Eingriffsstrecke

Die untere Abbildung zeigt das Eingriffsverhalten zweier Zykloidenzahnräder. Die strichpunktierten Teilkreise sind zugleich Wälzkreise und entsprechen zudem den Grundkreisen mit Hilfe deren die Zykloidenform des jeweiligen Zahnrades entstand (siehe Artikel Geometrie von Zykloidenzahnräder). Die Wälzkreise berühren sich im Wälzpunkt C. Durch diesen Wälzpunkt verläuft die rot hervorgehobene Eingriffslinie auf der sich die Zahnflanken berühren. Die Eingriffslinie setzt sich dabei aus Kreisbogenabschnitten der Rollkreise zusammen mit denen die Zykloidenzahnform konstruiert wurde. Begrenzt wird die Eingriffsstrecke durch den Schnittpunkt zwischen Rollkreis (Eingriffslinie) und Kopfkreis des gegenüberliegenden Zahnrades.

Die Eingriffsstrecke wird bei Zykloidenverzahnungen durch die Rollkreise der Hypozykloiden gebildet und durch die Kopfkreise der Zahnräder begrenzt!

Die genauere Betrachtung des Eingriffsverhaltens zeigt, dass zunächst die konkave Fußflanke des treibenden Zahnrades (gelb) auf die konvexe Kopfflanke des getriebenen Zahnrades (blau) trifft. Im Wälzpunkt bzw. im Wendepunkt der Eingriffsstrecke kehrt sich die Situation um, und die konvexe Kopfflanke des treibenden Zahnrades trifft auf die konkave Fußform des getriebenen Zahnes. Somit erhält man bei einer Zykloidenverzahnung stets eine anschmiegsame Flankenpaarung und damit eine deutliche Verringerung der Flächenpressung im Vergleich zur Evolventenverzahnung. Hierdurch reduziert sich auch der Verschleiß der Zähne. Beachte, dass bei einer Zykloidenverzahnung also niemals zwei Kopf- oder Fußflanken aufeinander treffen!

Zykloidenverzahnungen weisen einen relativ geringen Flankenverschleiß im Vergleich zu Evolventenverzahnungen auf!

Verzahnungsgesetz

Dass auch die Zykloidenverzahnung das Verzahnungsgesetz erfüllt und damit ein konstantes Übersetzungsverhältnis liefert liegt daran, dass die Rollkreise zur Zykloidenkonstruktion auf beide Zahnräder gleichermaßen angewendet werden. So wird der Rollkreis zur Konstruktion Hypozykloide des einen Zahnrades gleichzeitig für die Konstruktion der Epizykloide des Gegenrades genutzt und umgekehrt (siehe hierzu Artikel Geometrie von Zykloidenzahnräder).

Aus dieser Tatsache resultiert dann schließlich das allgemeine Verzahnungsgesetz, dass besagt, das für ein konstantes Übersetzungsverhältnis die Normale im Berührpunkt zweier in Kontakt stehender Flanken stets durch den Wälzpunkt C verlaufen muss.

Die Normale im Berührpunkt zweier in Kontakt stehender Zahnflanken muss stets durch den Wälzpunkt verlaufen (allgemeines Verzahnungsgesetz)!

Wäre dies nämlich nicht der Fall, dann würde das Drehmoment permanent variieren und somit Übersetzungsschwankungen hervorrufen. Anders als bei Evolventenzahnräder müssen sich die Teilkreise zweier Zykloidenzahnräder somit exakt berühren (Wendepunkt in der Eingriffsstrecke), d.h. der Achsabstand als Summe der Teilkreisradien muss genau eingehalten werden. Da dies nicht immer gewährleistet werden kann (bspw. durch Wärmeausdehnung) spielt der Einsatz von Zykloidenzahnräder im klassischen Maschinenbau kaum eine Rolle.

Für die Einhaltung des Verzahnungsgesetzes (gleichbleibendes Übersetzungsverhältnis) muss der Achsabstand bei Zykloidenzahnräder exakt eingehalten werden!

Punktverzahnung

Wird bei der Konstruktion der Hypozykloide für die Fußflanke der Rollkreis immer größer gewählt, dann verringert sich die Fußflanke mehr und mehr. Die untere Animation zeigt die Konstruktion der Hypozykloide für ein Verhältnis von Grundkreis zu Rollkreis von 0,97. Die spätere Zahnflanke macht von dieser gezeichneten Hypozykloide allerdings nur ein Bruchteil aus.

Die untere Animation zeigt das Eingriffsverhalten zweier Zykloidenzahnräder die mit einem Rollkreis-Grundkreis-Verhältnis von 0,97 konstruiert wurden. Da der Rollkreis somit nahezu identisch auf dem Wälzkreis liegt und der Rollkreis letztlich die Eingriffslinie bestimmt, findet der Kämmvorgang der Zähne nahezu vollständig auf den entsprechenden Wälzkreisen statt.

So verharrt der Berührpunkt der Zahnflanken auf dem ersten Teil der Eingriffsstrecke bis hin zum Wälzpunkt C fast ausschließlich auf dem Wälzkreis des gelben (treibenden) Zahnrades (siehe Punkt A). Dementsprechend stark ist der Verschleiß der entsprechenden Fußflanke am Wälzkreis. Lediglich im zweiten Teil der Eingriffsstrecke, d.h. vom Wälzpunkt bis zum Eingriffsende, wird die gesamte Kopfflanke für den Kämmvorgang sukzessive genutzt. Dafür findet aber nun am blauen (getriebenen) Zahnrad der Eingriff nahezu vollständig auf dem Wälzkreis statt (siehe Punkt B) .

Für den Extremfall dass der Rollkreisdurchmesser exakt dem Grundkreisdurchmesser entspricht bzw. das Durchmesserverhältnis Eins wird, konzentriert sich der Zahnfuß nur auf einen einzigen Punkt. Man erhält damit eine sogenannte Punktverzahnung, da die gesamte Kopfflanke des Gegenrades in diesem einen Fußpunkt abwälzt. Dementsprechend hoch ist auch der Verschleiß einer solchen Punktverzahnung.

Günstig ist die Punktverzahnung lediglich im Hinblick auf die Eingriffsstrecke, die sich maximal vergrößert und so für eine große Profilüberdeckung sorgt. Die untere Abbildung zeigt hierzu die Eingriffsstrecken verschiedener Rollkreis-Grundkreis-Verhältnisse.

Punktverzahnungen haben relativ große Profilüberdeckungen; weisen jedoch einen starken Verschleiß an den Zahnflanken auf!

Anmerkung: Die Profilüberdeckung wird auch als Überdeckungsgrad bezeichnet und bestimmt sich aus dem Verhältnis von Eingriffsstrecke zur Eingriffsteilung (Abstand zweier benachbarter Eingriffspunkte).

Aufgrund des ungünstigen Verschleißverhaltens haben Punktverzahnungen im Allgemeinen keine Bedeutung. Ausnahme hiervon bildet die sogenannte Triebstockverzahnung, welche im nachfolgenden Artikel behandelt wird.

Funktionsweise

Ein Spezialfall der Zykloidenverzahnung mit Punktverzahnung ist die sogenannte Triebstockverzahnung. Die untere Animation zeigt hierzu das Funktionsprinzip der Triebstockverzahnung. Eine Scheibe mit Rollen greift dabei in die Zähne eines (Zykloiden-)Zahnrades und treibt dieses an.

Konstruktion der Triebstockverzahnung

Die untere Abbildung zeigt die Konstruktion einer Triebstockverzahnung. Wie bei Zykloidenverzahnungen üblich wird zunächst ein Grundkreis benötigt auf dem ein Rollkreis beim Abrollen die Zahnflanke in Form einer Zykloide bildet. Besonders ist dabei, dass der gedachte Abrollpunkt („Bleistiftspitze“) nicht mehr auf einen einzigen Punkt konzentriert sondern aufgrund geringeren Verschleißes zu einem Kreis erweitert wird. Der Durchmesser des Kreises entspricht dem Durchmesser des Triebstocks (Rolle).

Wird nun der Rollkreis auf dem Grundkreis abgerollt, dann beschreibt die Einhüllende der Triebstockkreise die Form der Zahnflanke (Äquidistante zur Zykloide). Für die Konstruktion des Triebstockrades (Drehkranz) werden die Triebstöcke im Kreis angeordnet, wobei die Kreismittelpunkte auf dem Teilkreis liegen, welcher im Durchmesser dem vorherigen Rollkreis entspricht.

Die Triebstockverzahnung ist eine sehr alte Verzahnungsart, die früher häufig in Mahlwerken von Mühlen wiederzufinden war. Damals wurden tatsächlich Holzstöcke als Triebstöcke verwendet. Heutzutage sind dies reibungsarme Rollen und keine Stöcke im eigentlichen Sinne mehr. Angewendet wird die Triebstockverzahnung bei langsamen Drehzahlen und schweren Lasten, z.B. für den Antrieb von großen Teleskopen. Nicht geeignet ist die Triebstockverzahnung bei hochpräzisen Übersetzungen.

Die Triebstockverzahnung eignet sich für große Getriebe mit hohen zu übertragenden Drehmomenten!

Aufgrund der einfacheren Herstellung wird in der Praxis die Zykloidenform bei einem Triebstockrad häufig durch eine Evolvente angenähert.

Eingriffsstrecke

Die untere Animation zeigt das Eingriffsverhalten einer Triebstockverzahnung. Die Eingriffsstrecke verläuft dabei nicht mehr exakt auf dem Rollkreis, da bei der Konstruktion der Zahnflanke der Zeichnungs-Punkt auf dem Rollkreis zu einem Kreis (Triebstock) erweitert wurde.

Die Eingriffslinie bestimmt sich aus dem Schnittpunkt zwischen der Verbindungslinie \(\overline{MC}\) und dem Triebstock (mit \(M\) als Mittelpunkt des Triebstocks und \(C\) als Wälzpunkt). Dies ergibt sich direkt aus dem Verzahnungsgesetzes, das besagt, dass die Normale (= Radiale des Triebstockkreises) durch den Wälzpunkt verlaufen muss.

Da sich der Eingriff der Rollen im Wesentlichen auf jenen Teil der Eingriffsstrecke konzentriert der vor dem Wälzpunkt liegt, weisen Triebstockverzahnungen im Allgemeinen relativ geringe Profilüberdeckungen auf.

Triebstange

Wird anstelle einer Scheibe eine Stange verwendet auf der die Triebstöcke befestigt werden („Triebstange“), so ist der Wälzkreis dann eine Wälzgerade. Wird diese Gerade als Rollgerade zur Konstruktion der Zahnfanke des Zahnrades verwendet, dann entstehen anstelle der Zykloiden Evolventen und man erhält statt eines Zykloidenzahnrades ein Zahnrad mit Evolventenverzahnung!

Konstruktion einer Zykloide

Die Flankenform einer Zykloidenverzahnung bildet die sogenannte Zykloide. Eine Zykloide wird durch das Abrollen eines Rollkreises auf einem Grundkreis konstruiert. Ein fixer Punkt auf dem Rollkreis beschreibt als Bahnkurve dabei die Zykloide. Ferner kann unterschieden werden zwischen einer Epizykloide und einer Hypozykloide. Eine Epizykloide entsteht, wenn der Rollkreis auf der Außenseite des Grundkreises abgerollt wird. Wird der Rollkreis hingegen auf der Innenseite des Grundkreises abgerollt, dann spricht man von einer Hypozykloide. Dementsprechend kann man Rollkreise einteilen in innere Rollkreise (-> Hypozykolide) und äußere Rollkreise (-> Epizykloide)

Eine Zykloide erhält man durch Abrollen eines Rollkreises auf einem Grundkreis! Epizykloiden ergeben sich durch Abrollen auf der Außenseite des Grundkreises und Hypozykloiden durch Abrollen auf der Innenseite des Grundkreises!

Konstruktion von Zykloidenzahnräder

Bei einer Zykloidenverzahnung hat die Kopfflanke des Zahnes die Form einer Epizykloide und die Fußflanke die Form einer Hypozykloide. Der innere Rollkreis mit dem die Hypozykloide konstruiert wird, entspricht im Allgemeinen nicht dem Rollkreis mit dem die Epizykloide konstruiert wird, d.h. es kommen unterschiedliche Rollkreise zum Einsatz.

Damit die Zähne zweier Zykloidenzahnräder richtig ineinandergreifen können, wird jener äußere Rollkreis zur Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) des einen Zahnrades, dann als innerer Rollkreis für die Konstruktion der Fußflanke (Hypozykloide) des Gegenrades verwendet! Umgekehrt entspricht der innere Rollkreis zur Konstruktion der Fußflanke (Hypozykloide) des einen Zahnrades gleichzeitig dem äußeren Rollkreis für die Epizykloide Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) des Gegenrades. Diese Kopplung über die identischen Rollkreise bewirkt die Gültigkeit des Verzahnungsgesetzes, welches für ein konstantes Übersetzungsverhältnis notwendig ist. 

Der Rollkreis zur Konstruktion der Kopfflanke des einen Zahnrades wird für die Konstruktion der Fußflanke des Gegenrades genutzt und umgekehrt!

Da ein Rollkreis folglich immer zur Konstruktion der Zahnform zweier zu paarender Zahnräder genutzt wird, sind Zykloidenzahnräder immer speziell aufeinander abgestimmt. Ein Zykloidenzahnrad kann in der Regel also nicht einfach durch ein Zahnrad mit anderer Zähnezahl ersetzt werden wie dies bei Evolventenzahnräder der Fall ist (sog. Satzräder). Das Herstellen von Satzrädern ist bei der Zykloidenverzahnung nur dann möglich, wenn die Rollkreise stets identisch gewählt werden und nur auf den Grundkreis des Hauptrades bezogen werden. 

Zykloidenzahnräder müssen immer speziell aufeinander abgestimmt werden und können im Allgemeinen nicht beliebig getauscht werden!

Die Rollkreise sind bei Zykloidenzahnräder im Allgemeinen auf die Grundkreise abgestimmt, d.h. sie stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander, da das Verhältnis von Rollkreisdurchmesser zu Grundkreisdurchmesser die Form der Zykloide bestimmt. Alle Zykloiden mit demselben Rollkreis-Grundkreis-Verhältnis sind zueinander ähnlich. Häufig wiederzufinden ist ein Verhältnis von etwa 1:3 für Rollkreisdurchmesser zu Grundkreisdurchmesser. Der Rollkreisdurchmesser bezieht sich dabei auf den inneren Rollkreis zur Konstruktion der Hypozykloide.

Der Grundkreis entspricht bei einer Zykloidenverzahnung stets dem Teilkreis bzw. dem Wälzkreis. Der Berührpunkt der Wälzkreise entspricht dem Wälzpunkt. Der Teilkreisdurchmesser d ermittelt sich analog zu einer Evolventenverzahnung aus dem Produkt von Modul m und Zähnezahl z:

\begin{align}
&\boxed{d = m \cdot z} \\[5px]
\end{align}

Der Grundkreis eines Zykloidenzahnrades entspricht dem Teilkreis bzw. dem Wälzkreis!

Auch der Kopfkreisdurchmesser d_k eines Zykloidenzahnrades lässt sich ebenfalls analog zu einem Evolventenzahnrad bestimmen:

\begin{align}
&\boxed{d_k = d + 2 \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Alle weiteren geometrischen Zusammenhänge sind ausführlich im Artikel Geometrie von Evolventenzahnräder dargelegt.

Sonderformen von Zykloiden

Spezialfall der Hypozykloide: Die Gerade

Eine Besonderheit in der Zahnform von Zykloidenzahnräder ergibt sich für den Fall, dass der Rollkreisdurchmesser der Hälfte des Grundkreisdurchmessers entspricht. In diesem Fall erhält man gerade Fußflanken die sich radial nach außen erstrecken. Eine solche Verzahnung wird auch als Uhrenverzahnung bezeichnet, da sie früher häufig in Uhrwerken wiederzufinden war (heutzutage kommt jedoch meist die Kreisbogenverzahnung bzgl. der Zahnkopfflanke zur Anwendung). 

Gerade Fußflanken erhält man wenn der Rollkreisdurchmesser zur Konstruktion der Hypozykloide der Hälfte des Grundkreisdurchmessers entspricht!

Beachte, dass eine Hypozykloide nur konstruiert werden kann, wenn der Rollkreisdurchmesser kleiner oder im Extremfall gleich dem Grundkreis des Zahnrades ist (in einem solchen Extremfall spricht man auch von einer Punktverzahnung). Ansonsten kann kein inneres Abrollen auf dem Grundkreis erfolgen! Diese Einschränkung gilt jedoch nicht für die Konstruktion einer Epizykloide; dort können grundsätzlich beliebig große Rollkreise für das äußere Abrollen auf dem Grundkreis Verwendung finden. Ein wichtiger Spezialfall hierzu wird im nächsten Abschnitt näher besprochen.

Speziellfall der Epizykloide: Die Evolvente

Ein wichtiger Spezialfall der Zykloidenverzahnung ergibt sich, wenn man den Rollkreis zuzr Konstruktion der Kopfflanke (Epizykloide) immer größer und größer werden lässt. Im Extremfall erhält man schließlich einen Kreis mit unendlich großem Durchmesser, welcher aufgrund der unendlich kleinen Krümmung dann einer Rollgeraden entspricht. Die entstehende Epizykloide wird dann Evolvente genannt und die Verzahnung entsprechend als Evolventenverzahnung.

Die Evolventenverzahnung ist ein Spezialfall der Zykloidenverzahnung mit einem Rollkreis unendlichen Durchmessers.

Vor- und Nachteile von Zykloidenverzahnungen

Die allgemeine Zykloidenform eines Zahnes weist im Eingriff ein günstigeres Verschleißverhalten und damit geringere Reibungsverluste im Vergleich zur Evolventenform auf. Ursache hierfür sind die geringeren Pressungskräfte, da im Eingriff stets eine konvexe und eine konkave Flanken aufeinander treffen und sich praktisch aneinander schmiegen.

Darüber hinaus können mit einer Zykloidenverzahnung im Vergleich zur Evolventenverzahnung Zahnräder mit deutlich geringeren Grenzzähnezahlen ohne Unterschnitt hergestellt werden. Auf diese Weise sind bspw. Zahnräder mit nur drei Zähnen theoretisch realisierbar. 

Das günstigere Reibungsverhalten und die geringen Grenzzähnezahlen sind Hauptgründe weshalb die Zykloidenverzahnung häufig in Uhren wiederzufinden ist/war.

Trotz der genannten Vorteile der Zykloidenverzahnung ist die Evolventenverzahnung aus fertigungstechnischen und praktischen Gründen dennoch die am meisten verwendete Verzahnungsart im Maschinenbau! Grund ist die relativ einfache fertigungstechnische Herstellung einer Evolventenform (gerade Werkzeugflanken) im Vergleich zur Zykloidenform (gekrümmte Werkzeugflanken).

Darüber hinaus ist die Zykloidenverzahnung sehr empfindlich gegenüber einer ungenauen Einstellung des Achsabstandes, die dann zu Übersetzungsschwankungen führt. Aus diesen Gründen ist die Zykloidenverzahnung im Maschinenbau kaum vorzufinden sondern wird nur in speziellen Fällen angewendet wie bspw. in der Uhrenindustrie, bei Drehkolbengebläse (auch Roots-Verdichter genannt) oder für den Antrieb von Zahnstangen .

Funktionsweise

Die untere Animation zeigt das Funktionsprinzip eines zweiflügligen Drehkolbengebläses, welches auch Roots-Gebläse, Drehkolbenverdichter, Drehkolbenkompressor, Drehkolbenpumpe, Kreiskolbenpumpe, oder Kapselpumpe genannt wird. Das zu fördernde Medium wird dabei zwischen den rotierenden Drehkolben und dem Gehäuse von der Saugseite (Lufteinlass, unten) zur Druckseite (Luftauslass, oben) gefördert und dort bei Gegendruck entsprechend verdichtet.

Angetrieben wird der Drehkolbenverdichter meist über einen rückseitig angebrachten Riementrieb und ein Zahnradpaar. Die Drehkolben treiben sich also nicht über den Kontakt ihrer Flügel an! Vielmehr muss sogar ein kleiner Luftspalt zwischen den Drehkolben verbleiben, da es aufgrund der hohen Drehzahlen sonst zu einer unzulässigen Wärmeentwicklung kommen würde und die Rotoren rasch verschleißen würden.

Die Drehkolben werden auch als Rotoren, Flügel oder als Läufer bezeichnet. Anstelle von zweiflügeligen Läufern kommen in der Praxis meist jedoch dreiflügelige oder gar vierflügelige Rotoren zum Einsatz. Um dabei eine kontinuierliche Verdichtung zu erreichen und somit Druckstöße zu vermeiden sind die Flügel zudem entlang ihrer Rotationsachse verdreht. Das Querschnittsprofil der Rotoren besteht dabei aus Zykloiden. Aufgrund der kontaktlosen Rotation handelt es sich allerdings nicht um eine Zykloidenverzahnung im eigentlichen Sinne!

Roots-Gebläse werden unter anderem als Kompressoren zur Aufladung von Verbrennungsmotoren verwendet. Aber auch bei der Förderung von Flüssigkeiten oder Lebensmitteln wie bspw. Reis oder Getreide werden Roots-Gebläse eingesetzt.

Anwendung als Kompressor zur Aufladung

Die untere Animation zeigt schematisch den Aufbau und das Funktionsprinzip eines Roots-Gebläse wie es zur Aufladung der Verbrennungsluft in Automobilen eingesetzt wird.

Die Luft wird über einen vorderseitig angebrachten Schlitz eingesaugt. Über diesen Lufteinlass gelangt die Luft in das mit Kühlrippen ausgestattete Gehäuse des Drehkolbenverdichters.

Im Inneren des Roots-Gebläses befinden sich die dreiflügelige Drehkolben (Läufer), die die angesaugte Luft zwischen Läufer und Gehäuse-Innenwand von der Saugseite (oben) zur Druckseite (unten) befördern. Aufgrund der „angestauten“ Luft auf der Druckseite erhöht sich dort der Druck und die Luft wird entsprechend verdichtet.

Der Antrieb der Drehkolben erfolgt über einen Riementrieb, wobei die Antriebsscheibe zunächst nur einer der beiden Läufer direkt antreibt (d.h. auf einer Welle sitzt). Der Antrieb des zweiten Drehkolbens erfolgt wie üblich über zwei schrägverzahnte Stirnräder.

Ist die Luft durch die Drehkolben zur Druckseite befördert worden, dann strömt sie in verdichteter Form durch den Luftauslass zum Motor. Der ungewollten Temperaturerhöhung während der Kompression wird mit den Kühlrippen am Gehäuse entgegengewirkt.

Das Druckverhältnis zwischen Druck- und Saugseite liegt bei Roots-Gebläsen in der Regel bei maximal 2. Der Wirkungsgrad liegt je nach Drehzahl in diesen Fällen bei etwa 50 %. bei Bei größeren zu erzeugenden Druckverhältnissen nimmt der Wirkungsgrad sehr stark ab! Grundsätzlich sind Roots-Gebläse umso effektiver je geringer der Druckunterschied ist.

Konstruktion der Flügel

Die Form der Rotorflügel setzt sich bei Roots-Gebläsen aus Zykloiden zusammen und entspricht im Prinzip Zykloidenverzahnung. Zwischen den Flügeln findet jedoch nicht wie bei klassischen Zahnrädern eine Kraftübertragung statt!

Zweiflügler

Zur Konstruktion von zweiflügeligen Rotorformen werden die Rollkreise für die Epizykloide und die Hypozykloide zu einem Viertel des Durchmessers des Grundkreises gewählt (siehe hierzu Artikel Geometrie von Zykloidenzahnräder). Auf diese Weise ergeben sich symmetrisch am Umfang verteilt zwei „Zahnköpfe“ und zwei „Zahnfüße“, in die bzw. auf die wieder zwei „Zahnfüße“ und „Zahnköpfe“ des Gegenflügels passen.

Dreiflügler

Für die Konstruktion eines dreiflügligen Rotors sind die Rollkreise zur Erzeugung der Hypozykloide bzw. Epizykloide zu einem Sechstel des Durchmessers des Grundkreises zu wählen.