten und damit ihre Geschwindigkeit erhöhen (siehe hierzu auch den Artikel Warum erhöhen sich Druck und Temperatur bei der Kompression eines Gases?). Bei Dieselmotoren ist der Temperaturanstieg während der als isentrop betrachteten Kompression gezielt gewünscht, da hierdurch die Zündtemperatur des Dieseltreibstoffs überschritten wird und der Kraftstoff sich von selbst entzündet (Selbstzündung).

Während bei einer isothermen Kompression eine Temperaturerhöhung durch eine entsprechende Wärmeabfuhr kompensiert wird, findet bei einer isentropen Kompression keine Wärmeabfuhr statt. Deshalb ist die Druckerhöhung ist bei einer isentropen Kompression größer als bei einer isothermen Kompression. Denn während bei einer isothermen Verdichtung die Druckerhöhung alleine aus der Volumenverkleinerung resultiert (die Temperatur bleibt ja konstant), findet bei einer isentropen Kompression zusätzlich eine Temperaturerhöhung statt. Diese Temperatursteigerung erhöht den Druck zusätzlich. Aus diesem Grund verläuft die isentrope Zustandsänderung im Volumen-Druck-Diagramm auf einem höheren Druckniveau und damit stets oberhalb der Zustandsänderung des isothermen Vergleichsprozesses.

Umgekehrt sinkt der Druck bei einer isentropen Expansion auf einen niedrigeren Wert ab im Vergleich zur isothermen Expansion. Auch dies kann anschaulich erklärt werden. Denn um die Temperatur bei einer isothermen Expansion konstant zu halten, wird dem Gas Wärme zugeführt. Die Teilchen behalten aufgrund der konstanten Temperatur offensichtlich ihre Bewegungsenergie bei (konstante innere Energie). Bei der isentropen Expansion wird dem Gas hingegen keine Wärmeenergie zugeführt, um die Temperatur konstant zu halten. Die Temperatur sinkt entsprechend ab. Die Druckerniedrigung resultiert bei der isentropen Expansion also nicht nur aus der Volumenvergrößerung, sondern zusätzlich noch aus der Temperaturerniedrigung. Die isentrope Expansion verläuft im Volumen-Druck-Diagramm demzufolge auf einem geringeren Druckniveau im Vergleich zu einer isothermen Expansion.

Die isentrope Zustandsänderung verläuft im Volumen-Druck-Diagramm steiler im Vergleich zu einem isothermen Prozess! 

Zusammenhang zwischen Volumen, Druck und Temperatur

Solange das Gas bei einer isentropen Zustandsänderung als ideales Gas betrachtet wird, gilt unabhängig des genauen thermodynamischen Prozesses nach wie vor die ideale Gasgleichung, mit Hilfe deren zwei Zustände wie folgt miteinander verknüpft sind:

\begin{align}
&\boxed{p \cdot V = R_\text{s} \cdot m \cdot T} ~~~\text{ideale Gasgleichung} \\[5px]
&{p \cdot V \over T}=R_\text{s} \cdot m = \text{konstant} \\[5px]
\label{kurz}
\Rightarrow~ &\boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }\\[5px]
\end{align}

Während sich an dieser Stelle bei einem isobaren Prozess der konstante Druck, bei einem isochoren Prozess das konstante Volumen, und bei einem isothermen Prozess die konstante Temperatur aus Gleichung (\ref{kurz}) herauskürzt, lassen sich bei einem isentropen Prozess nun keine konstanten Zustandsgrößen finden, die sich gegenseitig herauskürzen.

Es können jedoch eindeutige Zusammenhänge zwischen jeweils zwei Zustandsgrößen hergeleitet werden, wenn neben der idealen Gasgleichung zusätzlich noch die spezielle Bedingung für den isentropen Prozess mit Q=0 im ersten Hauptsatz der Thermodynamik berücksichtigt wird. Nach komplexerer mathematischer Herleitung (siehe Artikel Herleitung der Formeln für den isentropen „adiabaten“ Prozess), ergeben sich folgende Zusammenhänge bei einem isentropen Prozess:

\begin{alignat}{3}
\label{2}
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} \\[5px]
\label{3}
&T \cdot V^{\kappa-1} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1~V_1^{\kappa-1} = T_2~V_2^{\kappa-1}} \\[5px]
\label{4}
&T^\kappa \cdot p^{1-\kappa} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} \\[5px]
\label{1}
&&&&&\text{ mit } \boxed{\kappa = {c_\text{p} \over c_\text{v}}}>1 \\[5px]
\end{alignat}

Da bei der Herleitung dieser Gleichungen der Quotient aus den spezifischen Wärmekapazitäten c_p und c_v sehr häufig auftritt, wird dieser praktischerweise zum sogenannten Isentropenexponent κ (Adiabatenexponent) zusammengefasst. Dieser Isentropenexponent ist einheitenlos und grundsätzlich größer 1, da die spezifische Wärmekapazität c_p stets größer c_v ist (siehe hierzu auch den Artikel Spezifische Wärmekapazität von Gasen).

Betrachtet man den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen gemäß Gleichung (\ref{2}), so wird nun auch auf mathematischem Wege deutlich, dass die Zustandsänderung im Volumen-Druck-Diagramm für einen isentropen Prozess steiler verläuft als die des isothermen Prozesses:

\begin{align}
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant} \\[5px]
&\boxed{p \sim {1 \over V^\kappa}} ~~~\text{isentroper Prozess}\\[5px]
&\boxed{p \sim {1 \over V}} ~~~\text{isothermer Prozess}\\[5px]
\end{align}

Beim isothermen Prozess nimmt der Druck mit größer werdendem Volumen nach der Gesetzmäßigkeit p~1/V ab. Bei der isentropen Zustandsänderung hingegen verringert sich der Druck nach der Gesetzmäßigkeit p~1/V^κ. Da der Isentropenexponent κ allerdings stets größer 1 ist, fällt der Druck bei einer isentropen Volumenvergrößerung offensichtlich schneller ab als beim isothermen Prozess. Folglich verläuft die Isentrope im Volumen-Druck-Diagramm steiler als die Isotherme.

Berechnung der Änderung der inneren Energie

Für ideale Gase ergibt sich die Änderung der inneren Energie ΔU unabhängig des thermodynamischen Prozesses lediglich anhand der Temperaturänderung ΔT=T₂-T₁:

\begin{align}
\label{a}
&\boxed{ \Delta U = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right)} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Gleichung nach dem Temperaturverhältnis T₂/T₁ umgestellt, so kann die Änderung der inneren Energie bei gegebener Anfangstemperatur T₁ durch Verknüpfung mit Gleichung (\ref{3}) bzw. Gleichung (\ref{4}) auch über das Volumenverhältnis bzw. das Druckverhältnis ermittelt werden:

\begin{align}
& \Delta U = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
& \Delta U = c_\text{v}~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
& \boxed{\Delta U = c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1}}-1 \right]} \\[5px]
\label{c}
& \boxed{\Delta U = c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-\kappa} \over \kappa}}-1 \right]} \\[5px]
\end{align}

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Wie bei jedem (reversiblen) thermodynamischen Prozess ergibt sich die Volumenänderungsarbeit des Gases als Fläche unterhalb der Zustandskurve im Volumen-Druck-Diagramm. Diese Fläche lässt sich grundsätzlich durch Integration der Druckfunktion p(V) ermitteln. Bei genauerer Betrachtung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik zeigt sich allerdings, dass unter der Bedingung Q=0 die Volumenänderungsarbeit gerade der Änderung der inneren Energie entspricht:

\begin{align}
&\boxed{W_\text{V} + Q = \Delta U} ~~~\text{Erster Hauptsatz}\\[5px]
&\boxed{W_\text{V} = \Delta U} \\[5px]
\end{align}

Dass die Änderung der inneren Energie gerade der Volumenänderungsarbeit entspricht, wird auch anschaulich sehr schnell klar. Aufgrund des fehlenden Wärmeumsatzes muss bei einer Kompression die am Gas verrichtete Volumenänderungsarbeit vollständig der inneren Energie zugutekommen. Umgekehrt vollzieht sich eine vom Gas erbrachte Volumenänderungsarbeit vollständig auf Kosten der inneren Energie, da sie offensichtlich nicht aus einem Wärmeumsatz entstammen kann. Zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit W_V während eines isentropen Prozesses können also die Gleichungen (\ref{a}) bis (\ref{c}) benutzt werden:

\begin{align}
& W_\text{V} = c_\text{v}~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&W_\text{V} = c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1}}-1 \right] \\[5px]
&W_\text{V} = c_\text{v}~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-\kappa} \over \kappa}}-1 \right] \\[5px]
\end{align}

Wichtige Anmerkung

Achtung: Nicht alle Prozesse, die in einem adiabaten System ablaufen, müssen zwangsweise den in diesem Artikel erläuterten Gleichungen folgen! Deshalb ist die Bezeichnung adiabatischer Prozess an mancher Stelle auch etwas irreführend. Die strenge Definition des isentropen Prozesses lautet wie folgt:

Ein isentroper Prozess ist eine reversible Zustandsänderung eines adiabaten Systems!

An dieser Stelle ist der Begriff „reversibel“ entscheidend! Mehr Informationen, speziell zu dieser Thematik, finden sich auch im Artikel Freie Ausdehnung eines idealen Gases im Vakuum.

Eine Zustandsänderung bei der sich die Temperatur nicht ändert, bezeichnet man auch als isothermen Prozess. Alle Zustände, die das Gas während eines solchen Prozesses durchläuft, zeichnen sich also durch eine konstante Temperatur aus.

Realisierung eines isothermen Prozesses

Eine isotherme Zustandsänderung in einem geschlossenen System liegt zum Beispiel dann vor, wenn eventuell auftretende Temperaturänderungen sofort durch die Abfuhr oder Zufuhr von Wärme ausgeglichen werden. Wird eine Luftpumpe bei geschlossen gehaltenem Auslassventil zusammengedrückt, so wird das Gas im Inneren komprimiert. Dies ist normalerweise mit einem Anstieg der Temperatur verbunden. Kühlt man allerdings gleichzeitig das Gas, so kann während der Verdichtung die Temperatur hierdurch konstant gehalten werden. Umgekehrt muss bei einem isothermen Expansionsvorgang dem Gas Wärme zugeführt werden, um der ansonsten eintretenden Temperaturerniedrigung entgegenzuwirken.

Eine isotherme Zustandsänderung lässt sich näherungsweise dadurch realisieren, dass man den Expansions- oder Kompressionsvorgang so langsam ablaufen lässt, dass eventuell auftretende Temperaturänderungen sehr rasch von der Umgebung (durch Wärmeabfuhr oder Wärmezufuhr) wieder ausgeglichen werden. Man stelle sich nur vor, man komprimiere die Luft einer Luftpumpe nicht innerhalb weniger Sekunden, sondern über mehrere Minuten bzw. Stunden. In diesem Fall wird sich keine merkliche Temperaturerhöhung während der Kompression feststellen lassen und der Vorgang kann als quasi-isotherm betrachtet werden.

Darstellung im Volumen-Druck-Diagramm

Wird ein Gas bei einer Temperatur T isotherm komprimiert, so wird sich das Gasvolumen von einem Anfangswert V₁ auf einen Endwert V₂ verkleinern. Dies ist mit einer entsprechenden Druckerhöhung von p₁ auf p₂ verbunden. Gemäß der idealen Gasgleichung verhalten sich Druck und Volumen bei einem isothermen Vorgang umgekehrt proportional. Der genaue Zusammenhang zwischen Druck und Volumen p(V) ergibt sich durch Umstellen der thermischen Zustandsgleichung nach dem Druck p:

\begin{align}
\label{eq:6942}
&p~V = R_\text{s}~m~T ~~~\text{thermische Zustandsgleichung}\\[5px]
\label{pv}
&\boxed{p ={ \underbrace{R_\text{s}~m~T}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V}}} ~\Rightarrow~ p \sim {1 \over V}
\end{align}

Beachte, dass neben der spezifischen Gaskonstante R_s und der Masse m (geschlossenes System), nun auch die Temperatur T konstant ist. Somit ist natürlich auch das Produkt aller drei Größen konstant (R_s⋅m⋅T = konstant). Der isotherme Prozess stellt sich im p(V)-Diagramm folglich als Hyperbel dar.

Zusammenhang zwischen Druck und Volumen (Gesetz von Boyle-Mariotte)

Bei einem isothermen Prozess sinkt der Druck umgekehrt proportional mit ansteigendem Volumen. Eine Verdopplung des Volumens bei einem isothermen Expansionsvorgang bedeutet somit eine Halbierung des Gasdrucks. Umgekehrt bedeutet eine Halbierung des Volumens bei einer Kompression eine Verdopplung des Drucks. Diese umgekehrte Proportionalität ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass das Produkt von Volumen und Druck bei einem isothermen Prozess stets konstant ist. Diese Gesetzmäßigkeit bezeichnet man auch als Gesetz von Boyle-Mariotte:

\begin{align}
p \sim {1 \over V} ~\Rightarrow~ {p \cdot V} = \text{konstant}
\end{align}

Zwei beliebige Zustände innerhalb eines isothermen Prozesses sind folglich durch das Produkt von Druck und Volumen miteinander verknüpft:

\begin{equation}
\label{3} 
\boxed{ {p_1 \cdot V_1} = {p_2 \cdot V_2} } ~\text{Gesetz von Boyle-Mariotte}
\end{equation}

Berechnung der Änderung der inneren Energie

Die Änderung der inneren Energie ΔU ergibt sich grundsätzlich direkt über die Temperaturänderung ΔT=T₂-T₁. Da sich bei einem isothermen Prozess die Temperatur allerdings nicht ändert (T₁=T₂), ändert sich folglich auch die innere Energie nicht. Dies wird auch bereits aus der physikalischen Deutung der Temperatur als Maß für die Bewegungsenergie der Gasteilchen ersichtlich. Denn wenn sich die Temperatur nicht ändert, dann ändern sich auch die Geschwindigkeiten der Gasteilchen nicht und die innere Energie des Gases bleibt konstant.

\begin{equation}
\boxed{ \Delta U = 0}
\label{eq:1203}
\end{equation}

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Die vom Gas verrichtete (Volumenänderungs-)Arbeit während der isothermen Kompression kann nicht mehr einfach als Produkt aus Druck p und Volumenänderung ΔV ermittelt werden, wie dies beim isobaren Prozess der Fall war. Schließlich ändert sich mit kleiner werdendem Volumen während des Kompressionsprozesses auch stetig der Druck. Dies bedeutet, dass mit fortschreitender Kompression eine immer größere Kraft und damit immer mehr Arbeit verrichtet werden, um eine weitere Verkleinerung des Volumens zu erreichen. Dies wird auch anhand des p(V)-Diagramms ersichtlich. Darin entspricht die Fläche unter der Prozesskurve der umgesetzten Volumenänderungsarbeit (hier: Kompressionsarbeit). Die Fläche unter der Kurve nimmt mit kleiner werdendem Volumen immer stärker zu.

An dieser Stelle muss die Volumenarbeit W_V als Fläche unter der Kurve anhand des Integrals -∫p(V) dV ermittelt werden. Für den Verlauf des Druckes ist die Funktion p(V) nach Gleichung (\ref{pv}) zu verwenden:

\begin{align}
\label{eq:5671}
W_\text{V} &= – \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V ~~~~~ \text{ mit } ~~~~~ p(V) = R_\text{s}~m~T \cdot {1 \over V} ~~~~~ \text{ folgt: }  \\[5px]
&= – \int\limits_{V_1}^{V_2} \underbrace{R_\text{s}~m~T}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V} ~ \text{d}V \\[5px]
&= – R_\text{s}~m~T~ \int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over V} ~ \text{d}V \\[5px] &= – R_\text{s}~m~T~ \left[~\ln(V)~\right]^{V_1}_{V_2} \\[5px]
&= – R_\text{s}~m~T~ \left[ \ln(V_2) – \ln(V_1) \right] \\[5px]
&= R_\text{s}~m~T~ \left[ \ln(V_1) – \ln(V_2) \right] ~\text{ mit }~ \underline{\ln(V_1) – \ln(V_2) = \ln \left(V_1 \over V_2 \right)} ~\text{ folgt: } \\[5px]
\end{align}

\begin{equation}
\boxed{W_\text{V} = R_\text{s}~m~T \cdot \ln \left(V_1 \over V_2 \right)} = R_\text{s}~m~T \cdot \ln \left(p_2 \over p_1 \right)
\label{eq:4387}
\end{equation}

Beachte, dass die Volumenänderungsarbeit auch über das Verhältnis der Drücke ermittelt werden kann, da das Verhältnis der Volumina (V₁/V₂) gemäß Gleichung (\ref{3}) dem umgekehrten Verhältnis der Drücke entspricht (p₂/p₁=V₁/V₂).

Berechnung der Wärmeenergie

Die am Gas bzw. vom Gas verrichtete Volumenänderungsarbeit W_V resultiert aufgrund des isothermen Vorgangs offensichtlich nicht in einer Änderung der inneren Energie. Dies ist natürlich nur dann möglich, wenn die zu- oder abgeführte Arbeit im selben Maße durch eine Ab- oder Zufuhr von Wärme kompensiert wird. Arbeit und Wärme Q sind betragsmäßig also gleich groß, tragen jedoch umgekehrte Vorzeichen. Dies wird auch sofort aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik mit der Bedingung ΔU=0 ersichtlich:

\begin{align}
&W_\text{V} + Q = \overbrace{\Delta U}^{=0} ~~~~~\text{Erster Hauptsatz}  \\[5px]
&\boxed{Q = – W_\text{V}}
\end{align}

Ändert sich bei einer Zustandsänderung das Volumen des eingeschlossenen Gases nicht, so spricht man auch von einer isochoren Zustandsänderung bzw. einem isochoren Prozess. Für alle Zustände, die das Gas zwischen Anfangs- und Endzustand durchläuft, gilt demnach dasselbe Volumen.

Realisierung eines isobaren Prozesses

Eine isochore Zustandsänderung in einem geschlossenen System findet man zum Beispiel bei einer mit Luft gefüllten, verschlossenen Gasflasche wieder, die sich im Sommer durch Sonneneinstrahlung erwärmt. Das Gasvolumen ist dabei alleine durch das Flaschenvolumen vorgegeben. Wird von der vernachlässigbaren Wärmeausdehnung der Flasche abgesehen, so wird das Flaschenvolumen und damit das Gasvolumen bei Erwärmung stets konstant bleiben. Die Zustandsänderung des Gases, findet demzufolge bei konstantem Volumen statt.

Darstellung im Volumen-Druck-Diagramm

Wird dem Gas durch die Sonneneinstrahlung nun Wärme zugeführt, so wird die Gastemperatur vom Ausgangswert T₁ auf einen Endwert T₂ ansteigen. Damit verbunden ist auch ein Druckanstieg vom Anfangsdruck p₁ auf einen Enddruck p₂. Wird dieser isochore Prozess im p(V)-Diagramm veranschaulicht, so zeigt sich bei konstantem Volumen V eine vertikale Linie vom Ausgangsdruck p₁ auf den Enddruck p₂.

Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur (Gesetz von Amontons)

Bei einem isochoren Prozess steigt der Druck proportional mit der Temperatur an. Diese Aussage gilt allerdings nur, wenn die Temperatur in der Einheit Kelvin angegeben wird. Eine Verdopplung der Temperatur bei einer isochoren Erwärmung bedeutet somit auch eine Verdopplung des Gasdrucks. Diese Proportionalität ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass Druck und Temperatur bei einem isochoren Prozess stets in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen. Diese Gesetzmäßigkeit bezeichnet man auch als Gesetz von Amontons:

\begin{align}
&p \sim T ~\Rightarrow~ {p \over T} = \text{konstant}
\end{align}

Zwei beliebige Zustände innerhalb eines isochoren Prozesses sind folglich durch den konstanten Quotienten von Druck und Temperatur miteinander verknüpft:

\begin{align}
\label{1}
\boxed{ {p_1 \over T_1} = {p_2 \over T_2} } ~\text{Gesetz von Amontons}
\end{align}

Berechnung der Änderung der inneren Energie

Für ideale Gase ergibt sich die Änderung der inneren Energie ΔU unabhängig des thermodynamischen Prozesses lediglich anhand der Temperaturänderung ΔT=T₂-T₁:

\begin{align}
\label{2}
\boxed{ \Delta U = c_\text{v} ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right)} = c_\text{v} ~ m ~ T_1 \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_\text{v} ~ m ~ T_1 \left({p_2 \over p_1}-1 \right)
\end{align}

Darin bezeichnet c_v die spezifische Wärmekapazität und m die Masse des Gases. Die Änderung der inneren Energie kann auch über den Anfangs- und Enddruck ermittelt werden. Hierzu muss lediglich Gleichung (\ref{1}) mit Gleichung (\ref{2}) verknüpft werden. Dabei wird T₁ in Gleichung (\ref{2}) zunächst ausgeklammert, sodass sich innerhalb des Klammerausdrucks das Verhältnis der Temperaturen T₂/T₁ ergibt. Das Verhältnis dieser Temperaturen entspricht nach Gleichung (\ref{1}) auch dem Verhältnis der Drücke (T₂/T₁=p₂/p₁). Somit lässt sich anhand der Anfangstemperatur T₁ und den Drücken ebenfalls die Änderung der inneren Energie ermitteln.

Berechnung der Volumenänderungsarbeit

Da sich das Gasvolumen während der isochoren Zustandsänderung nicht ändert (ΔV=0), kann weder am Gas noch vom Gas Volumenänderungsarbeit verrichtet werden (W_V=0). Dies wird auch anhand des p(V)-Diagramms ersichtlich. Aufgrund der vertikalen Linie ergibt sich keine Fläche unterhalb der Prozesskurve und somit auch keinen Arbeitsumsatz (Beachte, dass die Fläche unter der Prozesskurve – sofern sie denn existiert – ganz allgemein die umgesetzte Volumenänderungsarbeit darstellt).

\begin{align}
\label{3}
\boxed{ W_\text{V} = 0}
\end{align}

Berechnung der Wärmeenergie

Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik lässt sich schließlich auch die zu- oder abgeführte Wärmeenergie während einer isochoren Zustandsänderung berechnen.

\begin{align}
\boxed{W_\text{V} + Q = \Delta U} ~~~ \text{Erster Hauptsatz}  \\[5px]
\end{align}

Da keine (Volumenänderungs-)Arbeit bei der isochoren Zustandsänderung verrichtet wird (W_V=0), entspricht der Wärmeumsatz Q direkt der Änderung der inneren Energie ΔU. Dies wird auch anschaulich klar, denn wohin soll die zugeführte Wärme sonst gelangen, wenn sie sich nicht in Volumenänderungsarbeit niederschlägt? Der Wärmeumsatz kann also nur in einer Änderung der inneren Energie resultieren. Der Wärmeumsatz bei einem isochoren Prozess ermittelt sich also auf identischem Wege wie die Änderung der inneren Energie.

\begin{align}
&Q = \Delta U – \underbrace{W_\text{V}}_{=0} = \Delta U \\[5px]
&\boxed{Q = \Delta U} = c_\text{v} \cdot m \cdot \Delta T = c_\text{v} ~ m ~ T_1 \left({p_2 \over p_1}-1 \right)
\end{align}