Einleitung

Getriebe gibt es je nach Anwendungszweck in vielen unterschiedlichen Bauformen, z.B. als Zahnradgetriebe, Zugmittelgetriebe, Wälzkörpergetriebe, Schneckengetriebe, Planetengetriebe, etc. Die grundsätzlichen physikalischen Vorgänge zur Wandlung von Drehzahl und Drehmoment bzw. Geschwindigkeit und Kraft sind jedoch bei allen Getriebearten identisch. Bevor auf die Funktionsweise von Getrieben jedoch näher eingegangen wird, sollen die wichtigsten Getriebearten kurz erläutert werden. Detailliertere Informationen finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln wieder.

Zahnradgetriebe

Beim Zahnradgetriebe greifen Zahnräder ineinander und wandeln damit formschlüssig die Drehzahl bzw. das Drehmoment der Antriebwelle auf den jeweils gewünschten Wert an der Abtriebswelle. Als Antriebswelle bezeichnet man dabei den Getriebeeingang. Dies entspricht jener Welle die mit dem Motor verbunden ist und dessen Drehzahl bzw. Drehmoment durch das Getriebe geändert werden soll. Die Abtriebswelle entspricht folglich dem Getriebeausgang.

Als formschlüssige Kraftübertragung bezeichnet man die Übertragung von Kräften durch ineinander greifende geometrische Formen!

Die untere Animationen zeigt schematisch ein 3-stufiges Zahnradgetriebe. Bei der Betrachtung fällt auf, dass sich bei jeder Zahnradpaarung der Drehsinn der Zahnräder ändert! Rotiert also bspw. das treibende Zahnrad gegen den Uhrzeigersinn, so wird sich das hierdurch angetriebene Zahnrad im Uhrzeigersinn drehen. Diese Umkehrung der Drehrichtung muss bei der Konstruktion von Zahnradgetrieben bedacht werden.

Bei Zahnradgetrieben ändert sich der Drehsinn mit jeder Zahnradpaarung (Getriebestufe)!

Zugmittelgetriebe

Beim Zugmittelgetriebe erfolgt die Wandlung von Drehzahl und Drehmoment mithilfe von Rädern, die sich gegenseitig über Zugmittel antreiben. Zugmittel können Riemen oder Ketten sein. Im Falle von Riemen spricht man auch von Riemengetriebe (kurz: Riementriebe) bzw. bei der Verwendung von Ketten als Zugmittel auch von Kettengetriebe (kurz: Kettentriebe). Die Getrieberäder bei Riementrieben werden auch als Riemenscheiben bezeichnet, während man bei Kettengetriebe von Kettenrädern spricht.

Während die Kraftübertragung bei Ketten ebenfalls formschlüssig geschieht, erfolgt die Kraftübertragung bei Riemengetrieben nicht durch ineinander greifende Formen sondern durch Reibungskräften zwischen Riemen und Scheibe. Man spricht in einem solchen Fall von einer reibschlüssigen Kraftübertragung bzw. etwas unpräzise von einem Kraftschluss.

Als reibschlüssige (kraftschlüssige) Kraftübertragung bezeichnet man die Übertragung von Kräften durch Reibung!

Der Vorteil von reibschlüssigen Kraftübertragungen besteht in der funktionsbedingt integrierten Überlastsicherung. Während bspw. bei Zahnradgetrieben die Zähne bei Überlast brechen könnten oder die Ketten bei Kettengetriebe reißen könnten, wird bei Riemengetrieben der Riemen bei Überlast lediglich über die Riemenscheibe gezogen. Riemengetriebe werden deshalb sehr häufig dort eingesetzt, wo mit vielen Lastspitzen zu rechnen ist, z.B. bei Kegelbrechern oder Backenbrechen zur Zerkleinerung von Steinen.

Die obere abgebildete Animation zeigt schematisch ein 3-stufiges Zugmittelgetriebe. Anders als bei Zahnradgetrieben oder den nachfolgend erläuterten Reibradgetrieben, fällt auf, dass sich der Drehsinn der einzelnen Riemenscheiben in der dargestellten Weise nicht ändert. Dies muss bei Riemengetrieben aber nicht zwangsläufig der Fall sein. Um eine Drehrichtungsumkehr zu erzielen können die einzelnen Riemen auch gekreuzt werden (gekreuzter Riementrieb).

Reibradgetriebe

Bei speziellen reibschlüssigen Getreiben können die zahnlosen Getrieberäder auch direkt aufeinander abwälzen. Man spricht dann von einem Wälzkörpergetriebe. Die unten abgebildete Animation zeigt ein Wälzkörpergetriebe in Form eines sogenannten Reibradgetriebes.

Vorteil eines Reibradgetriebes gegenüber dem Zahnradgetriebe liegt darin, dass bei Überlast die Reibräder einfach durchrutschen und somit das Getriebe vor größeren Schäden schützen. Nachteilig ist jedoch der geringere Wirkungsgrad, da es aufgrund nicht optimaler Haftungsverhältnisse zwischen zwei Reibrädern zu Relativbewegungen kommt. Ein solches minimales Abrutschen der Räder wird bei reibschlüssiger Kraftübertragung immer vorhanden sein. Man bezeichnet dies in der Fachsprache auch als Schlupf und mindert den Wirkungsgrad entsprechend. Schlupf tritt auch bei Riemengetrieben zwischen Riemen und Riemenscheibe auf.

Als Schlupf bezeichnet man die Relativbewegung zwischen treibendem Element und getriebenem Element bei reibschlüssigen Kraftübertragungen!

Ebenfalls führen die elastischen Verformungen der Reibräder bzw. der Riemen an den Kontaktstellen zu Wirkungsgradverlusten, da das permanente „Walken“ mit hohen Kräften verbunden ist. Die umgesetzte Walkarbeit mach sich in einer Erwärmung der Räder bzw. des Riemens bemerkbar.

Wo werden Getriebe verwendet?

Im Maschinenbau finden sich sehr viele technische Systeme wieder, die entweder per Muskelkraft oder von Hilfsmitteln wie Motoren angetrieben werden. So wird bspw. das Hinterrad eines Fahrrades entweder über die Muskulatur des Radfahrers oder über einen Elektromotor angetrieben. Auch in Bohrmaschinen oder Autos werden Motoren in Form von Elektromotoren bzw. Verbrennungsmotoren genutzt. Diese Motoren liefern die benötigte Energie an jene Bauteile, die diese Energie dann in letzter Instanz umsetzen, z.B. an das Bohrfutter bei einer Bohrmaschine oder an das Hinterrad eines Fahrrades.

Alle diese unterschiedlichen Beispiele haben allerdings eines gemeinsam. Die mechanische Leistung der Motoren wird in der Regel nicht direkt genutzt. Vielmehr muss die Leistung je nach Situation auf unterschiedliche Art und Weise bereitgestellt werden. Beim Anfahren mit einem Auto bzw. einem Fahrrad sollte die „Kraft“ die hinter der Antriebsleistung steht möglichst groß sein, um das jeweilige Fahrzeug erst einmal in Bewegung setzen zu können.

Später dann steht eher die „Geschwindigkeit“ im Vordergrund, um in kurzer Zeit möglichst große Distanzen überwinden zu können. Die Leistung kann also zum einen auf eine möglichst große Kraft oder auf eine große Geschwindigkeit ausgelegt sein. Genau diese Steuerung zwischen Kraft und Geschwindigkeit (genauer: zwischen Drehmoment und Drehzahl) übernehmen sogenannte Getriebe. Sie stellen wichtige Elemente im Maschinenbau dar.

Getriebe steuern die zugeführte Leistung zugunsten einer hohen Geschwindigkeit (Drehzahl) oder zugunsten einer großen Kraft (Drehmoment)!

Darüber hinaus haben Getriebe auch die Aufgabe die Drehrichtung zu beeinflussen. Man denke bspw. an den Rückwärtsgang eines Autos. Getriebe erfüllen also grundsätzlich folgende Aufgaben:

• Leistungsübertragung
• Beeinflussung der Drehrichtung
• Steuerung der Drehzahl und des Drehmomentes

Leistung

Die mechanische Leistung ergibt sich bei translatorischen Bewegungen über das Produkt von Kraft F und Geschwindigkeit v und bei rotatorischen Bewegungen über das Produkt von Drehmoment M und Drehzahl n:

\begin{align}
&\boxed{P = F \cdot v} ~~~~~\text{Translationsleistung} \\[5px]
\label{p}
&\boxed{P = 2 \pi \cdot M \cdot n} ~~~~~\text{Rotationsleistung}\\[5px]
\end{align}

Im Kapitel mechanische Leistung wird auf die Herleitung dieser Formeln und deren Erläuterung näher eingegangen.

Da ein Getriebe immer nur einer der beiden Größen (Geschwindigkeit oder Kraft bzw. Drehzahl oder Drehmoment) zugunsten oder zulasten der jeweils anderen Größe verändern kann, bleibt die mechanische Leistung dabei stets konstant. Dies Tatsache ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes, denn könnten beide Einflussgrößen gleichzeitig verringert bzw. vergrößert werden, dann würde ein Getriebe Energie vernichten bzw. aus dem Nichts erzeugen (siehe nächster Abschnitt).

Ein Getriebe ändert also nicht die zugeführte mechanische Leistung sondern nur das Verhältnis von Geschwindigkeit und Kraft bzw. das Verhältnis von Drehzahl und Drehmoment, was hinter der Leistung steht! Dies gilt natürlich nur solange wie von Reibungsverlusten abgesehen wird. Unter Berücksichtigung von Reibungseffekten wird die Getriebeausgangswelle tatsächlich eine leicht geringere Leistung aufweisen als die Getriebeeingangswelle. In keinem Fall kann ein Getriebe jedoch die Leistung erhöhen!

Durch ein Getriebe wird die kinetische Leistung nicht verändert (abgesehen von Reibungseffekten, die die Leistung mindern)!

Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehzahl

Die mechanische Leistung P einer rotierenden Welle ist gemäß Gleichung (\ref{p}) vom Drehmoment M und von der Drehzahl n abhängig. Wird von Reibungsverlusten abgesehen, so muss aufgrund des Energieerhaltungssatzes die zugeführte mechanische Leistung an der treibenden Welle genauso groß sein wie die entnommene Leistung an der getriebenen Welle. Denn schließlich wird die innerhalb einer bestimmten Zeit erbrachte Arbeit im Idealfall vollständig von der treibenden Welle auf die getriebene Welle übertragen.

Wird also die mechanische Leistung der treibenden Welle P₁ (Getriebeeingang) und der getriebenen Welle P₂ (Getriebeausgang) aufgrund des Energieerhaltungssatzes gleichgesetzt, so führt dies zu folgendem Zusammenhang zwischen Drehzahl und Drehmoment:

\begin{align}
&P_1 = P_2 \\[5px]
&2 \pi \cdot M_1 \cdot n_1 = 2 \pi \cdot M_2 \cdot n_2 \\[5px]
&\boxed{M_1 \cdot n_1 = M_2 \cdot n_2} \\[5px]
\end{align}

Bei gegebenem Drehmoment und Drehzahl am Getriebeeingang, ist die linke Seite der Gleichung konstant. Somit muss offensichtlich auch das Produkt auf der rechten Seite der Gleichung, d.h. das Produkt von von Drehmoment und Drehzahl am Getriebeausgang, diesem konstanten Wert entsprechen. Eine Erhöhung des Drehmomentes durch das Getriebe muss somit unweigerlich mit einer im selben Maße verringerten Drehzahl einhergehen. Umgekehrt führt eine Erhöhung der Drehzahl zur Verringerung des Drehmomentes im selben Maße

Die analogen Zusammenhänge gelten auch für eine Translationsbewegung, die ein Getriebe immer nur zugunsten oder zulasten einer der beiden Größen (Kraft oder Geschwindigkeit) zu verändern mag:

\begin{align}
&P_1 = P_2 \\[5px]
&\boxed{F_1 \cdot v_1 =F_2 \cdot v_2} \\[5px]
\end{align}

Auf welche Weise die Wandlung von Drehmoment und Drehzahl (bzw. zwischen Kraft und Geschwindigkeit) bei einem Getriebe erfolgt, ist im Artikel Wie funktioniert ein Getriebe? näher erläutert.

Einleitung

Zahnräder von Getrieben unterliegen aufgrund von Gleitvorgängen an den Flanken dem Verschleiß. Deshalb müssen die Zähne im Allgemeinen eine harte und damit verschleißfeste Oberfläche aufweisen. Hierzu muss die Oberfläche unter Umständen gezielt beeinflusst werden. Bei Zahnräder aus Stahl kann eine harte und verschleißfeste Zahnflanke zum Beispiel durch Oberflächenhärten (Randschichthärten) mittels Induktionshärten oder Einsatzhärten erzielt werden.

Eine weitere Möglichkeit zur Reduktion des Verschleißes ist das Aufdampfen spezieller Schichten auf die Oberfläche des Zahnrades. So können bestimmte Stähle (Nitrierstähle) zum Beispiel durch das Behandeln mit Stickstoff eine harte und verschleißfeste Nitridschicht an der Oberfläche bilden (Nitrierhärten genannt). Häufig sind Schnecken eines Schneckengetriebes aus Nitrierstahl gefertigt.

Solche Oberflächenbehandlungen sind allerdings nicht für jeden Zahnradwerkstoff geeignet (z.B. Zahnräder aus Kunststoff) bzw. wirtschaftlich sinnvoll oder sie reichen alleine nicht aus, um den Verschleiß auf das gewünschte Maß zu reduzieren. In der Regel müssen Zahnradgetriebe deshalb zusätzlich geschmiert werden, um die Verschleißerscheinungen an den Zähnen so gering wie möglich zu halten. Die nachfolgend vorgestellten Maßnahmen zur Minderung des Verschleißes nehmen in ihrer Wirkung jeweils zu.

Arten von Schmierstoffen

Bei der sogenannten Trockenschmierung werden nicht-flüssige Schmierstoffe wie zum Beispiel Graphit verwendet. Die Minderung des Verschleißes ist im Allgemeinen effektiver als die bloße Oberflächenbehandlung.

Bei der Trockenschmierung berühren sich die kraftübertragenden Elemente über reibungsmindernde Feststoffe!

Im Vergleich zur Trockenschmierung kann durch Verwendung von flüssigen Schmierstoffen (Schmieröle) oder pastenartige Schmiermittel (Schmierfette) der Verschleiß an den Zahnflanken nochmals deutlich reduziert werden (Flüssigkeitsschmierung).

Bei der Flüssigkeitsschmierung berühren sich die kraftübertragenden Elemente über einen reibungsmindernden Flüssigkeitsfilm!

Lässt der Flüssigkeitsfilm dabei keinerlei Berührpunkte zwischen den Festkörpern zu, so liegt eine reine Flüssigkeitsreibung vor. Voraussetzung hierfür ist, dass das Schmiermittel unter hohem Druck steht, um die nötigen Kräfte für das Auseinanderhalten der Festkörper aufbringen zu können. Der Verschleiß für eine reine Flüssigkeitsreibung ist praktisch null. In der Regel haben die Zahnflanken allerdings noch direkten Kontakt miteinander. Man spricht dann von einer Mischreibung zwischen Flüssigkeitsreibung und Festkörperreibung.

Wartung

Die bei einer Flüssigkeitsschmierung verwendeten Schmieröle bzw. Schmierfette unterliegen im Allgemeinen Alterungserscheinungen. Schmutzpartikel oder Abrieb von den reibenden Kontaktstellen werden über die Zeit in die Öle oder Fette eingetragen. Aus diesem Grund müssen Schmieröle und Schmierfette regelmäßig erneuert bzw. nachgefüllt werden. Dies ist auch Anlass für den regelmäßigen Ölwechsel bei Autos.

Schmierstoffe unterliegen Alterungserscheinungen und müssen regelmäßig überprüft und ggf. erneuert werden!

Gewährleistung der Schmierwirkung

Während Schmierfette aufgrund ihres zähflüssigen Verhaltens an den zu schmierenden Bauteilen haften, werden sich die flüssigen Schmieröle allerdings mit der Zeit von den Zahnrädern absetzen. Um dennoch eine permanente Schmierung zu gewährleisten genügt es bspw. wenn eines der Zahnräder in ein Ölbad eintaucht und durch Planscheffekte das Schmieröl im gesamten Getrieberaum verteilt. Durch den Widerstand beim Eintauchen in die Ölwanne entstehen allerdings zusätzlich Wirkungsgradverluste.

Dieses Prinzip des Eintauchens kann allerdings nur in geschlossenen Getrieben zur Anwendung kommen, bei denen das Gehäuse entsprechend abgedichtet ist. Bei technischen Geräten, die in unterschiedlichen Positionen genutzt werden (wie bspw. ein Abbruchhammer), muss zusätzlich sichergestellt sein, dass die Schmierung in jeder erdenklichen Position gewährleistet ist und mindestens ein Zahnrad entsprechend in das Ölbad eintaucht.

Zudem sollte bei der Konstruktion von geschlossenen Getrieben darauf geachtet werden, dass ein späterer Ölwechsel bzw. das Befüllen von neuem Öl problemlos möglich ist, ohne das Getriebe komplett zerlegen zu müssen. Aus diesem Grund ist bei solchen Getrieben häufig eine Ölablassschraube angebracht, die einen unkomplizierten Ölwechsel ermöglicht, ohne dabei das Getriebegehäuse auseinander bauen zu müssen.

Zudem muss beachtet werden, dass sich das Getriebe im Betrieb erwärmt. Dies führt zu einem Überdruck im abgedichteten Gehäuse. Ein zu starker Druck kann unter Umständen dazu führen, dass des Getriebeöl trotz Dichtungen aus dem Gehäuse gedrückt wird. Aus diesem Grund werden Getriebe, die einer starken Erwärmung ausgesetzt sind, mit einem Entlüftungsventil ausgestattet, über das der Überdruck abgebaut werden kann.

Um sicherzustellen, dass immer genügend Öl im Getriebegehäuse vorhanden ist, ist dieses häufig mit einer Füllstandsanzeige versehen. Diese muss in regelmäßigen Abständen kontrolliert und gegebenenfalls Öl nachgefüllt werden. Die untere Abbildung zeigt die Ölstandanzeige eines Abbruchhammers. In diesem Fall dient die Ölanzeige gleichzeitig als Ölablassschraube über die auch das Öl direkt nachgefüllt wird.

Definition

Die untere Abbildung zeigt schematisch ein Zahnradgetriebe, dessen grundsätzliche Funktion im Artikel Funktionsweise detaillierter erläutert wurde. Wie diese Animation deutlich macht, besteht ein Getriebe in der Regel nicht nur aus einem Zahnradpaar besteht sondern aus mehreren, die jeweils auf unterschiedlichen Wellen befestigt sind. Jedes Paar das dabei ineinander greift, stellt dabei eine sogenannte Getriebestufe dar.

Eine Getriebestufe zeichnet sich dadurch aus, dass sich zwischen einem treibenden Rad und einem getriebenen Rad, die Drehzahl bzw. das Drehmoment ändert. Das oben abgebildete Getriebe besteht aus insgesamt drei Getriebestufen, wobei sich jeder Getriebestufe ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis zuordnen lässt. Das Übersetzungsverhältnis ist dabei definiert als Verhältnis der Drehzahlen zwischen treibendem Rad (n_t) und getriebenem Rad (n_g):

\begin{align}
\label{def_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{n_t}{n_g}} \\[5px]
\end{align}

Als Getriebestufe bezeichnet man eine Radpaarung innerhalb eines Getriebes an dem sich die Drehzahl bzw. das Drehmoment ändert!

Die erste Getriebestufe bildet das grüne Zahnrad (z₁ = 15) und das orangefarbene Zahnrad (z₂ = 30). Die zweite Getriebestufe ergibt sich aus der Zahnradpaarung des orangefarbenen Zahnrades (z₂) und des blauen Zahnrades (z₃ = 90). Das grüne Zahnrad (z₄ = 15) und das rote Zahnrad (z₅ = 60) bilden schließlich die dritte Getriebestufe. Für die entsprechenden Getriebestufen ergibt sich hieraus folgende Übersetzungsverhältnisse i:

\begin{align}
\label{1}
&\text{1. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_1} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{30}{15} = \underline{2} \\[5px]
\label{2}
&\text{2. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_2} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_3}{z_2} = \frac{90}{30} = \underline{3} \\[5px]
\label{3}
&\text{3. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_3} = \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_5}{z_4} = \frac{60}{15} = \underline{4} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich bei dem Zahnradpaar 3 und 4 nicht um eine Getriebestufe handelt, da sich die Zahnräder auf einer gemeinsamen Welle befinden. Die Drehzahl der beiden Zahnräder ist folglich identisch. Es findet somit weder eine Änderung der Drehzahl noch eine Änderung des Drehmomentes statt. Deshalb handelt es sich bei diesem Zahnradpaar auch nicht um eine Getriebestufe.

Gesamtübersetzungsverhältnis

Im selben Maße wie sich die Drehzahl gemäß den oben berechneten Übersetzungsverhältnissen von Stufe zu Stufe verringert, vergrößert sich das Drehmoment. So wird in der ersten Getriebestufe das Drehmoment der Getriebeeingangswelle verdoppelt. In der zweite Getriebestufe wird dieses verdoppelte Drehmoment nun nochmals verdreifacht. Folglich ist das Drehmoment nach der zweiten Stufe 6-mal so hoch wie an der Eingangswelle. Schließlich wird in der dritten Getriebestufe dieses 6-mal größere Drehmoment nun nochmals vervierfacht. Insgesamt hat man an der Ausgangswelle des Getriebes folglich das 24-fache an Drehmoment anliegen wie an der Getriebeeingangswelle!

Für die Drehzahlen gilt entsprechend der umgekehrte Zusammenhang. So wird die Drehzahl zwischen Eingang und Ausgang des Getriebes um das 24-fache verringert. Für eine Umdrehung der Getriebeausgangswelle muss sich die Eingangswelle folglich 24-mal drehen.

Vergleicht man also lediglich den Getriebeeingang und den Getriebeausgang, dann verhält sich das gesamte Getriebe wie eine einzelne Getriebestufe mit einem Übersetzungsverhältnis von 24. Dieses Übersetzungsverhältnis entspricht schließlich dem Gesamtübersetzungsverhältnis dem Übersetzungsverhältnis des Getriebes. Wie dieses Beispiel zeigt, lässt sich das Gesamtübersetzungsverhältnis i_ges eines Getriebes folglich aus der Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse der jeweiligen Getriebestufen ermitteln:

\begin{align}
\label{4}
&\boxed{i_{ges} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot \dots}  \\[5px]
\end{align}

Das Gesamtübersetzungsverhältnis eines Getriebes ergibt sich aus der Multiplikation der Einzelübersetzungsverhältnisse der jeweiligen Getriebestufen!

Da das Übersetzungsverhältnis einer Getriebestufe vom Verhältnis der beteiligten Zähnezahlen abhängig ist, bedingt eine Änderung der Zähnezahl an einem der Zahnräder im Allgemeinen auch ein geändertes Gesamtübersetzungsverhältnis.

Wird bspw. das Zahnrad 5 (z₅ = 60 Zähne) durch ein doppelt so großes Zahnrad mit einer entsprechend doppelten Zähneanzahl ersetzt (z₅‚= 120 Zähne), so ergibt sich in dieser Getriebestufe nun auch ein doppelt so großes Übersetzungsverhältnis von i₃‚= 8. Mit dieser Verdoppelung wird auch das Gesamtübersetzungsverhältnis von ursprünglich 24 auf i_ges‚= 48 verdoppelt.

Beachte also, dass durch die Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse letztlich jede Getriebestufe direkt linear in das Gesamtübersetzungsverhältnis nach Gleichung (\ref{4}) eingeht. Die Verdopplung oder Verdreifachung einer einzelnen Getriebestufe bedeutet somit auch eine Verdopplung bzw. Verdreifachung des Gesamtübersetzungsverhältnisses.

Vorteile und Nachteile

Das im vorliegenden Beispiel erhaltene Gesamtübersetzungsverhältnis von 24 hätte man tatsächlich auch nur mit einer Getriebestufe erreichen können. Hierzu müsste allerdings das Zahnrad an der Abtriebswelle um das 24-fache so groß sein wie jenes an der Antriebswelle. Dementsprechend groß wären auch die Dimensionen des Getriebes.

Die untere Abbildung zeigt im Vergleich zum vorgestellten 3-stufigen Getriebe die maßstabsgetreue Abmessung eines einstufigen Getriebes, das dasselbe Gesamtübersetzungsverhältnis aufweist.

Mehrstufige Getriebe bieten den Vorteil das gewünschte Übersetzungsverhältnis auf mehrere kleinere Zahnräder aufzuteilen und so die Abmessungen des Getriebes insgesamt klein zu halten.

Beachtet werden muss jedoch, dass sich mit jeder Getriebestufe auch die Reibungseinflüsse zunehmen. Zum einen dadurch, dass insgesamt mehr Zähne ineinander greifen, die im Allgemeinen aufeinander Abgleiten und damit auch mehr Reibung erzeugen. Und zum anderen dadurch, dass die jeweiligen Wellen der Getriebestufen gelagert werden müssen und somit eine erhöhte Lagerreibung verursachen.

Einfluss der Zähnezahlen

Es wurde bereits erläutert, dass die Änderung der Zähnezahl eines Zahnrades direkte Auswirkung auf das Übersetzungsverhältnis der entsprechenden Getriebestufe hat und im Allgemeinen somit auch das Gesamtübersetzungsverhältnis beeinflusst.

Im Falle des Zahnrades 2 wirkt sich eine Änderung der Zähnezahl allerdings nicht auf das Gesamtübersetzungsverhältnis aus! Dies wird sofort ersichtlich, wenn man sich die Formel zur Ermittlung des Gesamtübersetzungsverhältnisses einmal genauer anschaut. Hierzu werden die Formeln (\ref{1}) bis (\ref{3}) direkt in die Formel (\ref{4}) eingesetzt. Es zeigt sich dann, dass sich die Zähnezahl z₂ herauskürzt und somit das Gesamtübersetzungsverhältnis offensichtlich nicht hiervon abhängig ist:

\begin{align}
&\underline{i_{ges}} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 = \frac{z_2}{z_1} \cdot \frac{z_3}{z_2} \cdot \frac{z_5}{z_4} = \underline{\frac{z_3 \cdot z_5}{z_1 \cdot z_4}}   \\[5px]
\end{align}

Wenn aber das Gesamtübersetzungsverhältnis nicht von diesem Zahnrad abhängig ist, welche Funktion erfüllt dies dann? Tatsächlich kann auf dieses Zahnrad 2 zunächst komplett verzichtet werden und damit das Zahnrad 1 direkt an das Zahnrad 3 gekoppelt werden, ohne dass sich dabei etwas am Gesamtübersetzungsverhältnis von 24 ändert! Eine Nachrechnung des nunmehr 2-stufigen-Getriebes liefert den Beweis:

\begin{align}
\text{1. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_1} &= \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_3}{z_1} = \frac{90}{15} = \underline{6} \\[5px]
\text{2. Getriebestufe:}~~~ \underline{i_2} &= \frac{n_t}{n_g} = \frac{z_5}{z_4} = \frac{60}{15} = \underline{4} \\[5px]
\text{Gesamtübersetzungsverhältnis:}~~~ \underline{i_{ges}} &= i_1 \cdot i_2 = 6 \cdot 4  = \underline{24} \\[5px]
\end{align}

Dass das Gesamtübersetzungsverhältnis unabhängig der Zähnezahl z₂ ist, kann auch anschaulich erklärt werden. Schiebt sich nämlich das Zahnrad 1 der Antriebswelle um einen Zahn weiter, so wird auch das Zahnrad 2 um einen Zahn weiterbewegt. Dieses Weiterbeweggen um einen Zahn wird nun vom Zahnrad 2 auf das Zahnrad 3 übertragen. Insofern dient das Zahnrad 2 lediglich als „Übermittler“ des Weiterschiebens. Somit kann eben auch das Zahnrad 1 direkt das Zahnrad 3 um einen Zahn weiterbewegen, ohne an dem prinzipiellen Vorgang etwas zu ändern.

Je nach Funktion des Getriebes ist jedoch das Zahnrad 2 keineswegs überflüssig. Denn ohne dieses rotiert die Abtriebswelle entgegen ihrem ursprünglichem Drehsinn! Das Zahnrad 2 dient somit als Zwischenrad und hat damit die Funktion den Drehsinn des Abtriebsrades entsprechend anzupassen (Drehrichtungsumkehr). Um diese Aufgabe zu erfüllen könnte das Zwischenrad 2 prinzipiell auch zwischen Zahnrad 4 und 5 geschaltet werden.

Ein Zwischenrad dient der Drehrichtungsumkehr, ohne dabei das Gesamtübersetzungsverhältnis zu beeinflussen!

Anordnung der Zahnräder

Unter welchen Umständen hat nun die Zähnezahl eines Zahnrades Einfluss auf das Gesamtübersetzungsverhältniss und wann nicht? Die untere Abbildung zeigt hierzu Zahnräder die sich jeweils auf getrennten Wellen befinden. In einem solchen Fall ist das Gesamtübersetzungsverhältnis nur von der Zähnezahl des ersten (z₁) und des letzten Zahnrades (z₆) abhängig:

\begin{align}
\require{cancel}
&\underline{i_{ges}} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot i_4 \cdot i_5 = \frac{\bcancel{z_2}}{z_1} \cdot \frac{\bcancel{z_3}}{\bcancel{z_2}} \cdot \frac{\bcancel{z_4}}{\bcancel{z_3}} \cdot \frac{\bcancel{z_5}}{\bcancel{z_4}} \cdot \frac{z_6}{\bcancel{z_5}} = \underline{\frac{z_6}{z_1}} \\[5px]
\end{align}

Um Zahnradgetriebe also effektiv gestalten zu können, müssen stets zwei unterschiedliche Zahnräder auf einer gemeinsamen Welle angeordnet werden, die ihrerseits wieder eine Welle mit Zahnradpaar antreibt. In diesem Fall gehen dann die gesamten Zähnezahlen aller Zahnräder in die Berechnung des Gesamtübersetzungsverhältnisses ein!

\begin{align}
\require{cancel}
&\underline{i_{ges}} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 = \underline{ \frac{z_2}{z_1} \cdot \frac{z_4}{z_3} \cdot \frac{z_6}{z_5}} \\[5px]
\end{align}

Einleitung

Der Begriff Leistung spielt bei Getrieben eine wichtige Rolle, da diese je nach Motorleistung entsprechend dimensioniert werden müssen. Aus diesem Grund wird in den folgenden Abschnitten zunächst auf den Leistungsbegriff näher eingegangen. Dabei scheint im Zusammenhang mit Getrieben die Frage nach der mechanischen Leistung am Abtrieb (z.B. die Abtriebsleistung am Bohrfutter einer Bohrmaschine oder am Hinterrad eines Fahrrades) immer ein Zusammenspiel zwischen zwei entscheidenden Größen zu sein. Nämlich der

• Geschwindigkeit und der Kraft bei translatorischen Bewegungen bzw. der
• Drehzahl und des Drehmomentes bei rotatorischen Bewegungen.

Die alltägliche Erfahrung zeigt dabei, dass das Getriebe bei gegebener Antriebsleistung („Motorleistung“) die eine Größe immer nur auf Kosten der anderen Größe zu ändern vermag. So wird man mit einem Fahrrad oder mit einem Auto einen steilen Anstieg – wenn also eine große Kraft erforderlich wird – nicht mit einer so hohen Geschwindigkeit im Vergleich zu einer ebenen Strecke überwinden können. Die Geschwindigkeit der angetriebenen Räder muss zugunsten der Kraft entsprechend herabgeregelt werden. Man muss sprichwörtlich „einen Gang zurückschalten“. Erst nach Überwinden des Anstieges, wenn keine große Kraft mehr erforderlich ist, kann das Fahrrad bzw. das Auto durch einen höheren Gang wieder Geschwindigkeit aufnehmen.

Auch kann unter Umständen eine Bohrmaschine, die sich im höchsten Gang befindet nicht mehr das benötigte Drehmoment entfalten, welches für das Herstellen einer großen Bohrung nötig wäre. Auch an dieser Stelle muss auf einen niedrigeren Gang zugunsten des Drehmomentes und zulasten der Drehzahl ausgewichen werden.

Definition der mechanischen Leistung

Während also eine Erhöhung der Kraft (Drehmoment) offensichtlich nur zu Lasten der Geschwindigkeit (Drehzahl) vonstatten gehen kann, hat umgekehrt eine Erhöhung der Geschwindigkeit (Drehzahl) offenbar eine unweigerliche Erniedrigung der Kraft (Drehmoment) zur Folge. Diese Sachlage ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes (mehr hierzu siehe Artikel Funktionsweise).

Um dies zu verstehen sind zunächst grundsätzliche Kenntnisse über die Begriffe Leistung und Arbeit erforderlich. Deshalb wird in den folgenden Abschnitten auf den Arbeitsbegriff bzw. auf die Leistung näher eingegangen.

Physikalisch ist die mechanische Leistung P eines bewegten Körpers ganz allgemein über die verrichtete Arbeit W und der hierfür benötigen Zeit Δt definiert:

\begin{align}
\label{def_leistung}
&P = \frac{W}{\Delta t} \\[5px]
\end{align}

Die Leistung ist also umso größer je mehr Arbeit innerhalb einer gewissen Zeit erbracht wird. Die Arbeit W wiederum ergibt sich definitionsgemäß über das Produkt aus Kraft F und Strecke Δs, entlang deren die Kraft wirkt (vorausgesetzt Kraft und Strecke sind gleichgerichtet):

\begin{align}
\label{def_arbeit}
&W = {F} \cdot {\Delta s} \\[5px]
\end{align}

Mit diesen grundlegenden Begriffen soll in den folgenden Abschnitten die mechanische Leistung bei translatorischen Bewegungen und rotatorischen Bewegungen näher betrachtet werden.

Leistung bei translatorischen Bewegungen (Linearbewegungen)

Für die Leistung von translatorischen Bewegungen (linearen Bewegungen) ergibt sich ein bestimmter Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeit. Dies soll im Folgenden exemplarisch anhand einer Seilwinde gezeigt werden, die von einem Motor angetrieben wird.

Herleitung

Die Seilwinde zieht die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit v und konstanter Kraft F nach oben. Dabei wird die Kiste innerhalb der Zeit Δt um die Strecke Δs angehoben. Die während dieser Zeit Δt verrichtete Arbeit W der Seilwinde ergibt sich definitionsgemäß aus dem Produkt von aufgebrachter Kraft F und zurückgelegter Strecke Δs:

\begin{align}
\label{arbeit}
&W = F \cdot \Delta s \\[5px]
\end{align}

Diese Arbeit wurde offensichtlich während des Anhebens und somit innerhalb der Anhebezeit Δt erbracht. Aus der allgemeinen Definition der Leistung lässt sich dann die umgesetzte mechanische Leistung der Seilwinde P wie folgt bestimmen:

\begin{align}
\label{leistung_trans}
&P =  \frac{W}{\Delta t} = \frac{F \cdot \Delta s}{\Delta t} = F \cdot \underbrace{ \frac{ \Delta s}{\Delta t}}_{=v} = F \cdot v \\[5px]
\end{align}

Bei der Umformung wurde ausgenutzt, dass der Quotient aus zurückgelegter Strecke Δs und der dafür benötigten Zeit Δt letztlich der (als konstant vorausgesetzten) Geschwindigkeit v der hochgezogenen Kiste entspricht.

Die benötigte mechanische Leistung P um ein Bauteil mit konstanter Geschwindigkeit v durch die Kraft F anzutreiben, ergibt sich aus dem Produkt beider Größen:

\begin{align}
\label{translationsleistung}
&\boxed{P = F \cdot v} \\[5px]
\end{align}

Beeinflussung der Bewegung durch ein Getriebe

Im vorliegenden Beispiel wird die geforderte mechanische Leistung vom Motor geliefert und direkt an die Seilwinde übertragen. Grundsätzlich können Motoren nicht beliebig hohe Leistungen zur Verfügung stellen. Vielmehr ist die Leistungsfähigkeit je nach Motorbauart begrenzt. Steht im Allgemeinen also nur eine bestimmte Motorleistung P zur Verfügung, so wird nach Umstellen der Gleichung (\ref{translationsleistung}) sofort ersichtlich, dass eine größere Kraft F offensichtlich nur mit einer entsprechend geringeren Geschwindigkeit v erzielen kann.

\begin{align}
\label{kraft}
&v = \frac{P}{F} \\[5px]
\end{align}

Eine schwerere Kiste kann demzufolge nur dann mit größerer Kraft angehoben werden, wenn die Geschwindigkeit entsprechend herabgeregelt wird. Umgekehrt kann bei gegebener Motorleistung Peine leichtere Kiste (wenn also nur eine geringere Kraft F zum Hochziehen erforderlich ist) mit höherer Geschwindigkeit v nach oben gezogen werden.

\begin{align}
\label{geschwindigkeit}
&v = \frac{P}{F} \\[5px]
\end{align}

Genau an dieser Stelle kommen Getriebe ins Spiel. Sie übernehmen die Steuerung der Leistung zugunsten eine größeren Kraft oder zugunsten einer größeren Geschwindigkeit. Eine Erhöhung beider Größen gleichzeitig ist folglich nicht möglich, da hierzu einer Erhöhung der Leistung erforderlich wäre. Die Leistung ist jedoch durch den Motor fest vorgegeben und kann auch durch ein Getriebe nicht geändert werden.

Getriebe ändern nicht die mechanische Leistung sondern lediglich das Geschwindigkeits-Kraft-Verhältnis, das hinter einer bestimmten Leistung steckt!  Dies bedeutet entweder eine große Kraft bei geringerer Geschwindigkeit oder eine größere Geschwindigkeit bei geringerer Kraft.

Im Idealfall wird die vom Motor gelieferte Antriebsleistung P_An durch das Getriebe wieder vollständig an den Abtrieb weitergegeben (Abtriebsleistung P_Ab). In der Realität treten aufgrund von Reibungseffekten jedoch Leistungsverluste P_V im Getriebe auf. Diese werden durch den Getriebewirkungsgrad η_G (≤ 1) ausgedrückt:

\begin{align}
\label{getriebewirkungsgrad_trans}
&\boxed{P_{Ab} = P_{An} \cdot \eta_G} \\[5px]
\end{align}

Leistung bei rotatorischen Bewegungen (Kreisbewegungen)

Die Erkenntnis über den Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkeit bei translatorischen Bewegungen lässt sich auf rotatorische Bewegungen übertragen. Hierzu wird die im Abschnitt zuvor bereits beschriebene Seilwinde nochmals betrachtet. Diesmal wird allerdings die Rotationsbewegung der Seilwinde bzw. die dabei herrschenden Kräfteverhältnisse genauer untersucht.

Herleitung

Die Seilwinde zieht während des Aufwickelns das Seil mit der Kraft F entlang der Bogenstrecke Δs. Die zurückgelegte Strecke Δs beschreibt diesmal allerdings keine Gerade mehr sondern einen Kreisbogen. Dabei ist jedoch die Kraft wieder in jedem Punkt stets parallel zur Strecke gerichtet. Dies bedeutet, dass die Formel für die Arbeit W=F⋅Δs wiederum ohne weiteres angewandt werden kann.

\begin{align}
\label{arbeit_01}
&W = F \cdot \Delta s \\[5px]
\end{align}

Während einer ganzen Umdrehung hat die Seilwinde dabei das Seil einmal komplett am Umfang aufgewickelt, d.h. die Kraft F wirkte entlang der Kreisstrecke Δs=2π⋅r. Die verrichtete Arbeit W der Seilwinde während dieser Umdrehung ermittelt sich dann schließlich zu:

\begin{align}
\label{arbeit_02}
&W = F \cdot 2 \pi r \\[5px]
\end{align}

Die für diese eine Umdrehung benötigte Zeit Δt wird auch Periodendauer T genannt (Periodendauer = „Zeitdauer pro Umdrehung“). Folglich wurde innerhalb der Zeit T die Arbeit W=F⋅2π⋅r verrichtet, was zur folgenden umgesetzten Leistung P führt:

\begin{align}
\label{leistung_rot}
&P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{F \cdot 2 \pi r}{T} = 2 \pi \underbrace{\frac{1}{T}}_{=n} \cdot \underbrace{ F \cdot r}_{=M} = 2 \pi \cdot n \cdot M \\[5px]
\end{align}

Das in der Formel auftretende Produkt aus angreifender Kraft F und hierzu senkrecht gerichtetem Hebelarm r entspricht letztlich dem wirkenden Drehmoment M an der Seiltrommel, mit dem die Drehbewegung ausgeführt wird. Deshalb können beide Größe zum Drehmoment M zusammengefasst werden.

Die Formel kann noch weiter interpretiert werden, wenn man sich die Bedeutung des auftretenden Ausdrucks 1/T vor Augen führt. Während nämlich die Periodendauer T die „Zeit pro Umdrehung“ angibt, gibt der Kehrwert der Periodendauer 1/T folglich die „Umdrehungen pro Zeit“ an. Dies entspricht gerade der Drehzahl n (bzw. Drehfrequenz f) der Rotationsbewegung! Es gilt also folgende allgemeine Beziehung zwischen der Drehzahl n (bzw. Frequenz f) und der Periodendauer T:

\begin{align}
\label{drehzahl}
&n = \frac{1}{T} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Grundsätzlich ist der Begriff Drehzahl (Formelsymbol n) gleichbedeutend mit dem Begriff Drehfrequenz oder kurz Frequenz (Formelsymbol f). Während der Begriff Drehzahl allerdings häufig im Zusammenhang mit der technischen Einheit „Umdrehungen pro Minute“ wiederzufinden ist, spricht man von der Drehfrequenz f meist im Zusammenhang mit der physikalischen Einheit „Umdrehungen pro Sekunde“. Beachte, dass auch wenn in der Formel das Formelsymbol n für die Drehzahl verwendet wird, grundsätzlich immer mit der Einheit 1/s zu rechnen ist!

Die mechanische Leistung P eines Bauteils, das mit konstanter Drehzahl n durch das Drehmoment M angetrieben wird, ergibt sich aus dem Produkt beider Größen; multipliziert mit dem konstanten Faktor 2π:

\begin{align}
\label{rotationsleistung}
&\boxed{P = 2 \pi \cdot M \cdot n} \\[5px]
\end{align}

Beeinflussung der Bewegung durch ein Getriebe

Die für die Rotation der Seiltrommel benötigte Leistung wird im vorliegenden Fall direkt vom Motor geliefert. Da die Leistung von Motoren jedoch begrenzt ist, können diese auch grundsätzlich kein beliebig großes Drehmoment erzeugen. Größere Drehmomente sind jedoch beim Anheben größerer Lasten erforderlich. In einem solchen Fall muss dann ein Getriebe zwischengeschaltet werden, welches bei gegebener Motorleistung P das Drehmoment M erhöht. Nach Umstellen von Gleichung (\ref{rotationsleistung}) wird dann sofort offensichtlich, dass ein höheres Drehmoment zwangsläufig eine geringere Drehzahl n zur Folge hat. Die Kiste kann nicht mehr so schnell angehoben werden.

\begin{align}
\label{getriebe}
&n = \frac{P}{2 \pi \cdot M} \\[5px]
\end{align}

Soll hingegen eine geringe Last mit einem entsprechend verringerten Drehmoment M gehoben werden, dann kann das Drehmoment durch das Getriebe zugunsten der Drehzahl n herabgeregelt werden. In diesem Fall kann die Kiste dann schneller angehoben werden.

Beachte auch an dieser Stelle wieder, dass die Leistung P vom Motor fest vorgegeben ist und nicht durch das Getriebe geändert werden kann! Ein Getriebe kann nur das Verhältnis von Drehmoment und Drehzahl steuern! Die vom Motor gelieferte Leistung wird also durch das Getriebe nur zugunsten eines größeren Drehmomentes und damit zu Lasten der Drehzahl gewandelt (oder umgekehrt).

Getriebe ändern nicht die mechanische Leistung sondern lediglich das Drehmoment-Drehzahl-Verhältnis, das hinter einer bestimmten Leistung steckt! Dies bedeutet entweder ein großes Drehmoment bei geringerer Drehzahl oder eine größere Drehzahl bei geringerem Drehmoment.

Grundsätzlich kann durch eine größere Motorleistung natürlich gleichzeitig sowohl das Drehmoment als auch die Drehzahl erhöht werden kann. Aber schließlich wird der Motor nicht eine unbegrenzt hohe Leistung liefern können. Irgendwann ist das Leistungslimit erreicht und eine weitere Erhöhung des Drehmomentes kann schließlich nur noch durch ein Getriebe erzielt werden, was eben die besagte Erniedrigung der Drehzahl dann mit sich bringt. Außerdem macht aus wirtschaftlichen Gründen eine erhöhte Motorleistung nicht immer Sinn, da die Motoren in der Regel teurer sind als Motoren mit geringeren Leistungswerten.

Zusammenhang zwischen Translation und Rotation

An dieser Stelle soll die im vorangegangenen Abschnitt hergeleitete Leistungsformel (\ref{leistung_rot}) für Rotationsbewegungen nochmals in anderer Hinsicht interpretiert werden:

\begin{align}
&P = \underbrace{\frac{2\pi}{T}}_{= \omega} \cdot M = \omega \cdot M \\[5px]
&\boxed{P = M \cdot \omega} \\[5px]
\end{align}

Darin gibt der Ausdruck 2π/T letztlich den im Bogenmaß zurückgelegten Winkel pro Zeiteinheit an:

• volle Umdrehung = Winkel 2π
• dafür benötigter Zeit = Periodendauer T

Somit lässt sich der Ausdruck 2π/T als Winkelgeschwindigkeit ω interpretieren. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist mit der Drehzahl n wie folgt verknüpft:

\begin{align}
\label{winkelgeschwindigkeit}
&\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T}} = 2\pi \underbrace{\frac{1}{T}}_{= n} = 2 \pi n \\[5px]
&\boxed{\omega = 2 \pi n} \\[5px]
\end{align}

Beim Vergleich der Leistungsformeln zwischen einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung zeigt sich nun eine direkte Analogie. Die analoge Größe zur Kraft bei translatorischen Bewegungen entspricht dem Drehmoment bei rotatorischen Bewegungen und die Größe der (Translations)-Geschwindigkeit entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Das Produkt aus den jeweiligen Größen entspricht dann der Translationsleistung bzw. Rotationsleistung.

Im Folgenden wird nochmals das Anheben einer Kiste mithilfe einer Seilwinde betrachtet. In diesem Fall liegt eine Rotationsbewegung der Seiltrommel und eine Translationsbewegung der Kiste vor. Beide Bewegungen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Wird bspw. die Rotationsgeschwindigkeit der Seiltrommel erhöht, so vergrößert sich auch die Translationsgeschwindigkeit der Kiste. Es existiert offensichtlich ein bestimmter Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Translationsgeschwindigkeit.

Dieser Zusammenhang kann über die Leistung hergestellt werden. So schlägt sich die Rotationsleistung P_Rot der Seiltrommel vollständig in Translationsleistung P_Tra der Kiste nieder. Setzte man die entsprechenden Formeln gleich, so gilt folgender Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der entsprechenden Translationsgeschwindigkeit v:

\begin{align}
\label{zusammenhang}
&P_{Tra}= P_{Rot} \\[5px]
&F \cdot v = M \cdot \omega ~~~~~\text{mit }~~~ M = F \cdot r ~~~\text{folgt:}\\[5px]
&F \cdot v = F \cdot r \cdot \omega \\[5px]
& \boxed{v = \omega \cdot r} \\[5px]
\end{align}

Die Translationsgeschwindigkeit v kann dabei als Bahngeschwindigkeit aufgefasst werden, mit der sich ein rotierender Punkt im Abstand r zur Drehachse bewegt. Ein Punkt auf dem sich aufwickelnden Seil der Seiltrommel wird mit derselben (Bahn-)Geschwindigkeit rotieren wie die Kiste hochgezogen wird. Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit bei Rotationsbewegungen stehen somit über den Radius in direktem Zusammenhang zur Kraft bzw. Geschwindigkeit bei Translationsbewegungen (siehe Tabelle oben).

Rotation und Translation stehen über den Radius in Zusammenhang zueinander!

Drehzahlwandlung

Wie im Artikel Was ist ein Getriebe und wofür wird es verwendet? erläutert, dienen Getriebe unter anderem dazu die Drehzahl auf einen gewünschten Wert einzustellen. Eine solche Drehzahlwandlung wird bei Betrachtung der unteren Animation des Zahnradgetriebes sofort deutlich. Die Drehzahl wird in diesem Fall von Zahnrad zu Zahnrad geringer.

Die Verringerung der Drehzahl lässt sich anhand der unterschiedlichen Zähnezahlen zwischen den jeweiligen Zahnradpaaren anschaulich nachvollziehen. So besitzt bspw. das erste treibende Zahnrad (grün) auf der Antriebswelle insgesamt 15 Zähne. Diese 15 Zähne rotieren bei einer Umdrehung des Zahnrades folglich einmal komplett durch. Dabei schieben sie das nachfolgende getriebene Zahnrad (orangefarben) um ebenfalls um 15 Zähne weiter.

An diesem getriebenen Zahnrad befinden sich aufgrund des größeren Durchmessers allerdings mehr Zähne. Es wird folglich nicht mehr um eine ganze Drehung weiterbewegt. Im vorliegenden Fall befinden sich am getriebenen Zahnrad insgesamt 30 Zähne. Somit wird während einer Umdrehung des treibenden Zahnrades das getriebene Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung weitergeschoben. Insgesamt bedeutet dies also eine Halbierung der Drehzahl.

Beachte, dass auch die einzelnen Zähne der größeren Zahnräder dieselben Abmessungen haben wie die Zähne der kleineren Zahnräder, da die jeweiligen Zähne gegenseitig ineinandergreifen müssen. Ein solches Ineinandergreifen von Zahnräder wird auch als Kämmen bezeichnet.

Als Kämmen bezeichnet man das Ineinandergreifen der Zähne von Zahnrädern!

Übersetzungsverhältnis

Die Änderung der Drehzahl von einem treibenden zu einem getriebenen Zahnrad wird durch das sogenannte Übersetzungsverhältnis i beschrieben. Es ist wie folgt definiert:

\begin{align}
\label{def_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{n_1}{n_2}} \\[5px]
\end{align}

Darin bezeichnet n₁ die Drehzahl des treibenden Rades und n₂ die Drehzahl des getrieben Rades. Erfolgt bei einer Übersetzung eine Umkehrung des Drehsinns, so wird dies üblicherweise durch ein negatives Vorzeichen gekennzeichnet. Aus Gründen der Einfachheit wird im Folgenden auf diese Konvention jedoch verzichtet.

Im oben beschriebenen Fall beträgt das Übersetzungsverhältnis i = 2. Dies bedeutet also anschaulich, das das treibende Rad doppelt so schnell rotiert wie das getriebene Rad bzw. sich das getriebene Rad nur noch halb so schnell bewegt wie das treibende Rad. Häufig werden Übersetzungsverhältnisse auch in der Form 2:1 angegeben (gesprochen: “ Zwei zu Eins“).

Das Übersetzungsverhältnis ist definiert als das Verhältnis der Drehzahlen von treibendem zu getriebenem Rad. Es gibt anschaulich an, wie oft sich das treibende Rad für eine Umdrehung des getriebenen Rads drehen muss!

Zahnradgetriebe

Das Übersetzungsverhältnis ermittelt sich für zwei in Kontakt stehender Zahnräder über das (umgekehrte) Verhältnis der Zähnezahlen z bzw. der entsprechenden Wälzkreisdurchmesser d:

\begin{align}
\label{zaehne_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{z_2}{z_1} = \frac{d_2}{d_1}} \\[5px]
\end{align}

Als Wälzkreisdurchmesser bezeichnet man dabei die Durchmesser von gedachten Wälzzylindern, die ohne Gleiten aufeinander abwälzen. Folglich sind die Umfangsgeschwindigkeiten auf dem Teilkreis beider Zahnräder identisch. Häufig wird der Wälzkreisdurchmesser auch etwas unpräzise als Teilkreisdurchmesser bezeichnet. Die Wälzkreisdurchmesser bei Zahnrädern sind letztlich das Äquivalent zu den Raddurchmessern bei Zugmittelgetrieben.

Als Wälzkreisdurchmesser bezeichnet man bein Zahnrädern die Durchmesser von gedachten Zylindern die ohne Gleiten aufeinander abrollen!

Zugmittelgetriebe

Bei einem Reibrad- oder Zugmittelgetriebe kann das Übersetzungsverhältnis über das (umgekehrte) Verhältnis der jeweiligen Raddurchmesser d bestimmt werden:

\begin{align}
\label{rad_uebersetzungsverhaeltnis}
&\boxed{i = \frac{d_2}{d_1}} \\[5px]
\end{align}

Denn ist bspw. das angetriebene Rad doppelt so groß wie das treibende Rad, so gilt dies zunächst auch für die entsprechenden Radumfänge. Während das treibende Rad folglich eine Umdrehung absolviert, dreht sich das doppelt so große Zahnrad nur um eine halbe Umdrehung (entweder durch gegenseitiges Abrollen bei Reibrädern oder über das Zugmittel bei Zugmittelgetriebe). Die Drehzahl halbiert sich folglich und es liegt wiederum ein Übersetzungsverhältnis von i = 2 vor.

Getriebestufen

Jeder Radpaarung innerhalb eines Getriebes, bei der sich die Drehzahl ändert, lässt sich prinzipiell ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis zuordnen. Die oberen Animationen des Zahnradgetriebes bzw. des Zugmittelgetriebes zeigen, dass ein Getriebe in der Regel nicht aus einem Radpaar besteht sondern aus mehreren, die jeweils auf unterschiedlichen Wellen befestigt sind.

Jedes Räderpaar das dabei ineinander greift, stellt eine sogenannte Getriebestufe dar und ist durch ein bestimmtes Übersetzungsverhältnis charakterisiert. Eine Getriebe besitzt in der Regel also mehrere Getriebestufen mit jeweils unterschiedlichen Übersetzungsverhältnissen.

Als Getriebestufe bezeichnet man eine Radpaarung innerhalb eines Getriebes an dem sich die Drehzahl bzw. das Drehmoment ändert!

Wenn also von DEM Übersetzungsverhältnis des Getriebes die Rede ist, dann ist damit das Gesamtübersetzungsverhältnis gemeint, d.h. das Übersetzungsverhältnis zwischen Antriebswelle und Abtriebswelle des Getriebes! Das Gesamtübersetzungsverhältnis i_ges lässt durch Multiplikation der einzelnen Übersetzungsverhältnisse der Getriebestufen berechnen:

\begin{align}
&\boxed{i_{ges} = i_1 \cdot i_2 \cdot i_3 \cdot \dots} \\[5px]
\end{align}

Das Gesamtübersetzungsverhältnis eines Getriebes ergibt sich aus der Multiplikation der Einzelübersetzungsverhältnisse der jeweiligen Getriebestufen!

Detailliertere Informationen zur Funktion und zum Aufbau von Getriebestufen finden sich Artikel Was ist eine Getriebestufe?.

Übersetzungsformen

Getriebe müssen nicht immer darauf ausgelegt sein die Drehzahl zu verringern wie dies in den oberen Animationen der Fall ist. In vielen technischen Anwendungsfällen ist auch eine Erhöhung der Drehzahl erwünscht. Dies trifft zum Beispiel bei Autofahrten auf Autobahnen zu. Um möglichst schnell voranzukommen müssen die Räder so schnell wie möglich drehen. Hierzu ist es notwendig die Drehzahl der Motorwelle durch ein Getriebe zu erhöhen. In diesem Fall muss dann ein großes Getrieberad ein kleineres Rad antreiben.

In solchen Fällen sind die Übersetzungsverhältnisse kleiner Eins und man spricht von einer Übersetzung ins Schnelle. Bei Übersetzungsverhältnissen größer Eins rotiert das getriebene Rad grundsätzlich langsamer als das treibende Rad und man spricht von einer Übersetzung ins Langsame. Umgangssprachlich wird die Übersetzung ins Langsame auch als Untersetzung bezeichnet.

Als Übersetzung bezeichnet man eine Übersetzung ins Schnelle und als Untersetzung eine Übersetzung ins Langsame!

Beim Anfahren mit einem Auto im ersten Gang liegt bspw. eine Übersetzung ins Langsame mit einem maximalen Übersetzungsverhältnis von rund i_max= 3,6 vor. Die Drehzahl wird dementsprechend um den Faktor 3,6 im Vergleich zur Motordrehzahl herabgeregelt. Im höchsten Gang weist das schaltbare Motorgetriebe hingegen eine Übersetzung ins Schnelle mit einem minimalen Übersetzungsverhältnis von ca. i_min = 0,8 auf. Die Drehzahl wird folglich um das 1,25-fache (=1/0,8) gesteigert.

Getriebe die ihr Übersetzungsverhältnis ändern können werden auch als schaltbare Getriebe bzw. Schaltgetriebe oder kurz als Schaltungen bezeichnet. Ein wichtiges Merkmal von Schaltgetrieben ist die Steigerung des minimalen Übersetzungsverhältnisses hin zum maximalen Übersetzungsverhältnis. Umso größer diese Steigerung ist, desto größere Drehzahlbereiche können geschaltet werden. Diese Steigerung wird auch als Spreizung S bezeichnet und ermittelt sich wie folgt:

\begin{align}
\label{spreizung}
&\boxed{S = \frac{i_{max}}{i_{min}}} = \frac{3,6}{0,8}=4,5 \\[5px]
\end{align}

Für das beschriebene Schaltgetriebe beträgt die Spreizung S = 4,5. Dies bedeutet anschaulich, dass das Übersetzungsverhältnis ausgehend des minimalen Wertes durch die Schaltung um den Faktor 4,5 gesteigert werden kann.

Als Spreizung versteht man bei Schaltgetrieben das Verhältnis von maximalem und minimalem Übersetzungsverhältnis!

Drehmomentwandlung

Im vorherigen Abschnitt wurde die Wandlung der Drehzahlen zweier Zahnräder beschrieben. Aufgrund der Energieerhaltung ist mit dieser Drehzahländerung auch immer eine Änderung des Drehmomentes verbunden (siehe hierzu auch Artikel Was ist ein Getriebe und wofür wird es verwendet?)! Auf diesen Sachverhalt wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

Zahnradgetriebe

Die Änderung des Drehmomentes innerhalb einer Zahnradpaarung wird deutlich, wenn man sich die dort herrschenden Kräfteverhältnisse genauer anschaut. Hierzu soll im Folgenden davon ausgegangen werden, dass das treibende Zahnrad das Drehmoment M₁ aufweist. Mit diesem Drehmoment wird das nachfolgend Zahnrad angetrieben.

Je nach Durchmesser d₁ des treibenden Zahnrades ist mit dem Drehmoment M₁ eine bestimmte Kraft F verbunden. Mit dieser Kraft drücken die treibenden Zahnflanken auf dem Teilkreisdurchmesser nun auf die Zahnflanken des nachfolgend getriebenen Zahnrades (ebenfalls am Teilkreisdurchmesser angreifend).

Die wirkende Kraft F kann dabei anhand der Definition des Drehmomentes ermittelt werden („Drehmoment = Kraft x Hebelarm“). Somit kann bei gegebenem Drehmoment M₁ mithilfe des Teilkreisdurchmessers d₁ die entsprechende Kraft F an den Zahnflanken bestimmt werden:

\begin{align}
&M_1 = F \cdot r_1 = F \cdot \frac{d_1}{2} \\[5px]
\label{m_t}
&\underline{F = 2 \cdot \frac{M_1}{d_1}} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Es wurde vereinfachend angenommen, dass die Kraft tangential zum Teilkreis angreift, sodass Kraft und Hebelarm (= halber Teilkreisdurchmesser) senkrecht zueinander stehen. Nähere Informationen zur tatsächlichen Kraftrichtung bei Evolventenzahnräder finden sich im entsprechenden Artikel wieder.

Die berechnete Kraft F des treibenden Zahnrades aus Gleichung (\ref{m_t}) wirkt schließlich auch auf das getriebene Zahnrad. Da das getriebene Zahnrad jedoch einen anderen Teilkreisdurchmesser besitzt, wirkt die Kraft nun auf einen geänderten Hebelarm (d₂/2). Damit ist folglich auch eine Änderung des Drehmomentes verbunden:

\begin{align}
&M_2 = F \cdot r_2 = F \cdot \frac{d_2}{2} ~~~\text{mit Gleichung (2)}~~~F = 2 \cdot \frac{M_1}{d_1} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&M_2 = \underbrace{2 \cdot \frac{M_1}{d_1}}_{= F} \cdot \frac{d_2}{2} \\[5px]
\label{m_1}
&\underline{M_2 = M_1 \cdot \frac{d_2}{d_1}} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich nach Gleichung (\ref{m_1}), dass das Drehmoment M₂ am getriebenen Zahnrad proportional zum Verhältnis der jeweiligen Teilkreisdurchmesser d₂/d₁ ist. Je größer also das getriebene Zahnrad im Verhältnis zum treibenden Zahnrad ist, desto größer wird die Drehmomentsteigerung sein.

Bei Zahnräder ist der Teilkreisdurchmesser direkt proportional zur Anzahl der Zähne ist. Denn bei doppeltem (Teilkreis-)Durchmesser ist auch der Zahnradumfang doppelt so groß und bietet somit auch Platz für die doppelte Anzahl an Zähnen.

Besitzt also das getriebene Zahnrad die doppelte Zähneanzahl im Vergleich zum treibenden Rad, so geht durch den damit verbundenen doppelten Hebelarm letztlich auch eine Verdopplung des Drehmomentes einher. Insofern kann die Drehmomentsteigerung auch über das Verhältnis der Zähnezahlen ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{m_2}
&\underline{M_2 = M_1 \cdot \frac{z_2}{z_1}} \\[5px]
\end{align}

Das Verhältnis der Teilkreisdurchmesser in Gleichung (\ref{m_1}) bzw. Verhältnis der Zähnezahlen in Gleichung (\ref{m_2}) entspricht gerade dem Übersetzungsverhältnis i nach Gleichung (\ref{zaehne_uebersetzungsverhaeltnis}). Somit kann die Drehmomentänderung auch direkt durch das Übersetzungsverhältnis ausgedrückt werden:

\begin{align}
\label{1}
&\boxed{M_2 = M_1 \cdot i }~~~\text{mit}~~~\underline{i = \frac{z_2}{z_1}= \frac{d_2}{d_1}=\frac{n_1}{n_2}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass das Übersetzungsverhältnis als Verhältnis der Drehzahlen von treibendem zu getriebenem Zahnrad definiert ist. Somit gilt für die Drehzahl n₂ des getriebenen Zahnrades bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis i der folgende Zusammenhang zur ursprünglichen Drehzahl n₁:

\begin{align}
\label{2}
&\boxed{n_2 = \frac{n_1}{i} } \\[5px]
\end{align}

Im selben Maße wie sich also das Drehmoment nach Gleichung (\ref{1}) bei einem bestimmten Übersetzungsverhältnis erhöht, erniedrigt sich die Drehzahl nach Gleichung (\ref{2}) und umgekehrt. Dies ist letztlich eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes. Im Abschnitt „Energetische Betrachtung“ wird dieser Zusammenhang anhand des Energieerhaltungssatzes explizit hergeleitet.

Im selben Maße wie die Drehzahl durch ein Getriebe gesteigert wird, verringert sich das Drehmoment und umgekehrt!

Beachte, dass die oberen Gleichungen der Drehmomentänderung nur für den Idealfall eines verlustfreien Getriebes gelten. In der Regel sorgen Reibungseffekte für eine Leistungsminderung und damit für eine Verringerung des theoretisch berechneten Drehmomentes an der getriebenen Welle. Diese Leistungsverluste werden über einen Getriebewirkungsgrad \(\eta_G\) berücksichtigt:

\begin{align}
&\boxed{M_2 = M_1 \cdot i \cdot \eta_G } \\[5px]
\end{align}

Für die Berechnung der Drehzahländerung hingegen spielt der Getriebewirkungsgrad keine Rolle, da sich die Drehzahländerung über die Zähnezahlen ergibt und somit fest vorgegen ist (die Zähne können sich schließlich nicht gegenseitig durchdringen und damit eine geringere Drehzahl als durch das Verhältnis der Zähnezahlen vorgebgen ist, erzeugen).

Zugmittelgetriebe

Auch bei Zugmittelgetriebe erfolgt die Änderung des Drehmomentes auf analoge Weise wie bei Zahnradgetrieben. Dabei zieht das treibende Rad durch das vorhandene Drehmoment M₁ je nach Durchmesser d₁ mit einer nach Gleichung (\ref{m_t}) wirkenden Kraft F (auch Nutzkraft genannt) am Zugmittel.

Dieselbe Nutzkraft F wirkt über das Zugmittel auch am getriebenen Rad. Dort bewirkt die Nutzkraft aufgrund des geänderten Durchmessers d₂ nun auch eine Änderung im Drehmoment M₂. Das Drehmoment M₂ am getriebenen Rad ergibt sich wiederum nach Gleichung (\ref{m_1}). Auf die genaueren Kräfteverhältnisse bei Riementrieben wird in gesonderten Artikeln näher eingegangen.